高中数学参数方程知识点大全
高考复习之参数方程 一、考纲要求
1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.
2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.
二、知识结构 1.直线的参数方程
(1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是
?
?
?+=+=a t y y a
t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=
a
b
的直线的参数方程是 ??
?+=+=bt
y y at
x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2
+b 2
=1,②即为标准式，此时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2
+b 2
≠1，则动点P 到定点P 0的距离是
22b a +｜t ｜.
直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是
?
??+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数）
若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;
(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t=
2
2
1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2
2
1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.
2.圆锥曲线的参数方程
(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是??
?+=+=?
?
sin cos r b y r a x (φ是参数)
φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)
(2)椭圆 椭圆122
22=+b
y a x (a ＞b ＞0)的参数方程是
??
?==??
sin cos b y a x (φ为参数)
椭圆 122
22=+b
y a y (a ＞b ＞0)的参数方程是
?
?
?==??
sin cos a y b x (φ为参数) 3.极坐标
极坐标系 在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫 做极轴.
①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.
点的极坐标 设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度 ，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图)
极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式
???=='sin cos θρθρy x ??
?
??≠=+=)
0(2
22x x y
tg y x θρ 三、知识点、能力点提示
(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化
例1 在圆x 2
+y 2
-4x-2y-20=0上求两点A 和B ，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.
解： 将圆的方程化为参数方程：
??
?+=+=θ
θ
sin 51cos 52y x （θ为参数） 则圆上点P 坐标为(2+5cos θ，1+5sin θ)，它到所给直线之距离
d=
2
2
3
430
sin 15cos 120+++θθ
故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时 ，d 最长，这时，点A 坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d 最短，这时，点B 坐标为(-2，2).
(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化
说明 这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.
例2 极坐标方程ρ=
θ
θcos sin 321
++所确定的图形是（ ）
A.直线
B.椭圆
C.双曲
D.抛物
线
解： ρ=
)
6
sin(12
11)]cos 2
1
23(
1[21
π
θθ+
+?=
++
(三)综合例题赏析 例3 椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin 51cos 3Φ??
?Φ
+-=Φ
+=y x （ ）
A.(-3，5)，(-3，-3)
B.(3，3)，(3，-5)
C.(1，1)，(-7，1)
D.(7，-1)，(-1，-1)
解：化为普通方程得
125
)1(9)3(2
2=++-y x ∴a 2
=25,b 2
=9,得c 2
＝１６,c=4. ∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)
∴在xOy 坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5). 应选B. 例4 参数方程
表示)20()sin 1(212
sin 2cos πθθθ
θ<
???
?+=+=y x A.双曲线的一支，这支过点(1，
2
1
) B.抛物线的一部分，这部分过(1，
2
1) C.双曲线的一支，这支过(-1，
2
1) D.抛物线的一部分，这部分过(-1，
2
1)
解：由参数式得x 2
=1+sin θ=2y(x ＞0) 即y=
2
1x 2
(x ＞0). ∴应选B.
例 5 在方程?
??==θθ
cos sin y x (θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( )
A.(2,-7)
B.（31，3
2
） C.(
21，2
1
) D.(1，0)
解：y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x 2 将x=
21代入，得y=2
1
∴应选C.
例6 下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2
-y=0表示同一曲线的方程是( )
A.???==t
y t x B.???==t y t x 2
cos cos C.
??
?
??-+==t t y tgt
x 2cos 12cos 1
D.??
???+-==t t y tgt
x 2cos 12cos 1
解：普通方程x 2
-y 中的x ∈R ，y ≥0，A.中x=｜t ｜≥0，B.中x=cost ∈〔-1,1〕，故排
除A.和B.
C.中y=t
t 22sin 2cos 2=ctg 2t=2
211x t tg ==，即x 2
y=1，故排除C. ∴应选D.
例7 曲线的极坐标方程ρ=４sin θ化 成直角坐标方程为( ) +(y+2)2
=4 +(y-2)2
=4 C.(x-2)2+y 2=4 D.(x+2)2+y 2
=4
解：将ρ=22y x +，sin θ=
2
2y x y +代入ρ=4sin θ，得x 2
+y 2
=4y ，即x 2
+(y-2)2
=4.
∴应选B.
例8 极坐标ρ=cos(
θπ
-4
)表示的曲线是( )
A.双曲线
B.椭圆
C.抛物线
D.圆
解：原极坐标方程化为ρ=
2
1(cos θ+sin θ)?22ρ=ρcos θ+ρsin θ，
∴普通方程为2(x 2
+y 2
)=x+y ，表示圆.
应选D.
例9 在极坐标系中，与圆ρ=4sin θ相切的条直线的方程是( ) A.ρsin θ=2 B.ρcos θ=2
C.ρcos θ=-2
D.ρcos θ=-4
例9图
解：如图.
⊙C 的极坐标方程为ρ=4sin θ，CO ⊥OX,OA 为直径，｜OA ｜=4,l 和圆相切， l 交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l 上任意一点，则有 cos θ=
ρ
2
=
OP
OB ，得ρcos θ=2，
∴应选B.
例10 4ρsin 2
2θ
=5 表示的曲线是( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线的一支
D.抛物
线
解：4ρsin 2
2θ=5?4ρ·.5cos 222
1
cos -=?-θρρθ
把ρ=22y x + ρcos θ=x ，代入上式，得 222y x +=2x-5. 平方整理得y 2
=-5x+.4
25
.它表示抛物线. ∴应选D.
例11 极坐标方程4sin 2
θ=3表示曲线是( ) A.两条射线 B.两条相交直线
C.圆
D.抛物
线
解：由4sin 2
θ=3,得4·2
22y
x y +＝3,即y 2=3 x 2
，y=±x 3,它表示两相交直线. ∴应选B.
四、能力训练 (一)选择题 1.极坐标方程ρcos θ=
3
4
表示( ) A.一条平行于x 轴的直线 B.一条垂直于x 轴的直线 C.一个圆
D.一条抛物线
2.直线：3x-4y-9=0与圆：)(,sin 2cos 2为参数θθθ
?
?
?==y x 的位置关系是( )
A.相切
B.相离
C.直线过圆心
D.相交但直
线不过圆心
3.若(x ，y)与(ρ，θ)(ρ∈R)分别是点M 的直角坐标和极坐标，t 表示参数，则下列
各组曲 线：①θ=
6π和sin θ=21；②θ=6
π和tg θ=33，③ρ2
-9=0和ρ= 3；④
??
?+=+=???
????+=+=t y t x t
y t x 32221322
2和
其中表示相同曲线的组数为( )
4.设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)两点的极坐标同时满足下列关系：ρ1+ρ2=0 ，θ1+θ2=0，则M ，N 两点位置关系是( )
A.重合
B.关于极点对称
C.关于直线θ=
2
π
D.关于极轴对称
5.极坐标方程ρ=sin θ+2cos θ所表示的曲线是( ) A.直线 B.圆
C.双曲线
D.抛物线
6.经过点M(1，5)且倾斜角为3
π
的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( )
A ．???????+=+=t y t x 235211 B.???????+=-=t y t x 235211
C.
???
?
??
?
-=+=t y t x 235211 D.???
???
?+=+=t x t y 215231 7.将参数方???
???
?+++?=+++?=2222222222m m m b y m m m
m a x (m 是参数，ab ≠0)化为普通方程是( )
A.)(122
22
a x
b y a x ≠=+
B.)(122
22a x b y a x -≠=+ C.)(122
22a x b
y a x ≠=-
D.)(122
22a x b
y a x -≠=- 8.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+
6
π
)，则圆心的极坐标和半径分别为( ) A.(1,3π),r=2 B.(1,6π),r=1 C.(1, 3
π
),r=1 D.(1,
-
3
π
),r=2 9.参数方程???
??-=+=2
1y t t x (t 为参数)所表示的曲线是( )
A.一条射线
B.两条射线
C.一条直线
D.两条
直线
10.双曲线??
?+=+-=θ
θ
sec 212y tg x (θ为参数)的渐近线方 程为( )
=)2(21+±
x =x 2
1± =)2(2+±x +1=)2(2-±x
11.若直线???=+=bt
y at x 4( (t 为参数)与圆x 2+y 2
-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为( )
A. 3π
B.3
2π C.
3π或32π D. 3
π
或
3
5π
12.已知曲线???==pt
y pt x 222
(t 为参数)上的点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，且t 1+t 2=0，
那么M ，N 间的距离为( )
(t 1+t 2) (t 2
1+t 2
2)
C.│2p(t 1-t 2)│ (t 1-t 2)2
13.若点P(x ，y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M(-2xy ，y 2
-x 2
)也在单位圆上运动，其运动规律是( )
A.角速度ω，顺时针方向
B.角速度ω，逆时针方向
C.角速度2ω,顺时针方向
D.角速度2ω，逆时针方向
14.抛物线y=x 2
-10xcos θ+25+3sin θ-25sin 2
θ与x 轴两个交点距离的最大值是( )
3
15.直线ρ=
θθsin cos 23+与直线l 关于直线θ=4π
(ρ∈R)对称，则l 的方程是( )
A ．θθρsin cos 23-=
B ．θ
θρcos cos 23
-=
C ．θθρsin 2cos 3-=
D ．θ
θρsin 2cos 3
+=
(二)填空题
16.若直线l 的参数方程为???
????
+-=+=t
y t x 5325
43(t 为参数)，则过点(4，-1)且与l 平行的直线
在y 轴上的截距为
.
17.参数方程???
????+=+=θθθ
θcos 1sin cos 1cos y x （θ为参数）化成普通方程为 .
18.极坐标方程ρ=tg θsec θ表示的曲线是 . 19.直线??
?-=+-=t
y t
x 3231(t 为参数)的倾斜角为 ；直线上一点P(x ，y)与点M(-1，
2)的距离为 .
(三)解答题 20.设椭圆???==θ
θsin 32cos 4y x (θ为参数) 上一点P ，若点P 在第一象限，且∠xOP=
3
π，求点P 的坐标.
21.曲线C 的方程为???==pt
y pt x 222
(p ＞0，t 为参数)，当t ∈［-1，2］时 ，曲线C 的端
点为A ，B ，设F 是曲线C 的焦点，且S △AFB =14，求P 的值.
22.已知椭圆22
2
y x +=1及点B(0，-2)，过点B 作直线BD ，与椭圆的左 半部分交于C 、D 两点，又过椭圆的右焦点F
2作平行于BD 的直线，交椭圆于G ，H 两点.
(1)试判断满足│BC │·│BD │=3│GF 2
│·│F 2H │成立的直线BD 是否存在并说明理由 . (2)若点M 为弦CD 的中点，S △BMF2=2，试求直线BD 的方程. 23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线?
??=+=θθ
tg y x 3sec 48(θ为参数)的左焦点
和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为
4
9
，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离. ，B 为椭圆22
22b
y a x +=1，(a ＞b ＞0) 上的两点，且OA ⊥OB ，求△AOB 的面积的最大值和
最小值.
25.已知椭圆162422y x +=1，直线l ∶8
12y
x +=1，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且 满足│OQ │·│OP │=│OR │2
，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.
并说明轨迹是什么曲线.
参考答案
(一)
(二)；２
=-2(x-21),(x ≤2
1
);18.抛 物线；°,|32t| (三)20.(
5154,558)；21.
;3
3
2 22.(1)不存在，(2)x+y+2=0；23.51(27-341)；=2
ab
，s
max
=2
2
2
2b a b a +;
25.
2
5)1(25)1(2
2-+-y x =1(x,y)不同时为零)