二项式定理典型例题(含解答)

二项式定理典型例题

典型例题一

例1 在二项式n

x x ??? ??+421的展开式中前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．

解：二项式的展开式的通项公式为：4324121C 21)(C r n r r n r

r n r n r x x x T --+=??? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8

141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(81123

12-+=+=n n n t t t ，∴8=n 通项公式为1431681,82,1,02

1C +-+==r r r r r T r x T Λ为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256

121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有

典型例题四

例4（1）求103)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21(++x

x 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以

视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．

解：（1）103)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项： 用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5510C x ；用

3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；

用3)1(x -中的2x 乘以10)1(x +展开式中的3x 可得到531033102C 3C 3x x x =?；用 3

)1(x -中的

3x 项乘以10)1(x +展开式中的2x 项可得到52102210

3C C 3x x x -=?-，合并同类项得5x 项为： 5521031041051063)C C 3C C (x x -=-+-． （2）2121???

? ??+=++x x x x 1251)21(???? ??+=++x x x x ．由121???? ??+x x 展开式的通项公式r r r r r

r x x T --+=??? ??=61212121C 1)2(C ，可得展开式的常数项为924C 612=．

说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决．这时我们还可以通过

合并项转化为二项式展开的问题来解决．

典型例题五

例5 求62)1(x x -+展开式中5x 的系数．

分析：62)1(x x -+不是二项式，我们通过22)1(1x x x x -+=-+或)(12x x -+展开． 解：方法一：[]6262)1()1(x x x x -+=-+Λ-+++-+=44256)1(15)1(6)1(x x x x x

其中含5x 的项为55145355566C 15C 6C x x x x =+-．含5x 项的系数为6．

方法二：[]

6262)(1)1(x x x x -+=-+ 62524232222)()(6)(15)(20)(15)(61x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-+= 其中含5x 的项为555566)4(15)3(20x x x x =+-+-．∴5x 项的系数为6．

方法3：本题还可通过把6

2)1(x x -+看成6个21x x -+相乘，每个因式各取一项相乘

可得到乘积的一项，5x 项可由下列几种可能得到．5个因式中取x ，一个取1得到556C x ．

3个因式中取x ，一个取2x -，两个取1得到)(C C 231336x x -??．

1个因式中取x ，两个取2x -，三个取1得到222516)(C C x x -??．

合并同类项为5525161336566)C C C C (C x x =+-，5x 项的系数为6． 典型例题六

例6 求证：（1）1212C C 2C -?=+++n n n n n n n Λ；

（2）)12(1

1C 11C 31C 21C 1210-+=++++++n n n n n n n n Λ． 分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证

明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质

n n n n n n 2C C C C 210

=++++Λ．

解：（1）11C )!

()!1()!1()!()!1(!)!(!!C --=+--?=--=-?=k

n k

n n k n k n n k n k n k n k n k k Θ ∴左边111101C C C ----+++=n n n n n n n Λ=?=+++=-----11111012)C C C (n n n n n n n Λ右边．

（2）

)!()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n --=-?+=+11C 1

1)!()!1()!1(11+++=-++?+=k

n n k n k n n ． ∴左边112111C 1

1C 11C 11++++++++++=

n

n n n n n n Λ =-+=++++=+++++)12(11)C C (C 111112111n n n n n n n Λ右边． 说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质

求解．此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求

10C 2C 2C 2C 22108107910810

109+++++Λ的结果．仔细观察可以发现该组合数的式与

10)21(+的展开式接近，但要注意：10101099102210110010102C 2C 2C 2C C )21(?+?++?+?+=+Λ

10

101091092102C 2C 2C 21021++++?+=Λ)C 2C 2C 210(21101099108210+++++=Λ 从而可以得到：)13(2

1C 2C 2C 2101010

1099108210-=++++Λ． 典型例题七

例7 利用二项式定理证明：98322--+n n 是64的倍数．

分析：64是8的平方，问题相当于证明98322--+n n 是28的倍数，为了使问题向二项

式定理贴近，变形1122)18(93++++==n n n ，将其展开后各项含有k 8，与28的倍数联系起来．

解：∵98322--+n n 98)18(98911--+=--=++n n n n

9818C 8C 8C 812111

11--+?+?++?+=+-+++n n n n n n n n Λ

981)1(88C 8C 8211111--+++?++?+=-+++n n n n n n n Λ2111

118C 8C 8?++?+=-+++n n n n n Λ

64)C 8C 8(112111?++?+=-+-++n

n n n n Λ是64的倍数．

说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些

复杂的指数式除以一个数的余数．

典型例题八

例8 展开52232??? ?

?-x x ．分析1：用二项式定理展开式． 解法1：5

2232??? ??-x x 2232524150250523)2(23)2(23)2(??

? ??-+??? ??-+??? ??-=x x C x x C x x C

5

25542453223

52323)2(23)2(??? ??-+??? ??-+??? ??-+x C x x C x x C 10742532243840513518012032x

x x x x x -+-+-= 分析2：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．

解法2：10535

232)34(232x x x x -=??? ?

?-233254315530510)3()4()3()4()4([321-+-+=x C x C x C x ])3()3()4()3()4(5554134532335-+-+-+C x C x C )243716204320576038401024(321369121510-+-+-=

x x x x x x 10742532243840513518012032x x x x x x -+-+-=． 说明：记准、记熟二项式n

b a )(+的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条

件．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便． 典型例题九

例9 若将10

)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ）．

A ．11

B ．33

C ．55

D ．66

分析：10)(z y x ++看作二项式10])[(z y x ++展开．

解：我们把z y x ++看成z y x ++)(，按二项式展开，共有11“项”，即

∑=-?+=++=++100101010

10)(])[()(k k k k z y x C z y x z y x ． 这时，由于“和”中各项z 的指数各不相同，因此再将各个二项式k y x -+10)(展开，

不同的乘积k k k z y x C ?+-1010)

(（10,,1,0Λ=k ）展开后，都不会出现同类项． 下面，再分别考虑每一个乘积k k k z y x C ?+-1010)(（10,,1,0Λ=k ）．

其中每一个乘积展开后的项数由k y x -+10)(决定，而且各项中x 和y 的指数都不相同，也不会出现同类项．故原式展开后的总项数为66191011=++++Λ，∴应选D ．

典型例题十

例10 若n

x x ??? ??-+21的展开式的常数项为20-，求n ．

分析：题中0≠x ，当0>x 时，把n x x ??? ??-+21转化为n

n x x x x 2121??? ??-=??? ??-+；当0

n n x x x x 21)1(21??? ??----=??? ??-+．然后写出通项，令含x 的幂指数为零，解出n ． 解：当0>x 时n n x x x x 2121??? ?

?-=??? ??-+，其通项为 r n r n r r r n r n r x C x

x C T 222221)()1()1()(--+-=-=，令022=-r n ，得r n =， ∴展开式的常数项为n

n n C 2)1(-；当0

n n x x x x 21)1(21??? ??----=??? ??-+， 同理可得，展开式的常数项为n n n C 2)1(-．无论哪一种情况，常数项均为n n n C 2)1(-．

令20)1(2-=-n n n C ，以Λ,3,2,1=n ，逐个代入，得3=n ．

典型例题十一

例11 1031??? ?

?+x x 的展开式的第3项小于第4项，则x 的取值范围是______________．

分析：首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可．

解： 1031??? ??+x x 有意义必须0>x ；依题意有43T T <即3

373102382101)(1)(??? ??

x ?????x ）．解得5648980<

?????

<<5648980x x ．∴应填：5648980<

例12 已知n x x )1(2log +的展开式中有连续三项的系数之比为321∶∶，这三项是第几

项？若展开式的倒数第二项为112，求x 的值．

解：设连续三项是第k 、1+k 、2+k 项

（+∈N k 且1>k ），则有32111∶∶∶∶=+-k n k n k n C C C ， 即321!

)1)(1(!!)(!!!)1)(1(!∶∶∶∶=--+-+--k n k n k n k n k n k n ．∴321)1(1)(1)1)((1∶∶∶∶=+-+--k k k n k k n k n ．

∴???????=-+=+-????????=-+=+---32

)

()1(21132)()1(21)1)(()(k n k k n k k n k k k k n k n k n k 14=?n ，5=k 所求连续三项为第5、6、7三项．又由已知，1122log 1314

=x x C ．即82log =x x ．

两边取以2为底的对数，3)(log 22=x ，3log 2±=x ，∴32=x ，或32-=x ． 说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项，根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解．

典型例题十三

例13 n

x )21(+的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大

的项和系数最大的项．

分析：根据已知条件可求出n ，再根据n 的奇偶性；确定二项式系数最大的项．

解：556)2(x C T n =，667)2(x C T n =，依题意有8226655=?=n C C n n ．

∴8)21(x +的展开式中，二项式系数最大的项为444851120)2(x x C T ==． 设第1+r 项系数最大，则有652

22211881188≤≤???????≥??≥?++--r C C C C r r r r r r r r ． ∴5=r 或6=r （∵{}8,,2,1,0Λ∈r ）．∴系娄最大的项为：561792x T =，671792x T =．

说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时中间两项的二

项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．

(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负

变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得．

典型例题十四

例14 设n m x x x f )1()1()(+++=(+∈N n m ,)，若其展开式中关于x 的一次项的系

数和为11，问n m ,为何值时，含2x 项的系数取最小值？并求这个最小值．

分析：根据条件得到2x 的系数关于n 的二次表达式，然后用二次函数性质探讨最小值．

解：1111=+=+m n C C n m ．2

11)(21222222-+=-+-=+n m n n m m C C n m 4

99)211(55112211022+-=+-=-=n n n mn ．∵+∈N n ， ∴5=n 或6，6=m 或5时，2x 项系数最小，最小值为25．

说明：二次函数4

99)211(2+-=x y 的对称轴方程为211=x ，即5.5=x ，由于5、6距5.5等距离，且对+∈N n ，5、6距5.5最近，所以499)211(2+-

n 的最小值在5=n 或6=n 处取得．

典型例题十五

例15 若0166777)13(a x a x a x a x ++++=-Λ，

求(1) 721a a a +++Λ；(2) 7531a a a a +++；(3) 6420a a a a +++．

解：(1)令0=x ，则10-=a ，令1=x ，则128270167==++++a a a a Λ． ①

∴129721=+++a a a Λ．

(2)令1-=x ，则701234567)4(-=+-+-+-+-a a a a a a a a ② 由2②①-得：8256]4128[2

177531=--=+++）（a a a a (3)由2②①+得：6420a a a a +++]

[210123456701234567）（）（a a a a a a a a a a a a a a a a +-+-+-+-++++++++=

8128])4(128[2

17-=-+=． 说明：（1）根据问题恒等式特点来用“特殊值”法．这是一种重要方法，它适用于恒等式．

(2)一般地，对于多项式n n n x a x a x a a q px x g ++++=+=Λ2210)()(，)(x g 的各项

的系数和为)1(g ：)(x g 的奇数项的系数和为)]1()1([2

1

-+g g ．)(x g 的偶数项的系数和为)]1()1([2

1--g g ． 典型例题十六

例16 填空：(1) 3230-除以7的余数_____________；(2) 155555+除以8的余数是

___.

分析(1)：将302分解成含7的因数，然后用二项式定理展开，不含7的项就是余数．

解：3230-3)2(103-=3)8(10-=3)17(10

-+=37771010910911010010-++++=C C C C Λ

2]77[791081109010-+++?=C C C Λ 又∵余数不能为负数，需转化为正数。∴3230

-除以7的余数为5∴应填：5

分析(2)：将5555写成55

)156(-，然后利用二项式定理展开．

解：155555+15)156(55+-=15565656555554555415555055+-++-=C C C C Λ

容易看出该式只有14155555=+-C 不能被8整除，因此155555+除以8的余数，即14除以8的余数，故余数为6．∴应填：6．

典型例题十七

例17 求证：对于+∈N n ，111111+??

? ??++

? ??+11展开式的通项r r n r r n r n r p n C T !11=?=+r r r n n n n r )1()2)(1(!1+---=Λ

)11()21)(11(!1n

r n n r ----=Λ． 1111+??? ?

?++n n 展开式的通项r r n r r n r n r A n C T )1(!)1(11'1+=+?=++ )1

11()121)(111(!1+--+-+-=n r n n r Λ． 由二项式展开式的通项明显看出'11++

? ??++

说明：本题的两个二项式中的两项为正项，且有一项相同，证明时，根据题设特点，采

用比较通项大小的方法完成本题证明．

典型例题十八

例18 在5

2)23(++x x 的展开式中x 的系数为（ ）．

A ．160

B ．240

C ．360

D ．800

分析：本题考查二项式定理的通项公式的运用．应想办法将三项式转化为二项式求解．

解法1：由5252]2)3[()23(++=++x x x x ，得k k k k x x C T 2)3(5251?+=-+ k k k x x C -+??=525)3(2再一次使用通项公式得，r k r r k k k r x C C T ---+???=21055132，

这里50≤≤k ，k r -≤≤50．令1210=--r k ，即92=+r k ．

所以1=r ，4=k ，由此得到x 的系数为24032445=??C ．

解法2：由5552)2()1()23(++=++x x x x ，知5)1(+x 的展开式中x 的系数为4

5C ，

常数项为1，5)2(+x 的展开式中x 的系数为4452?C ，常数项为52． 因此原式中x 的系数为24022445545=?+?C C ．

解法3：将5

2)23(++x x 看作5个三项式相乘，展开式中x 的系数就是从其中一个三项

式中取x 3的系数3，从另外4个三项式中取常数项相乘所得的积，即2402344415=???C C ． 典型例题十九

例19 已知92???

? ??-x x a 的展开式中3x 的系数为49，常数a 的值为___________． 分析：利用二项式的通项公式．

解：在92???? ??-x x a 的展开式中，通项公式为=???

? ??-???? ??=-+r r r r x x a C T 29919232

9921)1(--???? ???-r r r r r x a C ． 根据题设，3923=-r ，所以8=r ．代入通项公式，得3916

9ax T =． 根据题意，49169=a ，所以4=a ．∴应填：4． 典型例题二十

例20 (1)求证：n n n n n n C C C )2(3)1(333133221-=-++?-?+-Λ

(2)若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，求2312420)()(a a a a a +-++的值．

分析：(1)注意观察n n n n n n x C x C x C x ++++=+Λ2211)1(的系数、指数特征，即可通过

赋值法得到证明．(2)注意到)()()(432102312420a a a a a a a a a a ++++=+-++

)(43210a a a a a +-+-?，再用赋值法求之．

解：(1)在公式n n n n n n x C x C x C x ++++=+Λ2211)1(中令3-=x ，即有

n n n n n n C C C )3()3()3(1)31(2211-++-+-+=-Λn n n n C C 3)1(331221?-+-?+?-=Λ

(2)在展开式443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+中，

令1=x ，得443210)32(+=++++x a a a a a ；令1-=x ，得4

43210)32(+-=+-+-a a a a a ．

∴原式)()(4321043210a a a a a a a a a a +-+-?++++=1)32()32(44=+-?+=． 说明：注意“赋值法”在证明或求值中的应用．赋值法的模式是，在某二项展开式，如

n n n x a x a x a a bx a ++++=+Λ2210)(或b a C a C b a n n n n n 110)(-+=+222b a C n n -+

n n n b C ++Λ中，对任意的A x ∈（A b a ∈,）该式恒成立，那么对A 中的特殊值，该工也

一定成立．特殊值x 如何选取，没有一成不变的规律，需视具体情况而定，其灵活性较强．一般取1,1,0-=x 较多．一般地，多项式)(x f 的各项系数和为)1(f ，奇数项系数和为)]1()1([21--f f ，偶次项系数和为)]1()1([2

1-+f f ．二项式系数的性质n n n n n n C C C C 2210=++++Λ及15314202-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ΛΛ的证明就是赋值法应用的范例．

典型例题二十一

例21 若+∈N n ，求证明：37243

32+-+n n 能被64整除． 分析：考虑先将323+n 拆成与8的倍数有关的和式，再用二项式定理展开．

解：3724332+-+n n 37243322+-?=+n n 3724931+-?=+n n 3724)18(31+-+?=+n n

3724]8888[311112111101+-+?++?+?+??=+++-++++n C C C C C n n n n n n n n n n Λ

3724]18)1(8

88[3121111+-+?+++?+?+?=-+++n n C C n n n n n Λ 3724)]98(8888[3211121111+-++?++?+?+?=-+-+++n n C C C n n n n n n n Λ

3724)98(3]888[831132121112+-+?+++?+?+?=-+-+-+-n n C C C n n n n n n n Λ

64]88

8[6433212111++?+?+?=-+-+-Λn n n n n C C ，∵18-n ，2118-+?n n C ，3218-+?n n C ，…均为自然数，∴上式各项均为64的整数倍．∴原式能被64整除．

说明：用二项式定理证明整除问题，大体上就是这一模式，先将某项凑成与除数有关的

和式，再展开证之．该类题也可用数学归纳法证明，但不如用二项式定理证明简捷．

典型例题二十二

例22 已知n x x )3(232+的展开式各项系数和比它的二项式系数和大992．

(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．

分析：先由条件列方程求出n ．(1)需考虑二项式系数的性质；(2)需列不等式确定r ． 解：令1=x 得展开式的各项系数之和为n

n 22)31(=+，而展开式的二项式系数的和为

n n n n n n C C C C 2210=++++Λ，∴有992222=-n n ．∴5=n ． (1)∵5=n ，故展开式共有6，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项． ∴62233225390)3()(x x x C T =?=，32232232354270)3()(x

x x C T =?=． (2)设展开式中第1+r 项的系数最大．341052532513)3()(r r r

r r r

r x C x x C T +-+??=??=，

故有??????≥??≥?++--115511553333r r r r r r r r C C C C 即???????+≥--≥.1351,613r r

r r 解得2927≤≤r ．∵N r ∈， ∴4=r ，即展开式中第5项的系数最大．3264

21324

55405)3()(x x x C T =??=

说明：展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念，因此其求法亦

不同．前者用二项式系数的性质直接得出，后者要列不等式组；解不等式组时可能会求出几个r ，这时还必须算出相应项的系数后再比较大小． 典型例题二十三

例23 求证：(1) p n m m p n p m n p m n C C C C C C C +-=+++0110Λ；

(2) 1144220242333--+?=++++n n n n n n n n C C C C Λ(K n 2=，*N n ∈)

分析：(1)注意到两列二项式两乘后系数的特征，可构造一个函数；也可用构造一个组

合问题的两种不同解法找到思路．(2)同上构造函数，赋值．

证明：(1)(法1)∵n m n m x x x )1()1()

1(+?+=++， ∴)1()1()1(221221n n n n n m m m m m n m x C x C x C x C x C x C x ++++?++++=++ΛΛ．

∴此式左右两边展开式中P x 的系数必相等．左边P x 的系数是p n m C +，右边P

x 的系数是

022110m p n p m n p m n p m n C C C C C C C C ?++?+?+?--Λ，

∴p n m m p n p m n p m n p m n C C C C C C C C C +--=?++?+?+?022110Λ．等式成立． (法2)设想有下面一个问题：要从n m +个不同元素中取出P 个元素，共有多少种取法？

该问题可有两种解法．一种解法是明显的，即直接由组合数公式可得出结论：有p

n m C +种不同取法．第二种解法，可将n m +个元素分成两组，第一组有m 个元素，第二组有n 个元素，则从n m +个元素中取出P 个元素，可看成由这两组元素中分别取出的元素组成，取法可分

成1+P 类：从第一组取P 个，第二组不取，有0n p m C C ?种取法；从第一组取1-P 个，从第

二组取1个，有11n p m C C ?-种取法，…，第一组不取，从第二组取P 个．因此取法总数是

p n m n p m n p m n p m C C C C C C C C ?++?+?+?--022110Λ．

而该问题的这两种解法答案应是一致的，故有p n m m p n p m n p m n p m n C C C C C C C C C +--=?++?+?+?022110Λ．

(2)∵n 为偶数，∴n n n n n n n C C C C 333)31(2210++++=+Λ；n n n n n n n C C C C 333)31(2210+-+-=-Λ． 两式相加得)333(22444220n n n n n n n n C C C C ++++=+Λ，

∴1144220242333--+?=++++n n n n n n n n C C C C Λ．

说明：构造函数赋值法，构造问题双解法，拆项法、倒序相加法都是证明一些组合数恒等式（或求和）的常用方法．