高三物理常见的圆周运动问题

4.3 一般性的圆周运动问题

一、考点聚焦

10．匀速率圆周运动．线速度和角速度．周期．圆周运动的向心加速度R

v 2

Ⅱ

二、知识扫描

1．变速圆周运动特点：

（1）速度大小变化——有切向加速度、速度方向改变——有向心加速度．

故合加速度不一定指向圆心．

（2）合外力不全部提供作为向心力，合外力不指向圆心． 2．遵守的动力学规律

（1）向心加速度：a =r

v 2

或a =ω2r

（2）力和运动的关系：R f m R T

m R m R v m ma F 22222

244ππω=====向向 3．处理圆周运动动力学问题般步骤

（1）确定研究对象，进行受力分析，画出运动草图 （2）标出已知量和需求的物理量

（3）建立坐标系，通常选取质点所在位置为坐标原点，其中一条轴与半径重合 （4）用牛顿第二定律和平衡条件建立方程求解．

4．实例：典型的非匀速圆周运动是竖直面内的圆周运动

（1）如图4-3-1和4-3-2所示，没有物体支撑的小球，在竖直面内作圆周运动通过最高点 ①临界条件是绳子或轨道对小球没有力的作用，在最高点v =Rg ．②小球能通过最高点的条件是在最高点v >Rg ．③小球不能通过最高点的条件是在最高点v

（2）如图4-3-3所示，球过最高点时，轻质杆对小球的弹力情况是①小球在最高点v =0时，是支持力．②小球在最高点0

图4-3-1 图4-3-2 图4-3-3

为零．④小球在最高点v >Rg 时，是拉力．

三、好题精析 例1．飞行员驾机在竖直平面内作圆环特技飞行，若圆环半径为1000m ，飞行速度为100m/s ，求飞行在最高点和最低点时飞行员对座椅的压力是自身重量的多少倍．（g =10m/s 2）

[解析]如图4-3-4所示，飞至最低点时飞行员受向下的重力mg 和向上的支持力T 1，合力是向心力即F n1=T 1-mg ；在最高点时，飞行员受向下的重力mg 和向下的压力T 2，合力产生向心力即F n2=T 2+mg ．两个向心力大小相等且F n = F n1=F n2=mv 2/r 则此题有解： 因为向心力F n = mv 2/r

在最低点：T 1-mg = mv 2/r 则T 1=mv 2/r +mg 解得：T 1/mg =v 2/（rg ）+1=2

在最高点：T 2+mg = mv 2/r 则T 2=mv 2/r -mg 解得：T 2/mg =v 2/（rg ）-1=0

即飞机飞至最低点时，飞行员对座椅的压力是自身重量的两倍，飞至最高点时，飞行员对座椅无压力．

[点评]竖直面内的非匀速圆周运动，在列动力学方程时，要按照牛顿第二定律列方程的步骤进行，受力分析是关键，列方程只

要在法线方向上用牛顿第二定律．公式F =mV 2/R 是牛顿第二定律在圆周运动中的应用，向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合外力的法向分力．

例2．如图4-3-5所示，半径为R ，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m 的小球A 、B 以不同速率进入管内，A 通过最高点C 时，对管壁上部的压力为3mg ，B 通过最高点C 时，对管壁下部的压力为0．75mg ．求A 、B 两球落地点间的距离． [解析]两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力作为向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A 、B 两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平

位移之差．

对A 球：3mg +mg =m R

v A

2 v A =gR 4

对B 球：mg －0．75mg =m R

v B 2 v B =gR 41

s A =v A t =v A

g

R

4=4R s B =v B t =v B

g

R

4=R （2分）∴s A －s B =3R 图4-3-4 C O

B

A 图4-3-5

[点评]竖直面内的非匀速圆周运动往往与其它知识点结合起来进行考查，本题是与平抛运动相结合，解这类题时一定要先分析出物体的运动模型，将它转化成若干个比较熟悉的问题，一个一个问题求解，从而使难题转化为基本题．本题中还要注意竖直面内的非匀速圆周运动在最高点的两个模型：轻杆模型和轻绳模型，它们的区别在于在最高点时提供的力有所不同，轻杆可提供拉力和支持力，而轻绳只能提供拉力；本题属于轻杆模型．

例3．一小球质量为m ，用长为L 的悬绳（不可伸长，质量不计）固定于O 点，在O 点正下方L /2处钉有一颗钉子，如图4-3-6所示，将悬线沿水平方向拉直无初速释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间

A ．小球线速度没有变化

B ．小球的角速度突然增大到原来的2倍

C ．小球的向心加速度突然增大到原来的2倍

D ．悬线对小球的拉力突然增大到原来的2倍

[解析]在小球通过最低点的瞬间，水平方向上不受外力作用，沿切

线方向小球的加速度等于零，因而小球的线速度不会发生变化，故

A 正确；在线速度不变的情况下，小球的半径突然减小到原来的一半，由v =ωr 可知角速度增大为原来的2倍，故

B 正确；由a =v 2/r ，可知向心加速度突然增大到原来的2倍，故

C 正确；在最低点，F -mg =ma ，可以看出

D 不正确．

[点评]本题中要分析出悬线碰到钉子前后的瞬间物理量的变化情况，问题就很好解了，因而，要根据题目的条件分析物理过程后再选用公式，不能随意照套公式．

例4．在质量为M 的电动机上，装有质量为ｍ的偏心轮，偏心轮转动的角速度为ω，当偏心轮重心在转轴正上方时，电动机对地面的压力刚好为零；则偏心轮重心离转轴的距离多大?在转动过程中，电动机对地面的最大压力多大?

[解析]设偏心轮的重心距转轴ｒ，偏心轮等效为用一长为ｒ的细杆固定质量为ｍ(轮的质量)的质点，绕转轴转动，如图4-3-7，轮的重

心在正上方时，电动机对地面的压力刚好为零，则此时偏心轮对电动机向上的作用力大小等于电动机的重力，即：

F =M ｇ ①

根据牛顿第三定律，此时轴对偏心轮的作用力向下，大小为F =M ｇ，

其向心力为：

F +mg =m ω2r ②

由①②得偏心轮重心到转轴的距离为：

r =(M +m )g /(m ω2) ③

当偏心轮的重心转到最低点时，电动机对地面的压力最大．

对偏心轮有：F '-mg =m ω2r ④

对电动机，设它所受支持力为F N ，F N =F '+Mg ⑤ 由③、④、⑤解得F N =2(M +m )g

由牛顿第三定律得，电动机对地面的最大压力为2(M +m )g

图4-3-6 O L

图4-3-7

m

r

O

[点评]本题中电动机和偏心轮组成为一个系统，电动机对地面刚好无压力，是偏心轮运动的结果，因而把它们隔离开来进行研究思路比较清晰；先以电动机为研究对象，再以偏心轮为研究对象，分别列方程，再利用牛顿第二定律把它们联系起来即可求解；另外还要找出最高点和最低点这两个临界状态．

例5．在一根长为L 的不计质量的细杆中点和末端各连一质量为m 的小球B 和C ，如图4-3-8所示，杆可以在竖直平面内绕固定点A 转动，将杆拉到某位置放开，末端C 球摆到最低位置时，杆BC 受到的拉力刚好等于C 球重的2倍．求：（g =10m/s 2） （1）C 球通过最低点时的线速度； （2）杆AB 段此时受到的拉力．

[解析]（1）C 球通过最低点时，受力如图且作圆周运动

F 向=T BC -mg

即2mg -mg =L

v m C

2

得c 球通过最低点时的线速度为：v C =gL

（2）以最低点B 球为研究对象，

其受力如图4-3-9所示，B 球圆周运动的F 向=T AB -mg -2mg

即T AB -3mg =2/2L v m B ，且v B =2

1

v C

得杆AB 段此时受到的拉力为：T AB =3．5mg

[点评]此题涉及到两个物体，按常规要分别研究各个物体，分别列

出方程，此时还不能求解，必须还要找到两个物体联系的量再列一个方程才能求解，因而，找到两个物体物理量间的联系是解题的关

键；本题中两球固定在一轻杆上，它们的角速度相同是个隐含条件．

四、变式迁移

1．一圆柱形飞船的横截面半径为r ，使这飞船绕中心轴O 自转，从而给飞船内的物体提供了“人工重力”，如图4-3-10所示；若飞船绕中心轴O 自转的角速度为ω，那么“人工重力”中的“重力加速度g ”的值与离开转轴O 的距离L 的关系是（其中k 为比例系数） （ ） A ．g k L = B ． g = kL C ．k

g L = D ．g L

=

T AB

C A

B

T BC

=2mg mg mg

图4-3-9

C

A B

图4-3-8

图4-3-10

2．在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108km/h ．汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍．如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？如果高速路上设计了圆弧拱桥做立交桥，要使汽车能够安全通过圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是多少？（取g =10m/s 2）

五、能力突破

1．质量为m 的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动，若经最高点不脱离转道的临界速度为 v ，则当小球以2v 速度经过最高点时，小球对轨道的压力大小为（ ） A ．0 B ．mg C ．3mg D ．5mg

2．如图4-3-11所示，有一小球质量为m ，用轻绳AB 和BC 连接处于静止状态，AB 沿水平方向，BC 与竖直方向成角θ．则在剪断AB 后的瞬间（球未摆动），绳BC 所受拉力与原来受的拉力的比等于（ ）

A ．cos 2θ

B ．sin 2θ

C ．1/cos 2θ

D ．1/sin 2θ

3．细杆可绕过一端的光滑水平轴自由转动，杆的另一端系一个小球，使杆绕轴转动，小球在竖直平面内做圆周运动．小球到达最高点时，杆对球的作用力设为F 1；小球到达最低点时，杆对球的作用力设为F 2．关于细杆对小球的作用力F 1和F 2，可能是（ ） A ．F 1＝0 B ．F 2＝0 C ．F 1和F 2的方向都向上 D ．F 1和F 2的方向都向下

4．一质量为m 的物体，沿半径为R 的向下凹的圆形轨道滑行，如图4-3-12所示，经过最低点的速度为v ，物体与轨道之间的动摩檫因数为μ，则它在最低点时受到的摩檫力为（ ） A ．μmg B ．μmv 2/R C ．μm (g +v 2/R ) D ．μm (g -v 2/R )

5．长为L 的细杆一端拴一小球，可绕另一端在竖直面内做圆周运动，小球在最高点的速度为v ，下列说法正确的是（ ）

A ．v 越大，球在最高点受到的合外力越大

B ．v 越大，球在最高点受到的向心力越大

C ．v 越大，球在最高点对杆的作用力越大

D ．v 至少要大小gL

6．如图4-3-13所示，将完全相同的两小球A ，B 用长L =0．8m 的细绳，悬于以v =4m/s 向左匀速运动的小车顶部，两球的小车前后壁接触．由于某种原因，小车突然停止，此时悬线中张力之比T A ：T B 为（g =10m/s 2）（ ） A ．1：1 B ．1：2 C ．1：3 D ．1：4

7．一小球用轻绳悬挂在某固定点．现将轻绳水平拉直，然后由静止开始释放小球．考虑小球由静止开始运动到最低位置的过程．( ) A ．小球在水平方向的速度逐渐增大 B ．小球在竖直方向的速度逐渐增大 C ．到达最低位置时小球线速度最大

D ．到达最低位置时绳中的拉力等于小球重力

8．如图4-3-14所示， 在内壁光滑的平底试管内放一个质量为1g 的小球， 试管的开口端加盖与水平轴O 连接． 试管底与O 相距5cm ， 试管在转轴带动下沿竖直平面做匀速圆周运动． 求：

(1) 转轴的角速度达到多大时， 试管底所受压力的最大值等于最小值的3倍．

(2) 转轴的角速度满足什么条件时，会出现小球与试管底脱离接触的情况? g 取10m/s 2．

9．如图4-3-15所示，一根跨越一固定的水平光滑细杆的轻绳，两端各系一个小球．球a 置于地面，球b 被拉到与细杆同一水平的位置．在绳刚拉直时放手，使球b 从静止状态向下摆动．当摆到Ob 段轻绳与竖直方向的夹角为600时，球a 刚要离地，求球a 质量与球b 质量之比．(已知图中Ob 段的长度小于Oa 段的长度) 图

4-3-15

图4-3-14 图4-3-13

10．如图4-3-16所示，在倾角为α=300的光滑斜面上，有一根长为L=0.8m的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为m=0.2kg的小球，沿斜面作圆周运动，试计算：

（1）小球通过最高点A的最小速度．

（2）若细绳的抗拉力为F max=10N，小球在最低点B的最大速度是多少？