概率论与数理统计样卷2参考答案

一、单选题（每小题3分，共30分）请将答案填写在相应括弧内。 1. A 与B 是两个随机事件，则“A 和B 均不发生”可表示为 ( C )。

(A)A B ?；

(B) AB ；

(C) A B ；

(D) A B ?

2. A 与B 是相互独立的随机事件，P (A )=0.3, P (B )=0.5, 则P (B |A ) = ( B )。

(A)0.3； (B)0.5； (C) 0； (D) 0.15 3. 设F(x)是随机变量X 的分布函数，则F(x)具有性质( A )。 x x x x x x x x A F x 0F x 1B F x 1F x 0C F x 0F x 0D F x F x →-∞

→+∞

→-∞

→+∞

→-∞

→+∞

→-∞

→+∞

=======-∞=+∞()lim (),lim (),()lim (),lim (),

()lim (),lim (),

()lim (),lim ().

4. 设随机变量X 的数学期望EX =3，则E (2X+4) = ( D )。 (A) 3； (B)4； (C)6； (D)10。

5. 设随机变量X 的数学期望DX =5，则D (4X+2) = ( C )。 (A) 20； (B)22； (C)80； (D)84。

6. 设随机变量X 服从泊松分布P(5)，则EX 和DX 分别等于 ( A )。 (A) 5, 5； (B)5, 25； (C)0.2, 0.2； (D)0.2, 0.04。

7. 设随机变量X 服从标准正态分布N(0，1)，则P(|X |<2)约等于( B )。 (A) 0.99； (B) 0.95； (C) 0.90； (D) 0.68

8. 概率论中论证随机变量的和的极限分布趋于正态分布的定理统称为 ( A )。 (A)中心极限定理； (B)大数定律； (C)不动点原理； (D)小概率事件实际不可能原理。

9. 设随机变量X 和Y 的相关系数R(X,Y)= -0.7，则X 与Y 是( B )。 (A)正相关的； (B)负相关的； (C)不相关的； (D)独立的。

10. 设?θ

是总体参数θ的点估计量。若E θ=θ?()，称θ?是θ的( D )估计量。

(A)相合；

(B)非负；

(C)有效；

(D)无偏

二、计算题（共5小题，每小题8分，共40分）

1.设两事件A 与B 相互独立，且()0.5,()0.7P A P B ==，求P (AB )和P (A ?B )。 解：因为A 与B 相互独立，所以 P(AB)P(A)P(B)0.50.70.35=?=?=

(4分) ()()P A B P A P(B)P(AB)0.50.70.350.85?=+-=+-=

(4分)

2.一箱中共有90个白球，10个黑球。每次从箱中任取一球，取出的球不再放回。求第一次取到白球的概率和第二次才白球的的概率。 解：令A i 与表示第i 次取到白球，则

1909

P(A )10010

=

= (4分) ()()()1212110901P A A P A A |A 1009911

==

?=

(4分)

3.盒中有8个白球和2个黑球。从盒中任取3个球，求在3个球中恰有2个白球的概率。 解：令A 表示在任取的三个零件中，有2个正品和1个次品，则

()2182310

C C

P A C =

(4分)

87

2

56721109812015321

???===????

(4分)

4. 设随机变量X 的密度函数为 2,01;

()0,x x f x <

其它.，求X 的分布函数F(x)和概率P(X<0.5)。

解，X 的分布函数为

200()0111.x F x x x x

, , , ，

， (4分)

()0.5(0.5)(0)0.2500.25P X F F ≤-=-==

(4分)

5.设随机变量X 的密度函数为 ,02;

()0,<

其它.Ax x f x ，求参数A 和和数学期望EX 。

解: 因为

f (x)dx 1∞

-∞

=?

所以

2220

01A

f (x)dx Axdx A x (40)2A,A 0.52

2

∞

-∞===

-==?? (4分) 222

320001EX x 0.5xdx 0.5x dx 0.5x 0.25(10.25)0.18753

=?==?=-=??

(4分)

三、应用题（共3小题，每小题6分，共18分）

1. 在晚上8到10点上网高峰期，对某小区网速进行了五次测量，测量数据为(单位: M/s): 1.5,

2.1, 1.8, 2.4,1.2。根据试测量数据计算该小区网速的平均值和标准差(要求写出计算公式)。

解： 1119

(1.5 2.1 1.8 2.4 1.2) 1.855

n i i x x n ===++++==∑

(2分) 2

222222111()[(1.5 1.8)(2.1 1.8)(1.8 1.8)(2.4 1.8)(1.2 1.8)]14

n i

i s x x n ==-=-+-+-+-+--∑ 2222210.9[0.30.300.60.6]0.22544

=++++== (2分

) 0.15s

(2分)

2.

求该厂产品的合格率。

解：令Ai 表示产品由生产线i 生产，B 表示产品是合格品。

由上表数据知

112233(A )0.3,(B|A )0.95;

(A )0.4,(B|A )0.90;(A )0.3,(B|A )0.85;

P P P P P P ======

（2分） 由全概率公式有

112233(B)(A )(B|A )(A )(B|A )(A )(B|A )P P P P P P P =++

0.40.90.30.80.30.7

0.360.240.210.81

=?+?+?=++=

即该厂产品合格率为81%。 （4分）

3. 某车间有100台同型号车床。每台车床是独立运行的。若每台车床的实际工作实际只占全部工作时间的80%，试计算任一时刻有至少有60台车床正在运行的概率。 解：令x 表示正在运行的车床数，

则 x~B(100,0.80)，EX=80, DX=16， 由中心极限定理，有

(60)1(60)P x P x >=-≤

（2分） 806080

1(

)1(5)44

x P P z --=-≤=-≤- （2分） 1(5)101≈-Φ-≈-=

（2分）

四、综合题（共2小题，每小题6分，共12分）

1. 已知随机变量X 服从均匀分布U(0, 4)，Y=2X ，求Y 的密度函数。

解：因为 0.25,04;

()0,X x f x <

?

其它.

（2分）

1

()0.0250.125,042222Y X y y y f y f '????==?=<< ? ?????

（2分）

0.125,08;()0,Y y f y <

?

其它. （2分）

2. 设12,,,n x x x 是总体X 的一组样本观测值。X 的密度函数(),0;

,0,-?>=??

其它x e x f x λλλ

其中λ (>0)未知，求λ的最大似然估计。

解：

()i n n

x 12n i i 1

i 1

L(x ,x ,

,x ,)f (x ,)e -λ==λ=λ=λ∏∏

n

i

i 1

x n

i e

(x 0)=-λ

∑=λ>

(2分)

n

i i 1

ln L()n ln x =λ=λ-λ∑

令

()n

i i 1d ln L()n x 0d =λ=-=λλ∑

(2分) 解得最大似然估计

n

i

i 1

n 1?x

x =λ==∑

(2分)