中考专题培优训练-专题15《角含半角模型》
专题15《角含半角模型》
破题策略
1．等腰直角三角形角含半角
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在BC上且∠DAE＝45°
（1）△BAE∽△ADE∽△CDA
（2）BD2＋CE2＝DE2．
B C
证明（1）易得∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠EAB，
所以△BAE∽△ADE∽△CD A．
（2）方法一（旋转法）：如图1，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连结EF．
B C
则∠EAF＝∠EAD＝45°，AF＝AD，
所以△ADE∽△FAE （SAS）．
所以DE＝EF．
而CF＝BD，∠FCE＝∠FCA＋∠ACE＝90°，
所以BD2＋CE2＝CF2＋CE2＝EF2＝DE2．
方法二（翻折法）：如图2，作点B 关于AD 的对称点F，连结AF，DF，EF．
B C
因为∠BAD＋∠EAC＝∠DAF＋∠EAF，
又因为∠BAD＝∠DAF，
则∠FAE＝∠CAE，AF＝AB＝AC，
所以△FAE∽△CAE（SAS）．
所以EF＝E C．
而DF＝BD，∠DFE＝∠AFD＋∠AFE＝90°，
所以BD2＋EC2＝FD2＋EF2＝DE2．
【拓展】①如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在BC 上，点E在BC的延长线上，且∠DAE＝45°，则BD2＋CE2＝DE2．
可以通过旋转、翻折的方法来证明，如图：
②将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在
BC上，且∠DAE＝1
2
∠BAC，则以BD，DE，EC为三边长的三角形有一个内角度数为180°
－∠BA C．
B
可以通过旋转、翻折的方法将BD，DE，EC转移到一个三角形中，如图：
B
B
2． 正方形角含半角
如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF ＝45°，连结EF ，则：
图1
B
C
E
图
2
F B
图3
F E
B
C
（1）EF ＝BE ＋DF;
（2）如图2，过点A 作AG ⊥EF 于点G ，则AG ＝AD ;
（3）如图3，连结BD 交AE 于点H ，连结FH ． 则FH ⊥AE ．
（1）如图4，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADI 证明．
图4
E
D
则∠IAF ＝∠EAF ＝45°，AI ＝AE ， 所以△AEF ∽△AIF （SAS ），
所以EF ＝IF ＝DI ＋DF ＝BE ＋DF ．
（2）因为△AEF ∽△AIF ，AG ⊥EF ，AD ⊥IF ， 所以AG ＝A D ．
（3）由∠HAF ＝∠HDF ＝45°可得A ，D ，F ，H 四点共圆， 从而∠AHF ＝180°－∠ADF ＝90°， 即FH ⊥AE ．
【拓展】①如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边CB ，DC 的延长线上，∠EAF ＝45°，连结EF ，则EF ＝DF －BE ．
F
可以通过旋转的方法来证明.如图:
②如图，在一组邻边相等、对角互补的四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD +∠C =180 °，点E ，F 分别在BC 、CD 上，∠EAF =
1
2
∠BAD ，连结EF ，则
EF=BE+DF. F
C
可以通过旋转的方法来证明.如图:
F
C
G
例题讲解
例1 如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF ＝45°.
（1） 试判断BE 、EF 、FD 之间的数量关系.
（2） 如图2，在四边形ABCD 中，∠BAD ≠90°，AB ＝AD ．∠B ＋∠D ＝180°，点E 、
F 分别在BC 、CD 上，则当∠EAF 与∠BAD 满足 关系时，仍
有EF ＝BE ＋FD .
（3）如图3．在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD .已知AB ＝AD ＝80m ，∠B ＝60°，∠ADC ＝120°，∠BAD ＝150°，道路BC ，CD 上分别有景点
E ，
F ，且AE ⊥AD ．DF ＝40
1）m ．现要在E 、F 之间修一条笔直的道路，求
这条道路EF 1.41 1.73）
图1
F
A
B
E
图2
D 图3
E
B
解： （1）由“正方形内含半角模型”可得EF ＝BE ＋FD ． （2）∠BAD ＝2∠EAF ，理由如下：
如图4，延长CD 至点G ，使得DG ＝BE ．连结AG. 易证△ABE ≌△ADG （SAS ）. 所以AE ＝AG ，
即EF ＝BE ＋DF ＝DG ＋DF ＝GF .
从而证得△AEF ≌△AGF （ SSS ）．
所以∠EAF ＝∠GAF ＝
12∠EAG ＝1
2
∠BAD . 图4
图5
C
B
E
（3）如图5，将△ABE 绕点A 逆时针旋转1 50°至△ADG ．连结AF ．
由题意可得∠BAE ＝60°
所以△ABE 和△ADG 均为等腰直角三角形. 过点A 作 AH ⊥DG
于点H ．则
DH ＝
1
2
AD ＝40m
，AH ＝2
AD ＝ m.
而DF ＝401）m. 所以∠EAF ＝∠GAF ＝45°.
可得△EAF
≌△GAF （SAS ）．
所以EF ＝GF ＝80m+40l ）m ≈109. 2m.
例2如图，正方形ABCD 的边长为a ，BM 、DN 分别平分正方形的两个外角，且满足∠MA N ＝45°．连结MC 、NC 、MN ．
（1）与△ABM 相似的三角形是 ，BMDN ＝ （用含有a 的代数式表示）； （2）求∠MCN 的度数；
（3）请你猜想线段BM 、DN 和MN 之间的等量关系，并证明你的结论.
B
解：（1）△NDA ，2
a . （2）由（1）可得BM AB
AD ND
=
， 所以
BM DC
BC DN
=
． 易证∠CBM ＝∠NDC ＝45°， 所以△BCM ∽△DNC ． 则∠BCM ＝∠DNC ，所以
∠MCN =360°一∠BCD 一∠BCM 一∠DCN ＝270°－ （∠DNC +∠DCN ） ＝270°－（180°－∠DNC ） ＝135°．
（3） 2
2
2
BM DN MN +=，证明如下：
如图，将△ADN 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ，连结EM. 易得AE ＝AN . ∠MAE ＝∠MAN ＝45°，∠EBM ＝90°， 所以△A ME ≌△AMN .（SAS ）. 则ME ＝MN ．
在Rt △BME 中，222
BM BE EM += 所以2
2
2
BM DN EM +=.
E
N
倒 3 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＋AD ，∠DAC ＝45°，E 为CD 上一点，且∠BAE ＝45°.若CD ＝4，求△ABE 的面积.
图1
E
解：如图1．过点A 作CB 的垂线，交CB 的延长线于点F .由∠DAC =45°，∠ADC ＝90°，可得AD ＝CD.
所以四边形ADCF 为正方形. 从而AF ＝ FC ＝4．
令BC ＝m ，则AB ＝4＋m ，BF ＝4－m ．
在Rt △AFB 中，有16＋（4－m ）2一（4＋m ）2
所以AB ＝5，BF ＝3．
如图2．将△ADE 绕点A 逆时针旋转90°至△AFG. 易证△AGH ≌△AEB ．
令DE ＝n ，则CE ＝4 －n ，BE ＝BG ＝3＋n
在Rt △BCE 中，有1+（4－n ）2
＝（3＋n ）2
，解得n ＝47
. 所以BG ＝
257
. 从而15027
ABE ABG S S AF BG ??==
=
. 图2
E
进阶训练
1.如图，等边△ABC 的边长为1，D 是△ABC 外一点且∠BDC ＝120°，BD ＝CD ，∠MDN ＝60°，求△AMN 的周长．
B
C
△AMN 的周长是2
【提示】如图，延长AC 至点E ，使得CE ＝BM ，连结DE .先证△BMD ≌△CED ，再证△MDN ≌△EDN 即可.
2．如图，在正方形ABCD 中，连结BD ，E 、F 是边BC ，CD 上的点，△CEF 的周长是正方形ABCD 周长的一半，AE 、AF 分别与BD 交于M 、N ，试判断线段BM 、DN 和MN 之间的数量关系，并证明．
N
M
C
D
F
E B
A
解：BM 2
＋DN 2
＝MN 2
．
【提示】由△CEF 周长是正方形ABCD 周长的一半，想到“正方形角含半角”，从而旋转构造辅助线解决问题（如图1），证△AEF ≌△AGF ，得∠MAN ＝1
2
∠BAD ＝4，然后，再由“等腰直角三角形含半角”（如图2）即可证得．
图2
图1
A
F
D
D
F
A
3．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在边AB 上，DE ⊥BC 于点E ，且DE ＝BC ，点F 在边AC 上，连结BF 交DE 于点G ，若∠DBF ＝45°，DG ＝
27
5
，BE ＝3，求CF 的长． G F E
D
C
B
A
解：CF ＝
125
． 【提示】如图，将DE 向左平移至BH ，连结HD 并延长交AC 于点I ，则四边形HBCI 为正方形．将△BHD 绕点B 顺时针旋转90°至△BCJ ，则点J 在AC 的延长线上．连结DF ，由“正方形角含半角模型”可得DF ＝DH ＋CF ，∠DFB ＝∠JFB ＝∠DGF ，所以DF ＝DG ，从而求得CF 的长．
J
I
H
A
B
C D
E
F G