高中数学竞赛专题精讲11数列(含答案)

11数列

一、数列的基础知识

1．数列{a n }的通项a n 与前n 项的和S n 的关系

它包括两个方面的问题：一是已知S n 求a n ，二是已知a n 求S n ；

2．递推数列，解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系，设法转化为等差数列与等比数列的有关问题，然后解决。

常见类型：

类型Ⅰ：?

??=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归）其特例为：（1）)0(1≠+=+p q pa a n n （2）)0()(1≠+=+p n q pa a n n

（3）)0()(1≠+=+p q a n p a n n

解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。

类型Ⅱ：???==≠≠+=++为常数）b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(21

12（二阶递归）解题方法:利用特征方程x 2=px+q ,求其根α、β,构造a n =Aαn +Bβn ，代入初始值求得B A ,。类型Ⅲ：a n+1=f (a n )其中函数f (x )为基本初等函数复合而成。

解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。

二、等差数列与等比数列

1．定义：

2．通项公式与前n 项和公式：

函数的思想：等差数列可以看作是一个一次函数型的函数；等比数列可以看作是一个指数函数型的函数。可以利用函数的思想、观点和方法分析解决有关数列的问题。

三．等差数列与等比数列数列问题的综合性和灵活性如何表现？

数列问题的综合性主要表现在

1．数列中各相关量的关系较为复杂、隐蔽．

2．同一问题中出现有若干个相关数列，既有等差或等比数列，也有非等差，非等比的数列，需相互联系，相互转换．

数列问题的灵活性表现在：

1．需灵活应用递推公式，通项公式，求和公式，寻求已知与所求的关系，减少中间量计算．

2．需灵活选用辅助数列，处理相关数列的关系．

例题讲解

1．已知(b －c )log m x +(c －a )log m y +(a －b )log m z ＝0 ①

(1) 若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差不为0，求证x 、y 、z 成等比数列；

(2) 若x 、y 、z 依次成等比数列，且公比不为1，求证a 、b 、c 成等差数列．

2. 数列｛a n ｝的前 n 项和S n ＝a · 2n + b （n ∈N ），则｛a n ｝为等比数列的充要条件是________．

3.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若S7＝56，S n＝420，a n－3＝34，则n＝________．

4. 等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求S13

5. 各项均为实数的等比数列{an}的前n项之和为S n，若S10=10，S30=70，求S40。

6. 设{a n}是首项为1的正项数列，且(n+1)a n+12-na n2+a n+1a n=0，(n=1,2,3,…),则它的通项公式是a n= .

7．已知f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，且a1,a2,a3,…,a n组成等差数列（n为正偶数），又f(1)=n2,f(-1)=n；

（1）求数列{a n}的通项a n；

（2）试比较f(0.5)与3的大小，并说明理由。

8．在1与2之间插入个正数a1,a2,a3,…,a n，使这n+2个正数成等比数列；又在1与2之间插入个正数b1,b2,b3,…,b n，使这n+2个正数成等差数列。记A n=a1a2a3…a n,B n=b1+b2+b3+…+b n.

（1）求数列{A n}和{B n}的通项；

（2）当n≥7时，比较A n与B n的大小，并证明你的结论。

9. 设任意实数x ,y 满足|x |<1,|y |<1,求证：

(第19届莫斯科数学竞赛

试题)

10. 从n 个数1,a , a 2,…, a n (a >2)中拿走若干个数，然后将剩下的数任意分成两个部分，证明：这两部分之和不可能相等

11.已知a 1=2，a n=1n 2a 2-+，求数列{a n }的通项公式。

12.正整数k ，g （k ）表示k 的最大奇因子（例如g （3）=3，g （20）=5），求g （1）+ g （2）

+ g （3）+……..+ g（2n ）(其中n∈N*)

13.将数字1，2，3，……..，n 填入标号为1，2，3，……，n 的n 个方格内，每格一个数字，则标号与数字均不相同的填法有多少种？

14.用1，2，3三个数字写n 位数，要求数中不出现紧挨着的两个1，问能构成多少个n 位数？

15.设数列{a n }和{b n }满足a 0=1，b 0=0，且???+=+=++4-7b 8a b 3-6b 7a an n 1-n 1

n n n 1 （n=0，1，2，……….）证明：a n （n=0，1，2，…..）是完全平方数

16.已知a,b 均为正整数,且a>b,sin θ=

22b a 2ab +(其中0<2πθ<),A n =(a 2+b 2)n sinnθ 求证: 对一切正整数n,

2ab

An 均为整数

17.（1）证明：; 3!

n 2n ...........!37!22)!1n (232<-+++<-- （2）求正整数a, b ，c ，使得对任意*N n ∈（n>2），有 b !

n a n ......!3a 3!2a 2)!2n (c b 333<-++-+-<--

18. 设A ，E 为正八边形的相对顶点，顶点A 处有一只青蛙，除顶点E 外青蛙可以从八边形的任一顶点跳到两相邻顶点中任一个，落到顶点E 时青蛙就停止跳动，设青蛙从顶点A 恰好跳n 次后到E 的方法数为a n ，求a n

19. 为这些排列的数目，的任意一排列，设，，，表示整数)(.....21,.......,21n f n a a a n

使得：（1）a 1=1（2）|a i -a i+1|≤2（i =1,2,……,n -1）.确定f (1996)是否能被3整除

课后练习

1设数列a 1,a 2,….,a n ,….满足a 1=a 2=1,a 3=2，且对任何自然数n , 都有a n a n +1a n +2≠1，又a n a n +1a n +2a n +3=a n +a n +1+a n +2+a n +3，则a 1+a 2+….+a 100的值是____

2设正数列a 0,a 1,a 2, ,a n , 满足

12122----=-n n n n n a a a a a (n ≥2)且a 0=a 1=1．求{a n }的通项公式．

3已知数列}{n a 满足)1(431≥=++n a a n n ,且91=a ,其前n 项之和为n S ,则满足不等式125

16<--n S n 的最小整数n 是( ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8

4设等差数列{}a n 满足35813a a =且a 10>,S n 为其前项之和，则S n 中最大的是( )

(A)S 10 (B)S 11 (C)S 20 (D)S 21

5等比数列]{n a 的首项15361=a ,公比21-

=q ,用n ∏表示它的前n 项之积。则()N n n ∈∏最大的是( )

(A)9∏ (B)11∏ (C)12∏ (D)13∏

6设数列{a n }的前项和S n =2a n -1(n=1,2,3,….)，数列{b n }满足b 1=3, b k+1=a k +b k (k=1,2,3….).求数列{b n }的前n 项和n T .

7已知数列{n x }满足11-+-=n n n x x x (n ≥2)，x 1=a , x 2=b , 记S n =x 1+x 2+…+x n ，则下列结论正确的是( )

(A )x 100=-a ,S 100=2b -a (B )x 100=-b ,S 100=2b -a

(C )x 100=-b ,S 100=b -a (D )x 100=-a ,S 100=b -a

8设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有( )

(A )2个 (B )3个 (C )4个 (D )5个

9各项均为实数的等比数列{a n }前n 项和记为S n ，若S 10=10,S 30=70，则S 40等于( )

(A) 150 (B) -200 (C) 150或-200 (D)400或-50

10等比数列a +log 23,a +log 43,a +log 83的公比是____________.

11设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N ，求f (n )=1)32(++n n

S n S 的最大值.

12设}{n a 为等差数列，为}{n b 等比数列，且()212

33222211,,a a a b a b a b <===，又()12...21lim +=+++∞→n n b b b

，试求}{n a 的首项和公差。

13如图，有一列曲线012,,,P P P ??

已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形，1k k P P +是对进行如下操作得到：将k P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外

作等边三角形，再将中间部分的线段去掉

0,1,2,n k P =n （…）记S 为曲线所围成图形的面积． ①求数列{}n S 的通项公式；②求lim n x S →∞ ．

P 0 P 1 P 2

15 已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01的值

是______。

16 在平面直角坐标系xoy 中， y 轴正半轴上的点列{}n A 与曲线x y 2=

（x ≥0）上的点列{}n B 满足n

OB OA n n 1==，直线n n B A 在X 轴上的截距为n a ，点n B 的横坐标为n b ，*∈N n 。

（Ⅰ）证明n a >1+n a >4，*∈N n 。

（Ⅱ）证明有*∈N n 0，使得对0n n ??都有n

n n n b b b b b b b b 112312...+-++++<2004-n 。

课后练习答案

1．200, 2．()()()2222112...1212---=n n a , 3．C , 4．C , 5．C

6．122-+=n n n T , 7．A, 8．C, 9．A, 10．

31 11．当n=8时，f(n)取得最大值，为501, 12．222,21-=-=d a

13．略

14．C

15．3

322--+n n 16．略