齐鲁名校教科研协作体《等比数列》单元测试题

一、等比数列选择题

1．已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，10.2b =，1112

3

3n n n a b a ++=+，11344

n n n b a b +=+，则使0.01n n a b -<成立的最小正整数n 为（ ） A ．5 B ．7

C ．9

D ．11

2．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝

（ ） A ．4

B ．5

C ．8

D ．15

3．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ） A ．

50

3

B ．

507

C ．

100

7

D ．

200

7

4．设{a n }是等比数列，若a 1 + a 2 + a 3 =1，a 2 + a 3 + a 4 =2，则 a 6 + a 7 + a 8 =（ ） A ．6

B ．16

C ．32

D ．64

5．已知数列{}n a 满足112a =

，*

11()2

n n a a n N +=∈.设2n n n b a λ-=，*n N ∈，且数列

{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ）

A ．(,1)-∞

B ．3

(1,)2

-

C ．3(,)2

-∞

D ．(1,2)-

6．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（ ） A ．24-

B ．3-

C ．3

D ．8

7．等比数列{}n a 的各项均为正数，且101010113a a =.则313232020log log log a a a +++=

（ ） A ．3

B ．505

C ．1010

D ．2020

8．已知等比数列{a n }中a 1010＝2，若数列{b n }满足b 1＝1

4

，且a n ＝1n n b b +，则b 2020＝（ ）

A ．22017

B ．22018

C ．22019

D ．22020

9．数列{}n a 是等比数列，54a =，916a =，则7a =（ ） A ．8

B ．8±

C ．8-

D ．1

10．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有

大吕

=

大吕

=

太簇．据此，可得

正项等比数列{}n a 中，k a =（ ）

A

．n -

B

．n -C

． D

． 11．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123

111

2a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A ．8

B ．7

C ．6

D ．4

12．正项等比数列{}n a 满足：241a a =，313S =，则其公比是（ ） A ．

14

B ．1

C ．

12

D ．

13

13．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S =（ ） A ．31

B ．32

C ．63

D ．64

14．设数列{}n a ，下列判断一定正确的是（ ）

A ．若对任意正整数n ，都有24n

n a =成立，则{}n a 为等比数列

B ．若对任意正整数n ，都有12n n n a a a ++=?成立，则{}n a 为等比数列

C ．若对任意正整数m ，n ，都有2m n

m n a a +?=成立，则{}n a 为等比数列

D ．若对任意正整数n ，都有

312

11

n n n n a a a a +++=??成立，则{}n a 为等比数列

15．已知等比数列{}n a 的通项公式为2*

3()n n a n N +=∈，则该数列的公比是（ ）

A ．

19

B ．9

C ．

13

D ．3

16．数列{}n a 满足：点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．4092

B ．2047

C ．2046

D ．1023

17．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a

14a =，则

14

m n +的最小值为（ ） A ．

53

B ．

32

C ．

43

D ．

116

18．已知数列{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若364,12S S ==，则12S =（ ） A ．50

B ．60

C ．70

D ．80

19．已知等比数列{}n a ，7a =8，11a =32，则9a =（ ） A ．16

B ．16-

C ．20

D ．16或16-

20．明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述

“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”.注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为（ ）

A ．3

B ．12

C ．24

D ．48

二、多选题21．题目文件丢失！

22．设数列{}n a 的前n 项和为*

()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是

（ ）

A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列

B ．若2

n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列

C ．若()11n

n S =--，则{}n a 是等比数列

D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*

32()n n S S n N -∈也成等差数列

23．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）

A ．数列{}n a 为等比数列

B ．数列{}n S n +为等比数列

C ．数列{}n a 中10511a =

D ．数列{}2n S 的前n 项和为

2224n n n +---

24．已知1a ，2a ，3a ，4a 依次成等比数列，且公比q 不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q 的值是（ ） A 15

+ B 15

-+ C 13

+ D 13

-+25．已知集合{

}*

21,A x x n n N

==-∈，{}*

2,n

B x x n N ==∈将A

B 的所有元素从

小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为（ ） A ．25

B ．26

C ．27

D ．28

26．在公比为q 等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若521127,==a a a ，则下列说法正确的是（ ）

A ．3q =

B ．数列{}2n S +是等比数列

C ．5121S =

D ．()222lg lg lg 3n n n a a a n -+=+≥

27．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．12

33

BE BA BC =

+ C ．数列{a n }为等比数列

D ．14n

n n a a +-=

28．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是（ ） A ．此人第六天只走了5里路

B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里

C ．此人第二天走的路程比全程的

1

4

还多1.5里 D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 29．设数列{}n a 满足*12335(21)2(),n a a a n a n n ++++-=∈N 记数列{

}21

n

a n +的前n 项和为,n S 则（ ） A ．12a =

B ．2

21

n a n =

- C ．21

n n

S n =

+ D ．1n n S na +=

30．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．954S =

C ．135********a a a a a +++

+=

D ．

222

122019

20202019

a a a a a +++= 31．已知数列{}n a 为等差数列，11a =，且2a ，4a ，8a 是一个等比数列中的相邻三项，记()0,1n

a n n

b a q q =≠，则{}n b 的前n 项和可以是（ ）

A ．n

B ．nq

C ．

()

12

1n n n q nq nq q q ++---

D ．

()

211

2

1n n n q nq nq q q ++++---

32．数列{}n a 为等比数列（ ）. A ．{}1n n a a ++为等比数列 B ．{}1n n a a +为等比数列

C ．{

}

22

1n n a a ++为等比数列

D ．{}n S 不为等比数列（n S 为数列{}n a 的前n 项） 33．已知等比数列{a n }的公比2

3

q =-，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有（ ） A ．a 9?a 10＜0

B ．a 9＞a 10

C ．b 10＞0

D ．b 9＞b 10

34．等比数列{}n a 中，公比为q ，其前n 项积为n T ，并且满足11a >.99100·10a a ->，991001

01

a a -<-，下列选项中，正确的结论有（ ） A ．01q << B ．9910110a a -< C ．100T 的值是n T 中最大的

D ．使1n T >成立的最大自然数n 等于198 35．对于数列{}n a ，若存在数列{}n b 满足1

n n n

b a a =-

（*n ∈N ），则称数列{}n b 是{}n a 的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（ ） A ．若数列{}n a 是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；

B ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最大值；

C ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最小值；

D ．若112n

n a ??=-- ???，则其“倒差数列”有最大值.

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一、等比数列选择题 1．C 【分析】

令n n n c a b =-，由1112

3

3n n n a b a ++=+

，11344

n n n b a b +=+可知数列{}n c 是首项为1.8，公比为12的等比数列，即1

1.812n n c -?? ?

??

=?，则1

10.0121.8n -??< ?

??

?，解不等式可得n 的最小

值. 【详解】

令n n n c a b =-，则11120.2 1.8c a b =-=-=

1111131313

4444412123334

3n n n n n n n n n n n

n c a b a b a b b a a a b ++++??=-=+--=+-- ??+?111222

n n n a b c -== 所以数列{}n c 是首项为1.8，公比为12的等比数列，所以1

1.812n n c -?? ?

??

=?

由0.01n n a b -<，即1

10.0121.8n -??< ?

??

?，整理得12180n ->

由72128=，82256=，所以18n -=，即9n =

故选：C. 【点睛】

本题考查了等比数列及等比数列的通项公式，解题的关键是根据已知的数列递推关系式，利用等比数列的定义，得到数列{}n c 为等比数列，考查了学生的分析问题能力能力与运算求解能力，属于中档题. 2．C 【分析】

由等比中项，根据a 3a 11＝4a 7求得a 7，进而求得b 7，再利用等差中项求解. 【详解】 ∵a 3a 11＝4a 7， ∴2

7a ＝4a 7， ∵a 7≠0， ∴a 7＝4， ∴b 7＝4， ∴b 5＋b 9＝2b 7＝8． 故选：C 3．D 【分析】

设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，利用等比数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】

5斗50=升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，

由题意可知a 1，a 2，a 3构成公比为2的等比数列，且S 3＝50，则(

)3

11212

a --＝50，

解得a 1＝507

，所以牛主人应偿还粟的量为2

3120027a a ==

故选：D

4．C 【分析】

根据等比数列的通项公式求出公比2q ，再根据等比数列的通项公式可求得结果.

【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q ，

则234123()2a a a a a a q ++=++=，又1231a a a ++=，所以2q

，

所以55

678123()1232a a a a a a q ++=++?=?=.

故选：C ． 5．C 【分析】 由*11()2n n a a n N +=

∈可知数列{}n a 是公比为2的等比数列，1

2

n n a =，得2(2)2n n n

n b n a λ

λ-=

=-，结合数列{b n }是单调递增数列，可得1n n b b +＞对于任意的*n N ∈*恒成立，参变分离后即可得解．

【详解】 由*11

()2

n n a a n N +=

∈可知数列{}n a 是公比为2的等比数列， 所以1111()222

n n n a -=

=， 2(2)2n n n

n b n a λ

λ-=

=- ∵数列{n b 是单调递增数列， ∴1n n b b +＞对于任意的*n N ∈*恒成立， 即1

(12)2

(2)2n n n n λλ++->-，整理得：2

2

n λ+<

3

2λ∴＜ ，

故选：C. 【点睛】

本题主要考查了已知数列的单调性求参，一般研究数列的单调性的方法有： 一、利用数列单调性的定义，由1n n a a +>得数列单增，1n n a a +<得数列单减； 二、借助于函数的单调性研究数列的单调性. 6．A 【分析】

根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差d ，由此求得{}n a 的前6项的和. 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，由2a 、3a 、6a 成等比数列可得2

326a a a =，

即2

(12)(1)(15)d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-， 故{}n a 前6项的和为616(61)6(61)

661(2)2422

S a d ?-?-=+=?+?-=-. 故选：A 7．C 【分析】

利用等比数列的性质以及对数的运算即可求解. 【详解】

由120202201932018101010113a a a a a a a a =====，

所以313232020log log log a a a ++

+

()10103101010113log log 31010a a ===.

故选：C 8．A 【分析】

根据已知条件计算12320182019a a a a a ????的结果为

2020

1

b b ，再根据等比数列下标和性质求解出2020b 的结果. 【详解】 因为1

n n n

b a b +=

，所以3201920202020

24

12320182019123

201820191

b b b b b b a a a a a b b b b b b ????=

????

?=， 因为数列{}n a 为等比数列，且10102a =， 所以()()

()123

201820191201922018100910111010a a a a a a a a a a a a ???=??????

22

22019

201910101010

1010101010102a a a a a =???==

所以20192020

12b b =，又114

b =，所以201720202b =， 故选：A. 【点睛】

结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若(

)*

2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，

（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2

m n p q t a a a a a ?=?=.

9．A 【分析】

分析出70a >，再结合等比中项的性质可求得7a 的值.

【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q ，则2

750a a q =>，

由等比中项的性质可得2

75964a a a ==，因此，78a =.

故选：A. 10．C 【分析】

根据题意，由等比数列的通项公式，以及题中条件，即可求出结果. 【详解】

因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为

11n n a a q -=

，所以q =

所以11

1

111k k n n k a a a a a ---?? ?

?== ?

?

?

1111

n k k n n n

a a

----==? 故选：C. 11．A 【分析】

利用已知条件化简，转化求解即可． 【详解】

已知{}n a 为等比数列，132

2a a a ∴=，且22a =，

满足131233

2

1231322111124

a a a a a S a a a a a a a +++++=+===，则S 3＝8． 故选：A ． 【点睛】 思路点睛：

（1）先利用等比数列的性质，得132

2a a a ∴=，

（2）通分化简3

12311124

S a a a ++==. 12．D 【分析】

根据241a a =，由2

243a a a =，解得31a =，再根据313S =求解.

【详解】

因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，

由于2

243a a a =，

所以2

31a =，31a =，211a q =.

因为313S =， 所以1q ≠. 由()()31231111a q S a q q q

-=

=++-

得2

2

131q q q =++， 即2

1210q q --=， 解得13q =，或1

4

q =-（舍去）. 故选：D 13．C 【分析】

根据等比数列前n 项和的性质列方程，解方程求得6S . 【详解】

因为n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，所以2S ，42S S -，64S S -成等比数列， 所以()()242264S S S S S -=-，即()()62

153315-=-S ，解得663S =. 故选：C 14．C 【分析】

根据等比数列的定义和判定方法逐一判断. 【详解】

对于A ，若24n n a =，则2n

n a =±，+1+12n n a =±，则

1

2n n

a a +=±，即后一项与前一项的比不一定是常数，故A 错误；

对于B ，当0n a =时，满足12n n n a a a ++=?，但数列{}n a 不为等比数列，故B 错误； 对于C ，由2

m n

m n a a +?=可得0n a ≠，则+1

+12

m n m n a a +?=，所以1+1

222

n n m n m n a a +++==，故{}n a 为公比为2的等比数列，故C 正确；

对于D ，由312

11

n n n n a a a a +++=??可知0n a ≠，则312n n n n a a a a +++?=?，如1，2，6，12满

足312n n n n a a a a +++?=?，但不是等比数列，故D 错误. 故选：C. 【点睛】

方法点睛：证明或判断等比数列的方法，

（1）定义法：对于数列{}n a ，若

()1

0,0n n n

a q q a a +=≠≠，则数列{}n a 为等比数列； （2）等比中项法：对于数列{}n a ，若()2

210n n n n a a a a ++=≠，则数列{}n a 为等比数列；

（3）通项公式法：若n n a cq =（,c q 均是不为0的常数），则数列{}n a 为等比数列；

（4）特殊值法：若是选择题、填空题可以用特殊值法判断，特别注意0n a =的判断. 15．D 【分析】

利用等比数列的通项公式求出1a 和2a ，利用2

1

a a 求出公比即可 【详解】

设公比为q ，等比数列{}n a 的通项公式为2*

3()n n a n N +=∈，

则3

1327a ==，4

2381a ==，2

1

3a q a ∴

==， 故选：D 16．A 【分析】

根据题中条件，先得数列的通项，再由等比数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】

因为点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上， 所以()12

,2n

n a n N n -=∈≥，因此()12n n a n N ++=∈，

即数列{}n a 是以4为首项，以2为公比的等比数列， 所以{}n a 的前10项和为()10412409212

-=-.

故选：A. 17．B 【分析】

设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，由7652a a a =+，可得2

2q q =+，解得2q

，

根据存在两项m a 、n a

14a =

14a =，6m n +=．对m ，n 分类讨论即可得出． 【详解】

解：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >， 满足：7652a a a =+，

22q q ∴=+，

解得2q

，

存在两项m a 、n a 14a =，

∴14a =，

6m n ∴+=，

m ，n 的取值分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，

则

14m n

+的最小值为143242+=．

故选：B ． 18．B 【分析】

由等比数列前n 项和的性质即可求得12S . 【详解】 解：

数列{}n a 是等比数列，

3S ∴，63S S -，96S S -，129S S -也成等比数列，

即4，8，96S S -，129S S -也成等比数列， 易知公比2q

，

9616S S ∴-=，12932S S -=，

121299663332168460S S S S S S S S =-+-+-+=+++=.

故选：B. 19．A 【分析】

根据等比数列的通项公式得出6

18a q =，10

132a q

=且10a >，再由

819a a q ==.

【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q ，则6

18a q =，10

132a q

=且10a >

则81916a q a ====

故选：A 20．C 【分析】

题意说明从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为1a ，由系数前n 项和公式求得1a ，再由通项公式计算出中间项． 【详解】

根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为

1a ，则有()717

1238112

a S ?-=

=-，解得13a =，中间层灯盏数3

4124a a q ==，

故选：C.

二、多选题 21．无

22．BCD 【分析】

利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】

选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:

2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;

选项C: ()11n

n S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==?-≥,当1n =时也成立，

12(1)n n a -∴=?-是等比数列，故对;

选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*

32()n n S S n N -∈是等差数

列，故对; 故选：BCD 【点睛】

熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键. 23．BCD 【分析】

由已知可得

11222n n n n S n S n

S n S n

++++==++，结合等比数列的定义可判断B ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断A ；由{}n a 的通项公

式，可判断C ；

由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D . 【详解】

因为121n n S S n +=+-，所以

11222n n n n S n S n

S n S n

++++==++．

又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故B 正确；

所以2n n S n +=，则2n

n S n =-．

当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11

121a -≠-，故A 错误；

由当2n ≥时，1

2

1n n a -=-可得91021511a =-=，故C 正确；

因为1

222n n S n +=-，所以2

3

1

1222...2221222...22n n S S S n ++++=-?+-?++-

()()()231

22

412122 (2)

212 (22412)

2n n n n n n n n n ++--??=+++-+++=

-+=---??-?

? 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】

关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由

121n n S S n +=+-可有目的性的构造为1122n n S S n n +++=+，进而得到

11222n n n n S n S n

S n S n

++++==++，说明数列{}n S n +是等比数列，这是解决本题的关键所在，

考查了推理运算能力，属于中档题, 24．AB 【分析】

因为公比q 不为1，所以不能删去1a ，4a ，设等差数列的公差为d ，分类讨论，即可得到答案 【详解】

解：因为公比q 不为1，所以不能删去1a ，4a ，设等差数列的公差为d ， ①若删去2a ，则有3142a a a =+，得231112a q a a q =+，即2321q q =+， 整理得()()()2

111q

q q q -=-+，

因为1q ≠，所以21q q =+， 因为0q >

，所以解得12

q +=

， ②若删去3a ，则2142a a a =+，得31112a q a a q =+，即3

21q q =+，

整理得(1)(1)1q q q q -+=-，因为1q ≠，所以(1)1q q +=， 因为0q >

，所以解得q =，

综上12q +=

或12

q -+=， 故选：AB 25．CD 【分析】

由题意得到数列{}n a 的前n 项依次为2

3

1,2,3,2,5,7,2,9

，利用列举法，结合等差数列

以及等比数列的求和公式，验证即可求解. 【详解】

由题意，数列{}n a 的前n 项依次为2

3

1,2,3,2,5,7,2,9

，

利用列举法，可得当25n =时，A

B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，

则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,

37,39,2,4,8,16,32，

可得52520(139)2(12)

40062462212

S ?+-=+=+=-，2641a =，所以2612492a =，

不满足112n n S a +>； 当26n =时，A

B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，

则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,

37,39,41,2,4,8,16,32，

可得52621(141)2(12)

44162503212

S ?+-=+=+=-，2743a =，所以2612526a =，

不满足112n n S a +>； 当27n =时，A

B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，

则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,

37,39,41,43,2,4,8,16,32，

可得52722(143)2(12)

48462546212

S ?+-=+=+=-，2845a =，所以2712540a =，

满足112n n S a +>； 当28n =时，A

B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，

则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,

37,39,41,43,45,2,4,8,16,32，

可得52823(145)2(12)

52962591212

S ?+-=+=+=-，2947a =，所以2812564a =，

满足112n n S a +>，

所以使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为27,28. 故选：CD. 【点睛】

本题主要考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式，以及“分组求和法”的应用，其中解答中正确理解题意，结合列举法求得数列的前n 项和，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 26．ACD 【分析】

根据等比数列的通项公式，结合等比数列的定义和对数的运算性质进行逐一判断即可. 【详解】

因为521127,==a a a ，所以有431127273q a q q q a ?=??=?=，因此选项A 正确；

因为131(31)

132n n n S -==--，所以131+2+2(3+3)132

n

n n S -==-，

因为

+

1 +1

1

1

(3+3)

+2

2

2=1+

1

+21+3

(3+3)

2

n

n

n

n

n

S

S-

=≠常数，

所以数列{}2

n

S+不是等比数列，故选项B不正确；

因为5

5

1

(31)=121

2

S=-，所以选项C正确；

11

1

30

n

n

n

a a q--

=?=>，

因为当3

n≥时，2

2222

lg lg=lg()=lg2lg

n n n n n n

a a a a a a

-+-+

+?=，所以选项D正确.

故选：ACD

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式的应用，考查了等比数列前n项和公式的应用，考查了等比数列定义的应用，考查了等比数列的性质应用，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力.

27．BD

【分析】

证明

12

33

BE BA BC

=+，所以选项B正确；设BD tBE

=（0

t>），易得

()

11

4

n n n n

a a a a

+-

-=-，显然

1

n n

a a

-

-不是同一常数，所以选项A错误；数列{

1

n n

a a

-

-}

是以4为首项，4为公比的等比数列，所以

1

4n

n n

a a

+

-=，所以选项D正确，易得3

21

a=，选项C不正确.

【详解】

因为2

AE EC

=，所以

2

3

AE AC

=，

所以

2

()

3

AB BE AB BC

+=+,

所以

12

33

BE BA BC

=+，所以选项B正确；

设BD tBE

=（0

t>），

则当n ≥2时，由()()1123n n n n BD tBE a a BA a a BC -+==-+-，所以

()()1111

23n n n n BE a a BA a a BC t t

-+=

-+-， 所以

()11123n n a a t --=，()11233

n n a a t +-=， 所以()11322n n n n a a a a +--=-， 易得()114n n n n a a a a +--=-，

显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误； 因为2a -1a =4，

11

4n n

n n a a a a +--=-，

所以数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，

所以14n

n n a a +-=，所以选项D 正确，

易得321a =，显然选项C 不正确. 故选：BD 【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 28．BCD 【分析】

设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为1

2

q = 的等比数列，由6=378S 求得首项，然后逐一分析四个选项得答案. 【详解】

解:根据题意此人每天行走的路程成等比数列， 设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为1

2

q =

的等比数列. 所以6

6

1161[1()](1)2=3781112

a a q S q --==--，解得1

192a =. 选项A:5

5

61119262a a q ??==?= ???

,故A 错误, 选项B:由1192a =，则61378192186S a -=-=，又1921866-=，故B 正确. 选项C:211192962

a a q ==?

=,而61

94.54S =，9694.5 1.5-=,故C 正确.

选项D:2

123111

(1)192(1)33624

a a a a q q ++=++=?+

+=,

则后3天走的路程为378336=42-, 而且336428÷=,故D 正确. 故选：BCD 【点睛】

本题考查等比数列的性质，考查等比数列的前n 项和，是基础题. 29．ABD 【分析】

由已知关系式可求1a 、n a ，进而求得{}21

n

a n +的通项公式以及前n 项和,n S 即可知正确选项. 【详解】

由已知得：12a =，令12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=， 则当2n ≥时，1(21)2n n n T T n a --=-=，即2

21n a n =-，而122211

a =

=?-也成立， ∴2

21n a n =

-，*n N ∈，故数列{}21

n a n +通项公式为211(21)(21)2121n n n n =-+--+，

∴111111111121 (133557232121212121)

n n

S n n n n n n =-

+-+-++-+-=-=---+++，即有1n n S na +=， 故选：ABD 【点睛】

关键点点睛：由已知12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=求1a 、n a ，注意验证1a 是否符合n a 通项，并由此得到{}21

n

a n +的通项公式，利用裂项法求前n 项和n S . 30．ACD 【分析】

由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】

对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；

对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：

13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++???+=+-+-+-+

+-=，故C

正确.

对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2

121a a a =，

()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，

()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，2

20192019202020192018a a a a a =-，可得222

12201920202019201920202019

a a a a a a a a

+++==，故D 正确；

故选：ACD. 【点睛】

本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题. 31．BD 【分析】

设等差数列{}n a 的公差为d ,根据2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项求得0d =或1,再分情况求解{}n b 的前n 项和n S 即可. 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ,又11a =,且2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项

∴2428a a a =,即()()()2

11137a d a d a d +=++,化简得：(1)0d d -=,所以0d =或1,

故1n a =或n a n =,所以n b q =或n

n b n q =?,设{}n b 的前n 项和为n S ,

①当n b q =时,n S nq =；

②当n

n b n q =?时,

23123n n S q q q n q =?+?+?+??+?（1）,

2341123n n qS q q q n q +=?+?+?+??+?（2）,

（1）-（2）得：()()2

3

1

1111n n

n n n q q q S q q q q n q

n q q

++--=+++-?=

-?-+??,

所以1211

22

(1)(1)1(1)n n n n n n q q n q q nq nq q S q q q ++++-?+--=-=---,

故选：BD 【点睛】

本题主要考查了等差等比数列的综合运用与数列求和的问题,需要根据题意求得等差数列的公差与首项的关系,再分情况进行求和.属于中等题型. 32．BCD 【分析】

举反例，反证，或按照等比数列的定义逐项判断即可. 【详解】

解：设{}n a 的公比为q ，

A. 设()1n

n a =-，则10n n a a ++=，显然{}1n n a a ++不是等比数列.

B.

221

1

n n n n a a q a a +++=，所以{}1n n a a +为等比数列. C. ()()

242222212222

11n n n n n n a q q a a q a a a q +++++==++，所以{}

221n n a a ++为等比数列. D. 当1q =时，n S np =，{}n S 显然不是等比数列； 当1q ≠时，若{}n S 为等比数列，则()2

2

2

112n n n S S n S -+=≥，

即()

(

)()2

11

111

111111n n n a q a q a q q q q

-+??????---

?

???= ? ???---?

??

??

?

，所以1q =，与1q ≠矛盾，

综上，{}n S 不是等比数列. 故选：BCD. 【点睛】

考查等比数列的辨析，基础题. 33．AD 【分析】

设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D 正确． 【详解】

数列{a n }是公比q 为2

3

-

的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列， 则8

912()3

a a =-，9

1012()3

a a =-， ∴a 9?a 102

17

12()3

a =-＜0，故A 正确； ∵a 1正负不确定，故B 错误；

∵a 10正负不确定，∴由a 10＞b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误； 由a 9＞b 9且a 10＞b 10，则a 1（23-

）8＞12+8d ，a 1（2

3

-）9＞12+9d ， 由于910,a a 异号，因此90a <或100a <

故 90b <或100b <，且b 1＝12

可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d ＜0， 即有a 9＞b 9＞b 10，故D 正确． 故选：AD 【点睛】

本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了等比数列的通项公式、求和公式和等差数列的单调性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 34．ABD