2018全国大学生数学竞赛模拟赛试题(非数学类)

2018全国大学生数学竞赛模拟赛试题（非数学类）

一、填空题（每题5分，共30分）

1．0ln d 0lim x t t x x +→?=

2．设,11()1,1

x xe x f x x x ??<<=??≥?，则1()d x f t t ?=? 3．设222sin 4xy z x y z +=+?，则z z x y

???=?? 4．曲线21,2||y x y x =+=绕x 轴旋转所围成的旋转体的体积是

5．设Ω是球体2224x y z ++≤，则222(68)d d d x y z x y z Ω

++=???

6．幂级数1(32)n n n x x ∞

=?∑的收敛区间是

二（10分） 已知奇函数()f x 在点00x =处可导，非零数列{}{}n n αβ、都收敛，分析极限lim [()()]n n

n n f f n n αβ→∞+是否存在。若存在，极限是什么。

三（10分）设()f x ''在[,]a b 上存在，a c b <<，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()()1()()()()()()()2

f a f b f c f a b a c b a b c c a c b ξ''++=?????? 四（10分） 设()y y x =是由方程33()y x y x +=所确定的隐函数，求3d x y ?

五（10分） 计算极限221lim sin()n

n k n k k n →∞=∑的近似值，精确到410? 六（10分） 已知()([0,2])f x x ∈是一个二次可微函数，而且()|()|1k f x ≤，1,2k =，证明2

0|(1)()d |1x f x x ?≤? 七（10分）设()f x 为正值连续函数，试证不等式d ()d ()L y x xf y y f x ?+≥? 22a π，其中L 是圆周222()()(0)x a y a a a ?+?=>，取逆时针方向。

八（10分） 设{}{}n n u c 、为正实数列，试证明：

（1）若对所有的正整数n 满足：110n n n n c u c u ++?≤，且11n n c ∞

=∑发散，则1n n u ∞=∑也发散；

（2）若对所有的正整数n 满足：11n n n n u c c a u ++?≥，

（常数0a >），且11n n c ∞=∑收敛，则1

n n u ∞

=∑也收敛。