《基本不等式》3高中数学同课异构讲课教学

§3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b 2 第1课时 基本不等式

学习目标 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．4.经历探究的过程体会数形结合的重要思想.

知识点 基本不等式

一般地，对于正数a ，b ， 为a ，b 的算术平均数， 为a ，b 的几何平均数．两个正数的算术平均数 它们的几何平均数，即 .

1．对于任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab .( )

2．n ∈N *时，n ＋2n

≥2 2.( ) 3．x ≠0时，x ＋1x

≥2.( ) 4．a >0，b >0时，1a ＋1b ≥4a ＋b

.( )

一 基本不等式的证明

探究1 证明不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)．

探究2 基本不等式的证明

求证a ＋b 2

≥ab (a ＞0，b ＞0)．

探究3 基本不等式的几何解释

几何解释 如图，AB 是圆O 的直径，点Q 是AB 上任一点，AQ ＝a ，BQ ＝b ，过点Q 作PQ 垂直于AB 且交圆O 于点P ，连接AP ，PB .

则PO ＝AB 2

＝ .易证Rt △APQ ∽Rt △PBQ ，那么PQ 2＝AQ ·QB ，即PQ= .

思考：OP 与PQ 的大小关系怎么样？

反思感悟 (1)作差法与不等式性质在证明中常用，注意培养应用意识．

(2)不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式ab ≤

a ＋

b 2成立的条件是不同的，前者要求a ，b 都是实数，后者要求a ，b 都是正数．

二 例题精细，去伪存真

例1 设0

A. 2+<<

C. 2+<<

D.b b a a ab <2+<

<