高中数学《排列组合》教案
排列与组合
一、教学目标
1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理
2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题
3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力
二、教材分析
1.重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论．
2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同．
三、活动设计
1.活动：思考，讨论，对比，练习．
2.教具：多媒体课件．
四、教学过程正
1．新课导入
随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键．
2．新课
我们先看下面两个问题．
(l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法．
一般地，有如下原理：
加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n 种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十…十m n种不同的方法．
(2) 我们再看下面的问题：
由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？
这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又有2种不同的走法．因此，从A村经B村去C村共有3X2=6种不同的走法．
一般地，有如下原理：
乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1 m2…m n种不同的方法．
例1 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．
1）从中任取一本，有多少种不同的取法？
2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？
解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本，有6种方法；第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法．根据加法原理，得到不同的取法的种数是6十5=11．
答：从书架L任取一本书，有11种不同的取法．
（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种方法；第二步取一本语文书，有5种方法．根据乘法原理，得到不同的取法的种数是 N＝6X5＝30．
答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的方法．
练习：一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币
1）从中任取一枚，有多少种不同取法？ 2）从中任取明清古币各一枚，有多少种不同取法？
例2：(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？
(2)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？
(3)由数字0，l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？
解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，
这仍有5种选法，第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是N=5X5X5=125．
答：可以组成125个三位数．
练习：
1、从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．
（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？
（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
2．一名儿童做加法游戏．在一个红口袋中装着2O张分别标有数1、2、…、19、20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、…、9、1O的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数．这名儿童一共可以列出多少个加法式子？
3．题2的变形
4．由0－9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？
小结：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，分步时用乘法
其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习
练习
1．（口答）一件工作可以用两种方法完成．有 5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成．选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？
2．在读书活动中，一个学生要从 2本科技书、 2本政治书、 3本文艺书里任选一本，共有多少种不同的选法？
3．乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有多少项？
4．从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁
地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通．从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
5．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．
（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ （2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？ 作业： 排列
【复习基本原理】
1.加法原理 做一件事，完成它可以有n 类办法，第一类办法中有m 1种不同的方法，第二办法中有m 2种不同的方法……，第n 办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有
N=m 1+m 2+m 3+…m n 种不同的方法.
2.乘法原理 做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一 步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，.那么完成这件事共有
N=m 1?m 2?m 3?…?m n 种不同的方法. 3.两个原理的区别： 【练习1】
1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的机票？
2.由数字1、2、3可以组成多少个无重复数字的二位数？请一一列出. 【基本概念】
1. 什么叫排列？从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．
排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．
2. 什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同.
3. 什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列.
4. 什么叫一个排列？ 【例题与练习】
1. 由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？
2.已知a 、b 、c 、d 四个元素，①写出每次取出3个元素的所有排列；②写出每次取出4个元素的所有排列.
【排列数】
1. 定义：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素的所有排列的个数叫做
从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m
n p 表示.
用符号表示上述各题中的排列数.
2. 排列数公式：m
n p =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
=
1
n p ；=2n
p ；=3
n p ；
=
4
n p ；
计算：25p = ； 45p = ；
2
15
p = ；
【课后检测】 1. 写出： ① 从五个元素a 、b 、c 、d 、e 中任意取出两个、三个元素的所有排列； ② 由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数. ③ 由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数. 2. 计算： ① 3100
p
② 36
p ③ 28
48
p 2p - ④
7
12
8
12p p
排 列
课题：排列的简单应用(1)
目的：进一步掌握排列、排列数的概念以及排列数的两个计算公式，会用排列数公式计算和解决简单的实际问题．
过程： 一、复习：（引导学生对上节课所学知识进行复习整理） 1．排列的定义，理解排列定义需要注意的几点问题； 2．排列数的定义，排列数的计算公式
)
1()2)(1(+---=m n n n n A m
n 或)!
(!m n n A m n -=
（其中m ≤n m,n ∈Z ）
3．全排列、阶乘的意义；规定 0!=1 4．“分类”、“分步”思想在排列问题中的应用． 二、新授：
例1：⑴ 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作：7个元素的全排列——77A ＝5040
⑵ 7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？ 解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040
⑶ 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——66A =720 ⑷ 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有22A 种；第二步 余下的5名同学进行全排列有55A 种 则共有22A 55A =240种排列方法
⑸ 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
解法一（直接法）：第一步 从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有25A 种方法；第二步 从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有55A 种方法 所以一共有25A 55A ＝2400种排列方法．
解法二：（排除法）若甲站在排头有66A 种方法；若乙站在排尾有66A 种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有55A 种方法．所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有77A －662A ＋55A =2400种．
小结一：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑．
例2 ： 7位同学站成一排．
⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有66A 种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有66A 22A ＝1440
⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ 解：方法同上，一共有55A 33A ＝720种．
⑶甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？ 解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有25A 种方法；将剩下的4个元素进行全排列有44A 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有
2
5A 44A 2
2
A ＝960种方法．
解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有255A 种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有
960
)2(2
25
56
6=?-A A A 种方法．
解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元
素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有1
4A 种方
法，再将其余的5个元素进行全排列共有55A 种方法，最后将甲、乙两同学“松
绑”，所以这样的排法一共有14
A 55A 2
2A ＝960种方法．
小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）． 例3： 7位同学站成一排．
⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ 解法一：（排除法）3600226677=?-A A A
解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有55A 种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有26A 种方法，所以一共有36002655=A A 种方法．
⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？
解：先将其余四个同学排好有44A 种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有35A 种方法，所以一共有44A 35A ＝1440种．
小结三：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）． 三、小结：
1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置； ⑵某些元素要求连排（即必须相邻）； ⑶某些元素要求分离（即不能相邻）； 2．基本的解题方法：
⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）；
⑵ 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；
⑶ 某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；
⑷ 在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基．
四、作业：《课课练》之“排列 课时1—3” 课题：排列的简单应用(2)
目的：使学生切实学会用排列数公式计算和解决简单的实际问题，进一步培养分析问题、解决问题的能力，同时让学生学会一题多解．
过程：
一、复习：
1．排列、排列数的定义，排列数的两个计算公式； 2．常见的排队的三种题型：
⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置——优限法；
⑵某些元素要求连排（即必须相邻）——捆绑法； ⑶某些元素要求分离（即不能相邻）——插空法． 3．分类、分布思想的应用．
二、新授：
示例一： 从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？
解法一：（从特殊位置考虑）1360805
919=A A
解法二：（从特殊元素考虑）若选：595A ? 若不选：69A 则共有 595A ?＋69A ＝136080
解法三：（间接法）=-59610A A 136080
示例二：
⑴ 八个人排成前后两排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在后排，则共有多少种不同的排法？
略解：甲、乙排在前排24A ；丙排在后排1
4A ；其余进行全排列55A ．
所以一共有24A 1
4
A 55A ＝5760种方法． ⑵ 不同的五种商品在货架上排成一排，其中a , b 两种商品必须排在一起，
而c, d 两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种？
略解：（“捆绑法”和“插空法”的综合应用）a , b 捆在一起与e 进行排列有22A ； 此时留下三个空，将c, d 两种商品排进去一共有23A ；最后将a , b “松绑”有
2
2A ．所以一共有2
2A 2
3A 2
2
A ＝24种方法．
⑶ 6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的坐法有多少种？
略解：（分类）若第一个为老师则有33A 33A ；若第一个为学生则有33A 33A 所以一共有233A 33A ＝72种方法．
示例三：
⑴ 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的正整数？
略解：3255
545352515
=++++A A A A A ⑵ 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比13 000大
的正整数？
解法一：分成两类，一类是首位为1时，十位必须大于等于3有3
313
A A 种方法；另一类是首位不为1，有4414
A A 种方法．所以一共有3313A A 1144
414=+A A 个数比13 000大．
解法二：（排除法）比13 000小的正整数有33A 个，所以比13 000大的正整
数有-55A 33A ＝114个．
示例四： 用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由小到大排列． ⑴ 第114个数是多少？ ⑵ 3 796是第几个数？
解：⑴ 因为千位数是1的四位数一共有6035=A 个，所以第114个数的千位数应该是“3”，十位数字是“1”即“31”开头的四位数有1224=A 个；同理，以“36”、“37”、“38”开头的数也分别有12个，所以第114个数的前两位数必然是“39”,而“3 968”排在第6个位置上，所以“3 968” 是第114个数．
⑵ 由上可知“37”开头的数的前面有60＋12＋12＝84个，而3 796在“37”开头的四位数中排在第11个（倒数第二个），故3 796是第95个数．
示例五： 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中 ⑴ 能被25整除的数有多少个？
⑵ 十位数字比个位数字大的有多少个？
解： ⑴ 能被25整除的四位数的末两位只能为25，50两种，末尾为50
的四位数有24A 个，末尾为25的有1313
A A 个，所以一共有2
4A ＋1313A A ＝21个． 注： 能被25整除的四位数的末两位只能为25，50，75，00四种情况．
⑵ 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，一共有3003
515=A A 个．因
为在这300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的．．．．”，所以十位数字比个位数字大的有
150
2
13
51
5=A A 个．
三、小结：能够根据题意选择适当的排列方法，同时注意考虑问题的全面性，
此外能够借助一题多解检验答案的正确性．
四、作业：“3＋X ”之 排列 练习 组 合 ⑴
课题：组合、组合数的概念
目的：理解组合的意义，掌握组合数的计算公式． 过程：
一、复习、引入：
1
2．提出问题：
示例1： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
示例2： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的．
引出课题：组合．．问题． 二、新授：
1．组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 注：1．不同元素 2．“只取不排”——无序性 3．相同组合：元素相同 ⑴ 从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览；（组合） ⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．（排列） 2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号m n C 表示．
例如：示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即有323=C 种组合．
又如：从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览的组合：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 一共6种组合，即：624=C
在讲解时一定要让学生去分析：要解决的问题是排列问题还是组合问题，关键是看是否与顺序有关．那么又如何计算m n C 呢？
3．组合数公式的推导
⑴提问：从4个不同元素a ，b ，c ，d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？ 启发： 由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：
组 合 排列
d c b
c d b b d c d b c c b d b c d b c d
d c a c d a a d c d a c c a d a c d a c d d b a b d a a d b d a b b a d a b d a b d c b a b c a a c b c a b b a c a b c a b c
,
,
,
,
,
,,,,,,,,,,,,,,,→
→→→ 由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有3
3
A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝?34C 33A ，所以：3
3
3434
A A C =
．
⑵ 推广： 一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以
分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一
个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分布计数原理得：m n A ＝m n C m
m A ?
⑶ 组合数的公式：
!
)
1()2)(1(m m n n n n A
A C
m m
m
n m
n
+---=
=
或 )!
(!!m n m n C m n
-= ),,(n m N m n ≤∈*且
⑷ 巩固练习：
1．计算：⑴ 47C ⑵ 710C
2．求证：11+?-+=m n
m
n
C
m
n m C
3．设,+∈N x 求3
2113
2-+--+x x x x C C 的值． 解：由题意可得：??
?-≥+-≥
-3
211
32x x x x 即：2≤x ≤4
∵,+∈N x ∴x =2或3或4
当x =2时原式值为7；当x =3时原式值为7；当x =2时原式值为11． ∴所求值为4或7或11． 4．例题讲评
例1． 6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分
法？
略解：90222426=??C C C
例2．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？
解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分
别有34C ，1624C C ?，2614
C C ?，所以一共有3
4C +1624C C ?+2614C C ?＝100种方法． 解法二：（间接法）1003
6310
=-C C 5．学生练习：（课本99练习）
还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理．
四、作业：课堂作业：教学与测试75课 课外作业：课课练 课时7和8 组 合 ⑵
课题：组合的简单应用及组合数的两个性质
目的：深刻理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题．
过程：
一、复习回顾：
1．复习排列和组合的有关内容：
强调：排列——次序性；组合——无序性． 2．练习一：
练习1：求证：1
1
--=
m n m n C m n C ． （本式也可变形为：11--=m n m n nC mC ）
练习2：计算：① 310C 和710C ； ② 2637C C -与36C ；③ 5
11411C C +
答案：① 120，120 ② 20，20 ③ 792 （此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．） 3．练习二：
⑴ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？
⑵ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？
答案：⑴45210
=C （组合问题） ⑵902
10=A （排列问题） 二、新授：
1．组合数的 性质1：m n n m n C C -=．
理解： 一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n - m 个元素．因
为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n n m n C C -=．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．
证明：∵)!
(!!)]!
([)!(!
m n m n m n n m n n C m n n -=
---=-
又
)!
(!!m n m n C m
n -=
∴m
n n m n C C -=
注：1? 我们规定 10=n C
2? 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．
3? 此性质作用：当2
n m
>
时，计算m n C 可变为计算m n n C -，能够使运算简化．
例如：20012002C ＝200120022002-C ＝1
2002C =2002．
4? y n x n C C =y x =?或n y x =+
2．示例一：（课本101例4）一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ ⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
解：⑴ 5638=C ⑵ 2127=C ⑶ 3537=C 引导学生发现：=38C +27C 37C ．为什么呢？
我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．
一般地，从121,,,+n a a a 这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是
m
n C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1
a 的组
合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1-m n C 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有m n C 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．
3．组合数的 性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n C ． 证明：
)]!1([)!1(!
)!
(!!1
---+
-=
+-m n m n m n m n C C m n
m
n
)!
1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n
)!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n
)!
1(!)!1(+-+=
m n m n
m n C 1+= ∴ m n C 1+＝m n C +1-m n C ．
注：1? 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．
2? 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”
时，我们会看到它的主要应用．
4．示例二：
⑴ 计算：69584737C C C C +++
⑵ 求证：n m C 2
+＝n m C +12-n m C +2
-n m C ⑶ 解方程：3213113-+=x x C C
⑷ 解方程：3
3322210
1+-+-+=
+x x x x x A C C
⑸ 计算：4434241404C C C C C ++++和554535251505C C C C C C +++++
推广：n n n n n n n n C C C C C 21210=+++++-
5．组合数性质的简单应用： 证明下列等式成立：
⑴ （讲解）11321++---=+++++k n k k k k k n k n k n C C C C C C ⑵ （练习）1121++++++=++++k k n k n k k k k k k k C C C C C
⑶ )(2
321
321n
n n n n n n n n
C C C n nC C C C +++=++++
6．处理《教学与测试》76课例题 三、小结：1．组合数的两个性质；
2．从特殊到一般的归纳思想． 四、作业： 课堂作业：《教学与测试》76课 课外作业：课本习题10.3；课课练课时9 组 合 ⑶
课题：组合、组合数的综合应用⑴
目的：进一步巩固组合、组合数的概念及其性质，能够解决一些较为复杂的组合应用问题，提高合理选用知识的能力．
过程：
一、知识复习：
1．复习排列和组合的有关内容：
依然强调：排列——次序性；组合——无序性． 2．排列数、组合数的公式及有关性质
性质1：m n n m n C C -= 性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n C 常用的等式：111010====+++k k k k k k C C C C
3．练习：处理《教学与测试》76课例题 二、例题评讲：
例1．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查． ⑴ 都不是次品的取法有多少种？
⑵ 至少有1件次品的取法有多少种？ ⑶ 不都是次品的取法有多少种？
解：⑴ 25551904
90=C ；
⑵ 13660354101903102902103901104904100=+++=-C C C C C C C C C ；
⑶ 39210154901103902102903101904104100=+++=-C C C C C C C C C ．
例2．从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？
解：分为三类：1奇4偶有4516C C ；3奇2偶有2536C C ；5奇1偶有5
6C
所以一共有4516C C +2536C C +23656=C ．
例3．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻
译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
解：我们可以分为三类：
① 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有2324C C ；
② 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有1
334C C ；
③ 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有2334C C ．
所以一共有2324C C +1334C C +2334C C ＝42种方法．
例4．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？
解法一：（排除法）4221
3142415
2426=+-C C C C C C 解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有2
414
C C ；另一类为甲不值周一，但值周六，有2324C C ．所以一共有2
414
C C +2324C C ＝42种方法． 例5．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方
法？
解：第一步从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有2
6C 种方法；第二步将5个“不同元素（书）”分给5个人有55A 种方法．根据分步计数原理，一共有26C 55A ＝1800种方法．
变题1：6本不同的书全部送给5人，有多少种不同的送书方法？ 变题2： 5本不．同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？ 变题3： 5本相．
同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？ 答案：1．1562556=； 2．72056=A ； 3．656=C ．
三、小结：1．组合的定义，组合数的公式及其两个性质；
2．组合的应用：分清是否要排序． 四、作业：《3+X 》 组合基础训练 《课课练》课时10 组合四 组 合 ⑷
课题：组合、组合数的综合应用⑵
目的：对排列组合知识有一个系统的了解，掌握排列组合一些常见的题型及解题方法，能够运用两个原理及排列组合概念解决排列组合问题．
过程：
一、知识复习：
1．两个基本原理；
2．排列和组合的有关概念及相关性质． 二、例题评讲：
例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法： ⑴ 分给甲、乙、丙三人，每人两本； ⑵ 分为三份，每份两本；
⑶ 分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
⑷ 分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本； ⑸ 分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
解：⑴ 根据分步计数原理得到：90222426=C C C 种．
⑵ 分给甲、乙、丙三人，每人两本有222426C C C 种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x 种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有33A 种方法．根据分步计数原理可得：33222426xC C C C =，所以
15
33
2
2
2
42
6==
A C C C x ．因此分为三份，每份两本一共有15种方法．
注：本题是分组中的“均匀分组．．．．
”问题． ⑶ 这是“不均匀分组”问题，一共有603
32516
=C C C 种方法． ⑷ 在⑶的基础上在进行全排列，所以一共有3603
3332516
=A C C C 种方法． ⑸ 可以分为三类情况：①“2、2、2型”即⑴中的分配情况，有90
222426=C C C 种方法；②“1、2、3型”即⑷中的分配情况，有3603
3332516=A C C C 种方法；③“1、
1、4型”，有903346=A C 种方法．所以一共有90+360+90＝540种方法． 例2．身高互不相同的7名运动员站成一排，甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？
解：（插空法）现将其余4个同学进行全排列一共有44A 种方法，再将甲、乙、丙三名同学插入5个空位置中（但无需要进行排列）有35C 种方法．根据分步计数原理，一共有44A 35C ＝240种方法．
例3．⑴ 四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？ ⑵ 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？ 解：⑴ 根据分步计数原理：一共有25644=种方法．
⑵（捆绑法）第一步从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有24C 种方法，第二步从四个不同的盒取其中的三个将球放入有34A 种方法．所以一共有24C 34A ＝144种方法．
例4．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？
解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间的6个空档中插入3只熄掉的灯，故所求方法总数为2036=C 种方法．
例5．九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？
解：可以分为两类情况：① 若取出6，则有)(21
71712
28C C C A +种方法；②若不取6，则有2717A C 种方法．根据分类计数原理，一共有)(2171712
28C C C A ++2
717A C ＝602种方法．
三、小结：
高中数学选修4-4全套教案
高中数学选修4-4全套教案 第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置
北师大版高中数学必修1-知识点总结
高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集， Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等
（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有 21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 B {|x x x ∈A A = ?=? B A ? A B B ? B {|x x x ∈A A = A ?= B A ?
B B ? ⑷ ⑼ 集合的运算律： 交换律： 结合律: 分配律: 0-1律： 等幂律： 求补律：A ∩ A ∪ =U 反演律： (A ∩B)=( A)∪( B) (A ∪B)=( A)∩( B) 第二章函数 §1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的 元 素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的 叫做象， 叫做原象。二、函数1．定义：设A 、B 是 ，f :A →B 是从A 到B 的一个映射，则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ，记作 .2．函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同 .;A B B A A B B A ==)()();()(C B A C B A C B A C B A ==)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A ==,,,A A A U A A U A U Φ =ΦΦ ===.,A A A A A A ==
北师大版(新课标)高中数学课本目录大全(必修) 2
北师大版高中数学 必修1 全书目录： 第一章集合 §1 集合的含义与表示 §2 集合的基本关系 §3 集合的基本运算 阅读材料康托与集合论 第二章函数 §1 生活中的变量关系 §2 对函数的进一步认识 §3 函数的单调性 §4 二次函数性质的再研究 §5 简单的幂函数 阅读材料函数概念的发展 课题学习个人所得税的计算 第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数 §2 指数概念的扩充 §3 指数函数 §4 对数 §5 对数函数 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 阅读材料历史上数学计算方面的三大发明 第四章函数应用 §1 函数与方程 §2 实际问题的函数建模 阅读材料函数与中学数学 探究活动同种商品不同型号的价格问题 必修2 全书目录： 第一章立体几何初步 §1 简单几何体 §2 三视图 §3 直观图 §4 空间图形的基本关系与公理 §5 平行关系 §6 垂直关系 §7 简单几何体的面积和体积 §8 面积公式和体积公式的简单 应用 阅读材料蜜蜂是对的 课题学习正方体截面的形状 第二章解析几何初步 §1 直线与直线的方程 §2 圆与圆的方程 §3 空间直角坐标系 阅读材料笛卡儿与解析几何 探究活动1 打包问题 探究活动2 追及问题 必修3 全书目录 第一章统计 §1 统计活动：随机选取数字 §2 从普查到抽样 §3 抽样方法 §4 统计图表 §5 数据的数字特征 §6 用样本估计总体 §7 统计活动：结婚年龄的变化 §8 相关性 §9 最小二乘法 阅读材料统计小史 课题学习调查通俗歌曲的流行 趋势 第二章算法初步 §1 算法的基本思想 §2 算法的基本结构及设计 §3 排序问题 §4 几种基本语句 课题学习确定线段n等分点的 算法 第三章概率 §1 随机事件的概率 §2 古典概型 §3模拟方法――概率的应用 探究活动用模拟方法估计圆周 率∏的值 必修4 全书目录： 第一章三角函数 §1 周期现象与周期函数 §2 角的概念的推广 §3 弧度制 §4 正弦函数 §5 余弦函数 §6 正切函数 §7 函数的图像 §8 同角三角函数的基本关系 阅读材料数学与音乐 课题学习利用现代信息技术探 究的图像 第二章平面向量 §1 从位移、速度、力到向量 §2 从位移的合成到向量的加法 §3 从速度的倍数到数乘向量 §4 平面向量的坐标 §5 从力做的功到向量的数量积 §6 平面向量数量积的坐标表示 §7 向量应用举例 阅读材料向量与中学数学 第三章三角恒等变形 §1 两角和与差的三角函数 §2 二倍角的正弦、余弦和正切 §3 半角的三角函数 §4 三角函数的和差化积与积化 和差 §5 三角函数的简单应用 课题学习摩天轮中的数学问题 探究活动升旗中的数学问题
高中数学常见思想方法总结
高中常见数学思想方法 方法一 函数与方程的思想方法 函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容.函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思路.方程的思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解. 函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易，化繁为简的目的.有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的. 【例1】 设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，已知3121312,0,0a S S =><. （1）求公差d 的取值范围； （2）指出1S 、2S 、…、12S 中哪一个值最大，并说明理由. 【分析】 （1）利用公式n a 与n S 建立不等式，容易求解d 的范围；（2）利用n S 是n 的二次函数，将n S 中哪一个值最大，变成求二次函数中n 为何值时n S 取最大值的函数最值问题. 【解】（1） 由3a ＝12a d +＝12,得到1a ＝12－2d ， 所以12S ＝121a ＋66d ＝12(12－2d )＋66d ＝144＋42d >0， 13S ＝131a ＋78d ＝13(12－2d )＋78d ＝156＋52d <0. 解得：2437 d -<<-. （2）解法一：（函数的思想） n S ＝21115(1)(12)222 na n n d dn d n ++=+- ＝22 124124552222d d n d d ????????---- ? ????????????? 因为0d <，故212452n d ????-- ???????最小时，n S 最大.
高中数学北师大版必修全册知识点总结
高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). （6）子集、真子集、集合相等
（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. （8）交集、并集、补集
⑼ 集合的运算律： 交换律： 结合律: 分配律: 0-1律： 等幂律： 求补律：A ∩uA = A ∪CuA =U uU =u =U 反演律：u (A ∩B)=(u A)∪(u B) u (A ∪B)=(u A)∩(u B) .;A B B A A B B A Y Y I I ==)()();()(C B A C B A C B A C B A Y Y Y Y I I I I ==)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A Y I Y I Y I Y I Y I ==,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===I U I U .,A A A A A A ==Y I
高中数学解题思想之等价变换思想.
等价转化思想方法 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。 转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。 著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。 等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。 在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。 Ⅰ、再现性题组： 1. f(x是R上的奇函数，f(x＋2＝f(x，当0≤x≤1时，f(x＝x，则f(7.5等 于_____。 A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5
北师大版(新课标)高中数学课本目录大全(必修)
北师大版(新课标)高中数学课本目录大全（含必修和选修） 北师大必修 《数学1(必修)》 全书目录： 第一章集合 §1 集合的含义与表示 §2 集合的基本关系 §3 集合的基本运算 阅读材料康托与集合论 第二章函数 §1 生活中的变量关系 §2 对函数的进一步认识 §3 函数的单调性 §4 二次函数性质的再研究 §5 简单的幂函数 阅读材料函数概念的发展 课题学习个人所得税的计算 第三章指数函数和对数函数 §1 正整数指数函数 §2 指数概念的扩充 §3 指数函数 §4 对数 §5 对数函数 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 阅读材料历史上数学计算方面的三大发明 第四章函数应用 §1 函数与方程 §2 实际问题的函数建模 阅读材料函数与中学数学 探究活动同种商品不同型号的价格问题
必修2 全书目录： 第一章立体几何初步 §1 简单几何体 §2 三视图 §3 直观图 §4 空间图形的基本关系与公理 §5 平行关系 §6 垂直关系 §7 简单几何体的面积和体积 §8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的 课题学习正方体截面的形状 第二章解析几何初步 §1 直线与直线的方程 §2 圆与圆的方程 §3 空间直角坐标系 阅读材料笛卡儿与解析几何 探究活动1 打包问题 探究活动2 追及问题 必修3 全书目录 第一章统计 §1 统计活动：随机选取数字 §2 从普查到抽样 §3 抽样方法 §4 统计图表 §5 数据的数字特征 §6 用样本估计总体 §7 统计活动：结婚年龄的变化 §8 相关性 §9 最小二乘法 阅读材料统计小史 课题学习调查通俗歌曲的流行趋势 第二章算法初步 §1 算法的基本思想 §2 算法的基本结构及设计
高中数学解题思想方法大全
目录 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案……………………………………
前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳 和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思 想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。
高中数学知识点以及解题方法大全
前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去 法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、 归纳和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化 归）思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（ 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b) 2 ＝a 2 ＋2ab＋b 2 ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a 2 ＋b 2 ＝(a＋b) 2 －2ab＝(a－b) 2 ＋2ab； a 2 ＋ab＋b 2 ＝(a＋b) 2 －ab＝(a－b) 2 ＋3ab＝(a＋ b 2) 2 ＋（ 3 2b） 2 ； a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋ab＋bc＋ca＝ 1 2[(a＋b) 2 ＋(b＋c) 2 ＋(c＋a) 2 ] a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＝(a＋b＋c) 2 －2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c) 2 －2(ab－bc－ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） 2 ； x 2 ＋ 1 2 x＝(x＋ 1 x) 2 －2＝(x－ 1 x) 2 ＋2 ；……等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a n}中，a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25，则 a3＋a5＝_______。 2. 方程x 2 ＋y 2 －4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 4
高中数学目录——北师大版
北师大版高中数学必修一 ·第一章集合 · 1、集合的基本关系 · 2、集合的含义与表示 · 3、集合的基本运算 ·第二章函数 · 1、生活中的变量关系 · 2、对函数的进一步认识 · 3、函数的单调性 · 4、二次函数性质的再研究 · 5、简单的幂函数 ·第三章指数函数和对数函数 · 1、正整数指数函数 · 2、指数概念的扩充 · 3、指数函数 · 4、对数 · 5、对数函数 · 6、指数函数、幂函数、对数函数增·第四章函数应用 · 1、函数与方程 · 2、实际问题的函数建模 北师大版高中数学必修二 ·第一章立体几何初步 · 1、简单几何体 · 2、三视图 · 3、直观图 · 4、空间图形的基本关系与公理· 5、平行关系 · 6、垂直关系 · 7、简单几何体的面积和体积 · 8、面积公式和体积公式的简单应用·第二章解析几何初步 · 1、直线与直线的方程 · 2、圆与圆的方程 · 3、空间直角坐标系 北师大版高中数学必修三 ·第一章统计 · 1、统计活动：随机选取数字 · 2、从普查到抽样 · 3、抽样方法 · 4、统计图表 · 5、数据的数字特征
· 6、用样本估计总体 · 7、统计活动：结婚年龄的变化· 8、相关性 · 9、最小二乘法 ·第二章算法初步 · 1、算法的基本思想 · 2、算法的基本结构及设计 · 3、排序问题 · 4、几种基本语句 ·第三章概率 · 1、随机事件的概率 · 2、古典概型 · 3、模拟方法――概率的应用 北师大版高中数学必修四 ·第一章三角函数 · 1、周期现象与周期函数 · 2、角的概念的推广 · 3、弧度制 · 4、正弦函数 · 5、余弦函数 · 6、正切函数 · 7、函数的图像 · 8、同角三角函数的基本关系 ·第二章平面向量 · 1、从位移、速度、力到向量 · 2、从位移的合成到向量的加法· 3、从速度的倍数到数乘向量 · 4、平面向量的坐标 · 5、从力做的功到向量的数量积· 6、平面向量数量积的坐标表示· 7、向量应用举例 ·第三章三角恒等变形 · 1、两角和与差的三角函数 · 2、二倍角的正弦、余弦和正切· 3、半角的三角函数 · 4、三角函数的和差化积与积化和差· 5、三角函数的简单应用 北师大版高中数学必修五 ·第一章数列 · 1、数列的概念 · 2、数列的函数特性 · 3、等差数列
北师大版高中数学课本目录(含重难点及课时分布)
高中数学课本内容及其重难点北师大版高中数学必修一 ·第一章集合（考点的难度不是很大，是高考的必考点） · 1、集合的基本关系 · 2、集合的含义与表示 · 3、集合的基本运算（重点） （2课时） ·第二章函数 · 1、生活中的变量关系 · 2、对函数的进一步认识 · 3、函数的单调性（重点） · 4、二次函数性质的再研究（重点） · 5、简单的幂函数 （5课时） ·第三章指数函数和对数函数 · 1、正整数指数函数 · 2、指数概念的扩充 · 3、指数函数（重点） · 4、对数 · 5、对数函数（重点） · 6、指数函数、幂函数、对数函数增减性（重点） （3课时） ·第四章函数应用 · 1、函数与方程 · 2、实际问题的函数建模 （2课时） 北师大版高中数学必修二 ·第一章立体几何初步 · 1、简单几何体 · 2、三视图（重点） · 3、直观图（1课时） · 4、空间图形的基本关系与公理（重点） · 5、平行关系（重点）
· 6、垂直关系（重点） · 7、简单几何体的面积和体积（重点） · 8、面积公式和体积公式的简单应用（重点、难点）（4课时） ·第二章解析几何初步 · 1、直线与直线的方程 · 2、圆与圆的方程 · 3、空间直角坐标系 （4课时） 北师大版高中数学必修三 ·第一章统计 · 1、统计活动：随机选取数字 · 2、从普查到抽样 · 3、抽样方法 · 4、统计图表 · 5、数据的数字特征（重点） · 6、用样本估计总体 · 7、统计活动：结婚年龄的变化 · 8、相关性 · 9、最小二乘法 （3课时） ·第二章算法初步 · 1、算法的基本思想 · 2、算法的基本结构及设计（重点） · 3、排序问题（重点） · 4、几种基本语句 （2课时） ·第三章概率 · 1、随机事件的概率（重点） · 2、古典概型（重点） · 3、模拟方法――概率的应用（重点、难点） （4课时） 北师大版高中数学必修四 ·第一章三角函数 · 1、周期现象与周期函数
高中数学七大基本思想方法讲解
高中数学七大基本思想方法讲解 第一：函数与方程思想 （1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用 （2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础 高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查 第二：数形结合思想： （1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面 （2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系 在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系 数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化 第三：分类与整合思想 （1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法 （2）从具体出发，选取适当的分类标准 （3）划分只是手段，分类研究才是目的 （4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性 （5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性 第四：化归与转化思想 （1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题
（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法 （3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化 第五：特殊与一般思想 （1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识 （2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论 （3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程 （4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程 （5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向 第六：有限与无限的思想： （1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路 （2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向 （3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用 （4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查 第七：或然与必然的思想： （1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性 （2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然 （3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点 第一：函数与方程思想 （1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、
高中数学【北师大选修1-1】教案全集
第一章常用逻辑用语1.1 命题 教学过程： 一、复习准备： 阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？ （1）矩形的对角线相等； >； （2）312 >吗？ （3）312 （4）8是24的约数； （5）两条直线相交，有且只有一个交点； （6）他是个高个子. 二、讲授新课： 1. 教学命题的概念： ①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）. 也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件. 上述6个语句中，（1）（2）（4）（5）（6）是命题. ②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）； 假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）. 上述5个命题中，（2）是假命题，其它4个都是真命题. ③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ （1）空集是任何集合的子集； （2）若整数a是素数，则a是奇数； （3）2小于或等于2； （4）对数函数是增函数吗？ x<； （5）215 （6）平面内不相交的两条直线一定平行； （7）明天下雨. （学生自练→个别回答→教师点评） ④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假. 2. 将一个命题改写成“若p，则q”的形式： ①例1中的（2）就是一个“若p，则q”的命题形式，我们把其中的p叫做命题的条件，q 叫做命题的结论. ②试将例1中的命题（6）改写成“若p，则q”的形式. ③例2：将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）两条直线相交有且只有一个交点； （2）对顶角相等； （3）全等的两个三角形面积也相等. （学生自练→个别回答→教师点评） 3. 小结：命题概念的理解，会判断一个命题的真假，并会将命题改写“若p，则q”的形式. 巩固练习： 教材 P4 1、2、3 4. （师生共析→学生说出答案→教师点评） ②例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假： （1）同位角相等，两直线平行； （2）正弦函数是周期函数；
最新高中数学思想方法(附经典例题及详解)
最新高中数学思想 方法 经典例题
经典解析
目录 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案……………………………………
前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳 和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思 想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。
高中数学人教版选修1-2全套教案
高中数学人教版选修1-2全套教案 第一章统计案例 第一课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一） 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析. 教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想. 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？ 2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报. 二、讲授新课： 1. 教学例题： ① 例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示： 体重. （分析思路→教师演示→学生整理）
第一步：作散点图第二步：求回归方程第三步：代值计算 ②提问：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？ 不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右. ③解释线性回归模型与一次函数的不同 事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y和身高x之间的关系并不能用一次=+来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体函数y bx a 重的关系）. 在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e（即残差变量或随机 =++，其中残差变量e中包含体重变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型y bx a e 不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式. 2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义. 3. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.
2017新版北师大版小学数学教材内容整合
北师大版小学数学教材内容整合 册别单 元 内 容 版 块 标题课题摘要 一年级上册 前言数学来源于生活 第 一 单 元 生 活 中 的 数 数 与 代 数 1、可爱的校园10以内的个数有什么，有多少，数一数 2、快乐的家园数的意义1、2、 3、4分别可以表示什么。 3、玩具5以内的数数一数，说一说，写一写 4、小猫钓鱼0的认识生活中用到0的地方 5、文具6—10的认识数一数，写一写，6—10分别可以 表示什么。 第 二 单 元 比 较 统 计 与 概 率 1、动物乐园比多少知道符号>,=,<的意义；会读，会写 2、高矮比高矮谁高谁矮，比一比 3、轻重比轻重说一说、掂一掂、称一称 第 三 单 元 加 减 法 （ 一 ） 数 与 代 数 1、有几支铅笔什么是加法认识加号，理解加号的意义，会读 加法算式。 2、有几辆车加法交换律a+b=b+a；两个数相加，交换加数 的位置，和不变。 3、摘果子什么是减法认识减号，理解减号的意义，会读 减法算式。 4、小猫吃鱼得数是0的减法依次减，直到减到0为止。 练习一5以内的加减法 5、猜数游戏做加法想减法，做减法想加法 6、跳绳8和9的加减法数一数，算一算 7、可爱的企鹅8、9的应用题 练习二9以内的加减法 8、分苹果10的加减法10个苹果分成两堆，每堆有几个？ 9、操场上求谁多谁少的应用题甲比乙多4→乙比甲少4 10、乘车一位数加减混合运算从前往后，依次计算 练习三10的加减法，加减混合运算整理与复习（一）0—10加减法表 11、大家来锻炼生活中处处有数学 第 四 单 元 分 类 统 计 与 概 率 1、整理房间大分类怎样整理，分类依据 2、整理书包小分类怎样整理，分类依据 第 五 单 元 位 置 与 顺 序 空 间 与 图 形 1、前后森林运动会，看图说一说 2、上下看图填一填，说一说 3、左右要发言的请举右手，另一只手是？ 4、教室前后左右上下说一说教室里面有什么，是怎样摆 放的？