杨浦区补习班 新王牌初中数学靳T老师

R o

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杨浦新王牌

靳T老师圆的确定

【学习目标】

了解圆的有关概念，理解圆的概念解决一些实际问题．

【主要概念】

【圆】在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，?另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．

以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”

注意：①图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；

②到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．

③圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，对称轴是任何一条过圆心的直线

【圆的新定义】圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．

①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；

②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB；

③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作AC”，读作“圆弧AC”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示ABC叫做优弧，?小于半圆的弧（如图所示）AC或BC叫做劣弧．

B

A C

O

④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

【圆与点的关系】设一个圆的半径长为R，点P与圆心O的距离为d，

则（1）点P在圆外?d>R

（2）点P在圆上?d=R

（3）点P在圆内?d

【定理】不共线的三点确定一个圆

【例1】举出生活中的圆三、四个；并说明形成圆的方法有多少种？

【解】如车轮、杯口、时针等；圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆．

N

M B A

一、填空题:

1.锐角三角形的外心在_______.如果一个三角形的外心在它的一边的中点上, 则该三角形是______.如果一个三角形的外心在它的外部,则该三角形是_____.

2.边长为6cm 的等边三角形的外接圆半径是________.

3.△ABC 的三边为2,3, 13,设其外心为O,三条高的交点为H,则OH 的长为_____.

4.三角形的外心是______的圆心,它是_______的交点,它到_______的距离相等.

5.已知⊙O 的直径为2,则⊙O 的内接正三角形的边长为_______.

6.如图,MN 所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用________ 次就可以找到圆形工件的圆心. 二、选择题:

7.下列条件,可以画出圆的是( ) A.已知圆心 B.已知半径; C.已知不在同一直线上的三点 D.已知直径 8.三角形的外心是( )

A.三条中线的交点;

B.三条边的中垂线的交点;

C.三条高的交点;

D.三条角平分线的交点

9.下列命题不正确的是( )

A.三点确定一个圆

B.三角形的外接圆有且只有一个

C.经过一点有无数个圆

D.经过两点有无数个圆

10.一个三角形的外心在它的内部,则这个三角形一定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形; C.锐角三角形 D.等边三角形 11.等腰直角三角形的外接圆半径等于( )

A.腰长

B.腰长的

22倍; C.底边的22

倍 D.腰上的高 12.平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为( ) A.1个或3个 B.3个或4个

C.1个或3个或4个

D.1个或2个或3个或4个 三、解答题

13.如图，已知：线段AB 和一点C(点C 不在直线AB 上),求作:⊙O,使它经过A 、B 、C 三点。(要求:尺规作图,不写法,保留作图痕迹)

C

B

A

图（1）

O A

B

C

D

E

F

图（2）O

A

B

C

D

E

F 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 一、教学内容分析

本课是研究同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四组量的关系，在得到的定理的基础上完成其推论，形成圆心角、弧、弦、弦心距四组量的关系的完整的知识结构，并能运用定理和推论进行简单的几何运算和证明. 二、教学目标

1．会用定理和推论进行相关的几何证明和计算.

2．通过同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四组量之间的关系的进一步研究，进一

步掌握相关的概念以及它们之间的联系，发展探索和发现能力，体验事物之间相互依存，相互制约的联系观点和等价转换思想. 三、教学重点及难点

能用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系进行相关的几何证明和计算.引导学生会对定

理推论的探索和论证. 1）． 问题：如图（1），在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE 、OF 分别是AB 、CD 的弦心

距 （1）如果∠AOB ＝∠COF ，可得到哪些结论？ （2）如果 ，能否得到∠AOB ＝∠COD ？ （3）如果AB ＝CD ，能否得到∠AOB ＝∠COD ？

（4）如果OE ＝OF ，能否得到∠AOB ＝∠COD ？

2）．对上面探索活动所获结果进行归纳、小结. 二．获得新知 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相

等

1．定理推论：在同圆或等圆中如果两个圆心角，两条劣弧（或优弧），两条弦，两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等. 2．用几何语言熟练描述圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系. 如图（2）：⊙O 中，OE 、OF 分别是弦AB 、CD 的弦心距 （1）如果∠AOB ＝∠COD ，那么_________________ （2）如果AB ＝CD ，那么____________________ （3）如果 ，那么____________________ （4）如果OE ＝OF ，那么____________________

三．巩固反馈

1、例题精讲 例1 如图（3），在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于E ，OM 、 ON 分别是弦AB 、

CD 的弦心距

（1）如果OM ＝ON ，求证：

AB=CD AB=CD AC=BD

图（3）

E

O A

B

C D M

N

图（4）

E

O

A

B

C

D 图（5）

D A O

E B

C 图（6）

P

O

A B C

D

E

F

AC=BD （2）如果 求证：EO 平分∠AED

例2 例题变式1 如图（4），已知圆O 中，过圆内一点E 作圆O 的两条弦AB 和CD ，AE ＝DE ，求证：

例3 例题变式2 如图（5），已知圆O 外一点E ，过E 作二条射线分别

交圆O 于A 、B 、C 、D 四点， 若AE ＝DE ，求证：

选做题：如图（6）：过圆O 内一点P 作弦AB 、CD ，且AB ＝CD 在 上取两点E 、F ，且 ，求证：直线PO 是EF 的垂直平分线

AC=BD AB=DC

BE=DF BD

直线和圆的位置关系观察⊙0与直线L的运动

由上观察归纳得：

（1）直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线。

（2）直线与圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线

（3）直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

思考：直线与圆有第四种关系吗？即直线与圆是否有第三个交点？

练习一：判断正误：

1直线与圆最多有两个公共点（）

2若C为⊙O上的一点，则过点C的直线与⊙O相切。（）

3若A、B是⊙O外两点，则直线AB与⊙O相离。（）

4若C为⊙O内一点，则过点C的直线与⊙O相交。（）

练习二：生活中还有哪些例子,都给我们直线与圆的位置关系的印象.你能举出1—2个实例吗? (展示课件)

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问题1：能否根据基本概念来判断直线与圆的位置关系？-------直线与圆的公共点的个数

问题2：是否还有其它的方法来判断直线与圆的位置关系？

直线与圆的位置关系：

d表示圆心O到直线L的距离，r表示⊙O的半径

当d>r时，直线L与⊙O相离

当d=r时，直线L与⊙O相切

当d

（三）、巩固练习

填空与选择:：

5.已知⊙O的半径为5cm，O到直线a的距离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是,直线a与⊙O的公共点个数有个.

6已知⊙O的半径是4cm,点O到直线a的距离是4cm,则⊙O与直线a的位置关系是.

一、切线的性质及判定

【例1】 如图，AB 是O 的直径，点D 在AB 的延长线上，过点D 作O 的切线，切点为

C ，若25A =?∠，则

D =∠______．

O

A

C

B D

【例2】 如图，直线AB 与O ⊙相切于点A ，O ⊙的半径为2，若30OBA ∠=?，则OB 的长

为( )

A ．43

B ．4

C ．23

D ．2

O

B

A

【巩固】如图，AB 与O ⊙相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，60AOB ∠=?，

4cm BC =，则切线AB = cm ．

O

D C

B A

【例3】 如图，若O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30?，切线CD 与AB 的延长线交于点D ，

且O 的半径为2，则CD 的长为（ ）

A ．23

B ．43

C ．2

D ． 4

A

C

D

B

O

【巩固】如图，EB 为半圆O 的直径，

点A 在EB 的延长线上，AD 切半圆O 于点D ，BC AD ⊥于点C ，2AB =，半圆O 的半径为2，则BC 的长为_______________．

O

E

D

C

B

A