信号检测与估计理论第一章习题讲解
1-9 已知随机变量X 的分布函数为
2
0,0(),01
1,
1X x F x kx x x
=≤≤??>?
求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量
X 的概率密度。
解：
第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1
第②问
{}{}{}
()()
0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-
第③问 201
()()0
X X x
x d F x f x else
dx ≤
?
1-10已知随机变量X 的概率密度为()()
x
X f x ke
x -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：
①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解：
第①问 ()1
1
2
f x dx k ∞
-∞==? 第②问 {}()()()21
1221x x P x X x F x F x f x dx <≤=-=?
随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。
{}{}()()
1
0101011
12
P X P X f x dx
e -<<=<≤==-?
第③问
()102
10
2
x
x e x f x e x -?≤??=?
?>??
()00()1100
2
2111010
2
22
x
x x
x
x x x x F x f x dx
e dx x e
x e dx e dx
x e x -∞
-∞---∞=??≤≤????==?
?
??+>->?????
???
1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？
,(01)p q λ
→∞→→∞→????????→
????????→
????????→n=1
n ,p 0,np=n 成立，0不成立
-分布
二项分布泊松分布
高斯分布
汽车站出事故的次数不小于2的概率
()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案
0.1
P(2)1 1.1k e -≥=-10
0.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布
()np
!
k e P X k k λ
λλ-=＝
＝
1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为
(34)0,0
(,)0x y XY ke
x y f x y -+?>>?=?
??
,,其它
求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？
第③问 方法一：
联合分布函数(,)XY F x y 性质：
若任意四个实数1
2
1
2
,,,a a b b ，满足
1212,a a b b ≤≤，则
121222111221{,}(,)(,)(,)(,)
XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--
{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ?<≤<≤=+--
方法二：利用
(){(,)},XY D
P x y D f u v dudv
∈∈??
)(21
0{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=?
?
1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为
101,(,)0x y x
f x y ?<<<=??
,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。
先求边缘概率密度()X f x 、()Y f y
注意上下限的选取
()X 2,01
,01(),00,x
x XY x x dy x f x f x y dy else else +∞--∞?<<<
???
??， ()1
1
,01
1||(),,100
11,y Y XY y
dx
y y f y f x y dx dx y else
y else
+∞-∞
-?
<
-?
?===?
?-<<-<
???
1-14 已知离散型随机变量X 的分布律为
求：①X 31X +的分布律
1-15 已知随机变量X 服从标准高斯分布。求：①随机变量X
Y e =的概率密度？②随机变量Z X =的概率密度？ 分析:①[]()'()()Y X f y h y f h y =?
②1122()|'()|[()]|'()|[()]Y X X f y
h y f h y h y f
h y =?+? 答案:
()2
2
ln 2
2
100()()00
y z Y Z e y z f y f z else
else
-
-?>≥==?
?
1-16 已知随机变量1
X 和2
X 相互独立，概率密度分别为
1112
1111,0()2
0,0
x X e x f x x -??≥=??
，
2213
2221,0()3
0,0
x X e x f x x -??≥=??
求随机变量12Y X X =+的概率密度？
解：设112
21
()Y Y X X Y X ==+??=?任意的 求反函数，求雅克比J ＝－1
()12
121136
121210,6
0y y Y Y e y y f y y else
--??≥≥=???
()11111
321100
y y Y e e y f y else --??-≥=????
1-17 已知随机变量,X Y 的联合分布律为
{}5
32m,,,0,1,2,
!!m n e P X Y n m n m n -===
= 求：①边缘分布律{}m (0,1,2,)
P X m ==和{}(0,1,2,)
P Y n n ==？
②条件分布律{}m |P X Y n ==和{}|m P Y n X ==？
分析：{}32
532m,,,0,1,2,
!!32!!
m n m n e P X Y n m n m n e e m n ---=?====
泊松分布 {},0,1,2,
!
k e P X k k k λ
λ-==
=
{}0
1!
!
k k k
k k P X k e e e k e k λ
λλλλλ-∞
=∞∞
--======?=∑∑
∑
P19 （1－48）
解：①{}{}12
1
332m !m,!n m n n e P X P X Y n e n m -=∞
=∞-=====∑∑
{}{}2
1
n m 2,!n n P Y P X Y n e n ∞
=-=====∑同理 ②{}{}{}m,n P X Y n P X m P Y ?====＝ 即X 、Y 相互独立
1-18 已知随机变量1
2
,,
,n
X X X 相互独立，概率密度分别为
1122(),(),,()
n n f x f x f x 。又随机变量
1121212n n
Y X Y X X Y X X X =??
=+????=++
+?
证明：随机变量1
2
,,
,n
Y Y Y 的联合概率密度为
12112211(,,
,)()()
()
Y n n n n f y y y f y f y y f y y -=--
11
212121
212323*********n n n
n n n n n
Y X Y X X X Y Y Y X X X X Y Y Y X X X X Y Y Y X X X X ----=??
=+=-????=++=-????
?
?
??=+++=-??=+++?+??
10
000110
1
001000011000
011
J -=
=--
因为|J|＝1,故 已知随机变量
12,,,n
X X X 相互独立，概率密度分别为
1122(),(),
,()
n n f x f x f x
X 121211(,,,)(,,,)
n Y n n f y y y f y y y y y -=--12121111221X 1(,,
,)(,,
,)()()
()
n n n n n n Y f y y y f y y y y y f y f y y f y y --=--=--