初中数学方程与不等式之二元二次方程组真题汇编及答案

初中数学方程与不等式之二元二次方程组真题汇编及答案

一、选择题

1．解方程组：248

x y x xy +=??-=?.

【答案】1113x y ?=+??=??

2213x y ?=??=+??【解析】

【分析】

把4x y +＝变形为用含x 的代数式表示y ，把变形后的方程代入另一个方程，解一元二次方程求出x 的值，得方程组的解.

【详解】

解：248x y x xy +=??-=?①②

由①得，4y x ＝﹣

③ 把③代入①，得248x x x ﹣（﹣）＝

整理，得2240x x ﹣﹣＝

解得：1211x x ＝＝，

把1x ＝③

，得1413y ＝﹣（

把1x ③

，得2413y ＝﹣（

所以原方程组的解为：1113x y ?=??=-??

2213x y ?=-??=??. 【点睛】

本题考查了方程组的解法和一元二次方程的解法，代入法是解决本题的关键.

2．解方程组：

⑴3{351x y x y -=+= ⑵3+10{2612

x y z x y z x y z -=+-=++= 【答案】（1）2

{1x y ==-；（2）3{45

x y z ===

【解析】（1）先用代入消元法求出x 的值，再用代入消元法求出y 的值即可．

（2）先利用加减消元法去z 得到关于x 、y 的两个方程，解这两个方程组成的方程组求出x 、y ，然后利用代入法求z ，从而得到原方程组的解.

（1）

2

{

1

x

y

=

=-

； (2)

3

{4

5

x

y

z

=

=

=

“点睛”本题考查了解二元一次方程组、三元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把解三元一次方程组的问题转化为二元一次方程组的问题.

3．解方程组

【答案】原方程组的解为：，

【解析】

【分析】

把第一个方程代入第二个方程，得到一个关于x的一元二次方程，解方程求出x，把x代入第一个方程，求出y即可.

【详解】

解：

把①代入②得：x2-4x（x+1）+4（x+1）2=4，

x2+4x=0，

解得：x=-4或x=0，

当x=-4时，y=-3，

当x=0时，y=1，

所以原方程组的解为：，．

故答案为：，．

【点睛】

本题考查了解高次方程，降次是解题的基本思想.

4．已知1

13 2

x y =

?

?

=-?是方程组

22

x y m

x y n

?+=

?

+=

?

的一组解，求此方程组的另一组解.

【答案】2

2-2 3

x y =

?

?

=

?

【解析】

【分析】

先将1

13 2

x y =

?

?

=-?代入方程组

22

x y m

x y n

?+=

?

+=

?

中求出m、n的值，然后再求方程组的另一组

解．【详解】

解：将1132x y =??=-?代入方程组22x y m x y n

?+=?+=?中得：131m n =??=? ， 则方程组变形为：22131

x y x y ?+=?+=?， 由x+y=1得：x=1-y ，

将x=1-y 代入方程x 2+y 2=13中可得：y 2-y-6=0，即（y-3）（y+2）=0，

解得y=3或y=-2，

将y=3代入x+y=1中可得：x=-2；

所以方程的另一组解为：22-23x y =??

=? . 【点睛】

用代入法解二元二次方程组是本题的考点，根据题意求出m 和n 的值是解题的关键.

5．解方程组：222920

x xy y x y ?++=?--=?． 【答案】5212x y ?=????=??或1252x x ?=-????=-??

. 【解析】

【分析】

先变形（1）得出x+y=1，x+y=-1，作出两个方程组，求出方程组的解即可．

【详解】

22291202x xy y x y （）（

）?++=?--=?， 由（1）得出x+y=3，x+y=-3，

故有32x y I x y +=??-=?或x+y=-3II x-y=2???

解得：5212x y ?=????=??或1252x x ?=-????=-??

原方程组的解是5212x y ?=????=??或1252x x ?=-????=-??

【点睛】

本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组的应用，解此题的关键是能把高次方程组转化成二元一次方程组．

6．解方程组：2263100x y x xy y -=??+-=?

【答案】11126x y =??

=?，1151x y =??=-? 【解析】

【分析】

先将二次方程化为两个一次方程，则原方程组化为两个二元一次方程组，解方程组即可．

【详解】

解：226

3100x y x xy y -=??+-=?

由②得：()()250x y x y -+=

原方程组可化为620x y x y -=??-=?或650

x y x y -=??+=?， 解得：11126x y =??=?，11

51x y =??=-?． ∴原方程组的解为11126x y =??

=?，11

51x y =??=-?. 【点睛】

本题考查了解高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．

7．解方程组：223020x y x y -=??+=?

.

【答案】1212x x y y ??==-????==???

? 【解析】

【分析】

把第一个方程化为x=3y ，代入第二个方程，即可求解.

【详解】

由方程①，得x ＝3y③，

将③代入②，得(3y )2+y 2＝20，

整理，得y 2＝2，

解这个方程，得y 1

，y 2

④，

将④代入③，得x 1＝

，2x ＝﹣

所以，原方程组的解是11x y ?=??=??

11x y ?=-??=??【点睛】

该题主要考查了代入法解二元二次方程组，代入的目的是为了消元，化二元为一元方程，从而得解.

8．解方程组：2220334x y x y y -=??+-=?

. 【答案】21x y =??=?或63x y =-??=-?

【解析】

【分析】

由①可知x=2y ，代入②可得一个关于y 的一元二次方程，进行解答，求出y 值，再进一步求x 即可．

【详解】

解：2220......33 4......x y x y y -=??+-=?

①② , 由①得：2x y =………… ③

将③代入②，化简整理，得：

2340y y +-=，

解得：13y y ==-或，

将13y y ==-或代入①，得：

21x y =??=?或63

x y =-??=-?. 【点睛】

考查了解方程组，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数，再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．

9．解方程组：222221x y x xy y +=??++=?

【答案】1110x y =??=?，22

34x y =??=-?． 【解析】

【分析】

由方程②得出x +y =1，或x +y =﹣1，进而解答即可．

【详解】

222221x y x xy y +=??++=?①②，由②可得：x +y =1，或x +y =﹣1，所以可得方程组221x y x y +=??+=?

①③或221x y x y +=??+=-?

①④，解得：1110x y =??=?，2234x y =??=-?； 所以方程组的解为：1110x y =??=?，22

34x y =??=-?． 【点睛】

本题考查了解二元二次方程组，关键是根据完全平方公式进行消元解答．

10．解方程组： 22320449x y x xy y -+=??++=?

． 【答案】1111x y =??=?,2213515x y ?=-????=-??

． 【解析】

【分析】

由完全平方公式，组中②可变形为（x +2y ）2＝9，即x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3．这样原方程组可变形为关于x 、y 的两个二元一次方程组，这两个二元一次方程组的解就是原方程组的解．

【详解】

22320449x y x xy y -+=??++=?

①② 由②得：（x +2y ）2＝9，

即：x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3

所以原方程组可化为3223x y x y -=-??+=?； 3223

x y x y -=-??+=-?． 解方程组3223x y x y -=-??+=?

；得1111x y =??=?； 解方程组3223x y x y -=-??+=-?．得2213515x y ?=-????=-??

．

∴原方程组的解是得1111x y =??=?；得2213515x y ?=-????=-??

． 【点睛】

本题考查了二元二次方程组的解法．把二元二次方程组转化为一元一次方程组是解决本题的关键．

11．解方程组： 2223412916x y x xy y -=??-+=?

． 【答案】121

2117,210x x y y ?=-=-???

?=-=-??? 【解析】

【分析】

根据代入消元法，将第一个方程带入到第二个方程中，即可得到两组二元一次方程，分别计算解答即可

【详解】 2223412916x y x xy y -=??-+=?

①② 由②得：（2x ﹣3y ）2＝16，

2x ﹣3y ＝±4，

即原方程组化为23234x y x y -=??-=?和23234x y x y -=??-=-?

， 解得： 121

2117,210x x y y ?=-=-????=-=-???， 即原方程组的解为：1212117,210x x y y ?=-=-????=-=-???

． 【点睛】

本题的关键是将第一个方程式带入到第二个方程式中得到两组方程组

12．21238438xy x y yz z y zx z x =+-??=+-??=+-?

【答案】231x y z =??=??=?或3521

x y z =???=??=-?? 【解析】

【分析】

将x 和z 分别都用y 表示出来，代入第三个方程，解出y ，然后就可以解出x 、z ．

【详解】

解：21238438xy x y yz z y zx z x =+-??=+-??=+-?

①②③ 由①得：12y x y -=

-④ 由②得：382

y z y -=-⑤ 将④⑤代入③得：

1384(38)3(1)82222y y y y y y y y ----=+-----g ， 去分母整理得：2422300y y -+=，

∴2(3)(25)0y y --=，

3y ∴=或52

=， 将3y =分别代入④⑤得：2x =，1z =； 将52

y =分别代入④⑤得：3x =，1z =-； 综上所述，方程组的解为：231x y z =??=??=?或3521

x y z =???=??=-??． 【点睛】

本题考查了三元二次方程组的解法，解方程的基本思想是消元，任意选择两个方程将两个未知数用第三个未知数表示，即可代入第三个方程，解出一个未知数之后，剩下两未知数就可直接算出．

13．解下列方程组：

（1）222220560

x y x xy y ?+=?-+=?

（2）217,11 1.x y x y x y x y ?-=?+-???+=-?+-?

【答案】（1

）31241

23444,,22x x x x y y y y ????===-=-????????==-==????????2）112512x y ?=????=??

【解析】

【分析】

（1）把原方程组化为：222020x y x y ?+=?-=?或222030

x y x y ?+=?-=?再分别解这两个方程组可得答案． （2）把两个方程相加得12x y +=，再代入求得13

x y -=-，联立求解并检验可得答案． 【详解】

解：（1）因为222220560x y x xy y ?+=?-+=?

把22560x xy y -+=化为：(2)(3)0x y x y --=，

即20x y -=或30x y -=

原方程组化为：222020x y x y ?+=?-=?或222030x y x y ?+=?-=?

因为222020x y x y ?+=?-=?

把20x y -=化为2x y =，把2x y =代入2220x y +=中，

得24y =，所以2y =± ，

所以方程组的解是42x y =??=?

或42x y =-??=-? 同理解222030x y x y ?+=?-=?

得方程组的解是x y ?=??=??

或x y ?=-??=??

所以原方程组的解是：31241

23444,,22x x x x y y y y ????===-=-????????==-==????????（2）因为217,111.x y x y x y x y ?-=?+-???+=-?+-?

①②

所以①＋②得：

36x y =+，所以12x y +=，把12x y +=代入② 得：13

x y -=-， 所以1213x y x y ?+=????-=-??，解得：112512x y ?=????=?? 经检验112512x y ?=????=??是原方程组的解，所以原方程的解是112512x y ?=????=??

【点睛】

本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验是必须步骤．

14．解方程组：2228560x y x xy y +=??+-=?

【答案】11122x y =??=-?，228383x y ?=????=??

【解析】

【分析】

先将第2个方程变形为x +6y ＝0，x ﹣y ＝0，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可．

【详解】

解：2228560x y x xy y +=??+-=?

①②， 由②得：x +6y ＝0，x ﹣y ＝0，

原方程组可化为2860x y x y +=??+=?或280x y x y +=??-=?

， 故原方程组的解为11122x y =??=-?，228383x y ?=????=??

． 【点睛】

本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到

的知识点是因式分解、加减法．

15．(1)解方程组：22120x y x xy y -=??--=? (2)解方程组：51121526x y x y x y x y

?+=?+-???-=?+-? 【答案】（1）21x y =??=?或1212x y ?=????=-??；（2）1213x y ?=????=??

【解析】

【分析】

（1）由1x y -=得1x y =+，将其代入2220x xy y --=求出y 的值，再根据y 的值分

别求出对应的x 的值即可；

（2）设1A x y =+，1B x y

=-，方程组变形后求出A ，B 的值，然后得到关于x ，y 的方程组，再求出x ，y 即可．

【详解】

解：（1）由1x y -=得：1x y =+，

将1x y =+代入2220x xy y --=得：()()2

21120y y y y +-+-=， 整理得：2

201y y --=，

解得：1y =或12y =-， 将1y =代入1x y -=得：2x =， 将12y =-代入1x y -=得：12

x =， 故原方程组的解为：21x y =??=?或1212x y ?=????=-??

； （2）设1A x y =+，1B x y

=-， 则原方程组变为：5121526A B A B +=??-=?

， 解得：656

A B ?=???=?，

∴66516x y x y +=???-=??

， 解得：1213x y ?=????=??

， 经检验，1213x y ?=????=??

是方程组的解． 【点睛】

本题考查了解二元二次方程组以及解分式方程组，熟练掌握代入消元法以及换元法是解题的关键．

16．解方程组：2241226x y x y ?-=?+=?①②

． 【答案】41x y =??=?

． 【解析】

【分析】

将①分解因式可得(2)(2)12x y x y -+=，再将将②代入③后得22x y -=，然后与②组成可得

【详解】

解：由①得(2)(2)12x y x y -+=．③

将②代入③，得22x y -=．④

得方程组2226x y x y -=??+=?

， 解得41x y =??=?

， 所以原方程组的解是41x y =??=?

． 【点睛】

本题考查了解二元二次方程组，解题思路是降次，可以利用代入法或分解因式，达到降次的目的．

17．k 为何值时，方程组2216x y x y k

?+=?-=?只有唯一解？ 【答案】

k=±.

【解析】

【分析】

将方程组转化为一元二次方程，根据△=0求解即可.

【详解】

2216(1)(2)x y x y k ?+=?-=?

由（2）得， y=x-k （3）

将（3）代入（1）得，2222160x kx k -+-=，

要使原方程组有唯一解，只需要上式的△=0，即

22(2)42(16)0k k --??-=，

解得，

k=±.

所以当

k=±2216x y x y k ?+=?-=?

只有唯一解. 【点睛】

本题考查的是高次方程的解法和一元二次方程根的判别式的应用，掌握当判别式为0时，一元二次方程有两个相等的实数根是解题的关键．

18．解方程组：22444{10x xy y x y -+=++=①②

． 【答案】110

{1x y ==-，2243

{13x y =-=．

【解析】

试题分析：由①得出x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2，原方程组转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．

试题解析：由①得：x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2．

原方程可化为：22

{1x y x y -=+=-，22{1

x y x y -=-+=-． 解得，原方程的解是110

{1x y ==-，2243

{13x y =-=．

考点：高次方程．

19．解方程22220x y x xy y -=??--=?

①② 【答案】114,2x y =??=?，22

1,1x y =??=-?． 【解析】

【分析】

先把2220x xy y --=化为(2)()0x y x y -+=，得到20x y -=或0x y +=，再分别联立2x y -=求出x,y 即可．

【详解】

2220x xy y --=可以化为：(2)()0x y x y -+=，

所以：20x y -=或0x y +=

原方程组可以化为：2,20x y x y -=??-=?（Ⅰ）与2,0x y x y -=??+=?

（Ⅱ） 解（Ⅰ）得4,2x y =??=?，解（Ⅱ）得1,1x y =??=-?

答：原方程组的解为114,2x y =??=?与22

1,1x y =??=-?． 【点睛】

此题主要考查二元方程的求解，解题的关键是把原方程变形成两个二元一次方程组进行求解．

20．解方程组：2234021x xy y x y ?--=?+=?

． 【答案】112316x y ?=????=??

，2211x y =-??=? 【解析】

【分析】

方程组中第一个方程可因式分解为两个二元一次方程，这两个方程与组中的另一个方程组成两个二元一次方程组，解这两个二元一次方程组即可求得原方程组的解．

【详解】

解：2234021x xy y x y ①②?--=?+=?

， 由①得：(x ﹣4y )(x +y )＝0，∴x ﹣4y ＝0或x +y ＝0．

原方程组可化为4021x y x y -=??+=?，021x y x y +=??+=?

． 解4021x y x y -=??+=?，得112316x y ?=????=??

；解021x y x y +=??+=?，得，2211x y =-??=?． ∴原方程组的解为112316x y ?=????=??

，2211x y =-??=? 【点睛】

本题考查了二元二次方程组的解法，熟练掌握解法是求解的关键.