复合函数的求导

复合函数的求导

【教材分析】我校选用的人教A版教材，在新课标中对于这节内容的要求是掌握运用，在实际教学中要注意对学生的练习训练。这节内容分散在函数的教学任务当中，与函数的综合运用紧密联系在一起，注重考查学生对于函数知识的理解和运用。复合函数求导的重要内容既涉及常见函数的求导法则，同时要求学生能准确理解复合函数的求导法则，熟练掌握复合函数的求导方法，这是教材导数部分的重点也是难点。在教学设计的整体思路上采用由特殊到一般，由简单到复杂的思想，以教师精讲，学生多练，结合启发式教学法、比较法等方法发挥学生主体作用。

【学情分析】我带两个文科班级，学生的数学底子薄弱，尤其在函数方面的知识应用的能力需要提高。在高一阶段的函数知识的学习上，可以感觉到学生在这一方面的学习上还有不少缺陷，但限于课时的安排，只能暂时割弃。这样，学生在函数的理解上就处于半懂半不懂的状态，还需要进行一定量的强化练习才能在函数的有关习题中获得自己的一些体会。在涉及到复合函数的知识中，学生容易不理解其概念意义，从而在学习上遇到很大的困难。在前面的学习当中，一些学生已经暴露出一些迷惑，再加上在函数内容的学习中有了一些短处，在研究复合函数的相关性质上，难度就进一步加大了。在不影响教学进度的情况下，对于这类内容的讲解会适当放慢，加大学生课堂思考的时间，争取可以在课堂上解决一些疑问。再配合课下的一些相关练习，让学生可以理解清晰，掌握明白。

【教学目标】

1、知识与技能

理解掌握复合函数的求导法则，能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导。

2、过程与方法

回顾函数的求导法则以及复合函数的相关概念，在学习当中，采用由特殊到一般、由简单到复杂的思想方法，在教师的引导下，思考学习复合函数的求导知识。

3、情感、态度和价值观

培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律的态度。在学习当中，体验由特殊到一般、由简单到复杂的数学思想，进一步培养

对数学的热爱之情。

【教学重点】 复合函数的求导法则的概念与应用。

【教学难点】 复合函数的求导法则的导入与理解。

【授课类型】 新授课 。

【课时安排】 2课时 。

【教 具】 多媒体、实物投影仪 。

【内容分析】

复合函数的导数是导数的重点，也是导数的难点。要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导。求导时对哪个变量求导要写明，可以通过具体的例子，让学生对求导法则有一个直观的了解。

【教学过程】

一、复习引入：

引导学生回忆前面关于复合函数的相关概念。主动积极回答，说明其中的注意要点。

1. 常见函数的导数公式：

0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=

2.法则1

)()()]()(['''x v x u x v x u ±=±。 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=

法则3 '

2''(0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 基本初等函数已经学习了求导内容，那么一般初等函数的求导过程如何？可不可以利用复合函数的观点来求导？下面，我们一起来思考这两个问题，寻找答案。

复合函数的定义：一般地，对于两个函数()()y f u u g x ==和，如果通过变量,u y 可以表示成x 的函数，那么称这两个函数为函数()()y f u u g x ==和的复合函数（composite function ），记作(())y f g x =。

复合函数的简单理解: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数。由函数

()()y f u u g x ==和复合而成的函数一般形式是(())y f g x =，其中u 称为中间变量。

二、讲解新课：

求函数2(32)y x =-的导数的方法与思路。同学们可以想一想。可以分小组

进行讨论，让学生自己在这个问题开动脑筋，引导进复合函数的求导中来。

方法一：22[(32)](9124)1812x y x x x x '''=-=-+=-；

方法二：将函数2(32)y x =-看作是函数2y u =和函数32u x =-复合函数，并分别求对应变量的导数如下：

2()2u y u u ''==，(32)3x u x ''=-=

两个导数相乘，得

232(32)31812u x y u u x x ''==-=-，

从而有 x u x u y y '''?=

试一试：22)2(x y -=的求导。与上题发现什么相同的东西？

1、复合函数的导数：设函数u=?(x)在点x 处有导数u ′x=?′(x)，函数y=f(u)在点x 的对应点u 处有导数y ′u=f ′(u)，则复合函数y=f(? (x))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x(?(x))=f ′(u) ?′(x)。

2、复合函数的求导法则

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 。

3、复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代。这个基本步骤可以让学生自己总结。

三、讲解范例：

例1试说明下列函数是怎样复合而成的？

⑴32)2(x y -=； ⑵2sin x y =； ⑶)4cos(x y -=π

； ⑷)13sin(ln -=x y 。

解：⑴函数32)2(x y -=由函数3u y =和22x u -=复合而成；

⑵函数2sin x y =由函数u y sin =和2x u =复合而成； ⑶函数)4cos(x y -=π由函数u y cos =和x u -=4

π

复合而成； ⑷函数)13sin(ln -=x y 由函数u y ln =、v u sin =和13-=x v 复合而成。 说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

例2写出由下列函数复合而成的函数：

⑴u y cos =，2

1x u +=； ⑵u y ln =，x u ln =。 解：⑴

)1cos(2x y +=； ⑵)ln(ln x y =。 例3求5)12(+=x y 的导数。 解：设5u y =，12+=x u ，则

x u x u y y '''?=)'12()'(5+?=x u x

2)12(52544?+=?=x u 4)12(10+=x 。

注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导。

例4求y =sin 2(2x +3

π)的导数. 分析: 设u =sin(2x +

3π)时，求u ′x ，但此时u 仍是复合函数，所以可再设v =2x +3

π. 解：令y =u 2，u =sin(2x +

3π)，再令u =sin v ，v =2x +3π ∴x u x u y y '''?==y ′u (u ′v ·v ′x )

∴y ′x =y ′u ·u ′v ·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(2x +3

π)′x =2u ·cos v ·2=2sin(2x +3π)cos(2x +3

π)·2 =4sin(2x +3π)cos(2x +3π)=2sin(4x +3

2π) 即y ′x =2sin(4x +

32π) 例5求32c bx ax y ++=的导数.

解：令y =3u ，u =ax 2+bx +c

∴x u x u y y '''?==(3u )′u ·(ax 2

+bx +c )′x =3231-u ·(2ax +b ) =31(ax 2+bx +c )32-(2ax +b )=322)

(32c bx ax b ax +++ 即y ′x =322)(32c bx ax b

ax +++

四、课堂练习：

1、求下列函数的导数(先设中间变量，再求导).

（1）4)35(-=x y （2）3)32(x y -= （3）22)13(2-+=x x y

五、小结 ：

（1）复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导。

（2）复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代 。

（3）复合函数求导公式的推导过程：在其中运用了由特殊到一般，由简单到复杂的思想方法。

六、课后作业：

习题作业

七、板书设计

略

八、课后反思

学生在复合函数的概念理解上还是有一些疑惑，对于这点在以后的教学中要时刻注意。在引入复合函数的求导过程中时，学生对于分部求导的关系还较难发现，需要特别提示。在中间变量的理解方面，有时还会忽略。在例题练习方面，以简单问题为示范，向学生展示怎样看待函数的内外层，及分部求导的过程应怎样写清楚。

在教学中，对复合函数的求导公式来由中体现的数学思想方法，应该更加透彻一些，讲解应该更深度，让学生可以明确自己所用的数学思维。