大学物理答案第6章

第六章 气体动理论

6－1 一容积为10L 的真空系统已被抽成1.0×10-5 mmHg 的真空，初态温度为20℃。为了提高其真空度，将它放在300℃的烘箱内烘烤，使器壁释放出所吸附的气体，如果烘烤后压强为1.0×10-2 mmHg ，问器壁原来吸附了多少个气体分子?

解：由式nkT p =，有

3202352/1068.1573

1038.1760/10013.1100.1m kT p n 个?≈?????==-- 因而器壁原来吸附的气体分子数为

个183201068.110101068.1?=???==?-nV N

6－2 一容器内储有氧气，其压强为1.01?105 Pa ，温度为27℃，求：（l ）气体分子的数密度；（2）氧气的密度；（3）分子的平均平动动能；（4）分子间的平均距离。（设分子间等距排列）

分析：在题中压强和温度的条件下，氧气可视为理想气体。因此，可由理想气体的物态方程、密度的定义以及分子的平均平动动能与温度的关系等求解。又因可将分子看成是均匀等距排列的，故每个分子占有的体积为30d V =，由数密度的含意可知d n V ,10=即可求出。

解：（l ）单位体积分子数

3

25m 1044.2-?==kT p n

（2）氧气的密度 3

m kg 30.1-?===RT pM V m ρ

（3）氧气分子的平均平动动能

J 1021.62321k -?==kT ε

（4）氧气分子的平均距离

m 1045.3193-?==n d

6－3 本题图中I 、II 两条曲线是两种不同气体（氢气和氧气）在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线。试由图中数据求：（1）氢气分子和氧气分子的最概然速率；（2）两种气体所处的温度。

分析：由M RT v /2p =可知，在相同温度下，由于不同气体的摩尔质量不同，它们的最概然速率p v 也就不同。因22O H M M <，故氢气比氧气的p v 要大，由此可判定图中曲线II 所标13p s m 100.2-??=v 应是对应于氢气分子的最概然速率。从而可求出该曲线所对应的温度。又因曲线I 、II 所处的温度相同，故曲线I 中氧气的最概然速率也可按上式求得。

解：（1）由分析知氢气分子的最概然速率为

13P s m 100.2/2)(22-??==H H M RT v

利用16/22H O =M M 可得氧气分子最概然速率为

1

2H P O O P s m 100.54)(/2)(222-??===v M RT v （2）由M RT v /2p =得气体温度 K 1081.42/22p ?==R M v T

6－4 有N 个质量均为m 的同种气体分子，它们的速率分布如本题图所示。（1）说明曲线与横坐标所包围面积的含义；（2）由N 和v 0求a 值；（3）求在速率v 0/2到3v 0/2间隔内的分子数；（4）求分子的平均平动动能.

分析：处理与气体分子速率分布曲线有关的问题时，

关键要理解分布函数()v f 的物理意义。v

N N v f d /d )(=题中纵坐标v N v Nf d /d )(=，即处于速率v 附近单位速率

区间内的分子数。同时要掌握)(v f 的归一化条件，即

1d )(0=?∞

v v f 。在此基础上，根据分布函数并运用数学方

法（如函数求平均值或极值等），即可求解本题。

解：（l ）由于分子所允许的速率在0到2v 0的范围内，由归一化条件可知图中曲线下的面积

()N v v Nf S v ==?0

20d

即曲线下面积表示系统分子总数N 。

（2）从图中可知，在0到v 0区间内，

0/)(v av v Nf =；而在v 0到2v 0

区间内，a v Nf =)(。则利用归一化条件有 ??

+=000200d d v v v v a v v av N

得 03/2v N a =

（3）速率在v 0/2到3v 0/2间隔内的分子数为

12/7d d 2/32/00000N v a v v av N v v v v =+=???

(4)分子速率平方的平均值按定义为

习题6－3图

习题6－4图

??∞∞==02022d )(/d v v f v N N v v

故分子的平均平动动能为

2022300236

31)(2121000mv dv v N a dv v Nv a m v m v v v K =+==??ε 6－5 当氢气的温度为300℃时，求速率在区间3000m/s 到3010m/s 之间的分子数ΔN 1与速率在区间v p 到v p +10m/s 之间的分子数ΔN 2之比。

解：氢气在温度T =273+300=573开时的最可几速率v p 为

/2182002.0573

31.822秒米××===M RT

v p

麦克斯韦速度分布公式可改写为

x e x N N x ?=?-224

π

则速度在3000米/秒~3010米/秒间的分子数

2182102182300042

2182300021???

?????? ??=???

?

??

-e πN N

速度在v p ~ v p 10米/秒间的分子数

e πN N ???

??????

??=???

?

??-2182102182218242

2182218222

故 78021823000 2218230002

21 .e e

N N =??? ??=????

?

??

6－6 有N 个粒子，其速率分布函数为

C Ndv dN

v f ==)( (v 0>v >0)

0)(=v f (v >v 0)

(1) 作速率分布曲线；（2）求常数C ；（3）求粒子的平均速率。

解： （2）由归一化式

??===∞0

001)(v Cv Cdv dv v f

得 0

1

v C =

J 1049.72321k -?==kT ε

6－10 质点离开地球引力作用所需的逃逸速率为gR v 2=，其中R 为地球半径。（1）若使氢气分子和氧气分子的平均速率分别与逃逸速率相等，它们各自应有多高的温度；（2）说明大气层中为什么氢气比氧气要少。（取R= 6.40?106 m ）

分析：气体分子热运动的平均速率M RT v π/8=。对于摩尔质量M 不同的气体分子，为使v 等于逃逸速率v ，所需的温度是不同的；如果环境温度相同，则摩尔质量M 较小的就容易达到逃逸速率。

解：（1）由题意逃逸速率gr v 2=，而分子热运动的平均速率M RT v π/8=。当v v =时，

有 R Mrg v R M T 482ππ==

由于氢气的摩尔质量 1

3H mol kg 100.22--??=M ，

氧气的摩尔质量 1

2O mol kg 102.32--??=M

则它们达到逃逸速率时所需的温度分别为 K 1089.1,K 1018.15O 4H 22?=?=T T

（2）根据上述分析，当温度相同时，氢气的平均速率比氧气的要大（约为4倍），因此达到逃逸速率的氢气分子比氧气分子多。按大爆炸理论，宇宙在形成过程中经历了一个极高温过程。在地球形成的初期，虽然温度已大大降低，但温度值还是很高。因而，在气体分子产生过程中就开始有分子逃逸地球，其中氢气分子比氧气分子更易逃逸。另外，虽然目前的大气层温度不可能达到上述计算结果中逃逸速率所需的温度，但由麦克斯韦分子速率分布曲线可知，在任一温度下，总有一些气体分子的运动速率大于逃逸速率。从分布曲线也可知道在相同温度下氢气分子能达到逃逸速率的可能性大于氧气分子。

6－11 讨论气体分子的平动动能22

1mv =ε的分布函数，归一化条件，及求任意函数)(εg 的平均值公式。并由麦克斯韦气体分子速率分布函数导出动能分布函数，求出最可几动能。

解：在动能空间中取一小区间εεεd +-，小区间内分子数dN 占总分子数N 之比为

εεd f N

dN )(= 其中)(εf 为分子动能分布函数，它满足归一化条件：

1)(0

=?∞

εεd f

任意函数)(εg 的平均值公式：

εεεεd f g g ?∞

=0

)()()(

令

dv kT mv v kT m dv v f d f ?-??

? ??==)2exp(24)()(222/3ππεε 可求出

εεεπεεd kT kT d f ?-?=)ex p()1(

2)(2/3 令 0)(=ε

εd df 可得最可几动能 2

kT p =ε 6－12 已知在单位时间内撞击在容器壁单位面积上的分子数为

v n 41。假定一边长为1米的立方箱子，在标准情况下盛有25103×个氧分子，计算1秒钟内氧分子与箱子碰撞的次

数。

解：氧分子在标准状态下算术平均速率v

425032

.014.327331.888=???==M RT v π米/秒 每边长为1米的立方箱的总面积

S =6?1?1=6米2

则

28251091.164251034

141?=*???=?=S v n N 次/秒 6－13 在标准状态下氦气（He ）的内摩擦系数η=1.89×10-5帕秒，摩尔质量M 为0.004千克，平均速率v 为1.20×103米/秒。试求：（1）在标准状态氦原子的平均自由程。（2）氦

原子的半径。

解：（1）由公式λρηv 3

1=，则 v

ρηλ3=

因为气体密度 178.010

4.2210433

=??==--v M ρ千克/米3

73

51065.21020.1178.01089.133 --?=????==∴v ρηλ米 （2） ρ

πηπλ22221 d RT d == 由氦原子直径

1057231079.110013.114.31065.241.12731038.12---?=???????==

ρλπRT

d 米 氦原子半径为 101089.02

-?==d R 米 6－14 （1）求氮气在标准状态下的平均碰撞次数。（2）若温度不变，气压降到 1.33×10- 4帕，平均碰撞次数又为多少？（设分子有效直径为10 - 10米）

解：（1）在标准状态下，氮气分子的算术平均速度

454028

.014.327331.888=???==

M RT v π米/秒 由公式p =nRT 得 325235/1069.2273

1038.110013.1米个××××===-RT p n 由平均自由程n

d 221πλ=得 ()

米×××××λ725

2101039.81069.21014.321--== 平均碰撞次数

/1042.510

39.81055.4Z 872

秒次×××λ===-v （2）气压降低之后的平均碰撞次数为Z '

p p Z Z '=' ∵ /71.01042.510

013.11033.1Z 854秒次××××∴=='='-Z p p 6－15 若在标准压强下，氢气分子的平均自由程为6×10 - 8米，问在何种压强下，其平均自由程为1厘米？（设两种状态的温度一样）

解：按p = nKT 和 21

2n d πλ=，有

21 2λd n π=

，λ22 d KT

p π= 则

λ

λλλ00

011

==p p 即

()() 0.61= 10611061 66

0帕大气压×××λλ--===p p 6－16 如果理想气体的温度保持不变，当压强降为原值的一半时，分子的平均碰撞频率和平均自由程如何变化？

分析： 在温度不变的条件下，分子的平均碰撞频率p Z ∝，而分子的平均自由程p /1∝λ，由此可得压强变化时，平均碰撞频率和平均自由程的变化。

解：由分析知p Z ∝，当压强由p 0降至p 0/2时，平均碰撞频率为

2/2/0000Z p p Z Z == 又因p /1∝λ，故当压强减半时，平均自由程为

0000

22/λλλ==p p