2020年江苏省高考数学最后一卷
2020年江苏省高考数学最后一卷
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
1.已知集合A={x|?2 =?i，其中i为虚数单位，则z的实部是______． 2.已知复数z满足1?i z+2 3.根据如图所示的伪代码，当输出y的值为1时，则输入的x的值为______． 4.如图是某个容量为100的样本的频率分布直方图，则数据在区间[6,10)上的频数是______． 5.用红、黄、蓝3种颜色给3面信号旗随机染色，每面信号旗只能染一种颜色，则3面信号旗中有且仅有两面信 号旗颜色相同的概率是______． 6.若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则ω的值为______． 7.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：x2?y2 =1的离心率为√3，则实数m的值为______． m 8.记等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2=4，S4=2，则S6=______． 9.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm，细沙全部在 (细管长度忽略不计).细沙全部漏入下部后，恰好 上部时，其高度为圆锥高度的2 3 堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度是______cm． 10.如图，图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所 11.已知sin(α+π 4)=√6 6 ，α∈(0,π)，则cos(2α+π 6 )=______． 12.在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过直线l：x?√3y+2√3=0与圆C：x2+y2=4的两个交点．当圆M 的面积最小时，圆M的标准方程为______． 13.已知函数f(x)=log3x，函数?(x)是最小正周期为2的偶函数，且当x∈[0,1]时，?(x)=3x?1.若函数y=k? f(x)+?(x)恰有3个零点，则实数k的取值范围是______． 14.已知△ABC的面积等于1，若BC=1，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sinA=______． 二、解答题（本大题共11小题，共142.0分） 15.如图，在三棱锥P?ABC中，PC⊥平面ABC，AB=10，BC=6，AC=PC=8， E，F分别是PA，PC的中点．求证： (1)AC//平面BEF； (2)PA⊥平面BCE． 16.如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠CAD=π 4，AC=7 2 ，cos∠ADB=?√2 10 (1)求sin C的值； (2)若△ABD的面积为7，求AB的长． 17.如图，在市中心有一矩形空地ABCD，AB=100m，AD=75m.市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如 下：在边AD，AB上分别取点M，N，在三角形AMN内建造假山，在以MN为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物． (1)若假山区域面积为400m2，求喷泉区域面积的最小值； (2)若MN=100m，求假山区域面积的最大值． 18.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2 a2+y2 b2 =1的左、右焦点为F1，F2，点A为左顶点，且OA=F1F2，过右焦 点F2作直线l交椭圆C于P，Q两点，当直线l垂直于x轴时，PQ=3． (1)求椭圆C的标准方程； (2)证明：原点O总在以PQ为直径的圆内； (3)若AP⊥F1Q(点P在x轴上方)，求直线l的方程． 19.已知函数f(x)=ae x(a≠0,a∈R)，g(x)=1 2 x2． (1)当a=?2时，若直线l与曲线y=f(x)及y=g(x)都相切，求直线l的方程； (2)若y=f(x)?g(x)有两个极值点x1，x2． ①求实数a的取值范围； ②若x2≥3x1，求实数x1的最大值 20.已知数列{a n}的前n项和为S n，b n=S n a n ?(n∈N?).若{b n}是公差不为0的等差数列，且b2b7=b11． (1)求数列{b n}的通项公式； (2)证明：数列{a n}是等差数列； (3)记c n=S n 2a n ，若存在k1，k2∈N?(k1≠k2)，使得c k 1 =c k 2 成立，求实数a1的取值范围． 21.已知矩阵A=[1a ?14]的一个特征向量α1???? =[1 1 ]． (1)求实数a的值； (2)若向量α?=[3 2 ]，计算A3α?． 22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+t 2 1?t 2 y =2t 1?t 2 (t 为参数).以直角坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ． (1)求曲线C 1的普通方程； (2)射线θ=π 6(ρ>0)与曲线C 1和曲线C 2分别交于点M ，N ，已知点Q(4,0)，求△QMN 的面积． 23. 若实数a ，b ，c 满足a +b +c =7，求证：a 2+4b 2+9c 2≥36． 24. 已知直四棱柱ABCD ?A 1B 1C 1D 1的棱长均相等，且∠BAD =60°，M 是侧棱DD 1的中点，N 是棱C 1D 1上的点． (1)求异面直线BD 1与AM 所成角的余弦值； (2)若二面角M ?AC ?N 的大小为π 4，试确定点N 的位置． 25. 现有n(n ≥2,n ∈N ?)份血液样本需要进行2019?nCoV 检验，假设每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独 立的，且每份样本是阳性结果的概率为p(0 (2)若p =1?1 √e 4(e 为自然对数的底数)，且E(X)≤n ，求n 的最大值． 参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986． 答案和解析 1.【答案】{?1,1} 【解析】解：∵集合A ={x|?2 本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】?1 【解析】解：由1?i z+2=?i ，得z +2=1?i ?i = (1?i)i ?i 2 =1+i ， 则z =?1+i ． ∴z 的实部为?1． 故答案为：?1． 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.【答案】2 【解析】解：模拟执行程序代码，可得伪代码的功能为计算并输出y ={x 2+2,x ≤0 log 2x x >0， 当x ≤0时，y =x 2+2=1，可得x 无解； 当x >0时，y =log 2x =1，可得：x =2． 综上x 的值为：2． 故答案为：2． 模拟执行程序代码，可得伪代码的功能为计算并输出y ={x 2+2,x ≤0 log 2x x >0，根据已知即可求解． 本题考查了选择结构的程序语句，根据语句判断算法的功能是解题的关键，属于基础题． 4.【答案】70 【解析】解：由频率分布直方图得： 数据在区间[6,10)上的频率为：1?(0.025+0.050+0.075)×2=0.7， ∴数据在区间[6,10)上的频数为：0.7×100=70． 故答案为：70． 由频率分布直方图求出数据在区间[6,10)上的频率，由此能求出数据在区间[6,10)上的频数． 本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】2 3 【解析】解：用红、黄、蓝3种颜色给3面信号旗随机染色，每面信号旗只能染一种颜色， 基本事件总数n=33=27， 3面信号旗中有且仅有两面信号旗颜色相同包含的基本事件个数m=C31C32C21=18， 则3面信号旗中有且仅有两面信号旗颜色相同的概率是P=m n =18 27 =2 3 ． 故答案为：2 3 ． 基本事件总数n=33=27，3面信号旗中有且仅有两面信号旗颜色相同包含的基本事件个数m=C31C32C21=18，由此能求出3面信号旗中有且仅有两面信号旗颜色相同的概率． 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6.【答案】ω=4 【解析】解：根据函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象， 知A(5π 24,y0)，C(11π 24 ,?y0)，设x=a是其中一条对称轴，(b,0)是B，C的对称中心， 则A关于x=a对称的点为B(2a?5π 24 ,y0)， 同时2a?5π 24 +11π 24 2 =b，即2a+6π24=2b， 即2b?2a=π 4，则b?a=π 8 ， 则T 4=b?a=π 8 ，即T=π 2 ， 则2π ω=π 2 ，则ω=4， 故答案为：4． 根据三角函数的对称性，利用对称轴和对称中心的关系建立方程，求出与周期的关系进行计算即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．7.【答案】2 【解析】解：由双曲线的方程可得a 2=1，b 2=m ，所以双曲线的离心率e =c a =√1+ b 2a 2 =√1+m ， 由题意可得√1+m =√3，所以m =2， 故答案为：2 由双曲线的方程可得a ，b 的值，由a ，b ，c 之间的关系及离心率的公式可得m 的值． 本题考查双曲线的性质，及离心率公式，属于基础题． 8.【答案】?6 【解析】解：因为差数列{a n }中，S 2=4，S 4=2， 所以{2a 1+d =44a 1+6d =2，解可得，a 1=114，d =?3 2， 则S 6=6a 1+ 6×52 ×(?32)=6× 114 ? 452 =?6． 故答案为：?6 由已知结合等差数列的求和公式即可直接求解． 本题主要考查了等差数列的求和公式的简单应用，属于基础试题． 9.【答案】16 9 【解析】解：设锥形沙堆的高度是hcm ， 则1 3×π×(2 3×3)2×6×2 3=1 3×π×32×?， 解得?= 169 (cm)． ∴此锥形沙堆的高度是16 9cm ． 故答案为：16 9． 设锥形沙堆的高度是hcm ，则1 3×π×(2 3×3)2×6×2 3=1 3×π×32×?，由此能求出此锥形沙堆的高度． 本题考查锥形沙堆的高度的求法，考查圆锥的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 10.【答案】26 【解析】解：如图所示，建立以a ? ，b ? 为一组基底的基向量，其中|a ? |=|b ? |=1且a ? ，b ? 的夹角为60°， ∴AB ????? ?CD ????? =(2a ? +4b ? )?(4a ? +2b ? )=8a ? 2 +8b ? 2 +20a ? ?b ? =8+8+20×1×1×12=26． 故答案为：26． 建立以a ? ，b ? 为一组基底的基向量，其中|a ? |=|b ? |=1且a ? ，b ? 的夹角为60°，根据平面向量的基本定理可知，向量AB ????? 和CD ????? 均可以用a ? ，b ? 表示，再结合平面向量数量积运算法则即可得解． 本题考查平面向量的混合运算，观察图形特征，建立基向量是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题． 11.【答案】2?√156 【解析】解：sin(α+π 4)=√2 2(sinα+cosα)=√6 6，则有sinα+cosα=√3 3， 两边平方可得：1+sin2α=1 3，则sin2α=?2 3，即有2sinαcosα<0 又因为α∈(0,π)，所以sinα>0，cosα<0， 则sinα?cosα=√(sinα?cosα)2=√1?sin2α=√15 3 ， (法一)将sinα?cosα=√153与sinα+cosα=√3 3联立后解得sinα=√3+√156，cosα=√3?√156， 则cos2α=2cos 2α?1=2×(√ 3?√156)2 ?1=? √5 3 ， 所以cos(2α+π6 )=√3 2 ×(?√5 3 )?12 ×(?23 )= 2?√156 ． (法二)因为cos2α=cos 2α?sin 2α=?(sinα+cosα)(sinα?cosα)=?√3 3×√15 3=?√5 3， 所以cos(2α+π 6)=√3 2×(?√5 3)?1 2×(?2 3)= 2?√156 ． 故答案为： 2?√156． 根据条件得到sinα+cosα=√3 3 ，sinα?cosα=√(sinα?cosα)2=√1?sin2α=√15 3 ，进而求得sinα，cosα，再利 用两角和差公式运算即可 本题考查两角和差的三角函数的求值，涉及方程思想，属于中档题 12.【答案】(x +√32)2+(y ?32 )2 =1 【解析】解：根据题意，直线l ：x ?√3y +2√3=0与圆C ：x 2+y 2=4相交，设其交点为A 、B ， 则有{ x ?√3y +2√3=0x 2+y 2=4 ，联立解可得：{x =?√3y =1或{x =0 y =2， 即A 、B 的坐标为(?√3,1)和(0,2)； 则此时圆M 的标准方程为：(x +√32)2+(y ?3 2)2=1； 故答案为：(x +√3 2 )2+(y ?3 2 )2=1． 根据题意，设直线l 与圆C 的交点为A 、B ，联立直线与圆的方程，解可得交点的坐标，分析可得当AB 为圆M 的直径时，圆M 的面积最小，据此分析圆M 的圆心与半径，由圆的标准方程的形式分析可得答案． 本题考查直线与圆相交的性质，涉及圆的标准方程，属于基础题． 13.【答案】(?2,?2log 53) 【解析】解：∵y =k ?f(x)+?(x)有3个零点， ∴y =?(x)与y =?k ?log 3x 的函数图象有3个交点， 作出y =?(x)得函数图象如图所示： 若?k <0，即k >0，则y =?(x)与y =?k ?log 3x 的函数图象只有1个交点，不符合题意； 若?k =0，即k =0，则y =?(x)与y =?k ?log 3x 的函数图象有无数多个交点，不符合题意； 若?k >0，即k <0，若y =?(x)与y =?k ?log 3x 的函数图象有3个交点，则?k ?log 33<2，且?k ?log 35>2， 解得：?2 做出y =?(x)的函数图象，令y =?(x)与y =?k ?log 3x 的函数图象有3个交点，列不等式组求出k 的范围． 本题考查函数零点与函数图象的关系，考查数形结合思想，属于中档题． 14.【答案】8 17 【解析】解：设△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ， 且对应的高分别为m ，n ，t ， △ABC 的面积等于1，若BC =1，即S =1，a =1， 由S =1 2am ，S =1 2bn ，S =1 2ct ， 可得S 3=1abcmnt ， 又S=1 2 bcsinA=1， 可得bc=2 sinA ， 则mnt=4sinA， cosA=b2+c2?a2 2bc ≥2bc?1 2bc =1?1 2bc ， 当且仅当b=c上式取得等号， 可得2bc≤1 1?cosA ， 则4 sinA ≤1 1?cosA ， 可得1?cosA sinA =2sin 2A 2 2sin A 2 cos A 2 =tan A 2 ≤1 4 ， 可得sinA= 2tan A 2 1+tan2A 2 ≤2× 1 4 1+1 16 =8 17 ． 当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sinA=8 17 ． 故答案为：8 17 ． 设△ABC的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且对应的高分别为m，n，t，运用三角形的面积公式和余弦定理，结合基本不等式和三角函数的性质可得所求值． 本题考查三角形的面积公式和余弦定理的运用，考查化简变形能力和推理能力，属于难题． 15.【答案】证明：(1)在△PAC中，∵E，F分别为PA，PC的中点，∴EF//AC， 又∵EF?平面BEF，AC?平面BEF， ∴AC//平面BEF； (2)在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8， ∴AB2=AC2+BC2，∴BC⊥AC， ∵PC⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PC⊥BC， 又∵AC∩PC=C，AC?平面PAC，PC?平面PAC， ∴BC⊥平面PAC． ∵PA?平面PAC，∴BC⊥PA． 在△PAC中，∵AC=PC，E为PA的中点， ∴PA⊥EC， 又∵PA⊥BC，EC∩BC=C，CE?平面BCE，BC?平面BCE， ∴PA⊥平面BCE． (2)在△ABC中，由已知结合勾股定理得BC⊥AC，由PC⊥平面ABC，得PC⊥BC，再由直线与平面垂直的判定可得BC⊥平面PAC，得到BC⊥PA.由已知证明PA⊥EC，再由直线与平面垂直的判定可得PA⊥平面BCE． 本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题． 16.【答案】解：(1)在△ABC中， ∵cos∠ADB=?√2 10，则sin∠ADB=7√2 10 ， ∵∠CAD=π 4，则∠C=∠ADB?π 4 ， sin∠C=sin(∠ADB? π 4 ) =sin∠ADB?cos π 4 ?sin π 4 ·cos∠ADB =7√2 10?√2 2 +√2 10 ?√2 2 =4 5 ， (2)在三角形△ACD中，AD sinC =AC sin∠ADC ， AD= AC·sinC sin∠ADC =7 2 ×4 5 7√2 10 =2√2， ∴S= 1 2 AD?BD?sin∠ADB =1 2?2√2·BD·7√2 10 =7， ∴BD=5， 由余弦定理可知：AB2=BD2+AD2?2BD?AD?cos∠ADB =52+(2√2)2?2×5×2√2×(?√2 10 ) =37， ∴AB=√37． 【解析】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值，正弦定理，三角形面积公式等知识的综合应用，考查了计算能力，属于中档题． (1)由同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB，由∠C=∠ADB?π 4 .利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解． (2)先由正弦定理求AD的值，再利用三角形面积公式求得BD，与余弦定理即可得解AB的长度． 17.【答案】解：(1)设∠ANM=θ，θ∈(0?, π 2 )， 半圆的直径MN=2r，半圆的圆心为O． ∴AM =2rsinθ，AN =2rcosθ． ∵假山区域面积为400m 2， ∴1 2AM ?AN =1 2×2rsinθ×2rcosθ=r 2sin2θ=400， ∴r 2= 400sin2θ ， ∴喷泉区域面积S =π 2r 2=200π sin2θ≥200π， 当且仅当sin2θ=1，即θ=π 4时取等号，此时r =20． ∵点O 到CD 的距离d 1=AD ?1 2AM ，点O 到BC 的距离d 2=AB ?1 2AN ， ∴d 1=75?rsinθ=75?10√2>20=r ，即d 1>r ， d 2=100?rcosθ=100?10√2>20=r ，即d 2>r ． ∴以MN 为直径的半圆区域一定在矩形广场内． ∴当θ=π 4时，喷泉区域面积取得最小值200πm 2． 答：喷泉区域面积的最小值为200π m 2． (2)由(1)知，若MN =100 m ， 则2r =100，AM =100sinθ，AN =100cosθ． ∴点O 到CD 的距离d 1=75?rsinθ=75?50sinθ，点O 到BC 的距离d 2=100?50cosθ， ∵以MN 为直径的半圆区域在矩形广场内， ∴{d 1≥r d 2≥r ，即{75?50sinθ≥50100?50cosθ≥50， ∴sinθ≤12． 又∵θ∈(0?, π2)， ∴θ∈(0?, π6]． ∴假山区域面积S =1 2AM ?AN =1 2×100sinθ×100cosθ=2500sin2θ， ∵θ∈(0?, π 6], ∴2θ∈(0?, π 3 ], ∴当θ=π 6时，假山区域面积的最大值为1250√3 m ． 答：假山区域面积的最大值为1250√3 m ． 【解析】 (1)设∠ANM =θ，θ∈(0?, π 2)，半圆的直径MN =2r ，半圆的圆心为O.可得AM =2rsinθ，AN =2rcosθ.由假山区域面积列式求得r 2=400 sin2θ，得到喷泉区域面积S =π 2r 2=200π sin2θ≥200π，此时θ=π 4，r =20.求出点O 到CD 的距离与点O 到BC 的距离均大于r.可得以MN 为直径的半圆区域一定在矩形广场内．得到当θ=π 4时，喷泉区域面积取得最小值200πm 2． (2)由(1)知，若MN =100 m ，则2r =100，AM =100sinθ，AN =100cosθ.分别求出点O 到CD 的距离d 1与点O 到BC 的距离d 2，由题意得{d 1≥r d 2≥r ，由此列式求得θ的范围，写出假山区域面积S ，利用三角函数求得最大值． 本题考查根据实际问题选择函数模型，考查利用三角函数求最值，考查计算能力，是中档题． 18.【答案】解：(1)设椭圆的焦距为2c(c >0)， 因为OA =F 1F 2，所以a =2c ， 由当直线l 垂直于x 轴时，PQ =3， 将x =c 代入椭圆方程得c 2a 2 +y 2b 2=1，解得y =±b 2 a ， 所以PQ = 2b 2a =3， 联立{ a =2c 2 b 2a =3 a 2 =b 2+c 2 解得a =2,b =√3,c =1． 所以椭圆方程为 x 24 + y 23 =1； (2)证明：当直线l 斜率为0时，此时P ，Q 位于长轴两个顶点，原点O 为圆心，满足题意， 当直线l 斜率不为0时，设l 方程为x =my +1， 联立{x 24+y 2 3=1 x =my ?1，消去x 得(3m 2+4)y 2+6my ?9=0， 由求根公式可得y 1,2=?6m±12√m 2+1 6m 2+8 ， 故y 1+y 2=?6m 3m 2+4，y 1y 2=?9 3m 2+4， 设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 则OP ????? ?OQ ?????? =x 1x 2+y 1y 2=(my 1+1)(my 2+1)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+m(y 1+y 2)+1=(m 2+1)(?93m 2+4 )?6m 23m 2+4 +1=? 12m 2+53m 2+4 <0． 故原点O 总在以PQ 为直径的圆内； (3)因为A(?2,0)，F 1(?1,0)， 由AP ⊥F 1Q 得：AP ????? ?F 1Q ??????? =0， 因为点P 在x 轴上方，所以y 2=?6m?12√m 2+1 6m 2+8， 代入上式得：(m 2+1) ?93m 2+4 +2m(? 6m 3m 2+4 )+6+m ??6m?12√m 2+1 6m 2+8 =0， 整理得：2m√m 2+1=5?2m 2， 两边平方得：24m 2=25，解得m =5√612(?5√6 12 舍去) 所以直线l 得方程为x =5√6 12 y +1，即y =2√65 (x ?1)． 【解析】(1)根据PQ = 2b 2a =3，解得a =2c ，a 2=b 2+c 2，解出a ，b ，c 即可； (2)直线l 斜率为0时，满足；当直线l 斜率不为0时，设l 方程为x =my +1，与椭圆方程联立，根据根与系数关系，利用平面向量数量积的运算得到OP ????? ?OQ ?????? <0即可； (3)利用AP ????? ?F 1Q ??????? =0的坐标表示得到(m 2+1)y 1y 2+2m(y 1+y 2)+6+my 2=0，将y 2代入得到2m√m 2+1=5? 2m 2，解出m 即可． 本题考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆的综合，平面向量数量积的应用，综合性较强，属于中档题． 19.【答案】解：(1)当a =?2时，f(x)=?2e x ， 设曲线y =f (x)上的切点为(x 1,?2e x 1)，则切线方程为y +2e x 1=?2e x 1(x ?x 1)， 设曲线y =g(x)上的切点为(x 2,1 2x 2 2)，则切线方程为y ?1 2x 22 =x 2(x ?x 2)． 由两条切线重合得{ ?2e x 1=x 22e x 1 (x 1?1)= ?1 2 x 22，则{x 1 =0 x 2=?2 ， 所以公切线方程为y =?2x ?2． (2)①因为y =f(x)?g(x)=ae x ?1 2x 2，所以y′=ae x ?x ， 令φ(x)=ae x ?x ，则φ′(x)=ae x ?1， 当a <0时，φ′(x)<0所以φ(x)单调递减，不合题意． 当a >0时，令ae x ?1=0，得x =ln 1 a ， 当x a 时，φ′(x)>0， 所以φ(x)在(?∞,ln 1a )上单调递减，φ(x)在(ln 1 a ,+∞)单调递增， 若y =f(x)?g(x)有两个极值点x 1，x 2，则φ(ln 1 a )=ae ln 1 a ?ln 1a =1?ln 1 a <0，