品质统计原理——变异数分析

授課目錄

第1章導論

第2章統計資料的整理與描述

第3章機率導論

第4章常用的機率分配與統計分佈

第5章描樣方法與描樣分佈

第6章統計估計

第7章統計檢定

第8章變異數分析

第9章相關分析與迴歸模式

第10章無母數統計檢定

第11章類別資料分析---列聯表與卡方檢定

一般統計檢定係討論兩個常態母體下檢定『平均值』的方法。倘對k個常態母體，欲檢定其『平均值』是否一致時，採逐一比對程序檢定則效率差且會增型I 誤差的機率。

變異數分析ANOV A(Analysis of Variance)的主要觀念即利用各組資料平均值的差異與各組資料整體之間差異做比較，來檢定平均值是否相同的方法。ANOV A可對k個母體檢定其『平均值』是否一致。『ANOVA即將一組資料的總變異，依其變異來源分割成數區』，然後針對其『各區內變異與各區間變異』加以探討分析。ANOVA依據因子的數目---One-way ANOV A，Two-way ANOV A。

8.1 實驗設計與ANOVA

◎十九世紀初，英國為了改良農作物的品質與產量，由

Ronald A. Fisher爵士首先提出應用ANOV A於實驗設

計(DOE, Design of Experiment)中。實驗的目的是將不

同的處理(Treatment)，指定給不同的實驗單位(Unit)，以便觀察其結果好壞。

◎實驗的目的是將不同的處理，指予不同的實驗單位，

1、決定何者變數x對反應y最具影響力。

2、決定這些最具影響力變數x的值，使反應y幾乎永遠

都是在所想要的目標值(Nominal Value) 的附近。

3、決定這些最具影響力變數x的值使反應y變異較小。

4、決定這些最具影響力變數x的值使得不可控變數z的

影響極小。

◎以一般實驗設計方法分為二大類：完全隨機設計(Completely Randomized Design)與集區隨機設計(Randomized Block Design)，以增處理效果的可信度。

1、完全隨機設計係在考慮一個因子的情況下，有n1 ,

n2 , …,n k個實驗單位分別指定到k個處理上。這些實驗單位的實驗順序是隨機決定的。完全隨機設計因為只考慮一個因子，故亦稱一因變異數分析(One-way ANOVA)。可中和其他因子對實驗的影響。

2、集區隨機設計係事先將實驗對象劃分成若干同質性

的集區，即在每個集區內涵具同質性環境下，進行不同實驗處理。

◎實驗設計亦可以一函數表示之：

y = f(x1 , x2 , …,x k) (8.1)

式中：輸入x---可控因子(變數)(Control Factors (Variables)，輸出y---依變量(Dependent Variable)，

8.2 一因子變異數分析(The One-way ANOV A)

倘工管系欲採三種工廠實習課程：(1)電視教學(2)講師講習(3)實地觀摩，研究其對學生學習效果是否有不同的影響。此3種實習課程稱之『處理(Treatment)』。於是將實習生隨機分成3組，分別施以不同實習課程。茲隨機抽樣21位實習生進行分組，第1組有7位，第2組有8位，第3組有6位。此n1 = 7 , n2 = 8 , n3 = 6稱之『實驗單位(Unit)』。本研究僅以『工廠實習課程』此一因子(Factor)來對母體作分類探討，故此稱之一因子變異數分析。典型資料如下：

y ij : 第i個處理、第j個觀測值

一因子變異數分析是根據變異來源：組內、組間、與總變異等統計量，建立變異數分析表(ANOV A Table)，以進行檢定工作。

其中：

◎總變異(Total Sum of Squared Deviation)

SS = 2

i a

1i n

1

j ij

2

a

1

i i 2

a

1i n

1

j ij

)y y ()y y (n )y y (?

==?

?=?

?

?==-∑∑+-∑=∑∑-

= SST+SSE (8.2)

◎組間變異(Treatment Sum of Squares) (Between Treatment)

SST = 2

a

1

i i )y y (n ?

?=?

-∑

(8.3)

◎組內變異(Error Sum of Squares) (Within Treatment)

SSE = 2

i a

1i n

1

j ij

)y y (?

==-∑∑

(8.4)

簡化之：

SS = N /y y 2a

1i n

1j 2ij ??==∑∑-； SST = N

y y n 12

a 1i 2i ??=?-∑

SSE = SS –SST (8.5)

一因子變異數分析的統計假設為

H 0: μ1= μ2 =…. = μk ；即因子對依變數無影響。 H 1: μi 不全等；即因子對依變數有影響。

上述的假設中， μ1 , μ2 ,…. , μk 分別為k 個因子水準所造

成的效果。若H 0為真，即表示k 個效果不存在，因子對依變數無影響。檢定統計式：

F = MST/MSE

(8.6)

若各組樣本均來自常態分佈，則檢定統計量為一F 分佈。在顯著水準α下，倘

F ≤ F α, a-1, N-a ?? Accept H 0

F > F α, a-1, N-a ?? Reject H 0

各組樣本數相等

範例、隨機抽取IDF、F16、與幻象2000等三種戰機各10架，測其速度，這三種戰機的平均速度有差異? SOL：

(1)建立統計假設

H0: μ1= μ2 = μ3；H1: μi不全等

(2) 顯著水準α = 0.05

F(=42.94)值遠大於臨界值(=3.35)，且P-值為4.1E-09遠小於顯著水準0.05

Reject H0??

∴即至少有二種戰機(母體)的平均速度是有差異的。

各組樣本數不等

範例、工管系欲採三種工廠實習課程：(1)電視教學(2)講師講習(3)實地觀摩，其對學習效果是否有不同的影響? SOL：

(1)建立統計假設

H0: μ1= μ2 = μ3；H1: μi不全等

(2) 顯著水準α = 0.05

F(=2.52)值小於臨界值(=3.55)，且P-值為0.1085大於顯著水準0.05

Accept H0??

∴三種工廠實習課程對學生學習效果無差異的。

8.3 集區隨機設計(The Randomized Block Design)

在任何實驗中，擾動因子(Nuisance Factor)引起的變異對其結果會有影響。擾動因子之定義：一設計因子，其對反應有效果而實驗者卻對此效果無興趣。未知且無法控制(Unknown and Uncontrolled)的擾動因子：不知其存在及實驗進行時可能改變水準。隨機化是一種設計技巧用來防範此『潛伏』的擾動因子。然而，已知但不可控制(Known but Uncontrollable)的擾動因子，倘於每次實驗時會觀測到此的擾動因子之值，則於ANOV A時其會被補償。如擾動變異來

源是已知且可控制(Known and Controllable)時，集區劃分(Blocking)之設計將可系統化地消除其對處理間統計比較的影響。

上節敘述一因子變異數分析，且完全隨機設計，藉此中和或消弭一些非特定因子(不是我們想知道的重點)對依變量(輸出y)所造成的影響。但某些情況下，非特定因子對依變量的干擾過大，甚至完全隨機設計亦無法消弭這些干擾。此時依變量不只受到特定因子的影響，亦受到非特定因子的影響。

倘致遠管理學院欲對6個學系有開統計學課程，採4種不同教學方式，以研究統計學對各系學生學習效果是否有不同的影響。此時，學生學習效果為依變量(輸出y)，教學方式為特定因子，但學生學習效果卻不只受到教學方式的影響，而受到各學系的影響，因為各學系各具不同的特性。若用上節的檢定方式，會將各系所導致的影響計入SSE中，而使得SSE膨脹起來，因而影響結論的正確性。

如欲評鑑各系學生學習統計學的效果，則各系學生學習成績形成一個集區(Block)。因此總變異的分解為：

SS(總變異) =

SST(組間變異) + SSB(集區變異)+ SSE(隨機誤差)

其中：

SS = =

= SST + SSB+ SSE

(8.7)

SST = 2

a

1

i i )y y (b ?

?=?

-∑

(8.8) SSB = 2

j

b

1

j )y y (a ?

??=-∑

(8.9) SSE = 2j

i ij

a

1i b 1

j )y y y y (?

???

==+--∑∑

(8.10)

簡化之：

SS = N /y y 2

a

1i b

1

j 2

ij ?

?==∑∑-； SST = N /y y b 12

a

1

i 2i ?

?=?-∑

SSB = N /y y a

12

b

1

j 2

j ?

?=?-∑；SSE = SS –SST- SSB (8.11)

集區隨機設計的統計假設為

H 0: μ1= μ2 =…. = μk ；即因子對依變數無影響。

H1: μi不全等；即因子對依變數有影響。

上述的假設中，μ1 , μ2,…. , μk分別為k個因子水準所造成的效果。若H0為真，即表示k個效果不存在，因子對依變數無影響。檢定統計式：

F = MST/MSE (8.12)

若各組樣本均來自常態分佈，則檢定統計量為一F分佈。在顯著水準α下，倘

F ≤ Fα, a-1, (a-1)(b-1)?? Accept H0

F > Fα, a-1, (a-1)(b-1)?? Reject H0

範例、欲研究硬度實驗。共有4種尖銳物和4塊可供測試的金屬物品。每1種尖銳物在每塊金屬物品上測試一次，

成為一個集區隨機設計。

SOL:

F(=14.44)值大於臨界值(=3.86)，且P-值為0.0009小於顯著水準0.05

Reject H0 ??

∴尖銳物種類的確會影響平均硬度讀值(即尖銳物對平均硬度有效)。

SOL:(考慮集區)

SOL:(倘無考慮集區)

F(=1.70)值小於臨界值(=3.49)。

Accept H0??

∴尖銳物種類的平均硬度讀值相等，即尖銳物種類不會影響平均硬度讀值(即尖銳物對平均硬度無效)。

8.4 二因子變異數分析(Two-way ANOVA)

在上述一因子變異數分析和集區隨機設計中，均研究一個因子對依變量所造成的影響，將此觀念擴展至二因子時，此研究架構即為二因子變異數分析。

在進行二因子變異數分析時，須考因子間是否對依變數有交互作用(Interaction)，此作用不存在，則變異數分析的結構較簡單，則二個因子對依變量的影響可分開研究；倘此作用存在，則變異數分析的結構較複雜，則二個因子對依變量的影響須置於一起討論。考慮一般情況，令y ijk為A因子在第i個水準( i = 1, 2,…,a)、B因子在第j個水準( j = 1, 2,…,b)、

在第k次重複( k = 1, 2,…,n)時所觀測到的反應值。如下：y2b1 ,

總變異=

A因子變異+ B因子變異+ AB因子交互變異+ 隨機誤差

其中： SS=

2ij ijk )]y y (?-

= 2

j b

1

j 2

a

1

i i )y y (an )y y (bn ?

???

?=?

??=?

?-∑+-∑

+ ∑∑∑-++--∑∑===?

?

???

??

??

==a

1i b

1j n

1

k 2

ij ijk

2

j i ij a

1i b

1

j )y y ()y y y y (n

= SST + SSB+ SSAB+ SSE (8.13)

簡化之：

SS = abn /y y 2

a

1i b

1j 2

ijk n

1

k ?

??===∑∑-∑； SSA = abn /y y bn

12

a

1

i 2i ?

??=??-∑

SSB = abn /y y an

12

b

1

j 2

j ?

??=??-∑；Subtotal =abn /y y n 12

a

1

i b

1

j 2

ij ?

??==?∑∑-

SSAB = Subtotal – SSA - SSB SSE = SS – Subtotal (8.14)

在進行二因子變異分析時，一般是先檢定交互作用存在與否，倘接受H 0：交互作用不存在，則二因子變異分析的架構可簡化之，此時再繼續進行A 、B 因子效果檢定假設才有意

義。若拒絕H0，則無論A、B因子效果檢定的結果為何，交互作用都會保留在模式中，此已認定A、B因子會對依變量造成影響。二因子變異分析三階段檢定過程：

(1) 檢定交互作用是否存在：統計假設為

H0：交互作用不存在。

H1：交互作用存在。

若H0為真，即表示A、B因子未對依變數產生交叉影響。檢定統計式：

F = MSAB/MSE (8.15)

倘

F ≤ Fα, (a-1)(b-1), ab(n-1)?? Accept H0

F > Fα, (a-1)(b-1), ab(n-1)?? Reject H0

(2) 檢定A因子是否影響依變量：假設已作出交互作用不存

在，則分別檢定二因子對依變量的影響。統計假設為

H0: μ1j= μ2j=…= μaj, j = 1, 2,…,b；