蝴蝶定理问题

摘 要

蝴蝶定理想象洵美，蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣。到目前为止，关于蝴蝶定理的证明就有60多种，其中初等证法就有综合证法、面积证法、三角证法、解析证法等。而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果。

关键词：蝴蝶定理；证明；推广；

一 摘要

蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O 中的弦PQ 的中点M ，过点M 任作两弦AB ，CD ，弦AD 与BC 分别交PQ 于E ，F ，则M 为EF 之中点。

关于蝴蝶定理的证明，出现过许多优美奇特的解法，并且知道现在还有很大的研究价值。其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它使用的是面积证法。1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录老师以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。

在20世纪20年代时，蝴蝶定理作为一道几何题传到我

国中学数学界，严济慈教授在《几何证题法》中有构思奇巧的证明。

如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆，甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立。另外，如果将蝴蝶定理中的条件一般化，即M 点不再是中点，能得到坎迪定理、若M 、N 点是AB 的三等分点，两次应用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。

二 蝴蝶定理的证明

（一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明

蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何方法完成

蝴蝶定理的方法。

图 1

F

E

B

D

M O

P

Q

A

C

1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明

在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！

证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于

EUO EMO 90∠=∠=? FVO FMO 90∠=∠=?

得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。 则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠，

又MAD

MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ??，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。

[1]

证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则

FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1

联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即PC'CQ =。

又111

CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222

∠∠（）

（） 故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠

而 MBF EDM ∠=∠ ○2

由○1、○2知，DME D'MF ???，故ME=MF 。

证法3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。对NEF ?及截线AMB ，NEF ?及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有

FM EA NB

1ME AN BF

??=，FM ED NC 1ME DN CF ??= 由上述两式相乘，并注意到

N A N D N C N B ?=? 得22

FM AN ND BF CF BF CF

ME AE ED BN CN AE ED

?=???=?

()()()()2222

PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME

-==-+--

化简上式后得ME=MF 。[2]

图 2

V

U

F

E B

D

M

O

P

Q

A C 图 3

C'

D'

F

E

B

D

M

O

P

Q

A C

图 4

N

F E

B

D

M

O

P

Q

A

C

δ

γγδββ

α

α

图 5

F E

B

D

M O

P

Q

A C 2 不使用辅助线的证明方法

单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。 证法 4 （Steven 给出）如图5，并令

DAB=DCB ADC=ABC DMP=CMQ AMP=BMQ PM MQ ME MF a x y

αβγδ∠∠=∠∠=∠∠=∠∠=====， 由

FCM AME EDM FMB

FCM EDM FMB AME

S S S S 1S S S S ???????????=，

即 AM AE sin FM CM sin ED MD sin MF MB sin 1MC CF sin EM MD sin FB BM sin MA ME sin αγβδ

αγβδ

???????????=????????

化简得 ()()()()2222

2

2

M F C F F B

Q F F P M E A E E D

P E E Q a y a

y a y a x a x a x

-+??-====??-+- 即 222

222x y a y a x -=-，

从而 ,ME MF x y ==。

证法 5 令PMD QMC QMB AMP αβ∠=∠=∠=∠=，， 以点M 为视点，对MBC ?和MAD ?分别应用张角定理，有

()()sin sin sin sin sin sin MF MC MB ME MD MA

αβαββαβα++=+=+，

上述两式相减，得

()()()11sin sin sin MC MD MB MA MF ME MC MD

MA MB βααβ??+-=--- ?

???? 设G H 、分别为CD AB 、的中点，由OM PQ ⊥，有

()()MB MA 2MH 2OM cos 902OM sin MD MC 2MG 2OM cos 902OM sin ββαα

-==?-=-==?-=

于是 ()1

1sin 0MF ME αβ??+-= ???，

而180αβ+≠?，知()sin 0αβ+≠，故ME=MF 。

（二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明

在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。

证法 6 （单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为

()2

22

x y a R ++=。

直线AB 的方程为1y k x =，

直线CD 的方程为2y k x =。

由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为

()()()2

22120x y a R y k x y k x μλ??++-+--=?????

?

令0y =，知点E 和点F 的横坐标满足二次方程

()()222120k k x a R μλμ++-=，

由于x 的系数为0，则两根1x 和2x 之和为0，即12x x =-，故ME=MF 。[5]

证法 7 如图7建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为

()

2

22x a y r -+=

直线AB 、CD 的方程可写为1y k x =,2y k x

=。

又设A B C D 、、、的坐标为(),,1,2,3,4i i x y i =，则14

x x 、分别是二次方程

()

()2

2

22222

212,x a k x r x a k x r -+=-+=的一根。AD 在y

轴上的截距为

()()24111121441

1111214141k x k x x k k x x y y y x k x x x x x x x ----?=-=

---。

同理，BC 在y 轴上的截距为

()1223

32

k k x x x x --。

注意到12x x 、是方程()22221120k x ax a r +-+-=的

两根，34x x 、是方程()2

2222120k x ax a r +-+-=的两根，所以

34122212342x x x x a

x x a r x x ++==-，

从而易得

3412

1234

0x x x x x x x x +=--，

即ME MF =。

2

1

1

2

3

4

y

2

2

图 6

F

E

B

D

M

O

P

Q

A C 2

1

1

2

3

2

图 7

F

E

B

D

M

O P

Q

A

C

证法 8 如图8，以M 为极点，MO 为极轴建立极坐标系。因C F B 、、三点共线，令

BMx CMx αβ∠=∠=，，则()C F F B C B sin sin sin 22ππρρβρραρρβα????

-+-=- ? ?????

即 ()

C B F B C sin cos cos ρρβαρραρβ-=- ○1

()

A D E A D sin cos cos ρρβαρραρβ

-=- ○2

作OU CD ⊥于U ，作OV AB ⊥于V 。 注意到A B C D ρρρρ= ○3

由Rt OUM ?与Rt OVM ?可得

D C

B A cos cos ρρρραβ

--=- ○4 将○3○4代入○1○2可得E F ρρ=，即ME=MF 。

x

图 8

U

V F E B

D

M

O

P Q A

C

二蝴蝶定理的推广和猜想

（一）猜想1在蝴蝶定理中, P、Q分别是 ED、CF和AB的交点. 如果 P、Q分别是 CE、DF和AB延长线的交点,我们猜想, 仍可能会有 PM = QM.

推论 1过圆的弦 AB的中点M引任意两条弦 CD与 EF, 连结 CE、 DF并延长交 AB的延长线于 P、 Q. 求证: PM = QM.

证明;设AM =BM = a, PM = x,QM = y ;∠PM E = ∠QM F =α,∠PCM = ∠DFM =β ;

∠CM E = ∠DM F =γ,∠QDM = ∠CEM =δ ;

记△PM E, △QM F,△PMC, △QMD的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4.

则由恒等式S2·S3·S4·S1= 1知M P·M Esin αMQ·M Fsinα· FQ·FM sin (π- β)CP·CM sin β··MCsin (α+γ)·MD sin (α+γ)·DQ·DM sin δEP·EM sin (π- δ)=·DQ·M P2·EP·MQ2 = 1,即 QF·QD·M P2= PC·PE·MQ2. ②

又由割线定理知PC·PE = PA·PB = ( x - a) ( x + a) = x2- a2,QF·QD = QB·QA = ( y - a) ( y + a) = y2- a2.代入②式, 得 ( y2- a2) x2= ( x2- a2) y2. 即 a2x2= a2y2.

由于 a ≠0, x, y > 0,所以 x = y .即 PM = QM.[3]

（二）猜想2在蝴蝶定理中，显然 OM是 AB的垂线 (O是圆心)，那么，我们可以猜想,如果在保持 OM ⊥AB的前提下将圆 O的弦 AB移至圆外, 仍可能会有 PM =QM.

推论 2已知直线 AB与⊙O相离. OM ⊥AB, M 为垂足. 过 M作⊙O任意两条割线 MC, M E分别交⊙O于 C, D和 E, F. 连结DE,FC并延长分别交 AB 于 P, Q. 求证: PM = QM. 证明：过 F作 FK∥AB, 交直线 OM于 N,交⊙O于 K .

连结 M K交⊙O于 G. 连结 GQ, GC. 由于 ON ⊥FK,故有 FN = KN,从而M F =M K(因为M在 FK的垂直平分线上) .

又由割线定理知M E·M F = MG·M K .因此 M E = MG. ③

又由∠FMN = ∠KMN, OM ⊥AB,知∠EM P = ∠GMQ. ④

从∠CQM = ∠CFK = ∠CGK知∠CGM +∠CQM= 180° , 从而 G,M, Q, C四点共圆. 所以∠MGQ =∠MCQ.

又由于∠M EP = ∠DEF = ∠DCF = ∠MCQ, 知∠M EP = ∠MGQ. ⑤

由③、④、⑤知△PM E ≌△QMG.所以 PM = QM.

（三）猜想3既然蝴蝶定理对于双曲线是成立的，而双曲线是两条不相交的曲线, 那么，我们可以猜想，如果把两条不相交的曲线换成两条不相

交的直线 (也即是两条平行线)，仍可能会有 PM = QM .

推论 3设点 A、 B分别在两条平行线 l 1、 l 2上,过AB的中点M任意作两条直线 CD和 EF分别交 l 1、 l 2于C、 D和 E、 F, 连结 ED、 CF交 AB于 P、 Q. 求证: PM =QM.

证明：由于 l 1 ∥ l 2 ,M 平分AB, 从而利用△MAC≌△MBD知M平分 CD, 利用△MAE ≌△MBF知 M平分 EF.

在四边形 CEDF中, 由对角线相互平分知 CEDF是平行四边形,从而 DE ∥CF. 又由于 M 平分 EF,故利用△M EP ≌△M FQ知 PM = QM。[4]

结论

从本质上说，蝴蝶定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，它具有多种形式的推广：

1. M，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。

2 .圆可以改为任意二次曲线。

3. 将圆变为一个完全四角形，M为对角线交点。

4. 去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，这对2，3均成立

正是由于它证法的多样性，蝴蝶定理至今仍然被数学热爱者研究，时有出现各种变形的题目，不仅仅是在竞赛中，甚至出现在2003年的北京高考题中。但只要思想得当，证明出来也是比较自然的事。

参考文献

[1]沈文选.《走向国际数学奥林匹克的平面几何试题诠释》[M].哈尔滨工业大学出版社,20

07年1月14日。

[2]江翔宇，《芜湖一中研究性学习课题论文》[J]。2010年9月4号。

[3] 朱树海，《蝴蝶定理的猜想推理推广》[J] ，《中学数学杂志》，2009年10期。

[4]张景中，《新概念几何》[M]。北京: 中国少年儿童出版社,2002, 1。

[5]单墫，《平面几何中的小花》[M]，上海:上海教育出版社,2002,5。