函数的对称变换:
①)()(x f y x f y -=→=) 将)(x f y =图像绕y 轴翻折180°(整体翻折)
(对三角函数来说:图像关于x 轴对称)
②)()(x f y x f y -=→=将)(x f y =图像绕x 轴翻折180°(整体翻折)
(对三角函数来说:图像关于y 轴对称)
③)()(x f y x f y =→= 将)(x f y =图像在y 轴右侧保留,并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧(偶函数局部翻折)
④)()(x f y x f y =→=保留)(x f y =在x 轴上方图像,x 轴下方图像绕x 轴翻折上去(局部翻动) 5、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。
(1)常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos 2
θ+sin 2
θ=tanx ·cotx=tan45°等。
(2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2
x ;配凑角:α=(α+β)-β,β=
2
β
α+-
2
β
α-等。
(3)降次与升次。(4)化弦(切)法。
(4)引入辅助角。asin θ+bcos θ=2
2
b a +sin(θ+?),这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定,
?角的值由tan ?=a
b
确定。
1.已知tan x =2,求sin x ,cos x 的值. 解:因为2cos sin tan ==
x
x
x ,又sin 2x +cos 2x =1, 联立得???=+=,1
cos sin cos 2sin 2
2x x x
x 解这个方程组得.55cos 5
52sin ,55cos 552sin ???
????-=-=??
????
?==x x x x 2.求
)
330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(
----的值.
解:原式
)
30360cos()150sin()30720tan()
120360sin()30180cos()180120tan(o --+---++-=
.3330
cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=
3.若
,2cos sin cos sin =+-x
x x
x ,求sin x cos x 的值.
解:法一:因为
,2cos sin cos sin =+-x
x x
x
所以sin x -cos x =2(sin x +cos x ),
得到sin x =-3cos x ,又sin 2x +cos 2
x =1,联立方程组,解得
,,???
???
?=-=??
?????-==1010cos 10
103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以?-
=103
cos sin x x 法二:因为,2cos sin cos sin =+-x
x x
x
所以sin x -cos x =2(sin x +cos x ),
所以(sin x -cos x )2=4(sin x +cos x )2
, 所以1-2sin x cos x =4+8sin x cos x , 所以有?-
=10
3cos sin x x 4.求证:tan 2
x ·sin 2
x =tan 2
x -sin 2
x .
证明:法一:右边=tan 2x -sin 2x =tan 2x -(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1-cos 2x )=tan 2x ·sin 2
x ,问题得证.
法二:左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1-cos 2x )=tan 2x -tan 2x ·cos 2x =tan 2x -sin 2
x ,问题得证. 5.求函数)6
π
2sin(2+
=x y 在区间[0,2]上的值域.
解:因为0≤x ≤2π,所以,6
π
76π26π,π20≤+≤≤≤x x 由正弦函数的图象, 得到],1,2
1
[)6π2sin(-∈+x
所以y ∈[-1,2].
6.求下列函数的值域.
(1)y =sin 2
x -cos x +2;(2)y =2sin x cos x -(sin x +cos x ).
解:(1)y =sin 2x -cos x +2=1-cos 2x -cos x +2=-(cos 2
x +cos x )+3,
令t =cos x ,则,4
13
)21(413)21(3)(],1,1[2
2
2
++-=++-=++-=-∈t t t t y t
利用二次函数的图象得到].4
13
,
1[∈y (2)y =2sin x cos x -(sin x +cos x )=(sin x +cos x )2
-1-(sin x +cos x ),令t =sin x +cos x 2=
,)4
π
sin(+x ,则
]2,2[-∈t 则,,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,4
5
[+-∈y
7.若函数y =A sin(ωx +φ)(ω>0,φ>0)的图象的一个最高点为)2,2(,它到其相邻的最低点之间的图
象与x 轴交于(6,0),求这个函数的一个解析式.
解:由最高点为)2,2(,得到2=A ,最高点和最低点间隔是半个周期,从而与x 轴交点的间隔是4
1个周期,这样求得
44
=T ,T =16,所以?=8πω
又由)28π
sin(22?+?=,得到可以取).4
π
8πsin(2.4π+=
∴=x y ?
8.已知函数f (x )=cos 4x -2sin x cos x -sin 4
x .
(Ⅰ)求f (x )的最小正周期;(Ⅱ)若],2
π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值. 数x
x
y cos 3sin 1--=
的值域.
解:(Ⅰ)因为f (x )=cos 4
x -2sin x cos x -sin4x =(cos 2
x -sin 2
x )(cos 2
x +sin 2
x )-sin2x
)4
π
2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x
所以最小正周期为π.
(Ⅱ)若]2π,0[∈x ,则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ,所以当x =0时,f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8
π
3=x 时,
f (x )取最小值为.2-
1. 已知2tan =
θ,求(1)
θθθ
θsin cos sin cos -+;(2)θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.
解:(1)
2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-
+
=++θθθ
θθθθθθθ; (2) θ
+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ22222
2cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin
3
24122221cos sin 2cos sin cos sin 2
222-=++-=+θ
θ+θθ
-θθ=. 说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到),进行弦、切互化,就会使解题过程简化。
2. 求函数2
1sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域。
解:设sin cos )[4
π
t x x x =+=
+∈,则原函数可化为
2213
1()24
y t t t =++=++
,因为[t ∈,所以
当t =
时,max 3y =12t =-时,min 3
4
y =,
所以,函数的值域为3
[34
y ∈,。
3.已知函数2
()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈,。
(1)求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合; (2)证明:函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-
对称。 解:2
2
()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=--
2sin 22cos 2)4
π
x x x =-=-
(1)所以()f x 的最小正周期T π=,因为x R ∈,
所以,当2242ππx k π-=+,即38
π
x k π=+时,()f x 最大值为 (2)证明:欲证明函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-对称,只要证明对任意x R ∈,有
()()88
ππ
f x f x --=-+成立,
因为())]2)28842ππππ
f x x x x --=---=--=-,
())]2)28842ππππ
f x x x x -+=-+-=-+=-,
所以()()88ππf x f x --=-+成立,从而函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-对称。
4. 已知函数y=
2
1cos 2
x+23sinx ·cosx+1 (x ∈R ),
(1)当函数y 取得最大值时,求自变量x 的集合;
(2)该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?
解:(1)y=
21cos 2x+23sinx ·cosx+1=41 (2cos 2
x -1)+ 41+43(2sinx ·cosx )+1
=41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x ·sin 6π+sin2x ·cos 6π)+4
5
=21sin(2x+6π)+4
5 所以y 取最大值时,只需2x+6π=2π+2k π,(k ∈Z ),即 x=6
π
+k π,(k ∈Z )。
所以当函数y 取最大值时,自变量x 的集合为{x|x=6
π
+k π,k ∈Z}
(2)将函数y=sinx 依次进行如下变换:
(i )把函数y=sinx 的图像向左平移
6π,得到函数y=sin(x+6
π
)的图像; (ii )把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x+6π
)的图像;
(iii )把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍(横坐标不变),得到函数y=21sin(2x+6
π
)的图像;
(iv )把得到的图像向上平移45个单位长度,得到函数y=21sin(2x+6π)+4
5
的图像。 综上得到y=
2
1cos 2
x+23sinxcosx+1的图像。
历年高考综合题
一,选择题
1.(08全国一6)2
(sin cos )1y x x =--是 ( ) A .最小正周期为2π的偶函数 B .最小正周期为2π的奇函数 C .最小正周期为π的偶函数
D .最小正周期为π的奇函数
2.(08全国一9)为得到函数πcos 3y x ?
?
=+
??
?
的图象,只需将函数sin y x =的图像( ) A .向左平移π
6个长度单位 B .向右平移
π
6个长度单位 C .向左平移5π
6
个长度单位
D .向右平移5π
6
个长度单位
3.(08全国二1)若sin 0α<且tan 0α>是,则α是 ( )
A .第一象限角
B . 第二象限角
C . 第三象限角
D . 第四象限角
4.(08全国二10).函数x x x f cos sin )(-=的最大值为 ( ) A .1 B .
2 C .
3 D .2
5.(08安徽卷8)函数sin(2)3
y x π
=+图像的对称轴方程可能是 ( )
A .6
x π
=-
B .12
x π
=-
C .6
x π
=
D .12
x π
=
6.(08福建卷7)函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移
2
π
个单位后,得到函数y=g(x )的图象,则g(x )的解析式为 ( ) A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x
7.(08广东卷5)已知函数2
()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈,则()f x 是 ( )
A 、最小正周期为π的奇函数
B 、最小正周期为
2π
的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2
π
的偶函数
8.(08海南卷11)函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 ( )
A. -3,1
B. -2,2
C. -3,
32
D. -2,
32