(近十年高考加一年模拟)2013届

不等式选讲

【2012年高考试题】

1.【2012高考真题新课标理24】（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲

已知函数()2f x x a x =++-

（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；

（2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.

2.【2012高考真题陕西理15】A.（不等式选做题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 .

3.【2012高考真题辽宁理24】(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知()|1|()f x ax a R =+∈，不等式3)(≤x f 的解集为}12{≤≤-x x 。 (Ⅰ)求a 的值；

(Ⅱ)若k x

f x f ≤-)2

(2)(恒成立，求k 的取值范围。 【答案】

4.【2012高考真题江西理16】（不等式选做题）在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为___________。

③当21>

x 时，不等式等价为3)21()21(≤++-x x ，即32≤x ，23≤x ，此时2

321≤

x ，所以不等式的解集为}2

3

23{≤≤-=x x A 。 方法（2）利用绝对值的几何意义，不等式32

1

21≤++-

x x 的几何意义是数轴上的点x 到点21,21-

的距离之和小于等于3的解。当23-=x 或23=x 时有32

1

21=++-x x ，所以

32121≤++-

x x 的解为2323≤≤-x ，所以不等式的解集为}2

3

23{≤≤-=x x A 。

5.【2012高考真题湖南理10】不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______.

6.【2012高考真题福建理23】（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f （x ）=m-|x-2|，m ∈R ，且f （x+2）≥0的解集为[-1,1]. （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若a ，b ，c ∈R ，且

【答案】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查基本运算能力，以及化

归与转化思想.

【2011年高考试题】 一、选择题:

1. (2011年高考山东卷理科4)不等式|5||3|10x x -++≥的解集为 （A ）[-5.7] （B ）[-4,6]

（C ）(,5][7,)-∞-?+∞ （D ）(,4][6,)-∞-?+∞

3. (2011年高考广东卷理科9)不等式130x x +--≥的解集是______. 【解析】}1|{≥x x 。由题得1)3()1(|3||1|2

2

≥∴-≥+∴-≥+x x x x x 所以不等式

的解集为}1|{≥x x 。

4．(2011年高考陕西卷理科15)（不等式选做题）若关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是 【答案】(,3][3,)-∞-+∞

【解析】：因为12|12|3x x x x ++-≥+-+=所以12a x x ≥++-存在实数解， 有3a ≥3a ≤-或3a ≥ 三、解答题:

1．(2011年高考辽宁卷理科24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|. （I ）证明：-3≤f （x ）≤3；

（II ）求不等式f （x ）≥x 2-8x+15的解集.

2. (2011年高考全国新课标卷理科24)（本小题满分10分） 选修4-5不等选讲

设函数0,3)(>+-=a x a x x f （1）当1=a 时，求不等式23)(+≥x x f 的解集；(2)如果不等式0)(≤x f 的解集为{}

1-≤x x ，求a 的值。

分析：解含有绝对值得不等式，一般采用零点分段法，去掉绝对值求解；已知不等式的解集要求字母的值，先用字母表示解集，再与原解集对比可得字母的值； 解：（Ⅰ）当1=a 时，不等式23)(+≥x x f ，可化为，21≥-x

3,1≥-≤∴x x ，所以不等式23)(+≥x x f 的解集为{}

3,1≥-≤x x x 或

（Ⅱ）因为0)(≤x f ，所以，03≤+-x a x ，可化为，

?

?

?≤+-≤???≤+-≥0303x x a a

x x a x a x 或 即??

???-≤≤?????≤≥24a x a x a x a x 或

因为，0>a 所以，该不等式的解集是?

??

???-≤2a x x ，再由题设条件得2,12

=∴-=-

a a

点评：本题考查含有绝对值不等式的解法，以及解法的应用，注意过程的完整性与正确性。 3.(2011年高考江苏卷21)选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 解不等式：|21|3x x +-<

解析：考察绝对值不等式的求解，容易题。原不等式等价于：43213,23x x x x -<-<-∴-<<

，解集为4

(2,)3

-. 4．(2011年高考福建卷理科21)（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

设不等式11-x 2＜的解集为M ． （I ）求集合M ；

（II ）若a ，b ∈M ，试比较ab+1与a+b 的大小．

【2010年高考试题】

一、填空题：

1．（2010年高考陕西卷理科15）(不等式选做题)不等式323≥--+x x 的解集为

____________.

【答案】{}

1≥x x

【解析】（方法一）当3-

当23≤≤-x 时，∵原不等式即为()()1323≥?≥-++x x x ，又23≤≤-x ，∴

21≤≤x 适合.

当2>x 时，∵原不等式即为()()35323≥?≥--+x x ，这显然恒成立，∴2>x 适合.

故综上知，不等式的解集为{}221>≤≤x x x 或，即{}

1≥x x .

二、解答题： 1．（2010年高考福建卷理科21）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知函数()||f x x a =-。

（Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数a 的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。

【命题意图】本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力。 【解析】（Ⅰ）由()3f x ≤得||3x a -≤，解得33a x a -≤≤+，

又已知不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，所以3135a a -=-??+=?

，解得2a =。

（Ⅱ）当2a =时，()|2|f x x =-，设()=()(5)g x f x f x ++，于是

()=|x-2||3|g x x ++=21,<3

5,3221,>2x x x x x ---??

-≤≤??+?

，所以

当x<-3时，g(x)>5；当-3x 2≤≤时，g(x)>5；当x>2时，g(x)>5。 2．（2010年高考江苏卷试题21）选修4-5：不等式选讲 （本小题满分10分）

设a 、b

是非负实数，求证：3322)a b a b +≥

+。

3. (2010年全国高考宁夏卷24）（本小题满分10分）选修4-5，不等式选讲 设函数()241f x x l =-+ （Ⅰ）画出函数()y f x =的图像

（Ⅱ）若不等式()f x ≤ax 的解集非空，求a 的取值范围。

（24）解：

（Ⅰ）由于

252()23x x f x x -+

-≥?，，x 2则函数()y f x =的图像如图所示。

（Ⅱ）由函数()y f x =与函数y ax =的图像可知，当且仅当

1

2a ≥

或2a <-时，函数

()y f x =与函数y ax =的图像有交点。故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围

为

()122??

-∞-+∞???? ，

，。

4．（2010年高考辽宁卷理科24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知c b a ,,均为正数，证明：36)111(2

222≥+++++c

b a

c b a ，并确定c b a ,,为何值时，等号成立。

【2009年高考试题】

7. （2009广东14)不等式

1|

2||

1|≥++x x 的实数解为 .

7.【答案】32

x -2x ≤-≠且 【解析】

112x x +≥+2302)2()1(0

22122-≤????≠++≥+????≠++≥+?x x x x x x x 且2-≠x . 8．（2009福建选考21（3）） 解不等式∣2x-1∣<∣x ∣

+1

9．（2009海南宁夏选作（24）) 如力，O 为数轴的原点，A ，B ，M 为数轴上三点，C 为

线段OM 上的动点。设x 表示C 与原点的距离， y 表示C 到A 距离的4倍与C 到B 距

离的6倍的和。

（I ）将y 表示为x 的函数；

（Ⅱ）要使y 的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？

9.【解析】： （Ⅰ）.300|,20|6|10|4≤≤-+-=x x x y （Ⅱ）依题意，x 满足

?

?

?≤≤≤-+-.300,

70|20|6|10|4x x x

解不等式组，其解集为[9，23] .

所以 ].23,9[∈x

10．（2009辽宁选作24）

设函数.|||1|)(a x x x f -+-= （I ）若3)(,1≥-=x f a 解不等式；

（II ）如果a x f x 求,2)(,≥∈?R 的取值范围。

（ii ）当11≤<-x 时，不等式化为

311≥++-x x ，不可能成立。

不等式组??

?≥≤<-3

)(1

1x f x 的解集为φ

（II ）若|1|2)(,1-==x x f a ，不满足题设条件。

若21,,.1,()1,

1,()2(1),1,x a x a a f x a a x f x x a x -+-≤??

<=-<

的 1a -最小值；

若21,1,.1,()1,

1,()2(1),,x a x a f x a x a f x x a x a -+-≤??

>=-<

的 :1a -最小值

所以)2(,≥∈?x f x R 的充要条件是a a 从而,2|1|≥-的取值范围为

)3()1,(∞+--∞ 。

【2008年高考试题】

1．（2008广东，14）（不等式选讲选做题）已知R ∈a ，若关于x 的方程

0|||4

1

|2=+-

++a a x x 有实根，则a 的取值范围是 。

3．（2008宁夏，24，10分）（选修4 – 5：不等式选讲）已知函数.|4||8|)(---=x x x f （1）在图中作出函数)(x f y =的图象； （2）解不等式.2|4||8|>---x x

3．【解析】（1）??

?

??>-≤<+-≤=.8,4,84,122,4,

4)(x x x x x f

图象如下：

（2）不等式,2|4||8|>---x x 即,2)(>x f 由2122=+-x 得.5=x 由函数

)(x f 图象可知，原不等式的解集为).5,(-∞

4．（2008江苏，21D ，10分）（选修4 – 5：不等式选讲）设c b a ,,为正实数，求证：

.321

11333≥+++abc c b a

6．（2008·山东高考题）若不等式4|3|<-b x 的解集中的整数有且仅有1、2、3，则b 的

取值范围为 。

11．（2008广东选作14）已知R a ∈，若关于x 的方程0|||4

1

|2=+-++a a x x 有实根， 则a 的取值范围是 .

11.【答案】10,4??

????

【解析】： 11114()0444

a a a a ?=--+≥?-+≤，

利用绝对值的几何意义，知104a ≤≤。

【2007年高考试题】

2．（2007广东，14）（不等式选讲选做题）设函数)2(,3|12|)(-++-=f x x x f 则= ；

若5)(≤x f ，则x 的取值范围是 。

5．（2007海南、宁夏，22C ，10分）（选修4 –5：不等式选讲）设函数.|4||12|)(--+=x x x f （1）解不等式2)(>x f ；

（2）求函数)(x f y =的最小值。

【山东省临清三中2012届高三12月模拟理】

C ．【选修4—5：不等式选讲】 设函数()|4|||f x x x a =-+- a (＞1），且()f x 的最小值为3，若()5f x ≤，求x 的取值范围。

【山东省烟台市2012届高三期末检测理】20.（本题满分12分） 已知函数a a x x f +-=2)(。

（1）若不等式6)(≤x f 的解集为{}32|≤≤-x x ，求实数a 的值；

（2）在（1）的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围。

1．不等式|2x －1|<3的解集为________． 解析：|2x －1|<3?－3<2x －1<3?－1

2．不等式|x ＋1|＋|2x －4|>6的解集为________． 解析：由题意知，原不等式可化为：???

?

?

x ≥2x ＋1＋2x －4>6

或????

?

－16

或

?????

x ≤－1－x －1－2x ＋4>6

，解得x >3或x <－1，

∴x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案： (－∞，－1)∪(3，＋∞)

3．不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．

4．已知a ，b ，c 为正实数，a ＋b ＋2c ＝1，则a 2＋b 2＋c 2

的最小值为________．

解析：由柯西不等式得(12＋12＋22)(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋2c )2，所以a 2＋b 2

＋c 2

≥

a ＋

b ＋2

c 2

6

＝16，当且仅当a ＝b ＝c 2，即a ＝b ＝16，c ＝13

时等号成立，故a 2＋b 2＋c 2

的最小值为1

6

.

答案：16

5．设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |，如果?x ∈R，f (x )≥2，则a 的取值范围是________．

6．对于任意实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |(|x －1|＋|x －2|)恒成立，则实数x 的取值范围是________．

解析：由题知，|x －1|＋|x －2|≤|a －b |＋|a ＋b |

|a |

恒成立，故|x －1|＋|x －2|不大于

|a －b |＋|a ＋b |

|a |

的最小值，

因为|a －b |＋|a ＋b |≥|a ＋b ＋a －b |＝2|a |，当且仅当(a ＋b )(a －b )≥0时取等号， 所以|a －b |＋|a ＋b ||a |的最小值等于2，

所以|x －1|＋|x －2|≤2，解不等式得12≤x ≤5

2.

答案：[12，5

2

]

7．设a 1，a 2，…，a 2011都为正数，且a 1＋a 2＋…＋a 2011＝1，则a 212＋a 1＋a 22

2＋a 2＋…＋

a 22011

2＋a 2011

的最小值是________．

8．如果存在实数x 使不等式|x ＋1|－|x －2|

9

．已知集合A ＝{x ∈R||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝?

???

?? |x ∈R x ＝4t ＋1

t

－6，t ∈0，＋∞，

则集合A ∩B ＝________.

解析：解不等式|x ＋3|＋|x －4|≤9. (1)当x <－3时，|x ＋3|＋|x －4| ＝－x －3＋4－x ≤9， ∴x ≥－4，即－4≤x <－3；

(2)当－3≤x ≤4时，|x ＋3|＋|x －4|＝x ＋3＋4－x ≤9恒成立， ∴－3≤x ≤4；

(3)当x >4时，|x ＋3|＋|x －4|＝x ＋3＋x －4≤9， ∴x ≤5，即4

综上所述，A ＝{x ∈R|－4≤x ≤5}． ∵t ∈(0，＋∞)，∴x ＝4t ＋1

t

－6≥2

4t ·1t －6＝－2，当且仅当t ＝1

2

时等号成立．

∴B ＝{x ∈R|x ≥－2}．

∴A ∩B ＝{x ∈R|－4≤x ≤5}∩{x ∈R|x ≥－2}＝{x ∈R|－2≤x ≤5}． 答案：{x |－2≤x ≤5}