北京市丰台区2013-2014学年八年级上期末数学试卷及答案

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

下列各题均有四个选项，其中只有一个

．．是符合题意的．

1. 如果二次根式2

x-有意义，那么x的取值范围是

A. 2

x≠ B.0

x≥ C. 2

x> D. 2

x≥

2. 剪纸是中华传统文化中的一块瑰宝，下列剪纸图案中不是

．．轴对称图形的是

3. 9的平方根是

A．3 B．±3 C．3

±D．81

4. 下列事件中，属于不确定事件的是

A．晴天的早晨，太阳从东方升起

B．一般情况下，水烧到50°C 沸腾

C．用长度分别是2cm，3cm，6cm的细木条首尾相连组成一个三角形

D．科学实验中，前100次实验都失败，第101次实验会成功

5. 如果将分式

2x

x y

+

中的字母x与y的值分别扩大为原来的10倍，那么这个分式的值A．不改变B．扩大为原来的20倍

C．扩大为原来的10倍D．缩小为原来的

1

10

6. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于

1

60°

45°

A ．120°

B ．105°

C ．60°

D ．45°

7. 计算3

2a b

（-

）的结果是 A. 332a b - B. 336a b

- C. 338a b - D. 3

38a b

8. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°, CD ⊥AB 于点D ，如果∠DCB =30°，CB =2，那么AB 的长为

A.

B. C. 3 D. 4 9．下列计算正确的是

A.

= B.

=

C.

6=

D.

4= 10. 如图，将ABC △放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A ，B ，C 恰好在网格图中的格点上，那么ABC △中BC 边上的高是 A.

B.

C.

D. 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11. 如果分式

1

4

x x --的值为0，那么x 的值是_________. 12.

_________. 13. 在-1，0

π，

1

3

这五个数中任取一个数，取到无理数的可能性是_________. 14. 如图，ABC △中，90C ∠=，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，

如果CD =6cm ，那么点D 到AB 的距离为_________cm. 15. 如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，BD 是AC 边上的中

B

C

D D C

A

A

D

线，延长BC至点E，使CE=CD，联结DE，则DE的长是.

16. 下面是一个按某种规律排列的数表：

那么第5行中的第2个数是，第n（1

n>，且n是整数）行的第2个数是 .

（用含n的代数式表示）

三、解答题（本题共20分，每题5分）

17. 2．

18. 计算：

2

121

.

224

a a a

a a

--+

÷

--

19. 解方程：

11

3

22

x x x

-

+=

--

.

20. 已知：如图，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上， AB ∥DE ，AB =DE ，BE=CF . 求证：AC =DF .

四、解答题（本题共11分，第21题5分，第22题6分） 21. 已知30x y -=，求22

(+)+2x y

x y x xy y

-+的值．

22. 列方程解应用题：

学校要建立两个计算机教室，为此要购买相同数量的A 型计算机和B 型计算机.已知一台A 型计算机的售价比一台B 型计算机的售价便宜400元，如果购买A 型计算机需要22.4万元，购买B 型计算机需要24万元.那么一台A 型计算机的售价和一台B 型计算机的售价分别是多少元?

E A C D

B F

五、解答题（本题共21分，每小题7分）

23. 已知：如图，△AOB 的顶点O 在直线l 上，且AO ＝AB .

（1）画出△AOB 关于直线l 成轴对称的图形△COD ，且使点A 的对称点为点C ； （2）在（1）的条件下， AC 与BD 的位置关系是 ；

（3）在（1）、（2）的条件下，联结AD ，如果∠ABD =2∠ADB ，求∠AOC 的度数.

24. 我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式.例如：

32=1

12

+. 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次

数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.例如：像1

1x x +-，22

x x -，…这样的分式是假分式；

像

4

2x - ，221

x x +，…这样的分式是真分式.类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式. 例如：

112122

111111

x x x x x x x x +-==+=+

-----（-）+；22442(2)4422222

x x x )x x x x x x -++-+===++----（. （1）将分式

1

2

x x -+化为整式与真分式的和的形式； （2）如果分式221

1

x x --的值为整数，求x 的整数值.

B

A

O

l

25. 请阅读下列材料：

问题：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，MN是过点A的直线，DB⊥MN于点D，

联结CD.求证：BD+ AD

CD.

小明的思考过程如下：要证BD+ AD

CD，需要将BD，AD转化到同一条直线上，可

以在MN上截取AE=BD，并联结EC，可证△ACE和△BCD全等，得到CE=CD，且∠ACE=∠BCD，

由此推出△CDE为等腰直角三角形，可知DE

CD，于是结论得证.

小聪的思考过程如下：要证BD+ AD

CD，需要构造以CD为腰的等腰直角三角形，可

以过点C作CE⊥CD交MN于点E，可证△ACE和△BCD全等，得到CE=CD，且AE=BD，由

此推出△CDE为等腰直角三角形，可知DE

CD，

于是结论得证.

请你参考小明或小聪的思考过程解决下面的问题：(1) 将图1中的直线MN绕点A旋转到图2和图3的

两种位置时，其它条件不变，猜想BD，AD，CD

之间的数量关系，并选择其中一个图形加以证明；

(2) 在直线MN绕点A旋转的过程中，当∠BCD=30°，

BD

时，CD=__________．

M

D

N

B

C

A

图2

B

C

N

M

D

A

图3

A

C B

N

D

M E

图1

丰台区2013－2014学年度第一学期期末练习

初二数学评分标准及参考答案

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

三、解答题（本题共20分，每小题5分）

17．解：原式＝22-+- …… 3分

＝4-． …… 5分 18．解：原式＝

21(1)2

2(2)

a a a a --÷

-- …… 2分

＝

2

12(2)2

(1)

a a a a --?

-- ……3分

＝

21

a -． ……5分

19．解：

1132

2

x x x -+=

-- ……1分

13(2)1x x +-=- ……2分

1361x x +-=- ……3分

24

x =

2x =． ……4分

经检验，2x = 是原方程的增根，

所以，原方程无解. ……5分 20．证明：

∵AB ∥DE ，

∴∠B ＝∠DEC ． ……1分

∵BE = CF ，

∴BE +EC = CF +EC ，即BC = EF ． ……2分

在△ABC 和△DEF 中

,,AB DE B DEC BC EF ===??

???

∠∠ ……3分 ∴△ABC ≌△DEF （SAS ）． ……4分 ∴AC = DF ．（全等三角形对应边相等）…5分 四、解答题（本题共11分，第21题5分，第22题6分）

21．解：原式＝

()

()2

x y

x y x y -?++ ……1分

＝

x y

x y

-+． ……2分 ∵30x y -=，

∴=3x y ． ……3分

∴原式＝

33y y

y y

-+． ……4分

＝

1

2

． ……5分

22．解：设一台A 型计算机的售价是x 元，则一台B 型计算机的售价是（x +400）元．根据题意列方程，得 ……1分

224000240000

400

x x =

+ ……3分 解这个方程，得5600x = ……4分

经检验，5600x =是所列方程的解，并且符合实际问题的意义． ……5分

当5600x =时，+4006000x =．

答：一台A 型计算机的售价是5600元，一台B 型计算机的售价是6000元． ……6分

五、解答题（本题共21分，每小题7分） 23．（1）如图1．……1分 （2）平行． ……2分 （3）解：如图2，

由（1）可知，△AOB 与△COD 关于直线l 对称， ∴△AOB ≌△COD ．……3分

∴AO =CO ，AB = CD ，OB = OD ，∠ABO ＝∠CDO ． 图1 图2 ∴∠OBD ＝∠ODB ． ……4分

∴∠ABO+∠OBD ＝∠CDO+∠ODB ，即∠ABD ＝∠CDB ．

∵∠ABD =2∠ADB ，∴∠CDB =2∠ADB ．∴∠CDA =∠ADB ．……5分

由（2）可知，AC ∥BD ，∴∠CAD ＝∠ADB ．∴∠CAD =∠CDA ，∴CA = CD ．……6分 ∵AO = AB ，∴AO = OC = AC ，即△AOC 为等边三角形． ∴∠AOC = 60°． ……7分 24．解：（1）

12x x -+

()23

2

x x +-=

+ ……1分

22

3

2x x x +=

+-

+ ……2分

3

12

x+=-

. ……3分

（2）

221

1x x --

2221

1x x -+=- ()()21111x x x +-+=

-

()1

211

x x =++

-. ……5分 ∵分式的值为整数，且x 为整数， ∴11x -=±，∴x =2或0．……7分

25．解：（1）如图2，BD －AD

……1分

A

B

C

D

O

l

l

O D

C

B A

如图3，AD －BD

CD . ……2分

证明图2：（ 法一）在直线MN 上截取AE =BD ，联结CE ．

设AC 与BD 相交于点F ，∵BD ⊥MN ，∴∠ADB =90°，∴∠CAE+

∠AFD =90°．

∵∠ACB =90°，∴∠1+∠BFC =90°． ∵∠AFD =∠BFC ，∴∠CAE =∠1．

∵AC =BC ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）． ……3分 ∴CE =CD ，∠ACE =∠BCD ．

∴∠ACE －∠ACD =∠BCD －∠ACD ，即∠2=∠ACB =90°．

在Rt △CDE 中，∵2

2

2

CD CE DE +=，∴2

2

2CD DE = ，即DE ．……4分 ∵DE = AE －AD = BD －AD ，∴BD －AD ． ……5分 （ 法二）过点C 作CE ⊥CD 交MN 于点E ，则∠2=90°． ∵∠ACB =90°，∴∠2+∠ACD =∠ACB+∠ACD ， 即∠ACE =∠BCD ．

设AC 与BD 相交于点F ，∵DB ⊥MN ，∴∠ADB =90°． ∴∠CAE+∠AFD =90°，∠1+∠BFC =90°． ∵∠AFD =∠BFC ，∴∠CAE =∠1．

∵AC =BC ，∴△ACE ≌△BCD （ASA ）． ……3分 ∴CE =CD ，AE =BD ．

在Rt △CDE 中，∵2

2

2

CD CE DE +=，∴2

2

2CD DE = ，即DE ．……4分 ∵DE = AE －AD = BD －AD ，∴BD －AD ． ……5分 证明图3：（ 法一）在直线MN 上截取AE =BD ，联结CE ． 设AD 与BC 相交于点F ，∵∠ACB =90°，∴∠2+∠AFC =90°． ∵BD ⊥MN ，∴∠ADB =90°，∠3+∠BFD =90°． ∵∠AFC =∠BFD ，∴∠2=∠3．

∵AC =BC ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）． ……3分 ∴CE =CD ，∠1=∠4．

∴∠1+∠BCE =∠4+∠BCE ，即∠ECD =∠ACB =90°．

在Rt △CDE 中，∵2

2

2

CD CE DE +=，∴2

2

2CD DE = ，即DE ．……4分

F

1

2图2

A C B

N

D M

E F

E M D

N

B

C A 图2

21

E B

C

N M D

A 图3

12

3

F 4

∵DE = AD －AE = AD －BD ，∴AD －BD

CD ． ……5分 （ 法二）过点C 作CE ⊥CD 交MN 于点E ，则∠DCE =90°． ∵∠ACB =90°，∴∠ACB －∠ECB = ∠DCE －∠ECB ，即∠1=∠4． 设AD 与BC 相交于点F ，∵DB ⊥MN ，∴∠ADB =90°． ∴∠2+∠AFC =90°，∠3+∠BFD =90°． ∵∠AFC =∠BFD ，∴∠2=∠3．

∵AC =BC ，∴△ACE ≌△BCD （ASA ）． ……3分 ∴CE =CD ，AE =BD ．

在Rt △CDE 中，∵2

2

2

CD CE DE +=， ∴2

2

2CD DE = ，即DE

CD ．……4分

∵DE = AD －AE = AD －BD ，∴AD －BD

CD ． ……5分 （2

1 ． ……7分

4F 3

2

1 图3

A D

M N C

B

E