一元二次方程2

3. 实际问题与一元二次方程(3)

知识点精析与应用

1.列一元二次方程解决实际问题的基本步骤方法和列一元一次方程解决实际问题的步骤相同,可归纳为”审,设,列,解,验,答”.

(1)审:认真审题,分析题意,弄清已知与未知,寻找等量关系,特别要抓住题中表述数量关系的关键词,如”多””倍””增长””成比例”等等.

(2)设:就是设定未知数,分直接设未知数和间接设未知数, 直接设未知数就是问什么设什么,反之就是间接设未知数,根据具体问题进行合理选择,以能准确列出方程为目标.

(3)列:即根据问题中的等量关系列出方程,一般问题中都会有两个隐含的等量关系,一个用来设未知数,另一个用来列方程.

(4)解:合理选择方法求出方程的解.

(5)验:对求得的方程的解进行检验,舍去不符合实际意义的解.列一元二次方程求解的应用问题一般会产生两个解,必须检查它们是否符合方程和生活实际,再正确取舍.

如:某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫降价1元,商场平均每天多售出2件,若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫要降价多少元?

解:设每件衬衫应降价x元,则每件所获得的利润为(40-x)元,但每天可多销出2x件,每天可卖(20+2 x)件,根据题意可列方程:

(40-x)(20+2x)=1200 方程化简整理为:x2-30x+200=0 解得:x1=20 x2=10

答:若商场每天要盈利1200元,每件应降价10元或20元.

[点拔]当降价20元或10元时,每天都能盈利1200元,因要尽量减少库存,在获利相同条件下,降价愈多,销售越快,才能满足题目中的要尽量减少库存的要求,故应选择每件降价20元.因而列方程解应用题时应认真审题,不能漏掉任何一个条件.

[启迪]库存时间多一天，要占地方，要放损坏，还不能加强资金周转，这些生意经也成了解题的隐含条件.

(6)答:写出结果,回答问题,保证过程的完整.

2.列一元二次方程解应用题,关键是正确地找到隐含在问题中的等量关系.

(1)要正确熟练地作文字语言与数学式子的转换.

(2)充分运用题目中所给的条件.

(3)要善于发现利用间接的,潜在的等量关系.

(4)对一般应用题,可以从以下几个方面着手寻找相等关系.

①利用题目中的关键语句作为相等关系.

②利用公式、定理作为等量关系.

③从生活、生产实际经验中发现等量关系.

3.本节主要涉及如下两类应用问题.

(1)平均增长率(增长率或降低率)问题;在此类问题中,一般有变化前的基数(a),增长率(x)变化的次数(n),变化后的基数(b),这四者之间的关系可用公式a(1+x)n=b表示.这类问题中等量关系通常由这个公式及由相关的词语”译”出.

(2)经营问题,这也是近年来中考中出现频率高的应用问题.

在这类问题中有进价(a)售价(b)利润(p)件数(n)等相关的量.这些量之间的关系可用公

式p=(b-a)n表示,同时件数(n)又经常与售价(b)关联,在解答此类问题时,一定要准确地找到反映它们关系的代数式.

解题方法指导

例1 （南京市，2007）某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场

需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60 000kg，求南瓜亩产量的增长率．解设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x, 根据题意，得

10(12)2000(1)60000

x x

++=

g．

解这个方程，得

10.5

x=，

x=-（不合题意，舍去）．

答：南瓜亩产量的增长率为50％．

例 2 （黄冈市课改区）市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？

说明用一元二次方程求解的实际问题必须对所求值结合实际予以讨论取舍，本题中x=1.8明显不符合生活中实际，故需舍去。

例3（黄冈市）张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体运输箱且此长方体运输箱底面的长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这块矩形铁皮共花了多少元钱？

解设这种运输箱底部宽为x米,则长为(x+2)米,依题意,有x(x+2)×1=15，

化简,得x2+2x－15=0 ∴x1= -5(舍),x2=3

∴这种运输箱底部长为5米,宽为3米

由长方体展开图知,要购买矩形铁皮

面积为:(5+2)×（3+2）=35（m2）

∴做一个这样的水箱要花35×20=700元钱

例4.某儿童玩具商店将进货价为30元的一种玩具以40元售出,平均每月能售出600个.调查表明:这种玩具售价每上涨1元,其销售量将减少10个,为了实现平均每月12000元的销售利润,这种玩具的售价应定为多少?这时进这种玩具多少个?

[分析]设每玩具涨价x元,则售价为(40-x)元,每一只玩具的利润为(40+x-30)元,销售的件数为(600-10x)件,根据总利润为12000元列出方程.

设每件玩具涨价x元，根据题意可列方程：(40+x-30)(600-10x)=12000

解之，得：x1=20,x2=30 检验知x1=20,x2=30均符合题意

所以，每只玩具售价应定为60元或70元，进货量应为400只或300只。

[点拨]每一只玩具利润和销售总量均与上涨的价格有关,因而设上涨的价格为未知数较合适,用含未知数的代数式表示每一只玩具的利润和销售量.

基础达标演练

1．（扬州市）某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降

价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是______．

2．（泰州市）我国城镇居民2004年人均收入为9422元，2006年为11759元，假设这两年内人均收入平均年增长率相同，则年增长率为（精确到0.1%）．

3．（连云港市）为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，则下列方程正确的是（）Ａ．225003600x =

Ｂ．22500(1)3600x += Ｃ．22500(1%)3600x +=

Ｄ．22500(1)2500(1)3600x x +++= 4.（2010，山东临沂市）为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2009年投资11万元新增一批计算机，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18.59万元。

(1) 求该学校为新增计算机投资的每年平均增长率；

(2) 从2009年到2011年，该中学三年为新增计算机共投资多少万元？

5.（咸宁市，2010）随着人们节能意识的增强，节能产品的销售量逐年增加．某商场高效节能灯的年销售量2008年为5万只，预计2010年将达到7.2万只．求该商场2008年到2010年高效节能灯年销售量的平均增长率．

6.（安徽省）据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了。假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的年平均增长率。(取2≈1.41)

7.（烟台市，2010）去冬今春，我国西南地区遭遇历史上罕见的旱灾，解放军某部接到了限期打30口水井大的作业任务，部队官兵到达灾区后，目睹灾情心急如焚，他们增派机械车辆，争分夺秒，每天比原计划多打3口井，结果提前5天完成任务，求原计划每天打多少口井？

8. （昆明市）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价,若每件商品售价为a 元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%,商店计划要赚400元,需要卖出多少件商品?每件商品售价多少元?

10. （山西省）宏达汽车租货公司共有出租车120辆,每辆汽车的日租金为160元,出租业务天\天供不应求,为适应市场需求,经有关部门批准,公司准备适当提高日租金,经市场调查发现,一辆汽车日租金每增加10元,每天出租的汽车相应地减少6辆.若不考虑其它因素,公司将每辆汽车的日租金提高几个10元?(1)能使公司的日租金总收入达到19380元?(2)使公司的日租金总收入最高?最高是多少?

答案与提示

2．11.7％ 3。B

4. (1) 设该学校为新增计算机投资的年平均增长率为x ，

根据题意，得一元二次方程

11(1+x)2=18.59，解这个方程，得x1=0.3，x2= -2.3(不合题意，舍去)；

答：该学校为新增计算机投资的年平均增长率为30%。

(2) 11+11?(1+0.3)+18.59=43.89(万元)；

答：从2009年到2011年，该中学三年为新增计算机共投资43.89万元。

5.设年销售量的平均增长率为x，依题意得：

5(1)7.2

+=．

解这个方程，得

10.2

x=，

22.2

x=-．

因为x为正数，所以0.220%

x==．

答：该商场2008年到2010年高效节能灯年销售量的平均增长率为20%．

6.设我省每年产出的农作物秸杆总量为a，合理利用量的增长率是x，由题意得：

30%a（1＋x）2=60%a，即（1＋x）2=2，∴x1≈0.41，x2≈－2.41(不合题意舍去)，

∴x≈0.41。即我省每年秸秆合理利用量的年平均增长率约为41%

7、设原计划每天打x口井，

由题意可列方程30/x-30/(x+3)=5,

去分母得，30（x+3）-30x=5x(x+3),整理得，x2+3x-18=0

解得x1=3，x2=-6（不合题意舍去），经检验，x2=3是方程的根，

答：原计划每天打3口井

8.设每件商品应售x元,才能使商店赚400元,根据题意,得(x-21)(350-10x)=400 解之得:x1=25 x2=31(不合题意应舍去). 当x1=25时,350-10x=350-250=100.

答:该商店需要卖出100件商品,每件商品应售25元,才使商品赚400元.

9.(1)设公司将每辆汽车日租金提高x个10元,才能使公司的日租金总收入达到19380元,根据题意有(160+10x)(120-6x)=19380 即x2-4x+3=0 解之得x1=1 x2=3 检验知x1=1 x2=3均符合题意. 故公司将每辆汽车租金提高10元或30元,公司的日租金总收入达到19380元.

(2)设公司的将每辆汽车日租金提高x个10元,则公司每天出租的汽车为(120-6x)辆,则每天的租金总收入为

(160+10x)(120-6x)=-60(x+16)(x-20)=-60(x2-4x-320)=-60[x2-4x+4-324]=-60(x-2)2+19440 ∴当x=2时,此时有最大值19440 即公司将每辆汽车的日租金提高2个10元时,公司的日租金收入最高,最高租金收入为19440元.

10.

考点剖析

本节知识是中考必考内容，一般占10分左右，特别是与经济生活相关的应用问题是热点，这就要求不仅要掌握列一元二次方程解决问题的基本方法，还必须了解社会知识，生活规律，注重积累经验，以便正确解题.

考题探究

例1 （沈阳市）某市位于沙漠边缘，为治理荒沙，加快绿化，全市大搞植树种草活动。到2009年初绿化率达全市的30%。此后的政府计划在几年内，将每年年初未被绿化的沙漠面积的m%栽上树进行绿化，到2010年底，全市绿化率将达到43.3%%，求m的值.

分析被绿化的面积每年增加m%，即未被绿化的面积每年减少m%，故本题从反向角度考虑，易于找到等量关系.

解依题意可列方程，得(1-30%)(1-m%)=1-43.3%

解方程，得m 1=10,m 2=190(舍去)

∴m 的值为10。

说明：本题中注意m 的值不是一个百分数。

例2．（烟台市）某工厂生产的某种产品按质量分为1 0个档次．第1档次(最低档次)的产品一天能生产7 6件，每件利润10元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少4件．

(1)若生产第x 档次的产品一天的总利润为y 元(其中x 为正整数，且1≤x≤10)，求出y 关于x 的函数关系式；

(2)若生产第x 档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次．

例3 (青海省)某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完．第二次去采购时发现批发价上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件．两批玩具的售价均为2.8元．问第二次采购玩具多少件？

（说明：根据销售常识，批发价应该低于销售价）

解析 “批发价上涨0.5元”” 玩具数量比第一次多10件”是本题两个等量关系,一个作为设未知数,另一个用来列方程,所以列方程关键在审题时找到正确的等量关系.注意分式方程求解要进行检验,看是不是增根和是否符合题意,再决定取舍.

解法一：设第二次采购玩具x 件，则第一次采购玩具(10)x -件，由题意得 1001150102x x

+=- 整理得 211030000x x -+=

解得 150x =，260x =．

经检验150x =，260x =都是原方程的解．

当50x =时，每件玩具的批发价为150503÷=（元），高于玩具的售价，不合题意，舍去；当60x =时，每件玩具的批发价为15060 2.5÷=（元），低于玩具的售价，符合题意，因此第二次采购玩具60件．

解法二：设第一次采购玩具x 件，则第二次采购玩具(10)x +件，由题意得

1001150210

x x +=+ 整理得 29020000x x -+=，解得 140x =，250x =．

经检验，140x =，250x =都是原方程的解．

第一次采购40件时，第二次购401050+=件，批发价为150503÷=（元）不合题意，舍去；第一次采购50件时，第二次购501060+=件，批发价为15060 2.5÷=（元）符合题意，因此第二次采购玩具60件．

（2010，长沙市）长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房

地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？

2.（安徽省，2010）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月分的14000元/2m 下降到5月分的12600元/2m

⑴问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：95.09.0≈）

⑵如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月分该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/2m ？请说明理由。

(1)设4、5两月平均每月降价的百分率为x ，根据题意，得14000·(1-x)2=126000(3分) 化简，得(1-x)2=0.9，解得x1≈0.05，x 2≈1.95（不合题意，舍去）

因此，4、5两月平均每月降价的百分率约为5%。

(2)如果按此降价的百分率继续回落，估计7月份的商品房成交均价为12600（1-x ）2=12600×

0.9=11340>10000。同此可知，7月份该市的商品房成交均价不会跌破10000元/m 2。

解得x

3.（南京市，2010）某批发商以每件50元的价格购进800件T 恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T 恤一次性清仓销售，清仓是单价为40元，设第二个月单价降低x 元。

（2）如果批发商希望通过销售这批T 恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？解(1)80-x 200+10x 800-200-(200+10x)

(2)由题意知，获得总利润为：(80-50)×200+(80-x-50)

(200+10x)+(40-50)×[800-200-(200+10x)]=900.

整理，得x 2-20x+100=0

解这个方程，得x 1=x 2=10

当x=10时，80-x=70>50

答：为使获利9000元，则第二个月的单价应是70元。

4.（2010，浙江省温州市）在日常生活中，我们经常有目的地收集数据，分析数据，作出预测．

(1)下图是小芳家2009年全年月用电量的条形统计图。

根据图中提供的信息，回答下列问题：

①2009年小芳家月用电量最小的是月，四个季度中用电量最大的是第季度； ②求2009年5月至6月用电量的月增长率；

(2)今年小芳家添置了新电器．已知今年5月份的用电量是120千瓦时，根据2009年5月至7月用电量的增长趋势，预计今年7月份的用电量将达到240千瓦时．假设今年5月至6月用电量月增长率是6月至7月用电量月增长率的1.5倍，预计小芳家今年6月份的用电量是多少千瓦时?

(1)①5 三 ②%65%10080

80132=?- 答：2009年5月至6月用电量的月增长率是65%。

(2)设今年6月至7月用电量月增长率为x ，则5月至6月用电量月增长率是1.5x 。

由题意得120(1+1.5x)(1+x)=240

化简得3x 2+5x-2=0 解得)(2,3

121舍去不合题意，x x -== ∴120×(1+1.5x)=120×)(180315.11千瓦时=??? ??

答：预计小芳家今年6月份的用电量是180千瓦时。

5.（成都市，2010）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2007年底全市汽车拥有量为180万辆，而截止到2009年底，全市的汽车拥有量已达216万辆．

（1）求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率；

（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2010年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆．

6.（重庆市潼南县，2010）某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成.甲工程队单

独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程.

（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？

（2）若甲工程队独做a 天后，再由甲、乙两工程队合作天（用含a 的代数式

表示）可完成此项工程；

（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲

工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？

7. （天津市）某水果经销商上月份销售一种新上市的水果，平均售价为10元/千克，月销售量为1000千克，经市场调查，若将该种水果调低至x 元/千克，则本月份销售量y(千克)与x(元/千克)之间符合一次函数关系式y=kx+b ，当x=7时，y=2000；当x=5时，y=4000。

(1)求y 与x 之间的函数关系式；

(2)已知该种水果上月份的成本价为5元/千克，本月份的成本价为4元/千克，要使本月份销售这种水果所获利润比上月份增加20%，同时，又要让顾客得到实惠，那么，该种水果的价格每千克应该调低多少元？（利润=售价-成本）。

解(1)：依题意得???=+=+4000

520007b k b k ∴??

?=-=90001000b k ∴y=-1000x+9000 (2) 设水果的价格每千克就调至a 元。

(x-4)(-1000x+9000)=(10-5)×1000×(1+20%)

X 2-12x+42=0

∴x 1=6 x 2=7

∵要让顾客得到实惠，∴x=6，∴10-6=4(元) 故该种水果每千克价格应调低4元。

8. （广州市）顾客李某：A 品牌的空调一次降价幅度就达到，是不是质量有问题？

营业员：不是一次降价，这是第二次降价，今年春节期间已经降了一次价，两次降价的百分

率相同.我们销售的空调质量都是很好的，尤其是A 品牌系列空调的质量是一流的.

顾客李某：我们单位的同事也想买A 品牌的空调，有优惠政策吗？

营业员：有，有两种优惠方案：

方案一：如果不要送货上门的话，价格可以再优惠5%，但为了运输安全和方便，需要另付90元的包装材料费；

方案二；如果要送货上门，价格只能再优惠2%，但可免费使用专用包装。

(1)根据这段对话，求这种商品每次降价的百分率；

(2)你认为老李会选择何种方案，为什么？

解(1)设这种商品每次单价百分率为x

∴1×(1-x)2=1-19% 解得：x 1=1.9, x 2=0.1 ∵x<1，∴x=0.1=10%

(2)设老李买商品共付钱x 元，不送货上门费用为y 1元，送货上门费用为y 2元。

∴y 1=x×(1-5%)+90=0.95x+90

y 2=x×(1-2%)=0.98x

y1>y2时，0.95x+90>0.98x x<3000

y1=y2时,0.95x+90=0.98x x=3000

当y13000

故当老李买商品总价钱多于3000元，选不送货上门方案，等于3000元时，两者一样，小于3000元时，选送货上门方案。

1.（1）设平均每次降价的百分率是x ，依题意得

5000（1－x ）2= 4050

解得：x 1=10％，x 2＝1910

（不合题意，舍去）答：平均每次降价的百分率为10％．

（2）方案①的房款是：4050×100×0.98＝396900（元）

方案②的房款是：4050×100－1.5×100×12×2＝401400（元）

∵396900＜401400

∴选方案①更优惠．

5.（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x 。根据题意，得

150(1)216x +=

解得10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）。

答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%。

（2）设全市每年新增汽车数量为y 万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为21690%y ?+万辆，2011年底全市的汽车拥有量为(21690%)90%y y ?+?+万辆。根据题意得 (21690%)90%231.96y y ?+?+≤ 解得30y ≤

答：该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆。

6. (1)设乙独做x 天完成此项工程，则甲独做（x+30）天完成此项工程.

由题意得：20（

11++x x ）=1 整理得：x 2－10x －600=0（，解得：x 1=30 x 2=－20 经检验：x 1=30 x 2=－20都是分式方程的解，

但x 2=－20不符合题意舍去，x ＋30=60

答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天、30天.

（2）设甲独做a 天后，甲、乙再合做（20-3

a ）天，可以完成此项工程. （3）由题意得：1×64)320)(5.21(≤-++a a

解得：a ≥36

答：甲工程队至少要独做36天后，再由甲、乙两队合作完成剩下的此项工程，才能使施工费不超过64万元.

7、一元二次方程

豪迈职校数学导学案 2.1 一元二次方程班级：命题人：张淑慧审核人：孙海森学习目标姓名： 1．理解什么是“一元二次方程” ； 2．会用配方法解一元二次方程；一、回顾旧知： 1、同学们，你们知道什么是一元二次方程吗？你以前见过吗？判断下面几个例子是否为一元二次方程？并说明理由。（1） x 2 3x80 （） 3x 2 20 2 （3）7x 6 0（4）8x29 2、根据上面的一元二次方程，你知道什么是一次项，什么是二次项，什么是常数项吗？你能说出一次项系数，二次项系数是什么吗？写写吧：一元二次方程二次项二次项系数一次项一次项系数常数项（1）x23x 80 （2）3x220 （3）7x60 （4）8x29 二、探究新知：（预习课本 20-21 页，回答下列问题。） 1、一元二次方程 ax2bx c 0 a 0 ,b24ac （1）根的情况 000 2、你会用配方法解方程吗？观察课本21 页的四个例题的求解过程，试着自己总结一下用配方法解方程的一般步骤：（1）（2）（3） 3、仿照课本 21 页例题的第 1 题，你会解下面的方程吗？（用你会的方法解一下吧）（ 1）x26x 7 0（2）x26x 70 三、课堂检测 1、说出下列一元二次方程的根（1）x24 （2）( x 1)( x 2) 0 （3）x(x 3) 0 （4） ( x 1)2 0 （5）x2 1 0 第1页，共 4页第2页，共4页

（6）2（）2（）2 ( x 3)2 x 6x 7 0 783x 2x 1 0 2、用配方法解下列一元二次方程。（1）x22x 8 0（2）x27 x 80 2 （4）t 2 3、已知关于 x 的方程x2ax a0 有两个相等的实数根，求实数 a 的值。（3）2 x +3=7 x t 1 0 （5）x26x 9 0（6）x23x 30 四、我的收获：第3页，共 4页第4页，共4页

(完整版)一元二次方程归纳总结

一元二次方程归纳总结 1、一元二次方程的一般式：2 0 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。 2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法（也可以使用因式分解法） ①2 (0)x a a =≥ 解为：x = ②2 ()(0)x a b b +=≥ 解为：x a += ③2 ()(0)ax b c c +=≥ 解为：ax b += ④2 2() ()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+ （2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程2 0 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：222 4()24b b ac x a a -+= ①当2 40b ac ?=-> 时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a -=② 当2 40b ac ?=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =- ③ 当2 40b ac ?=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。备注：公式法解方程的步骤： ①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：2 0 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c ②求出2 4b ac ?=-，并判断方程解的情况。 ③代公式：1,2x = 3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程2 0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为： 1222b b x x a a -+-== 所以：12b x x a += +=-， 221222()422(2)4b b b ac c x x a a a a a -+----?=?===

一元二次方程及解法经典习题及解析

一元二次方程及解法经典习题及解析知识技能：一、填空题： 1．下列方程中是一元二次方程的序号是． 42=x ① 522=+y x ② ③01332=-+x x 052=x ④ 5232=+x x ⑤ 412=+x x ⑥ x x x x x x 2)5(0143223-=+=+-。。。。⑧⑦ 2．已知，关于2的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程，则a 3．当=k 时，方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程． 4．解一元二次方程的一般方法有，，， · 5．一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 的求根公式为：． 6．(2004·沈阳市)方程0322=--x x 的根是． 7．不解方程，判断一元二次方程022632 =+--x x x 的根的情况是． 8．(2004·锦州市)若关于X 的方程052=++k x x 有实数根，则k 的取值范围是． 9．已知：当m 时，方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根． 10．关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 的根的情况是．二、选择题： 11．(2004·北京市海淀区)若a 的值使得1)2(42 2-+=++x a x x 成立，则a 的值为( ) A ．5 8．4 C ．3 D ．2 12．把方程x x 332-=-化为02=++c bx ax 后，a 、b 、c 的值分别为( ) 3.3.0.--A 3.3.1.--B 3.3.1.-C 3.3.1.--D 13．方程02=+x x 的解是( ) x A .=土1 0.=x B 1,0.21-==x x C 1.=x D

北师大九上第7讲一元二次方程的解法公式法

一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时， . 2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根. 要点二、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 类型一、公式法解一元二次方程 1.用公式法解下列方程． (1) x 2+3x+1=0； (2)； (3) 2x 2 +3x-1=0． 2 241x x =-

举一反三：【变式】用公式法解方程：x 2﹣3x ﹣2=0． 2．用公式法解下列方程： (1) 2x 2+x=2； (2)3x 2﹣6x ﹣2=0 ；（3）x 2﹣3x ﹣7=0．举一反三：【变式】用公式法解下列方程：；类型二、因式分解法解一元二次方程 3．一元二次方程x 2﹣4x=12的根是（） A ．x 1=2，x 2=﹣6 B ．x 1=﹣2，x 2=6 C ．x 1=﹣2，x 2=﹣6 D ．x 1=2，x 2=6 4．解下列一元二次方程： (1)(2x+1)2 +4(2x+1)+4＝0； (2)．【变式】（1）（x+8）2 -5(x+8)+6=0 （2） 2 221x x +=(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-3(21)42x x x +=+

一元二次方程应用题——分类

增长率问题：1、恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. 2、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 3、王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税） 4、周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（利息税为20%，只需要列式子） 5、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为商品定价：1、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a 元，则可卖出（350－10a ）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？ 2、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。当每吨售价为260元时，月销售量为45吨。该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨。综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元。（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大。”你认为对吗？请说明理由。 3、国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策. 现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时, 每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x 元(叫做税率x%), 则每年的产销量将减少10x 万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少? 4、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元. 水湾风景区旅游？图 1

一元二次方程(含答案)

第十六期：一元二次方程一元二次方程是在一元一次方程及分式方程的基础上学习的，一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的应用是中考的重点。题型多样，一般分值在6－9分左右。知识点1：一元二次方程及其解法例1：方程0232 =+-x x 的解是（） A ．11=x ，22=x B ．11-=x ，22-=x C ．11=x ，22-=x D ．11-=x ，22=x 思路点拨：考查一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：一是因式分解法；二是配方法；三是求根公式法．此题可以用此三种方法求解，此题以因式分解法较简单，此式可以分解为（x －1）(x －2)=0,所以x －1=0或x －２=0，解得x １=１，x ２=２．故此题选Ａ．例2：若2 20x x --= ） A B C D 思路点拨：本题考查整体思想，即由题意知x 2－x=2, 所以原式=3 3 23 123222= +-+，选A. 练习： 1.关于x 的一元二次方程2x 2－3x －a 2 +1=0的一个根为2，则a 的值是（） A ．1 B C ． D ．2.如果1-是一元二次方程2 30x bx +-=的一个根，求它的另一根． 3.用配方法解一元二次方程：x 2－2x －2=0．答案：1.D. 2.解： 1-是230x bx +-=的一个根， 2(1)(1)30b ∴-+--=．解方程得2b =-．

∴原方程为2230x x --= 分解因式，得(1)(3)0x x +-= 11x ∴=-，23x =. 3.移项，得x 2－2x=2．配方x 2－2x+12=2+12，（x －1）2=3. 由此可得x －1=±3， x 1=1+3，x 2=1－3. 最新考题 1.（2009威海）若关于x 的一元二次方程2 (3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______． 2.（2009年山西省）请你写出一个有一根为1的一元二次方程：． 3.（2009山西省太原市）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（） A ．()216x += B ．()216x -= C ．()2 29x += D ．()2 29x -= 答案：1.1； 2.答案不唯一，如2 1x = 3. B 知识点2：一元二次方程的根与系数的关系例1：如果21,x x 是方程0122 =--x x 的两个根，那么21x x +的值为：（A ）－1 （B ）2 （C ）21- （D ）21+ 思路点拨：本题考查一元二次方程02 =++c bx ax 的根与系数关系即韦达定理，两根之和是a b - ，两根之积是a c ，易求出两根之和是2。答案：B 例2：设一元二次方程2 730x x -+=的两个实数根分别为1x 和2x ，则12x x += ，x 1、·x 2 ．

一元二次方程7

一、填空题：（每空3分，共30分） 1、方程(x–1)(2x+1)=2化成一般形式是，它的二次项系数是 . 2、关于x的方程是(m2–1)x2+(m–1)x–2=0，那么当m时，方程为一元二次方程；当m时，方程为一元一次方程. 3、若方程 1 2 x 1 2 x m 5 - - = - + 有增根，则增根x=__________，m= . 4、(2003贵阳)已知方程0 4 2 2 2= + -α cos x x有两个相等的实数根，则锐角α=___________. 5、若方程kx2–6x+1=0有两个实数根．．．．．，则k的取值范围是 . 6、设x1、x2是方程3x2+4x–5=0的两根，则= + 2 1 1 1 x x .x12+x22= . 7、关于x的方程2x2+(m2–9)x+m+1=0，当m= 时，两根互为倒数；当m= 时，两根互为相反数. 8、若x1=2 3-是二次方程x2+ax+1=0的一个根，则a= ，该方程的另一个根x2 = . 9、方程x2+2x+a–1=0有两个负根，则a的取值范围是 . 10、若p2–3p–5=0，q2－3q–5=0，且p≠q，则= + p q 1 1 . 二、细心填一填（每题3分，共24分） 9、关于x的一元二次方程()4 2 3= - x x的一般形式是 3x2-6x-4=0 。 10．当x＝_-1或3_ 时，代数式3－ x 和－x2 + 3x 的值互为相反数 11、已知方程x2+kx+3=0 的一个根是 - 1，则k= 4 , 另一根为 -3 。 12．如果（a+b-1）（a+b-2）=2，那么a+b的值为___0或3__． 13．若方程x2-4x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是4 14．两个连续自然数的平方和比它们的和的平方小112，那么这两个自然数是____7和8_________ 15．把一根长度为14cm的铁丝折成一个矩形，这个矩形的面积为12cm2，则这个矩形的对角线长是_____5__cm. 16、如图，折叠直角梯形纸片的上底AD，点D落在底边BC上点F处，已知DC=8㎝，FC = 4㎝，则EC长 3 ㎝

解一元二次方程(公式法)

应用拓展某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x ++（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．（2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．（2）要使它为一元一次方程，必须满足: ①211(1)(2)0m m m ?+=?++-≠?或②21020m m ?+=?-≠?或③1020 m m +=??-≠? 解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2 m 2=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠0 当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9 134 ±= x 1=，x 2=-12 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=- 12．（2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0 因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意． ②当m 2+1=0，m 不存在． ③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意．当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，解得：x=-1 当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0 解得x=-13 因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-?1时，其一元一次方程的根为x=- 13．布置作业 1．教材P 45 复习巩固4． 2．选用作业设计:

初中数学七年级一元二次方程的四种解法

二元一次方程组知识点 1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。 4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 5、代入消元法解二元一次方程组：（1）基本思路：未知数由多变少。（2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。（3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。（4）代入法解二元一次方程组的一般步骤： 1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”. 2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。 3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。 4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代” 5、把x、y的值用｛联立起来即“联”｝ 6、加减消元法解二元一次方程组（1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。（2）用加减消元法解二元一次方程组的解 1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数也不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。 2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。 3、解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。 4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”。 5、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。二元一次方程组应用题 1、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即： 2、审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数； 3、找：找出能够表示题意两个相等关系； 4、列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； 5、解：解这个方程组，求出两个未知数的值； 6、答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案一．解答题（共16小题）

(完整版)一元二次方程的应用练习题及答案

一元二次方程的应用 1．某地区2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元．（1）求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育经费多少万元． 2．白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？ 3．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？ 4．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？

5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 6．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把化简后的结果填写在表格中：销售单价（元）x 销售量y（件）销售玩具获得利润w（元）（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元． 7．利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地，求矩形的长和宽．

一元二次方程求根公式

一元二次方程求解一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式

法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，

一元二次方程的解法(二)配方法(基础)

一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础）【学习目标】 1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤； 3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力. 【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式： . (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用 1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】

中考数学考点研究与突破【7】一元二次方程(含答案)

考点跟踪突破7 一元二次方程一、选择题(每小题6分，共30分) 1．(2014·宜宾)若关于x 的一元二次方程的两根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程是( B ) A ．x 2＋3x －2＝0 B ．x 2－3x ＋2＝0 C ．x 2－2x ＋3＝0 D ．x 2＋3x ＋2＝0 2．(2014·益阳)一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0总有实数根，则m 应满足的条件是( D ) A ．m ＞1 B ．m ＝1 C ．m ＜1 D ．m ≤1 3．(2012·荆门)用配方法解关于x 的一元二次方程x 2－2x －3＝0，配方后的方程可以是( A ) A ．(x －1)2＝4 B ．(x ＋1)2＝4 C ．(x －1)2＝16 D ．(x ＋1)2＝16 4．(2014·菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为( B ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－2 5．(2014·潍坊)等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程x 2－12x ＋k ＝0的两个根，则k 的值是( B ) A ．27 B ．36 C ．27或36 D ．18 二、填空题(每小题6分，共30分) 6．(2014·舟山)方程x 2－3x ＝0的根为__x 1＝0，x 2＝3__． 7．(2013·佛山)方程x 2－2x －2＝0的解是． 8．(2014·白银)一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝__1__． 9．(2014·呼和浩特)已知m ，n 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，则m 2－mn ＋3m ＋n ＝__8__． 10．(2013·白银)现定义运算“★”，对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a 2－3a ＋b ，如：3★5＝32－3×3＋5，若x ★2＝6，则实数x 的值是__－1或4__．解析：根据题中新定义将x ★2＝6变形得x 2－3x ＋2＝6，即x 2－3x －4＝0，解得x 1＝－1，x 2＝4 三、解答题(共40分) 11．(6分)(1)(2014·遂宁)解方程：x 2＋2x －3＝0；解：∵x 2＋2x －3＝0，∴(x ＋3)(x －1)＝0，∴x 1＝1，x 2＝－3 (2)(2012·杭州)用配方法解方程：2x 2－4x －1＝0. 解：二次项系数化为1得：x 2－2x ＝12，x 2－2x ＋1＝12＋1，(x －1)2＝32，x －1＝±62 ，∴x 1＝62＋1，x 2＝1－62

一元二次方程知识点总结

一元二次方程知识点教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。教学关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。主要知识点：一、一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(242 2≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 5、韦达定理

7.3一元二次方程的解法(去括号)青岛版

一元二次方程的解法（去括号）【学习目标】： 1.正确理解和运用乘法分配律和去括号法则解方程 2.领悟到解方程是运用方程解决实际问题的组成部分，体验去括号是解一元一次方程的一个基本步骤；体会去括号和移项法则的不同之处 3.通过参与探索一元一次方程解的过程的数学活动，体会解方程中分析和转化的思想方法【学习重点】：重点：正确用去括号法则解一元一次方程【学习难点】：难点：去括号时需要注意的问题课前准备知识回顾 1.把下列各式去括号 (1) 0.8x+（10-x）（2） -3x-（5-2x） (3) 9-5（1-2x） (4) 6x-3(11-2x) (5) -2(1+2x) (6) 3(x+2)-2(2x-3) 2.一元一次方程的解法我们学习了哪几步？ 3.移项、合并、系数化成1注意什么？ 4.用移项法解方程 (1). 5+2x=1 (2). 8-x=3x+2 课内探究例1解方程 3-(4x-3)=7 跟踪训练1 解方程：（1） 0.8x+（10-x）=9 （2） -3x-（5-2x）=6

例2 解方程： 3（x+6）=9-5（1-2x）跟踪训练2 课本162页练习1题（2）、（3）、（4）跟踪训练3 下列变形对吗?若不对,请说明理由,并改正: 解方程3-2(0.2x+1)=0.2x 解:去括号,得 3 - 0.4x + 2=0.2x 移项,得 - 0.4 x + 0.2x=-3 - 2 合并同类项,得 - 0.2 x=- 5 两边同除以-0.2,得 x=25 思考：解带括号的一元一次方程有哪些基本程序？课堂小结：回顾这节课咱们学到了什么？达标测试： 1.解方程-2（x-1）-4（x-2）=1，去括号结果正确的是（） A.-2x+2-4x-8=1 B.-2x+1-4x+2=1 C.-2x-2-4x-8=1 D.-2x+2-4x+8=1 2.判断下面方程的解法是否正确，如果不正确，请加以改正。 14x-3（20-x）=5x-3（8-x）解：14x-60-3x=5x-24-3x 14x-3x-5x+3x=60-24 9x=36 X=4 2.解下列方程： (1). 3(y+1)=2y-1 (2). 3(x+2)-2(2x-3)=12 课后提升： 1.基础题：课本162页 CT7.3 3题 2.提高题：解方程3x－[3(x+1)－(1+4x)]＝1

七年级数学下一元二次方程

二元一次方程组复习学案一、知识回顾 1.1 建立二元一次方程组（1）二元一次方程：叫二元一次方程。（2）二元一次方程组：叫做二元一次方程组。（3）方程组的解：叫方程组的一个解。例题： 1、下列各方程哪个是二元一次方程（） A 、8x －y ＝y B 、xy ＝3 C 、2x2－y ＝9 D 、 2、已知是方程2x ＋ay ＝5的解，则a ＝。同类练习： 1、下列方程组：（1）（2）（3）（4）中，属于二元一次方程组的是（）（A ）只有一个（B ）只有两个（C ）只有三个（D ）四个都是 2、是二元一次方程ax －2＝－by 的一个解，则2a －b －6的值等于。 1.2 二元一次方程组的解法（1）解二元一次方程的基本思想：。（2）代入消元法：这种解方程组的方法叫做代入消元法。（3）加减消元法：这种解方程组的方法叫做加减消元法。例题： 1、由2x －3y －4＝0，可以得到用x 表示y 的式子y ＝。 2．以下方程，与???=+=+75252y x y x 不同解的是（） A ．???=+=+104252y x y x B ．? ??=+=+75214104y x y x C ．???=+=+2352y x y x D ．???=+=+7523y x y x 3、已知方程组的解是，则2m+n 的值为。 4、选择恰当的方法解下列方程组 21=-y x ???==12y x ???-==-1253y x y x ???==+y x xy 01? ??+=+=+416z y y x ???=+=326x y x ???-==12y x ???=+=+30ny x y mx ???-==21y x

特殊的一元二次方程的解法—知识讲解

一元二次方程及其解法（一）特殊的一元二次方程的解法—知识讲解（提高）【学习目标】 1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式； 2．掌握直接开平方法和因式分解法解方程，会应用此判定方法解决有关问题； 3．理解解法中的降次思想，直接开平方法和因式分解法中的分类讨论与换元思想. 【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念 1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释： (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0. （2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0. （3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.

九年级数学上册一元二次方程7

数项。 3x2＋9＝9x x2－4x＝19 (9x－3)(x＋7)＝0 4x(x－7)＝22 x(x－6)＝0 7x(x－9)＝9x＋9 (3x＋2)(x＋8)＝x(6x＋8) 7x2－9＝3x 2x(x－3)＝23 二、解下列方程。 8x2－9＝0 9x2－1＝7 (x＋1)2－5＝0 8(x＋5)2－8＝0 x2＋10x＋25＝6 6x2＋8＝8

数项。 x2＋1＝7x 8x2＋1x＝26 (6x＋5)(x＋8)＝0 5x(x＋8)＝9 2x(x＋7)＝0 x(x－1)＝8x－8 (3x＋6)(x＋6)＝x(2x－7) 3x2＋2＝8x 4x(x－9)＝4 二、解下列方程。 6x2－7＝0 x2－8＝1 (x＋3)2－2＝0 (x＋4)2－8＝0 x2＋14x＋49＝1 8x2－4＝2

数项。 x2＋2＝6x 8x2－9x＝96 (9x－4)(x＋5)＝0 x(x－2)＝5 8x(x＋9)＝0 x(x－5)＝9x－3 (9x＋7)(x－3)＝x(5x＋1) 3x2－3＝5x x(x－4)＝20 二、解下列方程。 4x2－5＝0 x2－7＝1 (x＋7)2－1＝0 (x－7)2－6＝0 x2＋6x＋9＝8 x2＋4＝9

数项。 x2＋8＝7x x2＋6x＝44 (3x－2)(x－5)＝0 7x(x－2)＝8 9x(x－2)＝0 7x(x＋3)＝8x－1 (4x＋3)(x－7)＝x(3x－1) x2－2＝2x 4x(x－6)＝18 二、解下列方程。 4x2－5＝0 x2－8＝7 (x＋9)2－1＝0 (x－8)2－6＝0 x2－14x＋49＝6 4x2＋4＝7

一元二次方程及解法

课题：复习一元二次方程及其解法韶关市武江区龙归中学冯世振《孙子·谋略》：“知己知彼，百战不殆” 【课前热身】 1．方程3(1)0x x +=的二次项系数是，一次项系数是，常数项是 . 2.一元二次方程 x 2=3x 的根是 . 3．一元二次方程2230x x --=的根是 . 4．关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实数p =（） A ．4 B ．0或2 C ．1 D ．1- 5．关于x 的一元二次方程1(3)(1)30n n x n x n +++-+=中，则一次项系数是 . 【课标内容解读】本课时复习主要解决下列问题. 1、了解一元二次方程的有关概念，知道一元二次方程的一般形式，会从定义上判断方程的各种类型； 2、会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单系数的一元二次方程，并根据方程的特点，灵活选择方程的解法（重点）【命题趋向】一元二次方程始终是中考的重点内容，一元二次方程的解法以选择题和解答题为主。【考点精要解读】 1．一元二次方程：在整式方程中，只含个未知数，并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .（请问哪些情况方程要强调一般形式① ② ③ ④ ）其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项；叫做二次项的系数，叫做一次项的系数。（警告：判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .） 2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2 ≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （警告：用直接开平方的方法时要记得取正、负.）（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02 ≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2 ()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.

7 用因式分解法求解一元二次方程

课题：§2.4因式分解法求解一元二次方程【学习目标】 1、会用分解因式法（提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程． 2、在解题过程中灵活使用“换元法” 【学习重难点】 1.重点：利用分解因式法解一元二次方程 2.难点：“整体思想”在解题中的应用【学习过程】一、【回顾复习】 1、分解因式是 2、我们学习了解一元二次方程的三种方法是： 3、解下列方程： (1)x2－4＝0； (2)x2－3x＋1＝0； (3)(x＋1)2－25＝0； (4)20x2＋23x－7＝0．二、【自学探究】 1、一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？你还有其他的方法吗? 把方程的一边变为0，而另一边可以分解成两个因式的乘积，然后利用a×b＝0，则

a ＝0或 b ＝0，把一元二次方程变为一元一次方程，从而求出方程的解．把这种解一元二次方程的方法称为分解因式法．三、【合作探究】 1、例题：解下列方程： (1) 5x 2 ＝4x (2) x －2＝x (x －2) (3) (x －1)(x ＋3)＝12 2、想一想：你能用分解因式法解方程x 2－4＝0，(x ＋1)2－25＝0吗？ 3.解方程：03)53(4)53(2=++-+x x 四、【课堂检测】 1．（1)已知一元二次方程 x 2 -2x=0, 它的解是（） A 、0 B 、2 C 、0，-2 D 、0，2 (2)方程x(x+3) =-x(x+3)的根为( ) A 、x= 0,x= 3 B 、x=0,x= -3 C 、x= 0 D 、x= -3 (3)若方程x(x+3)(3x+1)=0,则3x+1的值为( )