2021年吉林大学原子与分子物理研究所852量子力学(需携带计算器)考研核心题库之计算题精编

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一、2021年吉林大学原子与分子物理研究所852量子力学（需携带计算器）考研核心题库之计算题精编

1．自旋，磁矩，不带电粒子置于恒定

磁场中，t=0时处在本征值-1本征态，t＞0时加上弱磁场

(1)求t＞0后波函数

(2)求测得自旋翻转概率

【答案】(1)

表象中方程为

由

得.

久期方程

得

对应本征态

t=0时刻

因此t＞0时

(2)含时微扰法

微扰

2．当势能V(r)改变一常量C时，即，粒子的波函数与时间无关部分是否变化？能量本征值是否变化？

【答案】设原来的薛定谔方程式是

将方程式左边加减相等的量得

这两个方程式从数学形式上来说完全相同，因此它们有相同的解，从能量本征值来说，后者比前者增加了C。

3．势能的类复原子处于态，试计算的平均值。

【答案】令(1)

满足方程

(2)

方程(2)可以写成如下形式：

(3)

其中

(4)

是等效的一维哈密顿量，取为参数，相应的F-H定理为，

(5)

其中

(6)

将式(4)与(6)代入式(5)，得

(7)

4．有一质量为的粒子，在一维谐振子势场中运动。在动能的非相对论极

限下，基态能，基态波函数为。考虑T与p的关系的相对论修正，计算基态能级的移动至阶(c为光速)。

【答案】由微扰论知基态能级的移动为：

考虑到

由可得

近似到阶的基态能级的移动为

5．由三个自旋为的非全同粒子组成的系统的哈密顿量为

其中分别是三个粒子的自旋算符，A和B为实常量,求系统的能级和能级简并度。

【答案】令，则有

所以

系统的哈密顿量可表示为

选取系统的力学量完全集为，系统的本征函数为，则