连续时间LTI系统分析

实验三 连续时间LTI 系统分析

一、实验目的

（一）掌握使用Matlab 进行连续系统时域分析的方法

1、学会使用符号法求解连续系统的零输入响应和零状态响应

2、学会使用数值法求解连续系统的零状态响应

3、学会求解连续系统的冲激响应和阶跃响应

（二）掌握使用Matlab 进行连续时间LTI 系统的频率特性及频域分析方法 1、学会运用MATLAB 分析连续系统的频率特性

2、学会运用MATLAB 进行连续系统的频域分析

（三）掌握使用Matlab 进行连续时间LTI 系统s 域分析的方法

1、学会运用MATLAB 求拉普拉斯变换（LT ）

2、学会运用MATLAB 求拉普拉斯反变换（ILT ）

3、学会在MATLAB 环境下进行连续时间LTI 系统s 域分析

二、实验条件

装有MATLAB 的电脑

三、实验内容

（一）熟悉三部分相关内容原理 （二）完成作业

1、已知某系统的微分方程如下：

)(3)()(2)(3)(t e t e t r t r t r +'=+'+''

其中，)(t e 为激励，)(t r 为响应。

（1） 用MATLAB 命令求出并画出2)0(,1)0(),()(3='==---r r t u e

t e t

时系统的零

状态响应和零输入响应（零状态响应分别使用符号法和数值法求解，零输入响应只使用符号法求解）；

符号法求解零输入响应： >> eq='D2y+3*Dy+2*y=0';

>> cond='y(0)=1,Dy(0)=2'; >> yzi=dsolve(eq,cond); >> yzi=simplify(yzi)

yzi =

符号法求解零状态响应：exp(-2*t)*(4*exp(t) - 3)

eq1='D2y+3*Dy+2*y=Dx+3*x';

eq2='x=exp(-3*t)*heaviside(t)'; cond='y(-0.001)=0,Dy(-0.001)=0'; yzs=dsolve(eq1,eq2,cond); yzs=simplify(yzs)

yzs =

(exp(-2*t)*(exp(t) - 1)*(sign(t) + 1))/2

图像如下：

代码：subplot(211)

ezplot(yzi,[0,8]); grid on

title('á?ê?è??ìó|') subplot(212) ezplot(yzs,[0,8]); grid on

title('á?×′ì??ìó|')

数值计算法： t=0:0.01:10;

sys=tf([1,3],[1,3,2]); f=exp(-3*t).*uCT(t); y=lsim(sys,f,t); plot(t,y),grid on ; axis([0 10 -0.001 0.3]);

title('êy?μ????·¨μ?á?×′ì??ìó|')

（2）使用MATLAB命令求出并画出系统的冲激响应和阶跃响应（数值法）；用卷积积分法求系统的零状态响应并与（1）中结果进行比较；

系统的冲激响应和阶跃响应（数值法）：

代码：

t=0:0.01:10;

sys=tf([1,3],[1,3,2]);

h=impulse(sys,t);

g=step(sys,t);

subplot(211)

plot(t,h),grid on;

axis([0 10 -0.01 1.1]);

title('3??¤?ìó|')

subplot(212)

plot(t,g),grid on;

axis([0 10 -0.01 1.6]);

title('?×???ìó|'

卷积积分法求系统的零状态响应：

Ctsconv函数的定义：

function[f,t]=ctsconv(f1,f2,t1,t2,dt)

f=conv(f1,f2);

f=f*dt;

ts=min(t1)+min(t2);

te=max(t1)+max(t2);

t=ts:dt:te;

subplot(221)

plot(t1,f1);

grid on

axis([min(t1),max(t1),min(f1)-abs(min(f1)*0.2),max(f1)+abs(max(f1)*0.2)])

title('f1(t)');

xlabel('t')

subplot(222)

plot(t2,f2);

grid on

axis([min(t2),max(t2),min(f2)-abs(min(f2)*0.2),max(f2)+abs(max(f2)*0.2)])

title('f2(t)');

xlabel('t')

subplot(212) plot(t,f); grid on

axis([min(t),max(t),min(f)-abs(min(f)*0.2),max(f)+abs(max(f)*0.2)]) title('f(t)=f1(t)*f2(t)'); xlabel('t')

求系统的零状态响应代码： dt=0.01;t1=0:dt:10; f1=exp(-3*t1).*uCT(t1); t2=t1;

sys=tf([1,3],[1,3,2]); f2=impulse(sys,t2);

[t,f]=ctsconv(f1,f2,t1,t2,dt)

如图，根据两图相比较，两种方法做出的零状态响应大体相同。

（3） 若已知条件同（1），借助MATLAB 符号数学工具箱实现拉普拉斯正反变换的方法

求出并画出2)0(,1)0(),()(3='==---r r t u e

t e t

时系统的零状态响应和零

输入响应，并与（1）的结果进行比较。

普拉斯正反变换的方法求出系统的零状态响应和零输入响应： 代码：

syms t s Rzis=(s+5)/(s^2+3*s+2); rzi=ilaplace(Rzis)

rzi =

4*exp(-t) - 3*exp(-2*t)

et=exp(-3*t)*heaviside(t); es=laplace(et);

Rzss=((3+s)*es)/(s^2+3*s+2); rzs=ilaplace(Rzss) rzs =

exp(-t) - exp(-2*t)

根据图像，同样也能看出拉普拉斯变换法得出的结果相同。

2、已知某RC 网络如下，

()

r t ()

e t +

-

+

-

R

C

（1） 求出该网络的频域系统函数()H j ω； H （jw ）=a/(a+jw) 其中a=1/RC （2） 使用MATLAB 命令画出1RC =时系统的幅频特性和相频特性；

代码：

w=-3*pi:0.01:3*pi; b=[0,1];a=[1,1]; h=freqs(b,a,w); subplot(211)

plot(w,abs(h)),grid on axis([-10 10 0 1.1]); title('H(w)μ?·ù?μì?D?') subplot(212)

plot(w,angle(h)),grid on title('H(W)μ??à?μì?D?')

（3） 若1RC

=，且激励信号()sin sin(3)e t t t =+，使用频域分析法求解()r t ，分

别画出()e t 和()r t 波形，讨论经传输是否引起失真。

代码：

t=0:0.1:20; w1=1;w2=3; H1=1/(1+1i*w1); H2=1/(1+1i*w2); f=sin(t)+sin(3*t);

y=abs(H1)*sin(w1*t+angle(H1))+abs(H2)*sin(w2*t+angle(H2)); subplot(2,1,1); plot(t,f);grid on

ylabel('f(t)'),xlabel('Time(s)') title('ê?è?D?o?μ?2¨D?') subplot(2,1,2); plot(t,y);grid on

ylabel('y(t)'),xlabel('Time(sec)')

title('?èì??ìó|μ?2¨D?')

如图，两组波形进行比较可以明显看出，二者不成线性关系，所以此传输系统失真。

3、已知某系统框图如下，

∑

+-

)

)((121

-+s s K

)

(1s V )

(2s V

（1） 写出下图所示系统的s 域系统函数()H s ；

H （s ）=1/(S 2+S-2+K)

（2） 使用MATLAB 命令分别用两种方式画出9

0,1,2,,34

K =时该系统的零极点分布

图，并由图讨论K 从0增长时，该系统的稳定性变化情况。

代码：

b1=[0 1]; a1=[1 1 -2]; sys1=tf(b1,a1); subplot(321) pzmap(sys1) axis([-2 2 -2 2]) b2=[0 1]; a2=[1 1 -1]; sys1=tf(b2,a2); subplot(322) pzmap(sys1)

axis([-2 2 -2 2])

b3=[0 1];

a3=[1 1 0];

sys1=tf(b3,a3);

subplot(323)

pzmap(sys1)

axis([-2 2 -2 2])

b4=[0 1];

a4=[1 1 0.25];

sys1=tf(b4,a4);

subplot(324)

pzmap(sys1)

axis([-2 2 -2 2])

b4=[0 1];

a4=[1 1 1];

sys1=tf(b4,a4);

subplot(325)

pzmap(sys1)

axis([-2 2 -2 2])

根据图像，很明显的可以看出，随着K的逐渐增大，系统逐渐稳定。

（3）对（2）中的稳定系统，使用MATLAB的freqs函数画出它们的线性坐标下的幅频特性和相频特性图，并画出它们的波特图。

w=-10:0.01:10;

b1=[0,1];

a2=[1 1 0.25];

H=freqs(b1,a2,w);

subplot(221)

plot(w,abs(H)),grid on

xlabel('w(rad/s)'),ylabel('\phi(w)')

title('H1(s)μ?·ù?μì?D?')

subplot(222)

plot(w,angle(H)),grid on

xlabel('w(rad/s)'),ylabel('\phi(w)')

title('H1(s)μ??à?μì?D?')

w=-10:0.01:10;

b2=[0,1];

a2=[1 1 1];

H=freqs(b2,a2,w);

subplot(223)

plot(w,abs(H)),grid on

xlabel('w(rad/s)'),ylabel('\phi(w)')

title('H2(s)μ?·ù?μì?D?')

subplot(224)

plot(w,angle(H)),grid on

xlabel('w(rad/s)'),ylabel('\phi(w)')

title('H2(s)μ??à?μì?D?')

figure

sys1=tf(b1,a1);

sys2=tf(b2,a2);

bode(sys1);grid on

hold on

bode(sys2);grid on

hold off

text(80,150,'H1(s)')

text(80,-80,'H1(s)')

text(30,120,'H2(s)')

text(30,-160,'H2(s)')

四、实验结论和讨论

本次实验总体难度较大，但是数据上基本没有问题，除了在选择坐标长度时有些问题之外，总体没什么问题。图像清晰完整，结果也比较明显。多种方法比较算出的零状态响应结果都是相同的，没有太大的误差

五、实验思考

本次实验让我更加熟悉了MATLAB的基本用法和一些常用的数学计算函数，在此基础上也让我更加深入的对零输入响应，零状态响应等加深了认识，在一些细节用法的方面加深了印象。本次实验难度比较大，但是难度大的同时收获也非常丰富。今后，我要更加熟悉常用函数以及基本规则，争取快速又保质保量完成任务。

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