离散数学知识点
说明:
定义:红色表示。
定理性质:橙色表示。
公式:蓝色表示。
算法:绿色表示
页码:灰色表示
数理逻辑:
1.命题公式:命题,联结词(?,∧,∨,→,?),合式公式,子公式
2.公式的真值:赋值,求值函数,真值表,等值式,重言式,矛盾式
3.范式:析取范式,极小项,主析取范式,合取范式,极大项,主合取范式
4.联结词的完备集:真值函数,异或,条件否定,与非,或非,联结词完备集
5.推理理论:重言蕴含式,有效结论,P规则,T规则,CP规则,推理
6.谓词与量词:谓词,个体词,论域,全称量词,存在量词
7.项与公式:项,原子公式,合式公式,自由变元,约束变元,辖域,换名,代入
8.公式语义:解释,赋值,有效的,可满足的,不可满足的
9.前束范式:前束范式
10.推理理论:逻辑蕴含式,有效结论,?-规则(US),?+规则(UG),?-规则(ES),?+
规则(EG), 推理
集合论:
1.集合: 集合, 外延性原理, ∈, ? , ?, 空集, 全集, 幂集, 文氏图, 交, 并, 差, 补, 对称
差
2.关系: 序偶, 笛卡尔积, 关系, domR, ranR, 关系图, 空关系, 全域关系, 恒等关系
3.关系性质与闭包:自反的, 反自反的, 对称的, 反对称的, 传递的,自反闭包r(R),对称
闭包s(R), 传递闭包t(R)
4.等价关系: 等价关系, 等价类, 商集, 划分
5.偏序关系:偏序, 哈斯图, 全序(线序), 极大元/极小元, 最大元/最小元, 上界/下界
6.函数: 函数, 常函数, 恒等函数, 满射,入射,双射,反函数, 复合函数
7.集合基数:基数, 等势, 有限集/无限集, 可数集, 不可数集
代数结构:
1.运算及其性质:运算,封闭的,可交换的,可结合的,可分配的,吸收律, 幂等的,幺元,零
元,逆元
2.代数系统:代数系统,子代数,积代数,同态,同构。
3.群与子群:半群,子半群,元素的幂,独异点,群,群的阶数,子群,平凡子群,陪集,
拉格朗日(Lagrange)定理
4.阿贝尔群和循环群:阿贝尔群(交换群),循环群,生成元
5.环与域:环,交换环,含幺环,整环,域
6.格与布尔代数:格,对偶原理,子格,分配格,有界格,有补格,布尔代数,有限
布尔代数的表示定理
图论:
1.图的基本概念:无向图、有向图、关联与相邻、简单图、完全图、正则图、子图、
补图,握手定理,图的同构
2.图的连通性:通路,回路,简单通路,简单回路(迹)初级通路(路径),初级回路(圈),
点连通,连通图,点割集,割点,边割集,割边,点连通度,边连通度,弱连通图,
单向连通图,强连通图,二部图(二分图) 3. 图的矩阵表示:关联矩阵,邻接矩阵,可达矩阵
4. 欧拉图与哈密顿图:欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图,哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图
5. 无向树与根树:无向树,生成树,最小生成树,Kruskal ,根树,m 叉树,最优二叉树,Huffman 算法
6. 平面图:平面图,面,欧拉公式,Kuratoski 定理
数理逻辑:
命题:具有确定真值的陈述句。
否定词符号?:设p 是一个命题,?p 称为p 的否定式。?p 是真的当且仅当p 是假的。p 是真的当且仅当?p 是假的。【定义1.1】
合取词符号∧:设p ,q 是两个命题,命题 “p 并且q”称为p ,q 的合取,记以p ∧q ,读作p 且q 。p ∧q 是真的当且仅当p 和q 都是真的。【定义1.2】
析取词符号∨:设p ,q 是两个命题,命题 “p 或者q”称为p ,q 的析取,记以p ∨q ,读作p 或q 。p ∨q 是真的当且仅当p ,q 中至少有一个是真的。【定义1.3】
蕴含词符号 →:设p ,q 是两个命题,命题 “如果p ,则q”称为p 蕴含q ,记以p →q 。p →q 是假的当且仅当p 是真的而q 是假的。【定义1.4】
等价词符号 ?:设p ,q 是两个命题,命题 “p 当且仅当q”称为p 等价q ,记以p ?q 。p →q 是真的当且仅当p ,q 或者都是真的,或者都是假的。【定义1.5】 合式公式:
(1) 命题常元和变元符号是合式公式;
(2) 若A 是合式公式,则(?A)是合式公式,称为A 的否定式;
(3) 若A ,B 是合式公式,则 (A ∨B), (A ∧B), (A →B),(A ?B)是合式公式; (4) 所有合式公式都是有限次使用(1),(2),(3)、(4)得到的符号串。
子公式: 如果X是合式公式A 的一部分,且X本身也是一个合式公式,则称X为公式A 的子公式。【定义1.6】
赋值(指派,解释): 设∑是命题变元集合,则称函数v :∑ → {1,0}是一个真值赋值。【定义1.8】
真值表:公式A 在其所有可能的赋值下所取真值的表,称为A 的真值表。【定义 1.9】 重言式(永真式):任意赋值v , v
A
矛盾式(永假式):任意赋值v , 有v A 【定义1.10】
等值式:若等价式A ?B 是重言式,则称A 与B 等值,记作A ?B 。【定义2.1】
基本等值式
双重否定律 ??A ?A
幂等律 A ∨A ?A, A ∧A ?A 交换律 A ∨B ?B ∨A, A ∧B ?B ∧A
结合律 (A ∨B)∨C ?A ∨(B ∨C), (A ∧B)∧C ?A ∧(B ∧C)
分配律 A ∨(B ∧C)?(A ∨B)∧(A ∨C), A ∧(B ∨C)?(A ∧B)∨(A ∧C) 德摩根律 ?(A ∨B)??A ∧?B ,?(A ∧B)??A ∨?B 吸收律 A ∨(A ∧B)?A, A ∧(A ∨B)?A
零律 A ∨ ? , A ∧⊥?⊥ 同一律 A ∨⊥?A, A ∧ ?A 排中律 A ∨?A ?
⊥
⊥ ⊥
⊥
矛盾律 A∧?A?⊥
蕴涵等值式 A→B??A∨B
等价等值式 A?B?(A→B)∧(B→A)
假言易位 A→B??B→?A
等价否定等值式A?B??A??B
归谬论 (A→B)∧(A→?B) ??A
置换规则:设X是公式A的子公式, X? Y。将A中的X(可以是全部或部分X)用Y来置换,所得到的公式B,则 A?B。
文字: 设A∈∑(命题变元集), 则A和? A都称为命题符号A的文字,其中前者称为正文字,后者称为负文字。【定义2.2】
析取范式:形如A1 ∨ A2∨…∨ A n(n≥1) 的公式称为析取范式,其中A i(i=1,…,n)是由文字组成的合取范式。
合取范式:形为A1∧ A2∧…∧A n(n≥ 1) 的公式称为合取范式,其中A1,…,A n都是由文字组成的析取式。【定义2.3】
极小项:文字的合取式称为极小项,其中公式中每个命题符号的文字都在该合取式中出现一次。极大项:文字的析取式称为极大项,其中公式中每个命题符号的文字都在该合取式中出现一次。【定义2.4】
主析取范式:给定的命题公式的主析取范式是一个与之等价的公式,后者由极小项的析取组成。主合取范式:给定的命题公式的主合取范式是一个与之等价的公式,后者由极大项的合取组成。【定义2.5】
公式的真值表中真值为F的指派所对应的极大项的合取,即为此公式的主合取范式。
真值函数:称F:{0,1}n→ {0,1} 为n元真值函数.【定义2.6】
联结词的完备集:设C是联结词的集合,若对于任意一个合式公式均存在一个与之等价的公式,而后者只含有C中的联结词,则称C是联结词的完备集。【定义2.7】
{?,∧,∨,→,?},{ ?,∧,∨ } , {?,∧}, {?,∨},{⊥,→}是联结词的完备集。【定理2.6】
异或P⊕Q:?? (P ? Q)
c
条件否定P→Q:?? (P → Q)
与非P↑Q:?? (P ∧ Q)
或非P↓Q:?? (P ∨ Q)【定义2.8】
{↑},{↓}都是联结词的完备集【定理2.7】
重言蕴含式:当且仅当P→Q是一个重言式时,称P重言蕴含Q,记为P?Q。
有效结论:设A、C是两个命题公式,若A ? C,称C是A的有效结论。【定义3.1】
推理定律——重言蕴涵式
1. A ? (A∨B) 附加律
2. (A∧B) ? A 化简律
3. (A→B)∧A ? B 假言推理
4. (A→B)∧?B ??A 拒取式
5. (A∨B)∧?B ? A 析取三段论
6. (A→B)∧(B→C) ? (A→C) 假言三段论
7. (A?B)∧(B?C) ? (A?C) 等价三段论
8. (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) ? (B∨D) 构造性二难
(A→B)∧(?A→B) ? B 构造性二难(特殊形式)
9. (A→B)∧(C→D)∧( ?B∨?D) ? (?A∨?C) 破坏性二难
形式系统: 一个形式系统I 由下面四个部分组成:
(1) 非空的字母表,记作A(I).
(2) A(I) 中符号构造的合式公式集,记作E(I).
(3) E(I) 中一些特殊的公式组成的公理集,记作A X(I).
(4) 推理规则集,记作R(I).
记I=, 其中是I 的形式语言系统, 是I 的形式演算系统.
自然推理系统: 无公理, 即A X(I)=?
公理推理系统: 推出的结论是系统中的重言式, 称作定理【定义3.2】
P规则:在推导过程中,可以随时添加前提。
T规则:在推导过程中,可以引入公式S,它是由其前题的一个或多个公式借助重言、蕴含而得到的。
推理(证明):从前提A1, A2,?, A k到结论B的推理是一个公式序列C1, C2,?, C l. 其中C i(1≤i≤l)是某个A j, 或者可由序列中前面的公式应用推理规则得到, 并且C l =B。【定义3.3】
CP规则(演绎定理):若Γ?{R}|- S,则Γ |- R→S, 其中Γ为命题公式的集合。
个体词:用于表示命题中主语部分的符号或符号串。
个体常元表示确指个体。
个体变元表示不确指个体。
个体域: 个体变元的取值范围,常用D表示。
量词:限定个体数量特性的词。
全称量词?:对所有的
存在量词?:有些
谓词语言:用符号串表示个体、谓词、量词和命题
个体变元符号:x,y,z,…
个体常元符号:a,b,c,…
函数符号:f,g,…
谓词符号:P,Q,R,…
⊥
命题常元符号:⊥,
量词符号:?,?
连接词符号:? , ∧, ∨, →, ?
辅助符号:), (【定义4.1】
项: (1)个体常元和变元是项;
(2) 若f是n元函数符号,t1, …, tn是项,则f(t1, …, tn)是项;
(3) 仅仅有限次使用(1),(2)产生的符号串是项。【定义4.2】
原子公式:若P是一个元谓词符号,t1,…,tn是项, 则P(t1,…,tn)是原子公式。【定义4.3】
合式公式:(1) 原子公式是公式;
(2) 若A是合式公式,则(? A)是合式公式;
(3) 若A,B是公式,则(A∨B),(A∧B),A→B),(A?B)是公式;
(4) 若A是公式,x是变元,则?xA,?xA是公式;
(5) 仅仅有限次使用1~4得到的符号串才是合式公式。【定义4.4】
设公式α的一个子公式为? x A或? x A。则称:
指导变元:x是?或?的指导变元。
辖域:A是相应量词的辖域。
约束出现:辖域中x的一切出现,以及(? x)中的x称为x在α中的约束出现。
自由出现:变元的非约束出现。
约束变元:约束出现的变元。
自由变元:自由出现的变元。【定义4.5】
封闭的:一个公式A是封闭的,若其中不含自由变元。【定义4.6】
变元换名:(1)换名的范围是量词的指导变元,及其相应辖域中的变元,其余部分不变。
(2)换名时最好选用辖域中未出现的变元名。
变元代入:代入对自由变元进行。不能改变约束关系。
解释:谓词语言的一个解释I= (D, ? )包括:
(1) 非空集合D,称之为论域;
(2) 对应于每一个个体常元a,?(a)∈D;
(3) 对应于每一个n元函数符号f都有一个函数?(f):Dn → D;
(4) 对应于每一个n元谓词符号A都有一个n元关系?(A) ?Dn。【定义4.7】
赋值:解释I中的赋值v为每一个个体变元x指定一个值v(x )∈ D,即设V为所个体变元的集合,则赋值v是函数v:V → D.
可满足的:给定公式A,若在某一解释中至少有一种赋值使A取值为1,则称A为可满足的。否则称A是不可满足的。
等值式A ? B:若A?B是有效的【定义5.1】
几类等值式
(1)命题公式的推广
e.g. P(x) → Q(x) ?? P(x) ∨ Q(x)
(2)否定深入
?? x P(x) ?? x(? P(x))
?? xP(x) ?? x (? P(x))
(3)量词作用域的扩张与收缩
设B中不含x的自由出现,则
? x(A(x)∨ B) ?? x A(x) ∨ B
? x(A(x)∧ B) ?? x A(x) ∧ B
? x(A(x)→B) ?? x A(x) → B
? x(B→ A(x)) ? B →? x A(x)
? x(A(x)∨ B) ?? x A(x) ∨ B
? x(A(x)∧ B) ?? x A(x) ∧ B
? x(A(x)→B) ?? x A(x) → B
? x(B→ A(x)) ? B→? x A(x)
(4)量词分配等值式
? x(A(x) ∧ B(x)) ?? x A(x) ∧? x B(x)
? x(A(x) ∨ B(x)) ?? x A(x) ∨? x B(x)
(5)多个量词的使用
? x ? y A(x,y) ?? y ? x A(x,y)
? x ? y A(x,y) ?? y ? x A(x,y)
置换规则:设Φ(A)是含A的公式, 那么, 若A?B, 则Φ(A)?Φ(B).
换名规则:设A为一公式,将A中某量词辖域中个体变项的所有约束出现及相应的指导变元换成
该量词辖域中未曾出现过的个体变项符号,其余部分不变,设所得公式为A
',则A '?A.
前束范式:如果谓词公式A 有如下形状:Q 1x 1…Q n x n M ,其中 Q i x i 或者是?x i ,或者是?x i ,i=1,…,n ,M 是不含量词的公式, Q 1x 1…Q n x n 称为首标,M 称为母式。【定义5.2】
前束范式存在定理:对于任意谓词公式,都存在与它逻辑等价的前束范式。【定理5.1】 前束范式的算法:
步1. 对约束出现的变元进行必要的换名,使得约束出现的变元互不相同且不与任何自由变元同名。
步2. 将所有的否定号?深入到量词后面。
步3. 将量词符号移至公式最外层。 逻辑蕴含式A ? C :当且仅当A →C 是有效的。 几类逻辑蕴涵式
第一组 命题逻辑推理定理的代换实例
如, ?xF(x)∧?yG(y) ? ?xF(x)
第二组 基本等值式生成的推理定理
如, ?xF(x) ????xF(x), ???xF(x) ??xF(x) ??xF(x)??x ?F(x), ?x ?F(x) ? ??xF(x)
第三组 其它常用推理定律 (1) ?xA(x)∨?xB(x) ? ?x(A(x)∨B(x)) (2) ?x(A(x)∧B(x))??xA(x)∧?xB(x) (3) ?x(A(x)→B(x)) ? ?xA(x)→?xB(x)
(4) ? x(A(x)→B(x)) ? ?xA(x)→?xB(x)
推理规则 ?- 规则(US):?xA (x )∴A (y )或?xA (x )∴A (c )
x,y 个体变项,c 个体常项 ?+规则(UG):
A (x )∴?xA (x )
x 个体变项
?- 规则(ES):∴?xA (x )∴A (c )
x 个体变项, c 个体常项 ?+ 规则(EG):A (y )∴?xA (x )
或B→A (y )∴B→?xA (x ) x,y 个体变项,c 个体常项
A (c )
∴?xA (x
)
或B→A (c )
∴B→?xA (x )
先用ES ,再用US
自然推理系统N L
:
1. 字母表. 同一阶语言L 的字母表
2. 合式公式. 同L 的合式公式
3. 推理规则: (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 (5) 附加规则 (6) 化简规则
(7) 拒取式
(8) 假言三段论规则
(9) 析取三段论规则
(10) 构造性二难推理规则
(11) 合取引入规则
(12) ? -规则
(13) ? +规则
(14) ? -规则
(15) ? +规则【定义5.3】
集合论:A ? B ??x ( x∈A → x∈B )【定义6.1】
A =
B ? A ? B ∧ B ? A 【定义6.2】
A ?
B ? A ? B ∧ A ≠ B 【定义6.3】
A?B ??x ( x∈A ∧ x?B )
空集?:不含有任何元素的集合【定义6.4】
空集是任何集合的子集。【定理6.1】
幂集P(A) = { x | x ? A }【定义6.5】
如果 |A|=n,则 |P(A)|=2n
全集E:包含了所有元素的集合【定义6.6】
并A?B= {x | x∈A ∨ x∈B}
交A?B = {x | x∈A ∧ x∈B}
差(相对补)A-B = {x | x∈A ∧ x?B}【定义6.7】
对称差A⊕B = (A-B)?(B-A) 【定义6.8】
补(绝对补)~A= E-A = {x|x?A}【定义6.9】
广义并?A= { x | ?z ( z∈A∧x∈z )}【定义6.10】
广义交?A= { x | ?z ( z∈A → x∈z )}【定义6.11】集合恒等式
1.只涉及一个运算的算律:
2.涉及两个不同运算的算律:
3.涉及补运算的算律:
4.涉及全集和空集的算律:
序偶(有序对):由两个元素x 和y,按照一定的顺序组成的二元组,记作
笛卡尔积性质:A=?或B=?时, A?B=?
“ ?”不满足结合律
A?(B?C) = (A?B)?(A?C)
关系:(两个定义)
(1) 序偶的一个集合, 确定了一个二元关系R。R 中任一序偶
(2) 笛卡尔积的子集:R ?A?B【定义7.4】
空关系:?
全域关系:A×B
恒等关系I A= {
关系矩阵:若A={x1, x2, …, x m},B={y1, y2, …, y n},R是从A到B的关系,R的关系矩阵是布尔矩阵M R = [ r ij] m?n, 其中r ij= 1? < x i, y j> ∈R.
关系图:若A= {x1, x2, …, x m},R是从A上的关系,R的关系图是G R=, 其中A为结点集,R为边集. 如果
前域(定义域) dom(R) = {x|?y.
值域ran(R) ={y|?x.
域fld(R) = domR ? ranR 【定义7.6】
逆关系R-1= {
互逆(R-1)-1 = R
(R ? S)-1 = R-1? S-1
(R? S)-1 = R-1? S-1
(A? B)-1 = B?A
(R - S)-1 = R-1 - S-1
复合关系R?S= {
(R S) P=R (S P)
R m = R R … R
设R? X? Y,S? Y?Z,则 (R S)-1 = S-1 R-1 【定理7.2】
R在A上的限制R?A = {
A在R下的像R[A]=ran(R?A) 【定义7.9】
自反的:若?x∈A,都有
反自反的:若?x∈A,都有
对称的:对任意x,y∈A,满足, 若
反对称的:对任意x,y∈A,满足,若
传递的:对任意的x,y,z∈A, 满足:若
设R是A上的二元关系,如果有另一个关系R'满足:
①R'是自反(对称、传递)的;
②R'?R;
③对于任何自反的关系R”,若R"?R, 则有R"?R'.
则称关系R'为R的自反闭包. 记为r(R)(对称闭包s(R) 和传递闭包t(R))。【定义7.14】
设R为A上的关系, 则有
(1) r(R)=R∪I A
(2) s(R)=R∪R-1
(3) t(R)=R∪R2∪R3∪…(若|A|=n,则 t(R)=R∪R2∪…∪R n )
等价关系:设R 为集合A 上的一个二元关系。若R 是自反的, 对称的, 传递的, 则称R 为A 上的等价关系【定义7.15】
等价类:设R为集合A上的等价关系, 对?a∈A, 定义:[a]R= {x|x∈A 且∈R}称之为元素a 关于R的等价类。【定义7.16】
给定A上的等价关系R,对于a,b∈A有当且仅当[a]R=[b]R【定理17.4】
商集:设R是A上的等价关系,定义A/R={[a]R|a∈A}称之为A关于R的商集.【定义7.17】
划分:设A为非空集合, 若A的子集族π(π ?P(A))满足:
(1) ??π
(2) ?x?y(x,y∈π∧x≠y→x∩y=?)
(3) ∪π = A
则称π是A的一个划分, 称π中的元素为A的划分块.【定义7.18】
给定集合 A 上的等价关系 R, 则商集 A/R 是 A 的一个划分.
集合A的一个划分π诱导出A上的一个等价关系R. R定义为R= {
设R1和R2为非空集合A上的一个等价关系,则 R1 = R2当且仅当A/R1 = A/R2.
偏序:设A是一个集合. 如果A 上的二元关系R 是自反的,反对称的和传递的, 则称R是A上的一个偏序关系. 记R为“≤”, 且称序偶 为偏序集。【定义7.19】【定义7.22】
全序(线序):设为偏序集, 若对任意的x,y∈A满足: x≤y或y≤x则称≤为全序关系. 为全序集.【定义7.21】
覆盖:设为偏序集,若x,y∈A, x≤y,x≠y且没有其它元素z满足x≤z,z≤y,则称y覆盖x. 记covA={
哈斯图:作图规则
①用小元圈 代表元素;
②若x≤y且x≠y,则将代表y的小元圈画在代表x的小元圈之上;
③若
你
极小元/极大元:设为偏序集, B? A
(1) 对b∈B,若B中不存在x满足: b≠x且x≤b则称b为B的极小元.
(2) 对b∈B,若B中不存在x满足: b≠x且b≤x则称b为B的极大元.
最小元/最大元:设为偏序集,B?A,若有某个b∈B
(1) 对于B中每一个元素x都有b≤x,则称b为B的最小元.
(2) 对于B中每一个元素x都有x≤b,则称b为B的最大元.【定义7.24】
下界/上界:设为偏序集, B? A
(1) 若有a∈A,且对?x∈B 满足a≤x,则称a为B的下界。
进一步: 设a为B的下界,若B的所有下界y均有y≤a,则称a为B的下确界,记为glb B。
(2) 若有a∈A,且对?x∈B 满足x≤a,则称a为B的上界。
进一步: 设a为B的上界,若B的所有上界y均有a≤y,则称a为B的上确界,记为lub B。【定义7.25】
函数:设X,Y为两个集合,f?X?Y, 若对?x∈X,?!(唯一的)y∈Y,满足:
值域: ranf (有时记为f(X))={f(x)|x∈X}【定义8.1】
函数相等:设f和g都是从A到B的函数, 若对任意x∈A,有f(x)=g(x),则称f和g相等.记为f=g 【定义8.2】
函数的个数:设f:A→B,|A|=m, |B|=n.记 B A={f|f: A→B}, 则| B A |= n m
满射(到上映射):设f: X →Y, 若ranf = Y, 则称f 为满射的.
入射(单射)(一对一映射):设f: X→Y, 对? x1, x2∈X, 满足:若x1≠ x2, 则f(x1) ≠ f(x2),称f 为入射的.
双射(一一对应映射):设f:X→Y, 若f既是满射的, 又是入射的. 则称f是双射的.【定义8.6】
常函数:设f:A→B, 如果存在c∈B使得对所有的x∈A都有f(x)=c, 则称f:A→B是常函数.
恒等函数:称A上的恒等关系I A为A上的恒等函数, 对所有的x∈A都有I A(x)=x.
单调递增:设, 为偏序集,f:A→B,如果对任意的x1, x2∈A, x1?x2, 就有f(x1)?f(x2), 则称f 为单调递增的;
严格单调递增:如果对任意的x1, x2∈A, x1?x2, 就有f(x1) ?f(x2), 则称f 为严格单调递增的.
类似的也可以定义单调递减和严格单调递减的函数
特征函数:设A为集合, 对于任意的A'?A, A'的特征函数χA' :A→{0,1}定义为χA'(a)=1, a∈A';χA'(a)=0, a∈A-A'
自然映射:设R是A上的等价关系, 令g:A→A/R;g(a)=[a], ?a∈A称g 是从A 到商集A/R 的自然映射【定义8.7】
复合函数:设f:X→Y,g:Y→Z, 定义: f g = {
称f g为f与g 的复合函数.
设f:A→B, g:B→C
(1) 如果f:A→B, g:B→C是满射的, 则 f?g:A→C也是满射的
(2) 如果f:A→B, g:B→C是单射的, 则 f?g:A→C也是单射的
(3) 如果f:A→B, g:B→C是双射的, 则 f?g:A→C也是双射的【定理8.2】
反函数(逆函数):设f:X→Y是一个双射函数,那么f -1是Y→X的双射函数. 称f -1为f的反函数. 互逆 (f -1 )-1=f
设f:A→B是双射的, 则f-1?f = I B, f ?f -1 = I A 【定理8.5】
基数:用来衡量集合大小的一个概念. 对于有限集合集来说, 集合的基数就是其中所含元素的个数.
等势的:设A, B是集合, 如果存在着从A到B的双射函数, 就称A和B是等势的, 记作A≈B. 如果A不与B等势, 则记作A?B. 注:通常将A的基数记为|A|.【定义8.8】
N ≈ Z ≈ Q ≈ N×N
任何实数区间都与实数集合R等势
{0,1}N≈R
康托定理
(1)N ? R;
(2)对任意集合A都有A?P(A).【定义8.7】
有限集(有穷集)/无限集(无穷集):
设A为一个集合. 若存在某个自然数n, 使得A与集合{0,1,…,n-1}等势, 则称A是有限的.
若集合A不是有限的, 则称A是无限的.【定义8.11】
?:实数集R的基数记作?, 即cardR=?【定义8.12】
可数集(可列集):设A为集合,若card A≤?0,则称A为可数集或可列集。【定义8.14】
与自然数集N等势的任意集合称为可数的. 其基数为?0
结论:
(1) A为可数的当且仅当可排列成A={a1,a2,… ,a n,…}的形式.
(2) 任一无限集必含有可数子集.
(3) 可数集的任何无限子集是可数的.
(4) 可数个两两不相交的可数集合的并集,仍是一个可数集.
(5) N?N是可数集.
(6) 有理数的全体组成的集合是可数集.
(7) 全体实数构成的集合R是不可数的.
基数的常识:
①对于有穷集合A, 基数是其元素个数n,|A| = n;
②没有最大的基数。将已知的基数按从小到大的顺序排列就得到:
0, 1, 2, …, n, …, ?0, ?, …
代数结构
运算:对于集合A,f 是从An到A 的函数,称f 为集合A上的一个n元运算。【定义9.1】交换律:已知,若?x,y∈A,有x*y=y*x,称*在A上是可交换的。【定义9.3】
结合律:已知,若?x,y,z∈A,有x*(y*z)=(x*y)*z,称*在A上是可结合的。【定义9.4】
幂等律:已知〈A,*〉,若?x∈A,x*x=x 则称满足幂等律。【定义9.5】
分配律:设,若?x,y,z∈A有: x*(y△z)=(x*y)△(x*z); (y△z)*x=(y*x)△(z*x)称运算*对△是可分配的。【定义9.6】
吸收律:设*,?是定义在集合A上的两个可交换二元运算,若对?x,y∈ A,都有:x*(x? y) = x ;x?(x* y) = x则称运算*和?满足吸收律.【定义9.7】
单位元(幺元):设*是A上二元运算,e l, e r,e∈A
左幺元:若?x∈A,有e l*x=x,称e l为运算*的左幺元;
右幺元:若?x∈A,有x*e r=x,称e r为运算*的右幺元;
若e既是左幺元又是右幺元,称e为运算*的幺元【定义9.8】
设*是A上的二元运算,具有左幺元el,右幺元e r,则e l=e r=e 【定理9.1】
零元:设*是A上二元运算,θl, θr, θ∈A
左零元:若?x∈A,有θl*x=θl,称θl为运算*的左零元;
右零元:若?x∈A,有x*θr=θr,称θr为运算*的右零元;
若θ既是左零元又是右零元,称θ为运算*的零元。【定义9.9】
设*是A上的二元运算,具有左零元θl,右零元θr,则θl= θr= θ【定理9.2】
逆元:设*是A上的二元运算,e是运算*的幺元,若x*y=e那对于运算*,x是y的左逆元,y是x的右逆元存在逆元(左逆无,右逆元)的元素称为可逆的(左可逆的,右可逆的)【定义9.10】对于可结合运算ο,如果元素x有左逆元l,右逆元r,则l=r=x-1【定理9.4】
消去律:已知,若?x,y,z∈A,有
(1) 若x*y = x*z且x ≠θ,则y=z;(左消去律)
(2) 若y*x = z*x且x ≠θ,则y=z;(右消去律)
那么称*满足消去律。【定义9.11】
代数系统:设A为非空集合,Ω为A上运算的集合,称为一个代数系统.【定义9.12】
同类型的代数系统:如果两个代数系统中运算的个数相同,对应运算的元数相同,且代数常数的个数也相同,则称它们是同类型的代数系统.【定义9.13】
子代数:设V=是代数系统,B是S的非空子集,如果B对f1, f2, …, fk 都是封闭的,且B和S含有相同的代数常数,则称是V的子代数系统,简称子代数【定义9.14】
最大的子代数:就是V本身
最小的子代数:如果令V中所有代数常数构成的集合是B,且B对V中所有的运算都是封闭的,则B就构成了V的最小的子代数
平凡的子代数:最大和最小的子代数称为V 的平凡的子代数
真子代数:若B是S的真子集,则B构成的子代数称为V的真子代数.
因子代数:设V1=和V2=是同类型的代数系统,?和*为二元运算,在集合A?B上如下定义二元运算?,?
设V1=和V2=是同类型的代数系统,V1?V2=是它们的积代数.
(1) 如果?和*运算是可交换(可结合、幂等)的,那幺?运算也是可交换(可结合、幂等)的
(2) 如果e1 和e2(θ1和θ2)分别为?和*运算的单位元(零元),那幺
(3) 如果x 和y 分别为?和*运算的可逆元素,那幺
,y -1 > 【定理9.5】 (2) 如果是满射,则称为满同态,这时称V 2是V 1的同态像, 记作V 1~V 2。 (3) 如果是双射,则称为同构,也称代数系统V 1同构于V 2, 记作V 1?V 2 。 (4) 如果V 1=V 2,则称作自同态。【定义9.16】 半群:设V= 群:设V = ∈G ,则称V 是群(Group). 通常将群记作G . 【定义10.1】 群的阶数:设 无限群:如果G 是无限集,则称 平凡群:阶数为1(即只含单位元)的群称为平凡群【定义10.2】 群的性质:设 (2)对于?a,b ∈ G, 必存在唯一的x ∈ G,使得a * x =b. (3)对于?{a,b,c}∈ G 若: a *b = a *c 或b *a = c *a 则必有b=c (消去律)。 (4)运算表中的每一行或每一列都是一个置换。 (5)除幺元e 外,不可能有任何别的幂等元。 元素的幂:设G 是群,a∈G,n∈Z,则a 的 n 次幂11 0 a 0() 0,n n m e n a a n a n n m --?=? =>??<=-? 【定义10.3】 元素的阶:设G 是群,a ∈G ,使得等式 a k =e 成立的最小正整数k 称为元素a 的阶,记作|a |=k ,称 a 为 k 阶元。若不存在这样的正整数 k ,则称 a 为无限阶元。【定义10.4】 幂运算性质: (1) ?a ∈G ,(a -1 )-1 =a (2) ?a ,b ∈G ,(ab )-1=b -1a -1 (3) ?a ∈G ,a n a m = a n +m ,n , m ∈Z (4) ?a ∈G ,(a n )m = a nm ,n , m ∈Z (5) 若G 为交换群,则 (ab )n = a n b n .【定理10.1】 元素的阶的性质:G 为群,a ∈G 且 |a | = r . 设k 是整数,则 (1) a k = e 当且仅当r | k (r 整除k) (2 )|a -1 | = |a | 【定理10.3】 子群:设G 是群,H 是G 的非空子集, 如果H 关于G 中的运算构成群,则称H 是G 的子群, 记作H ≤G 。 真子群:若H 是G 的子群,且H ?G ,则称H 是G 的真子群,记作H 平凡子群:对任何群G 都存在子群. G 和{e }都是G 的子群,称为G 的平凡子群. 【定义10.5】 子群判定定理一:设G 为群,H 是G 的非空子集,则H 是G 的子群当且仅当 (1) ?a ,b ∈H 有ab ∈H ; 离散数学必备知识点总 结 Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n个变元共有n2个极小项或极大项,这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P规则,T规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 第三章谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 第四章集合 1.N,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A,以集合A的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A有n个元素,幂集P(A)有n2个元素,|P(A)|=||2A=n2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 第五章关系 1.若集合A有m个元素,集合B有n个元素,则笛卡尔A×B的基 2种不同的关系; 数为mn,A到B上可以定义mn 2.若集合A有n个元素,则|A×A|=2n,A上有22n个不同的关系; 总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项 时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n个变元共有n2个极小项或极大项,这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P规则,T规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 第三章谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 第四章集合 1.N,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A,以集合A的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A有n个元素,幂集P(A)有n2个元素,|P(A)|=||2A=n2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 第五章关系 1.若集合A有m个元素,集合B有n个元素,则笛卡尔A×B的基数为mn,A到B上可以定义m n 2种不同的关系; 2.若集合A有n个元素,则|A×A|=2n,A上有22n个不同的关系; 3.全关系的性质:自反性,对称性,传递性; 空关系的性质:反自反性,反对称性,传递性; 离散数学复习要点第一章命题逻辑 一、典型考查点 1、命题的判断方法:陈述句真值唯一,特殊:反问句也是命题。其它疑问句、祈使句、感叹句、悖论等皆不是。详见教材P1 2、联结词运算定律┐∧∨→记住特殊的:1∧1?1,0∨0?0,1→0?0,11?1,00?1详见P5 3、命题符号化步骤:A划分原子命题,找准联结词。特殊自然语言:不但而且,虽然但是用∧,只有P才Q,应为Q→P;除非P否则Q,应为┐P→Q。B设出原子命题写出符号化公式。详见P5 4、公式的分类判定(重言式、矛盾式、可满足式)方法:其一根据所有真值赋值情况,其二根据等价演算来判断。详见P9 5、真值表的构造步骤:①命题变元按字典序排列,共有2n个真值赋值。②对每个指派,以二进制数从小到大或从大到小顺序列出。③若公式较复杂,可先列出各子公式的真值(若有括号,则应从里层向外层展开),最后列出所求公式的真值。详见P8。 6、基本概念:置换规则,P规则,T规则,详见P24;合取范式,析取范式,详见P15;小项详见P16;大项详见P18,最小联结词组详见P15 7、等价式详见P22表1.6.2 证明方法:①真值表完全相同②用等价演算③利用A?B的充要条件是A?B且B?A。主要等价式:(1)双否定:??A?A。(2)交换律:A∧B?B∧A,A∨B?B∨A,A?B?B?A。3)结合律:(A∧B)∧C?A ∧(B∧C),(A∨B)∨C?A∨(B∨C),(A?B)?C?A?(B?C)。(4) 分配律:A∧(B∨C)?(A∧B)∨(A∧C),A∨(B∧C)?(A∨B)∧(A∨C)。(5) 德·摩根律:?(A∧B)??A∨?B,?(A∨B)??A∧?B。(6) 等幂律:A∧A?A,A∨A?A。(7) 同一律:A∧T?A,A∨F?A。(8) 零律:A∧F?F,A∨T?T。(9) 吸收律:A∧(A∨B)?A,A∨(A∧B)?A。(10) 互补律:A∧?A?F,(矛盾律),A∨?A?T。(排中律)(11) 条件式转化律:A→B??A∨B,A→B??B→?A。(12) 双条件式转化律:A?B?(A→B)∧(B→A)?(A∧B)∨(?A∧?B) 8、蕴含式详见P23表1.6.3 证明方法:①前件真导后件真方法②后件假导前件假方法③真值表中,前件为真的行,后件也为真或者后件为假的行,前件也为假。④用定义,证A?B,即证A→B是永真式。 9、范式求法步骤:①使用命题定律,消去公式中除∧、∨和?以外公式中出现的所有联结词;②使用?(?P)?P和德·摩根律,将公式中出现的联结词?都移到命题变元之前;③利用结合律、分配律等将公式化成析取范式或合取范式。10、主范式的求法重点步骤:(a)把给定公式化成析取(合取)范式;(b)删除析取范式中所有为永假的简单合取(析取)式;(c)用等幂律化简简单合取(析取)式中同一命题变元的重复出现为一次出现,如P∧P?P。(d)用同一律补进简单合取(析取)式中未出现的所有命题变元,如Q,则P?P∧(?Q∨Q)或P?P∨(?Q∧Q),并用分配律展开之,将相同的简单合取式的多次出现化为一次出现,这样得到了给定公式的主析取(合取)范式。 注意:主析取范式与主合取范式之间的联系。例如:(P→Q)∧Q?m1∨m3?M0∧M2,即剩下的编码就是另一个主范式的编码,因此,求主范式,哪一个简单易求,就先求哪个,然后对应出所求结果。详见P16 11、推理证明:重点方法:演算、演绎法(常用的格式)、反证法、CP规则即附加前提等。 重点规则(主要蕴含式):(1) P∧Q?P化简(2) P∧Q?Q化简(3) P?P∨Q附加(4) ?P?P→Q变形附加(5)Q?P→Q变形附加(6) ?(P→Q)?P变形化简(7) ?(P→Q)??Q变形化简(8) P,(P→Q)?Q假言推理(9) ?Q,(P→Q)??P拒取式(10) ?P,(P∨Q)?Q析取三段论(11) (P→Q),(Q→R)?P→R条件三段论(12) (P?Q),(Q?R)?P?R 双条件三段论 文字证明推理三步:一命题符号化,二写出前提和结论,三进行证明。详见P21 二、强化练习 1.命题的是( )A.走,看电影去B.x+y>0C.空集是任意集合的真子集D.你明天能来吗? 2.下列式子为重言式的是( ) A.P→P∨Q B.(┐P∧Q)∧(P∨┐Q) C.┐ (P Q) D.(P∨Q) (P→Q) 3.下列为两个命题变元P,Q的小项是() A.P∧Q∧? P B.? P∨Q C.? P∧Q D.? P∨P∨Q 4.下列语句中是真命题的是() A.我正在说谎B.严禁吸烟C.如果1+2=3,那么雪是黑的D.如果1+2=5,那雪是黑的 5.设P:我们划船,Q:我们跑步。命题“我们不能既划船又跑步”符号化为() A.? P∧? Q B.? P∨? Q C.?(P?Q) D.?(? P∨? Q) 6.命题公式(P∧(P→Q))→Q是()A.矛盾式B.蕴含式C.重言式D.等价式 7.命题公式?(P∧Q)→R的成真指派是() A.000,001,110,B.001,011,101,110,111 C.全体指派D.无 8.设P:他聪明,Q:他用功,命题“他虽聪明但不用功”的符号化正确的是() 离散数学 一、逻辑和证明 1.1命题逻辑 命题:是一个可以判断真假的陈述句。 联接词:∧、∨、→、?、?。记住“p仅当q”意思是“如果p,则q”,即p→。记住“q除非p”意思是“?p→q”。会考察条件语句翻译成汉语。 系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求,即若pq无论取何值都无法让复合语句为真,则该系统规范说明是不一致的。 1.3命题等价式 逻辑等价:在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题,可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。 谓词+量词变成一个更详细的命题,量词要说明论域,否则没有意义,如果有约束条件就直接放在量词后面,如?x>0P(x)。 当论域中的元素可以一一列举,那么?xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。同理,?xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。 两个语句是逻辑等价的,如果不论他们谓词是什么,也不论他们的论域是什么,他们总有相同的真值,如?x(P(x)∧Q(x))和(?xP(x))∧(?xQ(x))。 量词表达式的否定:??xP(x) ??x?P(x),??xP(x) ??x?P(x)。 1.5量词嵌套 我们采用循环的思考方法。量词顺序的不同会影响结果。语句到嵌套量词语句的翻译,注意论域。嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律,将否定词移入所有量词里。 1.6推理规则 一个论证是有效的,如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。但有效论证 二、集合、函数、序列、与矩阵 2.1集合 ∈说的是元素与集合的关系,?说的是集合与集合的关系。常见数集有N={0,1,2,3...},Z整数集,Z+正整数集,Q有理数集,R实数集,R+正实数集,C复数集。 A和B相等当仅当?x(x∈A?x∈B);A是B的子集当仅当?x(x∈A→x∈B);A是B的真子集当仅当?x(x∈A→x∈B)∧?x(x?A∧x∈B)。 幂集:集合元素的所有可能组合,肯定有?何它自身。如?的幂集就是{?},而{?}的幂集是{?,{?}}。 考虑A→B的函数关系,定义域、陪域(实值函数、整数值函数)、值域、像集(定义域的一个子集在值域的元素集合)。 一对一或者单射:B可能有多余的元素,但不重复指向。 映上或者满射:B中没有多余的元素,但可能重复指向。 一一对应或者双射:符合上述两种情况的函数关系。 反函数:如果是一一对应的就有反函数,否则没有。 合成函数:fοg(a)=f(g(a)),一般来说交换律不成立。 2.4序列 无限集分为:一组是和自然数集合有相同基数,另一组是没有相同基数。前者是可数的,后者不可数。想要证明一个无限集是可数的只要证明它与自然数之间有一一对应的关系。 如果A和B是可数的,则A∪B也是可数的。 第二章谓词逻辑 2—1基本概念 例题1. 所有的自然数都是整数。 设N(x):x是自然数。I(x):x是整数。此命题可以写成?x(N(x)→I(x)) 例题2. 有些自然数是偶数。 设E(x):x是偶数。此命题可以写成?x(N(x)∧E(x)) 例题3. 每个人都有一个生母。 设P(x):x是个人。M(x,y):y是x的生母。此命题可以写 成:?x(P(x)→?y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化 例题1. 如果x是奇数,则2x是偶数。 其中客体x与客体2x之间就有函数关系,可以设客体函数g(x)=2x, 谓词O(x):x是奇数,E(x):x是偶数, 则此命题可以表示为:?x(O(x)→E(g(x))) 例题2 小王的父亲是个医生。 设函数f(x)=x的父亲,谓词D(x):x是个医生,a:小王,此命题可以表示为D(f(a))。 例题3 如果x和y都是奇数,则x+y是偶数。 设h(x,y)=x+y ,此命题可以表示为:?x?y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y)) 命题的符号表达式与论域有关系 两个公式:一般地,设论域为{a1,a2,....,an},则有 (1). ?xA(x)?A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an) (2). ?xB(x)?B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an) 1.每个自然数都是整数。该命题的真值是真的。 表达式?x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的, 因?x(N(x)→I(x))?(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an)) 式中的x不论用自然数客体代入,还是用非自然数客体代入均为真。例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。 而?x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。 数理逻辑部分 第2章一阶逻辑 2.1 一阶逻辑基本概念 个体词(个体): 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项:具体的事物,用a, b, c表示 个体变项:抽象的事物,用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围 有限个体域,如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域,如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成 谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项:F(a):a是人 谓词变项:F(x):x具有性质F 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词, n≥2): 表示事物之间的关系 如L(x,y):x与y有关系L,L(x,y):x≥y,… 0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项 量词: 表示数量的词 全称量词?: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如?x 表示对个体域中所有的x 存在量词?: 表示存在, 有的, 至少有一个等 如?x表示在个体域中存在x 一阶逻辑中命题符号化 例1 用0元谓词将命题符号化 要求:先将它们在命题逻辑中符号化,再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲 符号化为p, 这是真命题 在一阶逻辑中, 设a:墨西哥,F(x):x位于南美洲 符号化为F(a) 例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1)人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 . 解:(a) (1) 设G(x):x爱美, 符号化为?x G(x) (2) 设G(x):x用左手写字, 符号化为?x G(x) (b) 设F(x):x为人,G(x):同(a)中 集合论部分 第四章、二元关系和函数 集合的笛卡儿积与二元关系有序对 定义由两个客体x 和y,按照一定的顺序组成的 二元组称为有序对,记作 不适合交换律A B B A (A B, A, B) 不适合结合律 (A B)C A(B C) (A, B)对于并或交运算满足分配律 A(B C)=(A B)(A C) (B C)A=(B A)(C A) A(B C)=(A B)(A C) (B C)A=(B A)(C A) 若A或B中有一个为空集,则A B就是空集. A=B= 若|A|=m, |B|=n, 则 |A B|=mn 证明A(B C)=(A B)(A C) 证任取 数理逻辑部分 第1章命题逻辑 命题符号化及联结词 命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题 注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题,陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。 简单命题(原子命题):简单陈述句构成的命题 复合命题:由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题 简单命题符号化 用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1)表示 简单命题 用“1”表示真,用“0”表示假 例如,令p:是有理数,则p 的真值为 0 q:2 + 5 = 7,则q 的真值为 1 联结词与复合命题 1.否定式与否定联结词“” 定义设p为命题,复合命题“非p”(或“p的否定”)称 为p的否定式,记作p. 符号称作否定联结词,并规定p为真当且仅当p为假. 2.合取式与合取联结词“∧” 定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式,记作p∧q. ∧称作合取联结词,并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真 注意:描述合取式的灵活性与多样性 分清简单命题与复合命题 例将下列命题符号化. (1) 王晓既用功又聪明. (2) 王晓不仅聪明,而且用功. (3) 王晓虽然聪明,但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学. 解令p:王晓用功,q:王晓聪明,则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q. 令r : 张辉是三好学生,s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令t : 张辉与王丽是同学,t 是简单命题 . 说明: 离散数学部分概念和公式总结 命题:称能判断真假的陈述句为命题。 命题公式:若在复合命题中,p、q、r等不仅可以代表命题常项,还可以代表命题变项,这样的复合命题形式称为命题公式。 命题的赋值:设A为一命题公式,p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。给p ,p ,…,p 指定一组真值,称为对A的一个赋值或解释。若指定的一组值使A的值为真,则称成真赋值。真值表:含n(n≥1)个命题变项的命题公式,共有2^n组赋值。将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表,称为A的真值表。 命题公式的类型:(1)若A在它的各种赋值下均取值为真,则称A为重言式或永真式。 (2)若A在它的赋值下取值均为假,则称A为矛盾式或永假式。 (3)若A至少存在一组赋值是成真赋值,则A是可满足式。 主析取范式:设命题公式A中含n个命题变项,如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项,则称该析取范式为A的主析取范式。 主合取范式:设命题公式A中含n个命题变项,如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项,则称该析取范式为A的主析取范式。 命题的等值式:设A、B为两命题公式,若等价式A?B是重言式,则称A与B是等值的,记作A<=>B。 约束变元和自由变元:在合式公式?x A和?x A中,称x为指导变项,称A为相应量词的辖域,x称为约束变元,x的出现称为约束出现,A中其他出现称为自由出现(自由变元)。一阶逻辑等值式:设A,B是一阶逻辑中任意的两公式,若A?B为逻辑有效式,则称A与B是等值的,记作A<=>B,称A<=>B为等值式。 前束范式:设A为一谓词公式,若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B,称A为前束范式。集合的基本运算:并、交、差、相对补和对称差运算。 笛卡尔积:设A和B为集合,用A中元素为第一元素,用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积,记为A×B。 二元关系:如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对,则称集合R是一个二元关系。特殊关系:(1)、空关系:Φ(2)全域关系:EA={ 离散数学笔记 第一章命题逻辑 合取 析取 定义 1. 1.3否定:当某个命题为真时,其否定为假,当某个命题为假时,其否定为真定义 1. 1.4条件联结词,表示“如果……那么……”形式的语句 定义 1. 1.5双条件联结词,表示“当且仅当”形式的语句 定义 1.2.1合式公式 (1)单个命题变元、命题常元为合式公式,称为原子公式。 (2)若某个字符串A 是合式公式,则?A、(A)也是合式公式。 (3)若A、B 是合式公式,则A ∧B、A∨B、A→B、A?B 是合式公式。 (4)有限次使用(2)~(3)形成的字符串均为合式公式。 1.3等值式 1.4析取范式与合取范式 将一个普通公式转换为范式的基本步骤 1.6推理 定义 1.6.1 设 A 与 C 是两个命题公式, 若 A → C 为永真式、 重言式,则称 C 是 A 的有 效结论,或称 A 可以逻辑推出 C ,记为 A => C 。(用等值演算或真值表) 第二章 谓词逻辑 2.1、基本概念 ?:全称量词 ?:存在量词 一般情况下, 如果个体变元的取值范围不做任何限制即为全总个体域时, 带 “全称量词”的谓词公式形如"?x(H(x)→B(x)),即量词的后面为条件式,带“存在量词”的谓词公式形如?x(H(x)∨WL(x)),即量词的后面为合取式 例题 R(x)表示对象 x 是兔子,T(x)表示对象 x 是乌龟, H(x,y)表示 x 比 y 跑得快,L(x,y)表示x 与 y 一样快,则兔子比乌龟跑得快表示为: ?x ?y(R(x)∧T(y)→H(x,y)) 有的兔子比所有的乌龟跑得快表示为:?x ?y(R(x)∧T(y)→H(x,y)) 2.2、谓词公式及其解释 定义 2.2.1、 非逻辑符号: 个体常元(如 a,b,c)、 函数常元(如表示22 y x 的 f(x,y))、 谓词常元(如表示人 类的 H(x))。 定义 2.2.2、逻辑符号:个体变元、量词(??)、联结词(﹁∨∧→?)、逗号、括号。 定义 2.2.3、项的定义:个体常元、变元及其函数式的表达式称为项(item)。 定义 2.2.4、原子公式:设 R(n x x ... 1)是 n 元谓词,n t t ...1是项,则 R(t)是原子公式。原子公式中的个体变元,可以换成个体变元的表达式(项),但不能出现任何联结词与量词,只能为单个的谓词公式。 定义 2.2.5 合式公式:(1)原子公式是合式公式;(2)若 A 是合式公式,则(﹁A)也是合式公式;(3)若 A,B 合式,则 A ∨B, A ∧B, A →B , A ?B 合式(4)若 A 合式,则?xA 、?xA 合式(5)有限次使用(2)~(4)得到的式子是合式。 定义 2.2.6 量词辖域:?xA 和?xA 中的量词?x/?x 的作用范围,A 就是作用范围。 定义 2.2.7 约束变元:在?x 和?x 的辖域 A 中出现的个体变元 x ,称为约束变元,这是与量词相关的变元,约束变元的所有出现都称为约束出现。 定义 2.2.8 自由变元:谓词公式中与任何量词都无关的量词,称为自由变元,它的每次出现称为自由出现。一个公式的个体变元不是约束变元,就是自由变元。 注意:为了避免约束变元和自由变元同名出现,一般要对“约束变元”改名,而不对自由变元改名。 定义 2.2.9 闭公式是指不含自由变元的谓词公式 1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项,这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P 规则,T 规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 3.谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n 个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 4.集合 1.N ,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A 中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A ,以集合A 的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A 有n 个元素,幂集P(A)有n 2个元素,|P(A)|=||2A =n 2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 5.关系 1.若集合A 有m 个元素,集合B 有n 个元素,则笛卡尔A ×B 的基数为mn ,A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系; 2.若集合A 有n 个元素,则|A ×A|=2n ,A 上有22n 个不同的关系; 3.全关系的性质:自反性,对称性,传递性; 空关系的性质:反自反性,反对称性,传递性; 全封闭环的性质:自反性,对称性,反对称性,传递性; 4.前域(domR):所有元素x 组成的集合; 后域(ranR):所有元素y 组成的集合; 5.自反闭包:r(R)=RU Ix ; 对称闭包:s(R)=RU 1-R ; 传递闭包:t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系:集合A 上的二元关系R 满足自反性,对称性和传递性,则R 称为等价关系; 7.偏序关系:集合A 上的关系R 满足自反性,反对称性和传递性,则称R 是A 上的一个偏序关系; 8.covA={是代数系统,°为二元运算,如果°运算是可结合的,则称V 为半群。 独异点:设V=是半群,若e∈S 是关于°运算的单位元,则称V 是含幺半群,也叫做独异点。 有时也将独异点V 记作 V=.离散数学必备知识点总结
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