柯西(Cauchy)
柯西（Cauchy）
Cauchy(1789-1857) 法国数学家，力学家.
Cauchy最重要的数学贡献在微积分学，复变函数和微分方程方面.他是分析学的重要奠基人。
Cauchy发现并阐明了级数收敛准则和一些辨别法，提出关于极限理论的方法，并以精确的极限概念给出了函数的连续性，可微性，无穷级数的收敛性，定积分，反常积分等定义。Cauchy对微积分的严格论述，使数学界大为震惊.据说，著名数学家Laplace在一次科学会议上听到Cauchy谈到级数收敛性的问题时，十分紧张，立刻回家核实自己在《天体力学》中所用的级数是否收敛，直到确认所用的每一个级数都收敛时，才松了一口气.在复变函数方面，他探讨了Cauchy-Riemann条件，建立了Cauchy积分定理和公式.在微分方程方面，他是探讨微分方程解的存在问题的第一个数学家.还利用Fourier变换来研究线性微分方程。
Cauchy在代数学，力学，天文学方面也有很多贡献。仅在固体力学这一门学科中以他的名字命名的定理和定律就有16条之多。
他的著作甚丰，共出版了7部著作和800多篇论文。以《分析教程》（1821），《无穷小计算讲义》（1823）和《微分计算教程》（1826-1828）最为著名，堪称数学史上划时代的著作。著名数学家Abel指出：“每一个在数学研究中喜欢严密性的人都应该读这本杰出的著作（《分析教程》）.”Cauchy是位加固数学大厦的巨匠，历史上罕见的数学大师。
Cauchy一生成就辉煌，但也出现过失误。特别是他当时作为数学权威，对两位尚未成名的数学新秀Abel 和Galois的开创性论文，不仅未及时作出结论，而且将他们送审的论文遗失，这一错误常常受到后人的批评。
复变函数柯西积分总结
第三章复变函数的积分 能力要求 ●会通过转化成两个实变函数第一型曲线积分的方法来计算复变函数的积分。 ●知道复变函数积分的四条性质，特别注意前三条线性性质。 ●知道在什么时候可以用实变函数中的牛顿——莱布尼茨公式计算复变函数 积分。 ●会用柯西积分公式和高阶导数公式(n=1,2,……) 计算积分。 ●会用复合闭路原理和闭路变形原理简化积分计算。 ●会判定一个复变函数是不是某一区域D内的调和函数。 ●会用偏积分法和不定积分法求共轭调和函数。 重点知识点讲解 一、复变函数积分的基本计算法 复变函数的积分是转化成实变函数的第一型曲线积分来计算的，因此我们要先回顾第一型曲线积分的计算步骤。 例题：沿计算积分的值 第一步：化参数 积分路径是一条抛物线，它在复平面上的方程是，则。 第二步：把原积分式中的x、y和dz都代掉。注意积分上下限的变化。 二、积分的性质 最重要的是积分的线性性质（书P74性质前三条），第四条估值不等式能力要求稍高。 三、用性质、定理计算积分
、定理回顾 柯西-古萨基本定理 如果函数在单连通域B 内处处解析，那么函数沿B 内任何一条封闭曲线C 域B 内处处解析，那么函数沿B 内任何一条封闭曲线C 的积分为零。 关键词：处处解析 封闭曲线 积分为零 注意：该定理中的C 可以不是简单曲线。 闭路变形原理 在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因曲线在区域内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中曲线不经过函数不解析的点。 关键词：解析函数 连续变形 不经过不解析点 基本定理的推广——复合闭路定理 设C 为多连通域D 内的一条简单闭曲线，C1，C2，……，Cn 是在C 内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以C ，C1，C2，……，Cn 为边界的区域全含于D 。如果在D 内解析，那么 i)，其中C 及C k 均取正方向； ii) 积分路径为C 及C k 所组成的符合闭路，C 取逆时针，C k 取顺时针。 复合闭路定理告诉了我们被积函数在积分路径所围区域内存在奇点的情况下积分的计算方法：围绕每个奇点画一个小圆作为积分路径，把原积分拆成多个积分的和。虽然书上那一部分要求我们用73页上的那个结果，但其实我们完全可以用后面的柯西积分公式和高阶导数公式来解决，那是更具一般性的。 柯西积分公式 如果在区域D 内处处解析，C 为D 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内处解析，C 为D 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D ，为C 内的任一点，那么 |?-=C dz z z z f i z f 0 0)(21)(π 关键词：处处解析 正向简单闭曲线 柯西积分公式的功效是把一个复变函数的积分和它在积分路径所围区域内
§1-2 复变函数的积分 柯西定理
第三章 复变函数的积分 §3-1复变函数的积分 【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P 29-31】 复变函数积分的定义： 设C 为复平面上以0z 为起点，而以z 为终点的一段路径（即一根曲线），在C 上取一系列分点011,,,,n n z z z z z -=把C 分为n 段，在每一小段[1k k z z -] 上任取一点k ξ作和数： ()()()11 1 n n n k k k k k k k S f z z f z ξξ-===-=?∑∑, 其中1k k k z z z -?=- 如果当n →∞且每一小段的长度（1||||k k k z z z -?=-）趋于零时， 和式()1 n k k k f z ξ=?∑的极限存在，并且其值与k z 及k ξ的选取方式无关，则称这一极限为()f z 沿路径C 由0z 到z 的积分: ()()1 lim lim n n k k C n n k f z dz S f z ξ→∞ →∞ ===?∑? ， C 称为积分路径（()f z 在C 上取值，即z 在C 上变化）。 若C 为围线（闭的曲线），则积分记为： ()C f z dz ? . (围道积分) 几点说明： 1. 复变函数的积分不仅与积分端点有关，还与 积分路径有关。(与我们以前在高等数学中学过的实变函数的线积分类似。)
2．因为 z x iy =+，dz dx idy =+，()()(),,f z u x y iv x y =+，于是 ()()()(),,C C f z dz u x y iv x y dx idy =++?????? ()()()(),,,,C C u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy ????=-++??????， 所以复变函数的积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是复变函数积分的实部和虚部。 3．从复变函数积分的定义出发，可以直接得出复变函数的积分具有如下简单性质： （1）0C dz z z =-?，z 、0z 分别为C 之起点、终点。 （2）()()()()11221122C C C a f z a f z dz a f z dz a f z dz ±=±???????，1a 、2a 为复常数。 （3）()()()1 2 C C C f z dz f z dz f z dz =+???, 其中积分路径C 由路径1C 、2C 连接 而成。 （4）()()C C f z dz f z dz - =-??, C - 表示与C 方向相反的同一条曲线。 4．围道积分的环绕方向： 若积分路径C 的两端点重合（即C 为自身不相交的封闭曲线），则计算积分()C f z dz ?时必须先规定积分路径的环绕方向（因为： ()()C C f z dz f z dz - =-? ? ）。 以后凡遇围道积分，如 不加特别说明，都假定积分路径的环绕方向为沿逆时钟方向。 ( C 为逆时钟方向，C - 代表顺时钟方向)
历史名人介绍
1：穆罕默德伊斯兰教创始人，政治领袖 2：牛顿发现日光十七色混合的人；发明反射式望远镜的人；微积分，二项式创始人；四大运动定论创始人；《原理》作者；恒星起源学创始人 3：耶稣基督基督教创始人；《圣经》作者 4：释迦牟尼佛教创始人 5：孔丘儒教创始人 6：保罗基督教最伟大的使徒；《新约》作者 7：蔡伦纸的发明人 8：古登堡活字印刷及活字印刷法的创始人，推广人 9：哥伦布美洲大陆发现者 10：阿尔伯特。爱因斯坦相对论，相对论学创始人，核能发现者 11：巴斯德生源说创始人，细菌学创始人，疫苗创始人 12：伽利略“无阻力时不同重量物体下落速度一样”定理创始人，惯性定律创始人，太阳黑子，卫星论创始人；日心说创始人之一 13：亚里士多德古代史中最伟大的科学家，哲学家;天文学，动物学，胚胎学，地理地质学，物理学，解刨学，生理学，形而上学创始人14：欧几里的《几何原本》作者 15：摩西犹太教创始人，率领希伯来人走出埃及的人 16：达尔文进化论奠基人 17：秦始皇统一中国者 18：奥古斯都古罗马第一任皇帝 19：哥白尼日心说创始人 20：拉瓦锡基本化学理论创始人，元素说创始人，“呼吸等于燃烧”重要理论创始人
21：君士坦丁大帝第一位信奉基督教的罗马帝国皇帝 22：瓦特蒸汽机发明人 23：迈克尔法拉第发电机创始人 24：迈克斯韦创立了一组有四个方程式的表达电磁间基本定律的方程组25：路得欧洲宗教改革的发起者 26：华盛顿美利坚合众国开国总统，美国解放者 27：卡尔马克思社会主义学说创始人 28：莱特兄弟飞机发明人 29：成吉思汗古元国开国皇帝 30：亚当斯密经济理论学奠基人 31：爱德华德维尔（莎士比亚）世界上最伟大的作家 32：约翰道尔顿将原子假说引入主流科学的人 33：亚历山大大帝世界上最著名的征服者 34：拿破仑伯纳巴著名的征服者，法国皇帝 35：托马斯爱迪生发明大王 36：安东尼凡列文虎克微生物发现者，高倍率显微镜发明人 37：威廉默顿将麻醉引入手术的人 38：马可尼无线电发明人 39：希特勒著名独裁者，征服者，前德国元首 40：柏拉图西方主流哲学创始人 41：克伦威尔英国议会民主制奠基人
在实际应用中柯西积分公式的用途正文
柯西积分公式的应用 姓名：武小娜 班级：2014级数学教育 学号：201430626 摘要:阐述了柯西积分公式在解析函数理论中的重要地位,叙述了各种不同表示形式的柯西积分公式和高阶导数公式,并举例说明了这些公式在积分计算中的应用. 关键词:解析函数;复积分;柯西积分公式. 1 前言 的相关资料，力求把课本上的知识运用到实践中去． 2 预备知识 2.1 柯西积分定理 设函数)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析，C 为D 内任一条周线，则0)(=?c dz z f ． 2.2 推广的柯西积分定理
设C 是一条周线，D 为C 之内部，函数)(z f 在闭域C D D +=上解析，则 0)(=?c dz z f ． 2.3 复周线柯西积分定理 设D 是有复周线---++++=n C C C Λ210C C 所围成的有界1+n 连通区域，函数 )z (f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则0)(=?c dz z f ． 2.4 柯西积分公式 3.2 高阶导数公式 设区域D 的边界是周线(或复周线)C ，函数)(z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则函数)(z f 在区域D 内有各阶导数，并且有 这是一个用解析函数)(z f 的边界值表示其各阶导函数内部值的积分公式． 现行教材中，仅应用数学归纳法证明了它的特殊形式——高阶导数公式，而数学归纳法比较繁琐．下面首先给出引理，然后利用该结论导出高阶导数公式一
种简单的证明． 引理 设Γ是一条可求长的曲线，)(z f 是Γ上的连续函数，对于每个自然数m 及复平面C 上的每个点Γ?z ，定义函数 那么每个)(z F m 在区域Γ-=C D 上解析，且 证明：首先证明)(z F m 是区域G 上的连续函数，即要证明，对于G 内的任意点a ，不论0>ε多么小，总存在0>δ，只要δ<-a z （z 在G 内的点），就有 2 ,2r r z r r a >≥->≥-ζζ．于是有（2）得 l r Mm a z a F z F m m m 1)2()()(+-<-， 其中l 为曲线Γ的长． 令 l Mm r a z l r Mm a z m m m 1112)2(+++<-?<-εε．
柯西函数方程
柯西函数方程 柯西函数方程是以下的函数方程： 此方程的解被称为加性函数。 方程的解 在有理数的范围中，可以用简单的代数得到唯一一类的解，表示为，其中任意给定的有理数。 在实数中，这个方程仍然有这一类解，然而存在着其他非常复杂的解，函数f经常被外加条件以排除那些复杂的解。例如： 1、若f是连续的 (由柯西于1821年证明)。这个条件在1875年被达布弱化，证明f只需要在一点连续。 2、若f在任一个区间上是单调的 3、若f在任一个区间上是有界的 另一方面，如果函数f没有其他限制条件，那么满足方程的函数有无穷多个(假设选择公理成立)。这在1905年由乔治·哈梅尔（英语：Georg Hamel）使用基的概念证明。 希尔伯特的第五个问题是这个方程的推广。 存在实数使得的解称为柯西─哈默方程（英语：Cauchy-Hamel function(s)）。在希尔伯特的第三个问题中，往高维度的推广所用的德恩-哈德维格不变量（英语：Dehn-Hadwiger invariant(s)），其中就用到柯西-哈默方程。 在有理数集下的证明 先设，得到：
再设： 反复设、、...、，可以得到 (1) 设并代入(1)式得到： 或者 (2) 对于任意有理数，设，根据(1)、(2)两式可知： 上式又可改写为 令就可以得到在有理数下的唯一解。 其他解的性质 以下的证明将显示线性函数以外的解(若存在)是相当病态(pathological)（英语：Pathological (mathematics)）的函数。我们将证明这个函数f所对应的图形
在中稠密，亦即在平面上任何给定的圆都至少包含该图形的一个点，我们将从这个定义着手证明。 不失一般性，假设解f满足，且能找到实数满足，同时设 任意给定一个圆，其内部必能找到一个小圆以点为圆心，其中满足 。令实数为半径的倍，即半径为。 令，存在一个有理数满足： 类似地，存在一个有理数使得： 设实数X,Y满足： 从原方程和以上的关系式可以得知：
英语介绍名人
英语介绍名人 ——爱因斯坦 Albert Einstein (March 14, 1879 in Ulm, Württemberg, Germany – April 18, 1955 in Princeton, New Jersey) was a theoretical physicist. He was the formulator of the special and general theories of relativity. In addition, he made significant contributions to quantum theory and statistical mechanics. While best known for the Theory of Relativity (and specifically mass-energy equivalence, E=mc2), he was awarded the 1921 Nobel Prize for Physics for his explanation of the photoelectric effect in 1905 (his "wonderful year" or "miraculous year") and "for his services to Theoretical Physics". For his many contributions, Einstein is widely regarded as one of the greatest physicists who ever lived.In popular culture, the
复变函数的积分柯西定理
第三章 复变函数的积分 第一节 复变函数积分的概念 教学内容：复变函数的积分的定义、复变函数积分的计算问题、复变 函数积分的基本性质、柯西积分定理. 教学要求：1、了解复变函数积分的定义和性质，会求复变函数在曲线 上的积分 2、会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定 积分的概念 教学过程： 一、复变函数的积分的定义 定义3.1设在复平面上有一条连接A 及B 两点的光滑简单曲线C 设),(),()(y x iv y x u z f +=是在C 上的连续函数.其中 ),(y x u 及),(y x v 是)(z f 的实部及虚部.把曲线C 用分点 B z z z z z A n n ==-,...,,,1210分成n 个小弧段，其中 ),...,2,1,0(n k y x z k k k =+=
在每个狐段上任取一点k k k ηξ?+=，作和式 ))((11 -=-∑k n k k k z z f ? （1） 令|}{|max 11-≤≤-=k k n k z z λ，当0→λ时，若（1）式的极限存在，且此极限值不依赖于k k k ηξ?+=的选择，也不依赖于曲线C 的分法，则就称此极限值为)(z f 沿曲线C 的积分.记作 =? C z z f d )())((lim 11 -=→-∑k n k k k z z f ?λ 当)(z f 沿曲线C 的负方向（从B 到A ）积分，记作?- C z z f d )( 当)(z f 沿闭曲线C 的积分，记作()dz z f C ? 定理3.1 若),(),()(y x iv y x u z f +=沿光滑简单曲线C 连续，则)(z f 沿C 可积，且 ,d ),(d ),(d ),(d ),(d )(y y x u x y x v i y y x v x y x u z z f C C C ++-= ?? ? （2） 证明： ) )((11 -=-∑k n k k k z z f ? )]())][(,(),([11 1k k n k k k k k k k y y i x x iv u -+-+=+=+∑ηξηξ ], ))(,())(,([) )(,())(,(1 1 11 11 1 11 1∑∑∑∑-=+=+-=+=+-+-+---=n k k k k k n k k k k k n k k k k k n k k k k k y y u x x v i y y v x x u ηξηξηξηξ 由),(),()(y x iv y x u z f +=沿光滑简单曲线C 连续，可知 ),(),,(y x v y x u 沿光滑简单曲线C 也连续，当0→λ时，有
柯西函数
若函数()x f 在其图象上存在不同的两点()() 2211,,,y x B y x A ，其坐标满足条件： 222221212121y x y x y y x x +?+-+的最大值为0，则称()x f 为“柯西函数”，则下列函数①()();0,1?+=x x x x f ②()();30ln ??=x x x f ③()x x f cos =;④()12-=x x f ,其中为“柯西函数”的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 解：由已知条件可得0222221212121=+?+-+y x y x y y x x ，即 222221212121y x y x y y x x +?+=+，两边平方，得 ()()() 2222212122121y x y x y y x x ++=+，整理，得()k x y x y y x y x y x y x ==∴=-∴=-2 211122121221,0,0为斜率，故点O,A,B 三点共线，设其直线方程为kx y =，则其与“柯西函数”图象必有二个交点。易知③，④符合。 对于①()();0,1?+ =x x x x f 由x x kx 1+=，可得(),112x g x k =-= 由(),023?-=' x x g 在()∞+，0上k 与()x g 只有唯一交点，不符合条件; 对于②()();30ln ??=x x x f 由()x x x k x kx g ln ,ln ==∴=， 由()2ln 1x x x g -='，()x g 在()e 0，上单调递增，在()3,e 单调递减，故]1,33ln (e k ∈与()x g 存在二个交点，符合条件。综上所述，故选C 项。
柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用
（ 2012 届） 本科毕业论文（设计） 题目：柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用 学院：教师教育学院 专业：数学与应用数学（师范） 班级：数学082 学号： 姓名： 指导教师： 完成日期： 教务处制
诚信声明 我声明，所呈交的论文(设计)是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文(设计)中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得＿＿＿＿＿＿或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。我承诺，论文(设计)中的所有内容均真实、可信。 论文(设计)作者签名：签名日期：年月日
授权声明 学校有权保留送交论文（设计）的原件，允许论文（设计）被查阅和借阅，学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容，可以影印、缩印或其他复制手段保存论文（设计），学校必须严格按照授权对论文(设计)进行处理，不得超越授权对论文（设计）进行任意处置。 论文(设计)作者签名：签名日期：年月日
柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用 王莉莉 （嘉兴学院数学与信息工程学院） 摘要:复变函数是综合性大学或师院类院校理工专业的必修课，是实变函数微积分的推广和发展.其中柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数理论的基础，是研究复变函数理论的关键.它的核心内容是柯西积分定理,即解析函数沿围线的积分值为零.本文研究了柯西积分定理和柯西积分公式的相关概念、证明、推广及在代数基本定理证明、实积分计算中的应用，论述了柯西积分定理与复变函数的积分有着密切的联系，利用柯西积分定理很容易导出著名的柯西积分公式，还对留数定理作了简要介绍，利用留数定理可以分别得到复变函数中的柯西积分定理、柯西积分公式和高阶导数公式. 关键词:复变函数；柯西积分定理；柯西积分公式；留数定理
自我介绍技巧名人经典自我介绍精选
自我介绍技巧名人经典自我介绍精选 如果觉得自己实在找不到特别的优势，如：毕业的学校很普通，没有名气；没当过学生干部；成绩也很一般；没有高含金量的证书；没有得到很多的荣誉，怎么能快速地通过自我介绍突出自己呢？面试的时候，应聘者觉得自己没有特别突出的方面，但对于应聘的岗位，总有些话可说吧，要不然你为什么应聘这个岗位，而不是其他的岗位呢？这时，你可以说：“我非常喜欢这个专业，并且在学校上学期间，对专业学习投入了很大的精力，也希望从事与专业相关的工作。” 如果应聘者刚刚毕业，没有相关工作经验，那可以这么说：自己对专业的热爱；如大学的什么专业课目，自己学得最好；老师最认可你的哪些事情，或者实习的机会；你家人或者好朋友是否有从事这一行的，你是否受到他们的影响，等等。在面试前，应聘者即便觉得自己什么都没有，也得准备些东西，说出个一二来，不然，你怎么可能期望面试过关呢？如果应聘的岗位和专业并不对口，那么就突出自己为何喜欢应聘的岗位，并准备了哪些知识与技能，可参考文章：《写出有“亮点”的简历，抓住五个关键》中的相关内容。同时，你还要用积极的态度表达对应聘公司与岗位的认可，如：“由于深爱自己的专业，非常希望能够到贵公司工作，贵公司是一个在行业内很有影响的企业，相信加入了公司，我在专业技能上会有很多提升，同时，我也会积极进取，努力工作，为公司的发展做出贡献。” 即便应聘的是个小公司，也要用认真的态度，找出公司突出的方面来，这样企业才会认可你的态度。让我们要重新回顾一下，面试自我介绍的目的，面试的时候，面试官让你做自我介绍是为了在最短的时间里，了解你的基本情况，看看你的情况是否与企业岗位要求相匹配，在应聘者众多的情况下，利用好的这1-3分钟的自我介绍，就可以给面试官留下好的印象，就有可能从众多面试者中脱颖而出，应聘成功，找到工作。虽然面试有技巧，但做个真诚的人是最重要的，发自内心说的话才是最美最动听的，谁都喜欢，面试官通常都很有阅历与经验，他们能看出应聘者是否真诚。
心理学著名人物简介(时间顺序)
（最后一页为顺序排列） 古斯塔夫·西奥多·费希纳德国 Gustav Theodor Fechner 1801---1887 德国物理学家，心理物理学的创始人。费希纳借用物理学的方式，创立了最小可觉差法、正误法、均差法三种研究方法，第一次对感觉能力进行了划分，并发现了韦伯—费希纳定律。费希纳的研究为心理学实验研究奠定了基础。著有《心理物理学纲要》、《论心理物理学》等。
赫尔曼·赫尔姆霍茨德国 Hermann von Helmholtz 1821－1894 德国生理学家、物理学家，研究涉及多个领域，是19世纪大科学家之一。赫尔姆霍兹在心理学发展历程上，首创反应时法对神经传导速率进行了测量，提出三色色觉理论形成了著名的杨 - 赫三色论和听觉共鸣说。他在生理学方面的成就为实验心理学的建立奠定了基础。著有《生理光学手册》、《作为音乐理论的生理学基础的声觉学说》等。
威廉·冯特德国 Wilhelm Wundt 1832---1920 德国生理学家、心理学家、哲学家，被公认为是实验心理学之父。他于1879年在莱比锡大学创立世界上第一个心理学实验室，成为心理学独立的标志。冯特主张运用实验内省法研究个体的直接经验，奠定了构造主义心理学派的基础，并且提出了感情三度说。他一生培养了众多的著名心理学家，是一位当之无愧的心理学巨擘。著有《生理心理学原理》、《心理学大纲》等。
赫尔曼·艾宾浩斯德国 Hermann Ebbinghaus 1850－1909 德国心理学家。艾宾浩斯虽然没有建立正式的理论体系，但他在心理学上却拥有重要地位。他提出了著名的“艾宾浩斯曲线”和无意义音节的研究方法，他对记忆的研究突破了高级心理过程的研究障碍，开创了一个新领域。著有《记忆》、《心理学原理》等。
函数方程的柯西解法
4．函数方程的柯西解法 在函数方程的发展史上，许多函数方程的建立和解法都是由柯西首先提出的. 本节我们就来研究函数方程的柯西解法. 在前几节讨论的函数方程中，所涉及的函数大多数是自然数的函数. 而本节中的函数，它的定义域都是在某一区间上的实数. 柯西解法的步骤是：依次求出对于自变量的所有自然数值、整数值、有理数值，直至所有实数值的函数方程的解. 如所周知，一个函数方程的解往往并不是唯一的. 也就是说，可能存在着不同的函数，满足同一个函数方程. 为了保证函数方程的解的唯一性，通常需要给所求的函数附加一些条件，例如要求所求的函数必须是连续的，或者必须是单调的. 在本节里，要求函数方程的解都必须是单调函数. 什么是单调函数呢？如果对于较大的自变量的值，函数值也较大；即当12 x x >时，有 )()(12x f x f >，就是说函数)(x f 单调增加. 如果对于较大的自变量的值，函数值反而较 小；即当12 x x >时，有)()(12x f x f <，就说函数)(x f 单调减小. 单调增加和单调减小 的函数，统称单调函数. 在后面的讨论中，我们还要用到区间套原理. 这个原理是这样的： 设有一个区间序列： ,],[,,],[,],[,],[332211?????????????????n n βαβαβαβα （78） 其中每个区间都包含着后一个区间： ),3,2,1(,],[],[11 ??????i ?? ????i i i i =βα?βα++ （其中?是集的包含符号）形成一个“区间套”，而且区间长度可以任意地小（就是说，不 论我们事先给定一个多么小的正数ε，序列（78）中总存在这样一个区间，从此以后所有的区间的长度都小于ε）. 那末，必定存在着唯一的一个点ξ，被所有（无穷多）这些区间所包含. 特别是当ξ是无理数时，如果把n α和n β取作ξ的精确到10-n 的不足近似值和过剩近似值. 那末以ξ的不足近似值和过剩近似值为端点，将构成一个区间套. 相应的区间的长度是10-n . 例如，我们知道，圆周率π是一个无理数： .897931415926535.3?? =π 于是，可以构成区间套 .]142.3,141.3[]15.3,14.3[]2.3,1.3[??????? ??? 区间的长度依次是3.2-3.1=10-1，3.15-3.14=10-2，3.142-3.141=10-3，…. 我们注意到，每个区间的端点n n βα和都是有理数，而只有唯一的一个无理数α=π被包含在所有这些区间之内. 有了这些准备之后，我们转入函数方程的柯西解法的讨论.
Cauchy型积分的性质与应用
Cauchy 型积分的性质与应用 （数学与应用数学2003级 杨欢欢 指导教师 刘敏思） 内容摘要：本文主要对Cauchy 型积分和Cauchy 主值积分的性质，如连续性，解析性，关于共轭运算下的性质进行了一些探讨，主要目的是讨论Cauchy 型积分的若干应用：解析函数分解的应用、复变函数逼近理论中的应用、实积分计算中的应用. 关键词：Cauchy 型积分 Cauchy 主值积分 解析函数 函数逼近 Abstract: In this paper, we discuss the properties of Cauchy type integral and Cauchy type singular integral, such as continuity property, analyticity, and property about conjugate operation. The main goal is to discuss the application of Cauchy type integral: application of decomposition of analytic functions, application in approximation theory of complex variable functions, application in the computation of real integrals. Key Words: Cauchy type integral Cauchy type singular integral Analytic function Approximation of function 1.引言 Cauchy 型积分与Cauchy 主值积分是解析函数边值问题中和复变函数逼近论中最重要的工具之一，并且用积分理论研究解析函数的特性是一个非常重要的手段。而在一般的教材中很少全面地研究Cauchy 型积分，因此，将Cauchy 型积分的性质与应用进行系统的阐述和研究，将是非常有意义的． 2.预备知识 2.1 Cauchy 型积分的定义与性质 定义2.1.1[2] 设L 是复平面 内有限条互不相交的简单逐段光滑曲线（开口或否）所组成，()f z 沿L 有界可积，则称1() ()2L f F z d i z ξξπξ=-?,z L ?是以()f z 为核密度的 Cauchy 型积分. 注：此处只要求()f z 在L 上有界可积，不要求()f z 在C L 上解析，Cauchy 积分是Cauchy 型积分的特例. 下面着重研究Cauchy 型积分的若干性质：
历史名人简介
阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein?，1879年3月14日—1955年4月18日），著名理论物理学家，相对论的创立者。爱因斯坦是当代最伟大的物理学家，他的一生中最重要的贡献是相对论，爱因斯坦不仅是一个伟大的科学家，同时又是一个富有哲学探索精神的杰出的思想家， 牛顿，1642年出生在英国，是世界近代科学技术史上伟大的物理学家、天文学家和数学家。他由于发现了万有引力定律创立了天文学。他是人类认识自然界漫长历程中的一个重要人物，他的科学贡献已成为人类认识自然的里程碑。 张衡(公元78—139年)，是我国东汉时期伟大的科学家、文学家、发明家和政治家，在世界科学文化史上树起了一座巍巍丰碑。在地震学方面，他发明创造了“地动仪”和“浑天仪”等，张衡在科学技术、文学艺术等方面所做出的杰出贡献，不仅是中华民族的光荣和骄傲，也是留给整个人类历史的宝贵财富。 鲁迅（1881年9月25日～1936年10月19日）原名周树人，浙江绍兴人，中国现代文学家、思想家和革命家。代表作有：小说集《呐喊》、《彷徨》，散文诗集《朝花夕拾》。
雷锋(1940～1962)，湖南望城县人，中国人民解放军全心全意为人民服务的楷模，共产主义战士。雷锋1960年参加中国人民解放军，荣立二等功一次、三等功两次，被评为节约标兵，荣获模范共青团员称号。1962年8月15日因公殉职。1963年1月7日国防部命名他生前所在的班为“雷锋班”。同年3月5日毛泽东亲笔题词“向雷锋同志学习”。 贝多芬（1770-1827），德国作曲家、钢琴家。维也纳古典乐派代表人物之一。主要作品有交响曲、钢琴协奏曲等，以第三《英雄》交响曲、第五《命运》交响曲、第六《田园》交响曲、第九《合唱》交响曲最为著名。 孔子（公元前551—公元前479），春秋末期鲁国人。孔子是中国春秋末期的著名的思想家、教育家、儒家学派创始人。相传有弟子三千，贤弟子七十二人。孔子还是一位古文献整理家，曾修《诗》、《书》，定《礼》、《乐》，序《周易》，作《春秋》。孔子是中华文化中的核心学说儒家的首代宗师，集华夏上古文化之大成，
柯西-黎曼的四种不同形式
1 研究柯西-黎曼不同形式的目的 1.1 柯西-黎曼定义 在一对实值函数),(y x u 和),(y x v 上的柯西-黎曼方程组包括两个方程： u v x y ??= ?? (1) u v y x ??=-?? (2) 柯西-黎曼方程是函数在一点可微的必要条件。 通常，u 和v 取为一个复函数的实部和虚部：),(),()(y x iv y x u iy x f +=+。假设u 和v 在开集C 上连续可微。则iv u f +=是全纯的，当且仅当u 和v 的偏微分满足柯西-黎曼方程组(1)和(2) [1]。 1.2 柯西-黎曼不同形式 形式一：在复变函数中，设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，则柯西-黎曼方程形式是 y v x u ??=??， x v y u ??-=??， 简称..R C -方程，是它的实形式[1] 。 形式二：设函数)sin (cos ),(),()(θθi R y x iv y x u z f +=+=是)sin (cos ??i r z +=在D 区域的解析函数，..R C -也可写成 ,1???=??u r v u ? ??- =??u r r v 1， 称之为它的极坐标形式[1] 。 形式三：设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，iy x z +=,iy x z -=_ 则 )(21 ),(21_ _z z i y z z x -=+=
于是有 ).2,2( ),()(_ _i z z z z f y x f z f -+===ω z 和_ z 视为独立变量且为函数，最终形式为 0_ =??z f ， 称之为它的复形式[1] 。 形式四：设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，其可写成 (,)0gradu gradv gradu gradv =??? =?? 的形式，称之为它梯度形式[1] 。 分析出了柯西-黎曼方程的四种不同形式，为我们进一步探讨复变函数中柯西-黎曼方程的应用奠定坚实的基础[2]。 2 研究柯西--黎曼方程的应用的目的 在复变函数中，柯西-黎曼方程具有很强的应用性。利用柯西-黎曼方程判断一个复变函数的解析性，是非常简单的事。反过来用解析性的定义来判断一个复变函数的解析性就非常繁琐的事。同时已知一解析函数的实部（或虚部），利用柯西-黎曼方程还可以还可以求出此函数的虚部（或实部），从而得到函数的表达式。 定理一 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 内，则)(z f 在D 内一点 iy x +可导的充要条件是),(y x u 和),(y x v 在点),(y x 可微，并且在该点满足柯西-黎曼方程 y v x u ??=??，x v y u ??- =??[4] 。 定理二 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 内，则)(z f 在D 内解析的充要条件是：),(y x u 和),(y x v 在D 内可微，并且满足柯西-黎曼方程 y v x u ??=??，x v y u ??- =??[4] 。
柯西积分定理的一个简单证明
柯西积分定理的一个简单证明 摘要：本文用到零的同源环给出了柯西定理的一个证明。证明运用了解析函数基本的局部性质，没有额外的几何以及拓扑论证。 本文的目的是给出关于柯西定理for circuits homologous to 0的一个简洁明了的证明。 柯西定理：假设D 是C 的一个开子集，γ是D 中的一个环。假设γ是与零同源的，并且每个E 中的D ω?都是确定的。那么对于每一个D 中解析函数f ： （1）()0f z dz γ=? （2）对于任意与γ无关且属于D 的w ，有11(,)()(2) ()()Ind w f w i z w f z dz γγπ--=-? 证明：考虑D D C ?→的函数g ，且对z w ≠满足(,)(()())/()g w z f z f w z w =--，(,)'()g w w f w =。可知g 是连续的，并且对每个,z w ，(,)g w z 是解析的。给定:h C C →，并且在D 上()(,)h w g w z dz γ=?，在E 上1()()()h w z w f z dz γ-=-?。假设C D E =?，由 于(,)0Ind w γ=，则这两种()h w 的表示在D E ?是相等的。 那么可知h 在D 和E 上都是可导的，所以h 是整函数。由于γ的映射是有限的，并且E 包含了∞的一个邻域，()0h w →时有w →∞。这表明h 是连续的（刘伟尔定理），并且h=0.则对于所有D ω∈不依赖于γ，(,)g w z dz γ?=0。这样就证明了（2） 。最后设u 是D 中不依赖于γ的定点。将（2）用于函数()()z f z z u →-，计算w u =的情况，便得到（1）。
柯西--黎曼方程的应用
柯西--黎曼方程的应用 在复变函数中，柯西--黎曼方程具有很强的应用性。利用柯西--黎曼方程判断一个复变函数的解析性，是非常简单的。而利用解析性的定义来判断一个复变函数的解析性就非常麻烦。已知一解析函数的实部（或虚部），利用柯西--黎曼方程还可以还可以求出此函数的虚部（或实部）， 从而得到函数的表达式。 定理一 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 内，则)(z f 在D 内一点iy x +可导的充要条件是),(y x u 和),(y x v 在点),(y x 可微，并且在该点满足柯西--黎曼方程 y v x u ??=??， x v y u ??-=??。 定理二 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 内，则)(z f 在D 内解析的充要条件是：),(y x u 和),(y x v 在D 内可微，并且满足柯西--黎曼方程 y v x u ??=??， x v y u ??-=??。 利用定理一可以判断函数在一点的可导性，而利用定理二可以判断函数在一个区域内的可导性，即解析性。 定义一 如果实二元函数),(y x ?在区域D 内满足02 222=??+??y x ??，则称),(y x ?为在区域D 内的调和函数。 定理三 任何在区域D 内解析的函数，其实部和虚部均为D 内的调和函数，且满足柯西--黎曼方程y v x u ??=??，x v y u ??-=??。 以下通过例题讲述柯西--黎曼方程的应用方法。 例1 判断下列函数在何处可导，在何处解析： （1）z w =； （2）)sin (cos )(y i y e z f x +=； （3）)Re(z z w =。 解 （1） x u =，y v -=，1=??x u ，0=??y u ，0=??x v ，1-=??y v y v x u ??≠??，柯西--黎曼方程不满足，故z w =在复平面内处处不可导且处处不解析。 （2）y e u x cos =，y e v x sin =，
解析函数柯西黎曼方程
1 引言 解析函数是复变函数论研究的主要对象．Cauchy-Riemann方程则是判断复变函数可微和解析的主要条件，它在复变函数论中的重要作用和地位是不言而喻的．文献[1]、[2]提到函数可微、解析定义及满足它们的一些条件，文献[3]、[4]、[5]给出几种Cauchy-Riemann 方程等价形式． 现在对解析函数Cauchy-Riemann方程研究的文章非常的多，这些文章已经将它们证明研究得比较深刻，但对它们作出全面的概括和总结这方面的工作还是不多，至于应用也很少提到．所以对它的进一步研究和总结还是有其积极意义的． 本文先介绍可微、解析定义，给出解析函数满足Cauchy-Riemann方程，再给出几种Cauchy-Riemann方程的等价形式．
2 基本概念与定理 定义2．1 [1] 设函数()w f z =定义于区域D ， 0z D ∈．如果极限 000 ()() lim z z z D f z f z z z →∈-- 存在，则称()f z 在0z 点可导或可微，其极限值称为函数()f z 在0z 点的导数，记为0'()f z 或 (z z df z dz =） ．即 000 ()() lim '()z z f z f z f z z z →-=-． 有了函数在一点可微的概念以后，下面我们引进复变函数的一个主要概念——解析函数． 定义2．2 [1] 如果函数()w f z =在区域D 内每一点都可微，则称()f z 在D 内解析， 并称()f z 是区域D 内的解析函数． 如果函数()f z 在0z 的某一邻域内解析，则称()f z 在0z 点解析．而函数()f z 在闭区域D 上解析，即存在区域G ，使D G ?，而()f z 在G 内解析． 若在区域D 内除了可能有些例外点外，函数()f z 在D 内其它各点都解析，则这些例外点称为()f z 的奇点． 例1 试证明(Re f z z z =） 在0z =点可微，但在z 平面上任何点都不解析． 证： 先证(f z ）在0z =点可微．因 0 00()(0)Re lim lim lim Re 00z z z f z f z z z z z →→→-===- 故(f z ）在0z =点可微，且'(0)0f =． 设00z ≠，令000z x iy =+，则0x ，0y 至少有一个不为零．又令z x iy =+，考虑极限
古今中外名人介绍
达·芬奇：意大利文艺复兴时期画家,科学家列奥纳多·达·芬奇(1452-1519) da Vinci,Leonardo 意大利文艺复兴时期画家,科学家,人类智慧的象征.生于佛罗伦 萨郊区的芬奇小镇,因此取名叫芬奇,5岁时能凭记忆在沙滩上画出母亲的肖像,同时还能即席作词谱曲,自己伴奏自己歌唱,引得在场的人赞叹不已.《最后的晚餐》是世界最著名的宗教画,《蒙娜丽莎》则为世界上最著名,最伟大的肖像画.这两件誉满全球的作品使达·芬奇的名字永垂青史.达·芬奇独特的艺术语言是运用明暗 法创造平面形象的立体感.他曾说过:"绘画的最大奇迹,就是使平的画面呈现出凹凸感." 李时珍与《本草纲目》 李时珍，明朝人，是一位伟大的医学家和药物学家。李时珍家世代行医，他的父亲医术很高，给病人看病常常不收诊费，就是不愿意让自己的儿子再当医生：因为那时候行医是让人看不起的职业。李时珍可不这样想，他暗自下定决心，要向父亲那样为病人治病。 李时珍22岁开始给人看病，一面行医，一面研究药物。他发现很多旧的药物书有不少缺点，于是下定决心重新编写一部完善的药物书。为了写这部药物书，李时珍不但在治病的时候注意积累经验，还亲自到各地去采药。他不怕山高路远，不怕严寒酷暑，走遍了盛产药材的名山。他有时好几天不下山，饿了吃些干粮，天黑了就在山上过夜。他走了上万里路，拜访了千百个医生、老农、渔民和猎人，向他们学到了许多书本上没有的知识。他还亲口品尝了许多药材，判断药性和药效。 他回到老家，花了整整27年的时间，终于编写成了一部新的药物书，就是著名的《本草纲目》，这部书有一百多万字，记载了一千八百多种药物，每一种都有图，是中药书籍中一部伟大的著作，已经被译成几国文字，在全世界流传。 袁隆平院士是我国当代杰出的农业科学家，享誉世界的“杂交水稻之父”。他参加工作50多年以来，不畏艰辛、执着追求、大胆创新、勇攀高峰，所取得的科研成果使我国杂交水稻研究及应用领域领先世界水平，推广应用后不仅解决了中国粮食自给难题，也为世界粮食安全做出了杰出贡献。 袁隆平的先进事迹在国内外产生了广泛影响，得到了党和国家领导人的充分肯定与社会各界的普遍赞誉。江泽民为国家最高科学技术奖获奖人丛书《走近袁隆平》所作序言中指出：“袁隆平同志等国家科学技术奖获得者，就是我国科技工作者的杰出代表。在他们身上，集中体现了我国知识分子爱国主义的高尚情操和中华民族自强不息的优良传统，集中体现了我国人民强烈的民族自尊心、自信心和自豪感，集中体现了我国科技工作者敢于创新、顽强拼搏、为中华民族争气的宏大抱负，集中体现了严谨治学、为人师表、平易近人、甘为人梯的崇高精神。他们用自己的行动为我国科技事业的发展写下了美好的篇章，用自己的勤奋和智慧做出了无愧于祖国和时代的贡献。”2005年8月，温家宝总理在湖南考察时赞扬说：“袁隆平所做出的贡献，不仅有利中国，而且有利世界。” 居里夫妇 居里夫妇亲自体验了镭的生理效应，他们曾不止一次地被镭射线烫伤。他们与医生一起研究将镭用于治疗癌症，开创了放射性疗法。第一次世界大战期间，