经典几何习题参考答案

一．概念题

1．欧几里得的几何原本的概要。

答：在《几何原本》中, 欧几里得先对一些基本概念 (如点、直线、平面等) 给出了定义:

1）点没有部分;

2）线有长度, 但没有宽度;

3）线的界限是点;

4）直线是同其中各点看齐的线;

5）面只有长度和宽度;

6）面的界限是线;

7）平面是与其上的直线看齐的那种面;

8）圆是包含在一条 (曲) 线里的那种平面图形, 使得从其内部某一点连到该线的所有直线 (线段) 都彼此相等, 并称圆内上述的那个点为圆的中心 (简称圆心);

9）平行直线是在同一平面内, 而且往两个方向无限延长后, 在这两个方向上都不会相交的直线。

欧几里得总共引入了119个定义, 承认了五条公设:

1）等于同量的量是相等的;

2）等量加等量还是等量;

3）等量减等量还是等量;

4）能重合的量是全等的;

5）整体大于部分。

接着, 欧几里得再给出了五个公理:

I. 从每个点到每个其他的点必定可以引直线。

II. 每条直线都可以无限延长。

III. 以任意点作中心, 通过任何给定的另一点, 可以作一圆。

IV. 所有直角都相等。

V. 同平面内如有一条直线与另两条直线相交, 且在前一条直线的某一侧所交的两内角之和小于两直角, 则后两条直线无限延长后必在这一侧相交。

欧几里得在此基础上运用逻辑推断, 导出了许许多多的命题 (在《几何原本》中包含了 465 个命题), 从而构成了欧几里得几何学。

2．Hilbert的欧几里得几何的公理系统概要。

答：1899 年 Hilbert 提出了欧氏几何的一套完整的公理体系。首先他提出了八个基本概念, 其中三个是基本对象: 点、直线、平面; 五个是基本关系: 点属于 (或结合) 直线, 点属于 (或结合) 平面, 一点在另两点之间, 两线段合同, 两角合同。这些基本概念应服从下述五套公理:

结合公理: 共有 8 个。

I. 对于两个不同的点, 恒有一直线结合其中的每个点。

I. 对于两个不同的点, 至多有一直线结合其中的每个点。

I. 每条直线上至少有两个不同的点。

1.3

2.3I . 至少有三个不同的点不在一条直线上。

1.4I . 对于不在一条直线上的三个点, 恒有一平面通过它们中的每个点。

2.4I . 每个平面至少有一个点。

5I . 对于不在一直线的三个点, 至多有一平面通过它们中的每个点。

6I .如果直线上的两个点在一个平面上, 则此直线上的每个点都在这个平面上。 7I . 如果两平面有一公共点, 则至少还有另外一个公共点。 8I . 至少有四点不在同一平面上。

顺序公理: 共有 4 个。

1II . 若点B 在点A 和点C 之间（记为*

ABC ）, 则A ,B ,C 是一直线上的不同三

点, 而且B 也在C 和A 之间。

2II . 对于任意两点A 和B , 直线AB 上至少有一点C , 使得B 在A 和C 之间。 3II . 在一直线上的任意三个点中, 至多有一点在其余两点之间。

4II . 巴士公理 (Pasch) 与一个三角形共面、但不过其顶点的直线, 若与三角形

的一边相交, 则必与另一边相交。合同公理: 共有 5 个。

1III . 设A , B 是直线a 上的两点, A '是同一或另一直线a '上的一点, 则在a '上

点A '的已知一侧恒有一点B ', 使线段AB 合同于线段B A ''. 记为B A AB ''≡.

2III . 若两线段 (可以是相同的线段) 都合同于第三线段, 则这两个线段也合同。

即

AB B A ≡'' 及 AB B A ≡'''' ? B A B A ''''≡''.

3III . 设开线段)(AB , )(BC 均在直线a 上, 而且没有公共点; 开线段)(B A '',

)(C B ''均在同一或另一直线a '上, 亦无公共点。若B A AB ''≡, C B BC ''≡, 则

C A AC ''≡.

1,4III . 已知平面α上的一角),(k h ∠, 指定平面α'上的一直线的一侧, 以及这条

直线上以点O '为原点的一条射线h ', 则α'上恰有一射线k ', 使得),(k h ∠合同于

),(k h ''∠, 且k '在α'的已知一侧。记为),(),(k h k h ''∠≡∠.

2.4III . ),(),(h k k h ∠≡∠.

5III . (三角形合同公理) 对于两个三角形ABC 和C B A ''', 若B A AB ''≡,

C A AC ''≡,C A B BAC '''∠≡∠, 则C B A ABC '''∠≡∠. 连续公理;

IV. (Dedkind 公理) 若线段AB 两端及其内部的所有的点能被分为两类, 具有下列性质:

(1) 每点恰属一类; A 属于第一类, B 属于第二类, (2) 第一类中异于A 的每个点在A 和每个第二类点之间, 则必存在一点C , 使得A , C 间的点都属于第一类, 而C , B 之间的点都属于第二类。

称点C 为 Dedkind 点或界点。由它所决定的分类叫做一个 Dedkind 分割。平行公理:

V. (欧氏平行公理) 对于任何直线a 和不在其上的任何点A , 至多有一条直线过A , 而且与直线a 共面, 但不相交。

从这些公理出发, 根据逻辑推断所得出的一系列命题就构成了欧氏几何的全部内容。

3. 试叙述非欧几何的e Poincar 上半平面模型。答：基本对象: 取上半平面内部的点（不包括x 轴上的点）作为非欧几何中的“点”, 取上半平面中以O 为圆心的上半开圆周l 或者上半平面中与x 轴垂直的开直线l 作为非欧几何中的“直线”。

基本关系：点在直线上；顺序关系；合同关系。 “点在直线上”和“顺序关系*

PQR 都能如图中所示地去理解。

对于合同关系。我们先来定义上半平面中点的“对称”变换。有两种“对称”: 一种是关于与x 轴垂直的开直线l 的“对称”, 它实际上就是点关于直线l 的镜面反射, 如图中的点B 被映至点B '；

另一种是关于以x 轴上的点O 为圆心, R 为半径的上半开圆周l 的“对称”变换, 它实际上就是关于圆周l 的反演, 它将点A 变到点A ', 使得 2||||R A O OA ='?

如果通过一系列的“对称”的合成能够将一个线段映到另一个线段, 那么我们就认为这两个线段是合同的。同样, 通过一系列的“对称”的合成能够将一个角映至另一个角, 那么我们就认为这两个角是合同的。

我们在对基本对象、基本关系作出了上述理解后, 可逐一地验证公理 I, II, III, IV 和 V 的正确性。于是我们得到了非欧几何的e Poincar 上半平面模型。

4. 试叙述非欧几何的Klein 上半平面模型。答：基本对象: 取单位圆盘内部D 中的点作为非欧几何中的“点”, 取D 中的弦作为非欧几何中的“直线”。

基本关系：点在直线上；顺序关系；合同关系。

“点在直线上”和“顺序关系”*

ABC 如图中所示如同在欧氏几何中那样去理解。

对于合同关系。设有两个线段, 线段AB 在直线l 上, 线段B A ''在直线l '上。如果存在一个D 中的射影自同构γ, 使得在γ变换下, 线段AB 变到了线段B A '', 那么我们就认为线段AB 和线段B A ''是合同的, 记为B A AB ''≡.两个角的合同关系可理解为存在着D 中的一个射影自同构, 使得其中一个角的顶点映到另一个角的顶点, 同时将其中一个角的两条射线分别映到另一个角的两条射线。

在对基本对象、基本关系作了上述的理解后, 我们可以逐一地去验证公理系统 I, II, III, IV 和 V 是成立的, 我们就得到了非欧几何的 Klein 模型。

5．仿射空间、仿射坐标系、仿射变换群的定义。

答：设有一个向量空间V , 一个集合A 以及一种运算 “+”： A V A →?+: ,),(v a v a + 它们之间满足下面两个条件：

（1）（结合律）对任何V w v ∈,, 及任何A a ∈, 有 )()(w v a w v a ++=++，（2）对任何A b a ∈,, 必存在唯一的向量V v ∈, 使得v a b +=，

我们称集合A 是从属于向量空间V 的仿射空间, 也简称A 为仿射空间。如果V 是n 维向量空间, 则我们称V 是n 维仿射空间。

对n 维仿射空间,选定1+n 个点, 其中一点O 作为基点, 另外n 个点n A A ,,1 分别作为确定n 条仿射直线走向的“单位”点。记 n n e OA e OA ==,,11 ，于是对仿射空间中的一般的点P , 就有 n n e x e x OP ++= 11，

我们称n A A O ,,,1 这1+n 个点确定了仿射空间中的一个仿射坐标系（或称为仿射标架）, 称),,(1n x x 为点P 在仿射标架},,,{1n A A O 下的仿射坐标。

n 维仿射空间中的同一个点在仿射坐标系的不同选取下, 它们的仿射坐标之

间的变换规律是用仿射变换来描述的, 即两套仿射坐标),,(1n x x 和),,(1

n x x '' 之间满足

),,,2,1(,1n i b x a x i j n

j ij i =+='∑=

其中i ij b a ,为常数. 且0)det(≠ij a , 也就是说它是平移及非异线性变换的合成。

另一方面, 我们选定了一个仿射坐标系后, 用上述变换式去表述仿射空间中点的一种变换, 它的变前点的仿射坐标),,(1n x x 和变后点的仿射坐标

),,(1

n x x '' 之间满足上式。我们称仿射空间中这种点的变换为点的仿射变换, 即它是点的平移变换和点的非异线性变换的合成。仿射变换全体所组成的群称为仿射变换群。

或定义为：设f 是仿射直线中点的一个变换 A A f →: )(p f p

如果对A 中任何两点q p ,及任意实数λ和μ（但满足1=+μλ）, 成立 )()()(q f p f q p f μλμλ+=+，则称变换f 为A 中点的一个仿射变换。

6．仿射直线上三点的单比的定义。

答：对仿射直线上三点R Q P ,,（其中Q P ,是两个不同的点）。如果采用},{Q P 作为仿射标架, 则称点R 关于仿射标架},{Q P 的仿射坐标为R Q P ,,三点的单比, 记为),,(R Q P .

7．射影空间、射影坐标系、射影变换群的定义。

答：n 维射影空间乃是1+n 维空间中过某定点的直线全体, 即有 ~~1/}0{\+=n n R P 其中非零数组之间的等价关系~~为：

?++),,(),,(11~~11n n y y x x 存在一个非零实数λ，使得i i x y λ=， ),,(11+n x x 所属的等价类],,[11+n x x 即为n P 中的一点, 且称),,(11+n x x 为

此射影空间中点],,[11+n x x 的齐次坐标。

在n 维射影空间中选定2+n 个点, 其中一点1A 作为基点, 另外n 个点2A ,

1,+n A 分别作为确定n 条仿射直线走向的点，而将点2+n A 作为“单位”点。

设O 是1+n R 中的原点, 将2+n OA 朝直线121,,,+n OA OA OA 方向投影，在这

1+n 个方向是分别得到了向量121,,,+n e e e . 于是对n 维射影空间中的一般点P , 就有

112211+++++=n n e x e x e x ，

我们称这2+n 个点221,,,+n A A A 确定了射影空间中的一个射影坐标系（或称为射影标架）, 称),,(11+n x x 为点P 在射影标架},,,{221+n A A A 下的射影坐标。

n 维射影空间中的同一个点在射影坐标系的不同选取下, 它们的射影坐标之间的变换规律可用射影变换来描述的, 即两套射影坐标 ),,(11+n x x 和

),,(11

+''n x x 之间满足 ),1,,2,1(,1

+=+='∑+=n i b x a x i j n j ij i ρ

其中i ij b a ,为常数. 且0)det(≠?ij a ρ.

另一方面, 当我们选定了一个射影坐标系后, 用上述变换式去表述射影空间中点的一种变换, 它的变前点的射影坐标),,(11+n x x 和变后点的射影坐标

),,(11+''n x x 之间满足上式。我们称射影空间中这种点的变换为点的射影变换。射

影变换全体所组成的群称为射影变换群。

8．试叙述射影直线上不同四点的交比的定义。

答：对射影直线上不同四点P A A A ,,,321，如果采用},,{321A A A 作为射影标架, 设点P 在射影标架},,{321A A A 下的射影坐标为),(21x x ，则称12/x x 为四点

P A A A ,,,321的交比, 记为四点),;,(321P A A A .

9．直射变换、逆射变换的定义。

答：射影平面中点的射影变换称为直射变换。

把],,[321x x x 视为点P 的齐次坐标, 而把],,[321ξξξ视为射影平面中一条射影直线l '的齐次坐标, 那么变换

),3,2,1(,3

1=='∑=i x a j j ij i ξρ

把射影平面中的点变到了射影平面中的一条射影直线。我们把这种变换称为射影平面中的逆射变换。

10．试叙述射影平面中配极的定义。

答：逆射变换),3,2,1(,:3

1=='Γ∑=i x a j j ij i ξρ满足id =ΓΓ 或矩阵)(ij a 是对称阵，

则称为射影平面中的配极变换, 简称为配极。

11．试叙述射影几何中Desargues 定理、Desargues 逆定理、Pascal 定理、 Pappus 定理、Pascal 逆定理、Brianchon.定理、Brianchon.逆定理。

答：Desargues 定理：如果两个三角形的对应顶点的连线相交于一点, 则对应边的交点必定是共线的。

Desargues 逆定理：如果两个三角形的对应边的交点是共线的, 则对应顶点的连线必相交于同一点。

Pascal 定理：非退化二次曲线的内接六点形的三对对边的交点必定共线。 Pascal 逆定理：如果一个六点形的三对对边的交点位于一条直线上, 则这个六点形必为某一条二次曲线的内接六点形。

Pappus 定理：设有两条直线l 和l ', 直线l 上有三点321,,A A A , 直线l '上有三点

1,,A A A '''，记E 为连线21A A '与21A A '的交点, F 为连线31A A '与31A A '的交点, G 为连线3

2A A '与32A A '的交点。则这三个点E , F , G 必共线。 Brianchon 定理：非退化的二次曲线的外切六点形的三对对顶点的连线必交于同一点。

Brianchon 逆定理：如果一个六点形的三对对顶点的连线交于一点, 则这个

六点形必为某一条二次曲线的外切六点形。

二．填空题：

1．平面上的点)2,2(-p 的齐次坐标是 )1,2,2(-或),2,2(h h h -。 2．直线0153=-+y x 的齐次坐标方程是 053321=-+x x x 。 3．直线013=-x 的齐次坐标方程是 0331=-x x 。

4．普通直线0332211=++x a x a x a 上的无穷远点的坐标是 )0,,(12a a -。 5．射影直线上的射影变换的基本不变量是交比。

6．对偶原理的内容是如果原命题成立, 则其对偶命题也必成立。 7．如果一个六点形的三对对边的交点共线，那么它的六个顶点在一个二次曲线的内接六点形上。三．计算题：

1．设共线四点1P ，2P ，3P ，4P 的非齐次坐标分别为)1(1P ，)2(2P ，)3(3P ，)4(4P ，

求交比),;,(4321P P P P 的值。

解：1P ，2P ，3P ，4P 的齐次坐标分别为)1,1(1P ，)1,2(2P ，)1,3(3P ，)1,4(4P ，

43)13)(24()23)(14(),;,(1

13322

223

311

4321=----==y x y x y x y x y x y x y x

y x P P P P ， 2．设四个不同点1P ，2P ，3P ，4P 共线，试证明交比),;,(4321P P P P 的下列性质：（1）),;,(4321P P P P =),;,(2143P P P P ；

证明：),;,(),;,(21433

1144

224411

3322113322

223

311

4321P P P P y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x P P P P ===

。

(2) )

,;,(1

),;,(34214321P P P P P P P P =

证明：

)

;

(

)

;

(

=。

3．画出下图中的图形的对偶图形。

解：

左图中的点D

,分别对偶于右图中的直线d

,；

左图中的直线d

'分别对偶于右图中的点D

'；左图中的直线c

,共点于D对偶于右图中的点C

,共线（直线d）; 左图中的直线c

,共点于D'对偶于右图中的点C

,共线（直线d'）;

左图中的点C

,共线（直线d）对偶于右图中的直线c

,共点于D.

4．求射影变换

的不变点。

解：不变点)

(

x是指满足

xρ'

'的点，即

ρρ

，解得1

'ρ

ρ，1

x，

所以不变点是)

,0,

(

x。

5．求一维射影变换???+='+='2122

11232x x x x x x ρρ下点)1,1(-的对应点的坐标。

解：???-=?+-?='-=+-?='112)1(311)1(22

x x ρρ，

所以点)1,1(-在射影变换下对应点的坐标是)1,1(--。

6．求射影变换???

??++='-+='+-='3213

3212

3211

22x

x x x x x x x x x x x ρρρ下，01=x 及01='x 的对应直线。解：由第一式加第二式和第二式加第三式得：???+='+'+='+'2

132

2121

32)(3)(x x x x x x x x ρρ，

消去2x 得：1321

7)23(x x x x ='-'+'ρ，因此01=x 的对应直线是023321

='-'+'x x x ， 01

='x 的对应直线是02321=+-x x x 。

7．试求点)0,1(关于给定二次曲线0104383:22=+-+-Γx y xy x 的极线。解：)0,1(的齐次坐标为)1,0,1(，

Γ的齐次坐标方程为01043832

33122

2121=+-+-x x x x x x x ，所以???

??----=100203

4243)(ij a ，设极线方程为],,[321u u u ， 11204131=?-?-?=u ，41003141-=?+?+?-=u ， 811000121=?+?+?-=u ，

所以极线方程为084321=+-x x x 。

8．试求直线05=-y x 关于二次曲线0622:22=--+-Γy x y xy x 的极点。解：05=-y x 的齐次坐标为]0,1,5[-，

Γ的齐次坐标方程为062232312

2121=--+-x x x x x x x x ，所以???

??------=031311111)(ij a ，设极点坐标为),,(321p p p ，

则??

??=---=-+-=--03135

21321321p p p p p p p p ，解得31=p ，12-=p ，13-=p ，所以极点坐标为)1,1,3(--。

四．证明题：

1．已知三角形ABC 的三角平分线AD ,BE ,CF 交于点O ，设DC ，EF 交于L ，

CA ，FD 交于M ，AB ，DE 交于N 。试利用 Desargues

定理证明：三点N ，L ，M 共线。

证明：在三角形ABC 与三角形DEF 中，因为对应顶点的连线AD ，BE ，CF 交于点O ，根据Desargues 定理：对应边的交点必定是共线的。

由于N DE AB =?，L EF BC =?，M FD CA =?，

所以N ，L ，M 共线。

2．已知三角形ABC 的三条高AD ,BE ,CF 交于点O ，设AB 交DE 于N ，BC 交

EF 于L ，CA 交FD 于M 。证明：三点N ，L ，M 共线。

证明：在三角形ABC 与三角形DEF 中，因为对应顶点的连线AD ，BE ，CF 交于点O ，根据Desargues 定理：对应边的交点必定是共线的。

由于N DE AB =?，L EF BC =?，M FD CA =?，

所以N ，L ，M 共线。

3．i)已知射影直线上两点p ，q 的齐次坐标分别为????? ??321p p p ，???

?? ??321q q q ，试证明：此射

影直线上任何点x 的齐次坐标可表为???

? ??+????? ??=????? ??321321321q q q p p p x x x μλ

证明：设此射影直线的方程为0332211=++x u x u x u ，则

???

??=++=++=++0

003321

1332211332211q u uq q u p u p u p u x u x u x u 把它看成321,,u u u 的线性方程组，它有非零解，所以系数行列式为零。

3213

21=q q q p p p x x x ，因此),,(321x x x ，),,(321p p p ，),,(321q q q 线性相关，即存在不全为零的321,,a a a 使得

0),,(),,(),,(321332123211=++q q q a p p p a x x x a ，

若01=a ，则0),,(),,(32133212=+q q q a p p p a ，说明p ，q 是同一点，矛盾，若021==a a ，则)0,0,0(),,(321=x x x ，说明x 不是射影平面上的点，矛盾，所以01≠a ，32,a a 不全为零。令12/a a -=λ，13/a a -=μ得

???

? ??+????? ??=????? ??321321321q q q p p p x x x μλ。

ii)证明：在射影平面中，直线与非退化的二次曲线的交点不能多于两个。证明：射影平面中非退化的二次曲线的的标准型方程为

02322

21=-+y y y （321,,y y y 不全为零）若03=y ，则021==y y ，所以03≠y ，这时02

322

21=-+y y y 可化为 122

3231=???? ??+???? ??y y y y ，令31y y x =,3

2y y y =,得11

2=+y x ，原问题化为在平面上单位圆与直线的交点个数，这个交点数最多两个。所以直线与非退化的二次曲线的交点不能多于两个。

五．思考题：

设在射影平面上有两条射影直线l ，l '，令点O 为平面上不在这两条直线上的某一点。从点O 出发可引出射线，并以此方法建立了直线l ，l '上点的对

应关系。如在每条直线上已分别建立了射影坐标系},{y x 及},{y x ''，试证明：

直线l 上点),(y x P 相对应的点),(y x P '''之间的变换公式必可写成下述形式

?+='+='dy

cx y by

ax x ρρ，其中常数d c b a ,,,,ρ满足0≠?d c b a ρ。证明：在射影直线l ，l '上分别建立射

影标架},,{321A A A 及},,{32

1A A A '''，则 2111e y e x OP +=,

2111

e y e x P O ''+''=', 由于OP 与P O '共线，存在k ,k '使得

2111e ky e kx OP k P O +=='，

111

e k e ='，212e k e ='，代入得：11

1kx x k ='，111ky y k ='，即 ???? ??????

? ??=???

? ??''111111

00y x k k k k

y x 相对于l ，),(11y x 与),(y x 是同一点P 的坐标，所以

???? ?????? ??=???? ??y x a a a a y x 22211211

11，同理在l '中有???? ??''???? ??=???? ??''1

22211211y x b b b b y x ，所以????

?????? ?

?=???? ?????? ??????

? ?

?????

??=???? ??''y x d c b a y x a a a a k k k k

b b b b y x 2221121111

2221

1211

0，即???+='+='dy

cx y by

ax x ρρ，其中常数d c b a ,,,,ρ满足0≠?d c b a ρ。