新北师大版-第一章勾股定理导学案之欧阳家百创编

欧阳家百创编

第一章勾股定理导学案

欧阳家百（2021.03.07）

第1课时探索勾股定理（1）

班级：姓名：时间：

学习目标：

1、经历探索勾股定理的过程，发展学生的合情推理意识，体会数形结合的思想。

2 、会初步利用勾股定理解决实际问题。

学习过程：

一、课前预习：

1、三角形按角的大小可分为：、、。

2、三角形的三边关系：

三角形的任意两边之和；任意两边之差。

3、直角三角形的两个锐角；

4、在RtΔABC中，两条直角边长分别为a、b，则这个直角三角形的面积可以表示为：。

二、自主学习：探索直角三角形三边的特殊关系：

（1）画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；

直角三角形1 直角边a 直角边b 斜边c 三边关系满足关

系

3 4

A

B2

c

欧阳家百创编 （2）猜想：直角三角形的三边

满足什么关

系? （3）任画一直角三角形，量出三边长度，看得到的数据是否符合

你的猜想。

猜想：

三、合作探究：：

如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交

流：你是怎样得到的？

图形

A 的面积

B 的面积

C 的面积 A 、B 、C 面积的关系 图1-1

图1-2

图1-3

图1-4 思考：

每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股

定理。

勾股定理：

直角三角形等于；

几何语言表述：图 1.1-1 在Rt ΔABC 中， C ＝ 90°， BC=a ，

AC=b ，AB=c ，则上面的定理可以表示为： 。

直角

三角

形2

直角边a 直角边b 斜边c 三边关系满足关系 5 13 2a 2b 2c

四、课堂练习：

1、求下图中字母所代表的正方形的面积

2、求出下列各图中x的值。

3.如图所示，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。旗杆折断之前有多高？

五、当堂检测：

1．在△ABC中，∠C=90°，

（1）若BC=5，AC=12，则AB=；

（2）若BC=3，AB=5，则AC=；

（3）若BC∶AC=3∶4，AB=10，则BC=，AC=.

2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m，宽为1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木棒的长为. 3．在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=13,则BC=,该直角三角形的面积为。

4．直角三角形两直角边长分别为5cm，12cm，则斜边上的高为.

5.若直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边长为20㎝，则斜边上的高为。

6.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是

直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方

形A，B，C，D的面积之和为_______cm2.

7.一个直角三角形的三边长为3、4和a，则以a

的面积是。

8.如图，点C是以AB为直径的半圆上一点，∠ACB=90°，

AC=3,BC=4,则图中阴影部分的面积是。

9．等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则其面积为．

10．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，求△ABC 的周

长。

课后作业：

1、在Rt △ABC 中，90C ∠=? ，

（1）如果a=3，b=4，则c=________；

（2）如果a=6，b=8，则c=________；

（3）如果a=5，b=12，则c=________；

(4) 如果a=15，b=20，则c=________.

2、下列说法正确的是（ ）

A.若a 、b 、c 是△ABC 的三边，则222a b c +=

B.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则222a b c +=

C.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，90A ∠=?， 则222a b c +=

D.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，90C ∠=? ，则222a b c += 3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确

的是（ ）

A ．斜边长为25

B ．三角形周长为25

C ．斜边长为5

D ．三

角形面积为20

4、如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个

的面积S3为________．

5、一个直角三角形的两边长直角边分别为5cm 和12cm,则第三边

的长为。

6．在Rt △ABC 中，∠C=90°，

①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则

b=___________；

③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则

S Rt △ABC =________。

7、一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角

边长大2，则斜边的长为。

8、一个直角三角形的两边长分别为3cm 和4cm,则第三

边的为。

9、已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的

高．

求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．

拓展提高:

1．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 在CB

的延长线上。

求证：⑴AD 2－AB 2=BD ·CD

⑵若D 在CB 上，结论如何，试证明你的结论。

第2课时 探索勾股定理（2）

班级： 姓名： 时间：

学习目标：

1、掌握勾股定理，理解利用拼图验证勾股定理的方法。

2、能运用勾股定理解决一些实际问题。 学习过程： D C B

一、知识回顾：

1、勾股定理：

2、求下列直角三角形的未知边的长

3、在一个直角三角形中，两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ：

（1）如果8a =，15b =，则c =，面积为；

（2）如果5a =，13c =，则三角形的周长为，面积为；

二、自主学习：

利用拼图验证勾股定理（课前准备8个全等的直角三角形）：

活动一：用四个全等的直角三角形拼出图1，并思考：

1．拼成的图1中有_______个正方形，___个直角三角形。

2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。

3．你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积，列出一个

等式，验证勾股定理吗？

活动二：你能利用类似的方法由图2得到勾股定

理吗？

活动三：总统证法

思考：你还有那些方法？ 三、合作探究：

例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女

孩头顶正上方4000米处，过了25秒，飞机距离女孩头顶5000米

处，则飞机的飞行速度是多少？

四、当堂检测：

基础巩固：

图2 x 125B A

C

1、如右图，AD = 3，AB = 4，BC = 12，则CD=________；

2、如图，阴影部分的面积为；

3、一个直角三角形的三边分别为3，4，x，则2x

4、若等腰三角形的腰为10cm，底边长为16cm，则它的面积为；

5.如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有米。

6.一直角三角形的斜边比直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为；

7.直角三角形一直角边为5厘米、斜边为13厘米，那么斜边上的高是；

8.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为；

能力提升：

9.小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/h的速度向正北方向的学校走去，哥哥以8km/h的速度向正南方向走去，半小时后，他们相距

10、如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M,O,Q三城市的沿江高速的建设成本是100万元∕千米，该沿江高速的造价是多少？

11.如图，AB是电线杆，从距离地面12M高的A处，向离电杆5M的B处埋线，并埋入地下1.5M深，求拉线长多少米12、．如图，矩形纸片ABCD的边AB=10，BC=6，E为BC上一点将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的。

13、如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，请你求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？

14、有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将ABC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长

15、如图1-4，一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面15米，要使梯子顶端离地24米，则梯子的底部在水平方向上应滑动多少米？

课后作业：1、△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为

2、如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．

3、如图，已知一根长8m的竹杆在离地3m处断裂，竹杆顶部抵着地面，

m；

4

阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红

莲移动的水平距离为2米，问这里水深是

________m。

5．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500

第3题

C

B

米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。

6．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B 、C 两点，在江对岸

取一点A ，使AC 垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面

的宽度为

7．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个

洞口，则圆形盖半径至少为米。

8．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P 、Q 两点，

PQ=16厘米，且RP ⊥PQ ，则RQ= 厘米

9、有一只小鸟在一棵高4m 的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该

树12m ，

高20m 的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s 的速

度飞

向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一

起？

10、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街

路上行驶速度不得超过70 km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街路

上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30 m

处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50 m ，这辆小

汽车超速了吗？

11、将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从

旗顶到地面的高度为320cm ， 在无风的天气A

小汽车

小汽车 B C 观测点 120 90

里，彩旗自然下垂，如右图.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm）.

第3课时能得到直角三角形吗

班级：姓名：时间：

学习目标：掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单的应用。

学习过程：

一、复习回顾：

勾股定理：

条件：

结论：

二、自主学习：

1、分别以下列每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗?

(1)3, 4, 5, (2)6, 8, 10 （3）9,12,15

2、勾股逆定理：

条件：

结论：

3、勾股数：。

下列几组数是否为勾股数？说说你的理由。

（1）12，18，22 (2) 9, 12, 15 （３）12，35，36 （4）15,36,39 三、合作探究：

例1、一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠Ａ和∠ＤＢ

Ｄ

Ｃ都应为直角。工人师傅量得AB=3，AD=4,BD=5,BC=12,DC=13,这个零件符合要求吗？

例2、如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？

例3、（1）如果将一组勾股数扩大相同的倍数，得到的还是勾股数吗？填写下表，并验证。

（2）如果一直角三角形的三边长为a、b、c(c是斜边长)，将三边长都扩大k倍(k为任意正整数)后，得到的还是直角三角形吗？说明理由。

四、当堂检测：

基础巩固：

1. 下列说法正确的是( )

A. 若a、b、c是ABC的三边，则222

+=

a b c

B. 若a、b、c是Rt ABC的三边，则222

+=

a b c

C. 若a、b、c是Rt ABC的三边90

+=

a b c

A

∠=，则222

D. 若a、b、c是Rt ABC的三边90

C

a b c

+=

∠=，则222

2、以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）

Ａ、８，15，17；Ｂ、４，５，６；Ｃ、５，８，10；Ｄ、8，39，40

3、下列几组数中，是勾股数的是（）

A 、4，5，6

B 、12，16，20

C 、-10，24，26

D 、2.4，4.5，

5.1

4、若△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ满足（ａ－ｂ）（ａ２＋ｂ2－ｃ

2）＝０，则△ＡＢＣ是（ ）

Ａ、等腰三角形 Ｂ、直角三角形

Ｃ、等腰直角三角形 Ｄ、等腰三角形或直角三角形

5、 有一个木工师傅测量了等腰三角形的腰、底边和高的长，但他

把这三个数据与其他数据弄混了，请你帮他找出来﹙﹚

A ．13，12，12 ；

B ．12，12，8；

C ．13，10，12 ；

D ．5，

8，4

6、三角形的三边长a, b, c 满足等式（a+b ）2-c 2

=2ab,则此三角形的

是三角形。

7、如图，在平行四边形ABCD 中，CA ⊥AB ，若

AB=3，BC=5，则平行四边形ABCD 的面积为

8、当m= 时，以m+1，m+2，m+3的长为

边的三角形是直角三角形。

9.一个三角形的三边之长分别为15，20，25，则这个三角形的最大

角为，这个三角形的面积为。

10、如果三条线段a 、b 、c 满足a 2=c 2?b 2，这三条线段组成的三角

形是直角三角形吗？为什么？

能力提升：

11、如图，在?DEF 中，DE=17cm, EF=30cm, EF 边上的中线

DG=8cm ，问?DEF 是等腰三角形吗？为什么？

12、已知：在△ABC 中，三条边长分别为a,b,c,a=n 2-

B

1,b=2n,c=n2+1(n＞1)。试判断△ABC的形状.

13、如图所示的一块草地，已知AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,且∠CDA=900,

求这块草地的面积。

14、如图，有一零件是等腰三角形ABC，AB=AC，底边BC=20，D是AB上的一点，且CD=16，BD=12，⊿ACD的形状，并求⊿ABC的周长。

15、若⊿ A BC三边长分别为a,b,c,且满足条a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断⊿ABC的形状，并证明为什么。

课后练习：

1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）

A．2，3，4 B．10，8，4 C．7，25，24 D．7，15，12

2、已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）

A．25 B．14 C．7 D．7或25

3、以面积为9 cm2的正方形对角线为边作正方形，其面积为（）

A．9 cm2 B．13 cm2 C．18 cm2 D．24 cm2

4、如图，直角△ABC的周长为24，且AB:AC=5:3，则

BC=（）

A．6 B．8 C．10 D．12

5.如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．

6.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）

A．8cmB．10cm C．12cm D．14cm

8．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达点 B 200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为多少？

7、如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，

梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，

那么梯子的底部在水平方向上滑动了几米？

10.已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB = 8cm，BC = 10 cm，求EC的长。

第4课时勾股定理的应用

班级：姓名：时间：

学习目标：应用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题。

学习过程：

一、复习回顾：

1．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )

A. 1.5,2,3;

B. 7,24,25;

C. 6,8,10;

D. 9,12,15

2、若有两条线段，长度分别为5,13，第三条线段的平方为时 ，这

三条线段才能组成直角三角形。

3、圆柱的侧面展开图是________形，圆锥的侧面展开图是_______

形。

4、圆的周长公式是___。

5、在一个圆柱石凳上，，恰好一只在A 处的蚂

蚁想吃到B 处的食物，想一想，蚂蚁爬行的最短路线是什么？自

己做一个圆柱进行思考探索。

二、自主学习：

活动一：如果上面的圆柱高等于12厘米，底面半径等于3厘米.则

蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(π的值取3).

活动二：

一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm 、8cm 、 12cm ，一只蚂

蚁想从盒底的A 点爬到顶的B 点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线

路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？

小结：解决曲面上两点最短路线问题的方法是：

___________.

活动三：

李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD 边和BC

边是否分别垂直于B

B

B

底边AB ，但他随身只带了一个长度为20厘米的卷尺，你能替他想

办法完成任务吗？

三、当堂检测：

基础巩固：

1、 下列说法正确的是( )

A. 若a 、b 、c 是ABC 的三边，则222a b c +=

B. 若a 、b 、c 是Rt ABC 的三边，则222a b c +=

C. 若a 、b 、c 是Rt ABC 的三边90A ∠=，则222a b c +=

D. 若a 、b 、c 是Rt ABC 的三边90C ∠=，则2

22a b c += 2、在△ABC 中, ∠C=90°，c=25, b=15,则a=.

3、三角形的三个内角之比为：１：２：３，则此三角形是．

4、三条线段 m,n,p 满足m 2-n 2=p 2 ，以这三条线段为边组成的三角

形为

5、.如图，直线l 上有三个 正方形a,b,c,若a,c 的面积分别是5，

11，则b 的面积为。

6、编制一个底面周长为8、高为6的圆柱形花架，需用沿圆柱侧

面绕织一周的竹条若干根，如图中的212121B C A B C A ，，…则每一根这

样的竹条的长度最少是_________。

7、 一天，李京浩同学的爸爸买了一张底面是边长为250cm 的正方

形，厚30cm 的床垫回家．到了家门口，才发现门口只有

240cm 高，宽100cm ．你认为李京浩同学的爸爸能拿进屋吗？

说明理由．

8、如图，一座城墙高11.7米，墙外有一个宽为9米的护城河，那

么一个长为15米的云梯能否到达墙的顶端？

9、如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒最长应有多长？

能力提升：

10、如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走

最近？并求出最近距离．

11、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有

趣的问题：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正

方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1

尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达

岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

12、如图所示，有一高4㎝，底面直径为6㎝的圆锥。现有一只蚂蚁在圆锥的顶A，它想吃到圆锥底部B点处的食物，需爬行的最短路程是多少？

课后作业：

1、已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝12，CD⊥AB于D点，求CD的长.

2、如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，?其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？

3、如图所示，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，

4、如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的

路灯．?当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子

下滑到了B ′处，下滑后，两次梯脚间的距

离为2米，则梯顶离路灯多少米？

6、如图，某会展中心在会展期间准备将高

5m,长13m ，宽2m 的楼道上铺地毯,已知地毯

平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元

钱? 第5课时 勾股定理复习课导学案 班级： 姓名： 时间：

学习目标 1、记住勾股定理和逆定理的内容。

2、熟练掌握常见的勾股数。

3、会运用勾股定理及逆定理解决问题。

学习过程：

一、复习回顾：

1. 自主梳理

（1）、勾股定理：。

（2）、勾股定理的逆定理： .

(3)、满足的三个正整数，称为勾股数。例如： 。

2. 点对点应用训练

（1）在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边

长的平方为______．

5m

13m 第6题图

（2）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是

______________．

（3）一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为

________。

（4）分别以下列四组数为一个三角形的边长：3、4、5；5、12、

13；8、15、17；

4、5、6，其中能够成直角三角形的有

（5）三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三

角形的是（ ）

A ．a:b:c=8∶16∶17

B ．a 2-b 2=c 2

C ．a 2=(b+c)(b-c)

D ．a:b:c=13∶5∶12

（6）如图，一只蚂蚁从点A 沿圆柱表面爬到点B ，如果圆

柱的高为8cm ，圆柱的底面半径为π6

cm ，那么最短 B

的路线长是（ ）

A. 6cm

B. 8 cm

C. 10 cm

D. 10πcA

二、例题研究

例1、如图己知13,12,4,3,====⊥AD CD BC AB BC AB 求四边形ABCD

的面积

例2、如图，已知长方形ABCD 中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD 上

取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE

的长.

三、巩固练习

1．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是

（ ）

A. 第三边一定为10

B. 三角形的周长为25

C. 三角形的面积为48

D. 第三边可能为10

2．直角三角形的斜边为20cm ，两条直角边之比为3∶4，那么这

个直角三角形的周长为（ ）

A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm

3．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足(a-b)(a 2+b 2-c 2)=0，则△ABC 是

( )

A.等腰三角形

B. 等边三角形

C. 等腰直角三角形

D. 等腰三角形或直角三角形

4．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）

A 直角三角形

B 锐角三角形

C 钝角三角形

D 不能

5． 在Rt △ABC 中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c=；

（2）b=8，c=17 ，则ABC S =

6．已知两条线段的长为5cm 和12c m,当第三条线段长的平方

为 c m 时,这三条线段能组成一个直角三角形.

7. 在△ABC 中，点D 为BC 的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC=___________

8．等腰三角形的周长是16c m,底边长是6c m,则底边上的高是____________

9.在Rt △ABC 中， a ，b ，c 分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，则边长c=

10.2