9-5 隐函数的求导公式

第5节：隐函数的求导公式

教学目的：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的导函数。 教学重点：由一个方程确定的隐函数求导方法。

教学难点：隐函数的高阶导函数的计算。

教学方法：讲授为主，互动为辅

教学课时：2

教学内容：

一、一个方程的情形

在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经显化直接由方程 ),(y x f =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式.

隐函数存在定理 1 设函数),(y x F 在点

),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00=y x F ，, 0),(00≠y x F y ，则方程),(y x F =0在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有

y x F F dx dy -= （2） 公式（2）就是隐函数的求导公式

这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。

将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入，得恒等式

0))(,(≡x f x F ,

其左端可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得

,0=??+??dx

dy y F x F 由于y F 连续，且0),(00≠y x F y ，所以存在(x 0,y 0)的一个邻域，在这个邻域内0≠y F ，于是得

.y

x F F dx dy -= 如果),(y x F 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x 的复合函数而再一次求导，即得

dx dy F F y F F x dx y d y x y x ???? ??-??+???? ??-??=22

.232222y x yy y x xy y xx y x y x yy y xy y x

yz y xx F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F +--=???? ??-----= 例1 验证方程0122=-+y x 在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =，并求这函数的一阶和二阶导数在x =0的值。

解 设=),(y x F 122-+y x ，则y F x F y x 2,2==,02)1,0(,0)1,0(≠==y F F .因此

由定理1可知，方程0122=-+y x 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导

数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =。

下面求这函数的一阶和二阶导数

y x F F dx dy -==y x -， 00

==x dx dy ; 22dx y d =,1)(332222y

y x y y y x x y y y x y -=+-=---='-- 10

22-==x dx y d 。

隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程

F (z y x ,,)=0 (3) 就有可能确定一个二元隐函数。

与定理1一样，我们同样可以由三元函数F (z y x ,,)的性质来断定由方程F (z y x ,,)=0所确定的二元函数z =),(y x 的存在，以及这个函数的性质。这就是下面的定理。

隐函数存在定理 2 设函数F (z y x ,,)在点),,(000z y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),,(000=z y x F ，0),,(000≠z y x F z ，则方程F (z y x ,,)=0在点),,(000z y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =，它满足条件),(000y x f z =，并有

x z ??=z x F F -,y z ??=z

y F F -. (4) 这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导.

由于 F (y x ,, f ),(y x )≡0,

将上式两端分别对x 和y 求导，应用复合函数求导法则得

x F +z F x

z ??=0, y F +z F y z ??=0。 因为z F 连续，且0),,(000≠z y x F z ,所以存在点),,(000z y x 的一个邻域，在这个邻域内z F ≠0，于是得

x z ??=z x F F -,y z ??=z

y F F -。 例2 设04222

=-++z z y x ，求.22x z ?? 解 设F (z y x ,,) =z z y x 4222-++，则x F =2x , z F =42-z .应用公式(4)，得

x z ??=z

x -2。 再一次x 对求偏导数，得 22x z ??2

)2()2(z x z x z -??+-=

.)

2()2()2(2)2(3222z x z z z x x z -+-=-??? ??-+-= 二、方程组的情形

下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。我们不仅增加方程中变量的个数。而且增加方程的个数，例如，考虑方程组

???==.

0),,,(,0),,,(z u y x G v u y x F (5) 这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组(5)就有可能确定两个二元函数。在这种情形下，我们可以由函数F 、G 的性质来断定由方程组(5)所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质。我们有下面的定理。

隐函数存在定理3 设函数),,,(v u y x F 、),,,(v u y x G 在点),,,(00000v u y x P 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0),,,(0000=v u y x F ，0),,,(0000=v u y x G ,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式):

=J ),(),(v u G F ??=v

G u G

v F u F

???????? 在点),,,(00000v u y x P 不等于零，则方程组0),,,(=v u y x F ，0),,,(=v u y x G 在点),,,(0000v u y x 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数),(),,(y x v v y x u u ==，它满足条件),(),,(000000u x v v y x u u ==，并有

x

u ??-=),(),(1v x G F J ??-=,v u

v u v x v x

G G F F G G F F

x

v ??-=),(),(1x u G F J ??-=,v u v u x u x u

G G F F G G F F (6)

y u ??-=),(),(1v y G F J ??-=,v

v v

u v

y v y

G G F F G G F F y v ??-=J 1),(),(y u G F ??-=.v u

v

u u u G G F F G G F F y

y

这个定理我们不证.与前两个定理类似，下面仅就公式(6)作如下推导。

由于 F [y x ,,u ),(y x ,v ),(y x ]≡0,

G [y x ,,u ),(y x ,v ),(y x ]≡0,

将恒等式两边分别对x 求导，应用复合函数求导法则得

??

???=??+??+=??+??+.0,0x v G x u G G x v F x u F F v u x v u x 这是关于x u ??, x

v ??的线性方程组，由假设可知在点),,,(00000v u y x P 的一个邻域内，系数行列式

=J v u v u

G G F F ,0≠ 从而可解出x u ??, x

v ??，得

x u ??-=),(),(1v x G F J ??, x v ??-=),(),(1x u G F J ??. 同理，可得

y u ??-=),(),(1v y G F J ??, y v ??-=J 1)

,(),(y u G F ??. 例3 设1,0=+=-xv yu yv xu ，求x u ??,y u ??,x v ??和y

v ??. 解 此题可直接利用公式(6)，但也可依照推导公式(6)的方法来求解。下面我们利用后一种方法来做。

将所给方程的两边对x 求导并移项，得

?????-=??+??-=??-??.,v x v x x

u y u x v y x u x 在022≠+=-=y x x y y

x J 的条件下，

.,2

222y x xv yu x y y x v y u

x x v y

x yv xu x

y y x x v y

u x u +-=---=??++-=----=??

将所给方程的两边对y 求导，用同样方法在022≠+=y x J 的条件下可得 ,22y x yu xv y u +-=?? .22y

x yv xu y v ++-=?? 例4 设函数),(),,(v u y y v u x x ==在点(v u ,)的某一邻域内连续且具有连续偏导数，

又

.0),(),(≠??v u y x (1)证明方程组

?

??==),(),,(v u y v u x x (7) 在点),,,(v u y x 的某一邻域内唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的反函数),(),,(y x v v y x u u ==。

(2)求反函数),(),,(y x v v y x u u ==对y x ,的偏导数。

解 (1)将方程组(7)改写成下面的形式

???=-≡=-≡.

0),(),,,(,0),(),,,(v u y y v u y x G v u x x x u y x F

则按假设 =??=),(),(v u G F J .0)

,(),(≠??v u y x 由隐函数存在定理3，即得所要证的结论。

(2)将方程组(7)所确定的反函数),(),,(y x v v y x u u ==代入（7），即得

???≡≡)].

,(),,([)],,(),,([y x v y x u y y y x v y x u x x 将上述恒等式两边分别对x 求偏导数，得

??

???????+?????=????+?????=.0,

1x v v y x u u y x v v x x u u x 由于J ≠0，故可解得

,1v y J x u ??=?? .1u y J x v ??-=?? 同理，可得

,1v x J y u ??-=?? .1u

x J y v ??=??

小结：本节在前面已提出隐函数概念的基础上，根据多元复合函数的求导法导出隐函数的

求导公式，给出了隐函数存在定理1、2、3，使我们能够计算有一个方程或方程组确定的隐函数的导数。

作业：89P 习题9-5 1、4、10（2）（4）、11．