高中数学88个常用公式及结论总结
高中数学常用公式及结论
1元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠??
2 集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n
个；真子集有21n
-个；非空子集有21n
-个；非空的真子集有22n
-个.
3 二次函数的解析式的三种形式：
(1) 一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;
(2) 顶点式2()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式） (3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时，设为此式）
（4）切线式：02()()(()),0x kx d f x a x a =-+≠+。（当已知抛物线与直线y kx d =+相切且切点
的横坐标为0x 时，设为此式）
4 真值表： 同真且真，同假或假 5
6）
充要条件：(1)、p q ?，则P 是q 的充分条件，反之，q 是p 的必要条件；
（2）、p q ?，且q ≠>p ，则P 是q 的充分不必要条件； (3)、p ≠>p ，且q p ?，则P 是q 的必要不充分条件；
4、p ≠>p ，且q ≠>p ，则P 是q 的既不充分又不必要条件。
7 函数单调性:
增函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而增大。
（2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的
1212,,x x D x x ∈<且，都有
12()()f x f x <成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是增函数。D 则就是f （x ）的递增区间。
减函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而减小。
（2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的
1212,,x x D x x ∈<且，都有
12()()f x f x >成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是减函数。D 则就是f （x ）的递减区间。
单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；
(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；
注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。
(1)设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么
[]1212()()()0x x f x f x -->?
[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在?>--上是增函数；
[]1212()()()0x x f x f x --
[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在?<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.
8函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称） 奇函数：
定义：在前提条件下，若有()()()()0f x f x f x f x -=--+=或， 则f （x ）就是奇函数。
性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；
（2）、奇函数在x >0和x <0上具有相同的单调区间；
（3）、定义在R 上的奇函数，有f （0）=0 . 偶函数：
定义：在前提条件下，若有()()f x f x -=，则f （x ）就是偶函数。 性质：（1）、偶函数的图象关于y 轴对称；
（2）、偶函数在x >0和x <0上具有相反的单调区间； 奇偶函数间的关系：
(1)、奇函数·偶函数=奇函数；（2）、奇函数·奇函数=偶函数；
(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数；(4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的） (5)、偶函数±偶函数=偶函数；(6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 9函数的周期性： 定义：对函数f （x ），若存在T ≠0，使得f （x+T ）=f （x ），则就叫f （x ）是周期函数，其中，T 是f
（x ）的一个周期。
周期函数几种常见的表述形式：
(1)、f （x+T ）= - f （x ），此时周期为2T ；
（2）、 f （x+m ）=f （x+n ），此时周期为2m n -； (3)、1
()()
f x m f x +=-
，此时周期为2m 。 10常见函数的图像：
11 对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2
b
a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x
b f y -= 的图象关于直线2
b a
x -=对称. 12 分数指数幂与根式的性质：
(1)m n
a
=0,,a m n N *>∈，且1n >）.
（2
）1
m n
m n
a
a
-
=
=
0,,a m n N *>∈，且1n >）.
（3
）n a =.
（4）当n
a =；当n
,0
||,0a a a a a ≥?==?
-
.
13 指数式与对数式的互化式:log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>.
指数性质： (1)1、1p
p
a
a
-=
；（2）、01a =（0a ≠）；(3)、()mn m n
a a = (4)、(0,,)r
s
r s
a a a a r s Q +?=>∈；(5)
、m n
a =
指数函数：
(1)、(1)x y a a =>在定义域内是单调递增函数；
（2）、(01)x y a a =<<在定义域内是单调递减函数。注：指数函数图象都恒过点（0，1） 对数性质：
(1)、log log log ()a a a M N MN +=；（2）、log log log a a a
M
M N N
-=；
(3)、log log m a a b m b =?；(4)、log log m n
a a n
b b m
=
?；(5)、log 10a = (6)、log 1a a =；(7)、log a b
a b =
对数函数：
(1)、log (1)a y x a =>在定义域内是单调递增函数；
（2）、log (01)a y x a =<<在定义域内是单调递减函数；注：对数函数图象都恒过点（1，0） (3)、log 0,(0,1),(1,)a x a x a x >?∈∈+∞或
(4)、log 0(0,1)(1,)a x a x
N a
=
(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠,0N >).
对数恒等式：log a N
a
N =(0a >,且1a ≠,0N >).
推论 log log m n
a a n
b b m
=
(0a >,且1a ≠,0N >). 15对数的四则运算法则:若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则
(1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log a a a M
M N N
=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈; (4)log log (,)m
n a a n
N N n m R m
=∈。
16 平均增长率的问题（负增长时0p <）：
如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+. 17 等差数列：
通项公式：（1）1(1)n a a n d =+-，其中1a 为首项，d 为公差，n 为项数，n a 为末项。
（2）推广：()n k a a n k d =+-
（3）1(2)n n n a S S n -=-≥（注：该公式对任意数列都适用）
前n 项和：（1）1()
2
n n n a a S +=
；其中1a 为首项，n 为项数，n a 为末项。 （2）1(1)
2
n n n S na d -=+
（3）1(2)n n n S S a n -=+≥（注：该公式对任意数列都适用） （4）12n n S a a a =+++ （注：该公式对任意数列都适用）
常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有m n p q a a a a +=+；
注：若,m n p a a a 是的等差中项，则有2m n p a a a =+?n 、m 、p 成等差。
（2）、若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n a b ±为等差数列。
（3）、{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,m m m m m S S S S S --也成等差数列。 （4）、,,0p q pq a qa p a +===则；
（5） 1+2+3+…+n=
2
)
1(+n n 等比数列：
通项公式：（1）1
*11()n n
n a a a q
q n N q
-==
?∈，其中1a 为首项，n 为项数，q 为公比。 （2）推广：n k n k a a q -=?
（3）1(2)n n n a S S n -=-≥（注：该公式对任意数列都适用）
前n 项和：（1）1(2)n n n S S a n -=+≥（注：该公式对任意数列都适用）
（2）12n n S a a a =+++ （注：该公式对任意数列都适用）
（3）1
1(1)(1)
(1)
1n n na q S a q q q =??
=-?≠?-?
常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有m n p q a a a a ?=?；
注：若,m n p a a a 是的等比中项，则有2
m n p a a a =??n 、m 、p 成等比。
（2）、若{}n a 、{}n b 为等比数列，则{}n n a b ?为等比数列。
18分期付款(按揭贷款) ：每次还款(1)(1)1
n n ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).
19三角不等式：
（1）若(0,)2
x π
∈，则sin tan x x x <<.
(2) 若(0,
)2
x π
∈
，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.
20 同角三角函数的基本关系式 ：2
2sin
cos 1θθ+=，tan θ=
θ
θ
cos sin ， 21 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 22 和角与差角公式
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;
tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=
.
sin cos a b αα+
)α?+
(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b
a
?= ). 23 二倍角公式及降幂公式
sin 2sin cos ααα=2
2tan 1tan α
α
=
+. 2
2
2
2
cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221tan 1tan α
α
-=+.
2
2tan tan 21tan ααα=-.sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2αα
ααα-==+ 221cos 21cos 2sin ,cos 22
αα
αα-+==
24 三角函数的周期公式
函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期
2||T πω=
；函数tan()y x ω?=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期||
T πω=.
三角函数的图像：
25 正弦定理 ：
2sin sin sin a b c
R A B C
===（R 为ABC ?外接圆的半径）. 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ?===::sin :sin :sin a b c A B C ?=
26余弦定理：
2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.
27面积定理：
（1）111
222a b c S ah bh ch =
==（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111
sin sin sin 222
S ab C bc A ca B ===.
(3)OAB S ?=2,2
a b c S r r a b c ?
??+==++斜边内切圆直角内切圆－
28三角形内角和定理：
在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+
222
C A B
π+?
=-
222()C A B π?=-+. 29实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：
(1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a
;
(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa
;
(3)第二分配律：λ(a +b )=λa
+λb . 30a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b
|cos θ。
31平面向量的坐标运算：
(1)设a
=11(,)x y ,b
=22(,)x y ，则a +b
=1212(,)x x y y ++.
(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b
=1212(,)x x y y --.
(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--
.
(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa
=(,)x y λλ.
(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b
=1212()x x y y +.
32 两向量的夹角公式：
cos ||||
a b
a b θ?==
? (a
=11(,)x y ,b =22(,)x y ).
33 平面两点间的距离公式：
,A B d
=
||AB =
=11(,)x y ，B 22(,)x y ). 34 向量的平行与垂直 ：设a
=11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0 ，则：
a ||
b ?b =λa
12210x y x y ?-=.（交叉相乘差为零）
a ⊥
b (a ≠0 )?a ·b
=012120x x y y ?+=.（对应相乘和为零）
35 线段的定比分公式 ：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12
PP PP λ= ，则12
1
211x x x y y y λλλλ+?=??+?+?=?+?
?12
1OP OP OP λλ+=+ ?12
(1)OP tOP t OP =+- （1
1t λ
=+）. 36三角形的重心坐标公式： △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC
的重心的坐标是1
23123
(,)33
x x x y y y G ++++. 37三角形五“心”向量形式的充要条件：
设O 为ABC ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则
（1）O 为ABC ?的外心222
OA OB OC ?== .
（2）O 为ABC ?的重心0OA OB OC ?++=
.
（3）O 为ABC ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=?
.
（4）O 为ABC ?的内心0aOA bOB cOC ?++=
.
（5）O 为ABC ?的A ∠的旁心aOA bOB cOC ?=+
.
38常用不等式：
（1）,a b R ∈?2
2
2a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．
（2）,a b R +∈
?
2
a b
+≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>
（4）b a b a b a +≤+≤-.
（5
）22ab a b a b +≤≤
+当且仅当a ＝b 时取“=”号)。 39极值定理:已知y x ,都是正数，则有
（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值2
4
1s . （3）已知,,,a b x y R +∈，若1ax by +=则有
21111()()by ax ax by a b a b x y x y x y
+=++=+++≥++。 （4）已知,,,a b x y R +∈，若1a b
x y
+=则有
2()()a b ay bx
x y x y a b a b x y x y
+=++=+++≥++
40 一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠?=->，如果a 与2
ax bx c ++同号，
则其解集在两根之外；如果a 与2
ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.即：
121212()()0()x x x x x x x x x <
121212,()()0()x x x x x x x x x x <>?--><或.
41含有绝对值的不等式 ：当a> 0时，有
22x a x a a x a
22x a x a x a >?>?>或x a <-.
42斜率公式：
21
21
y y k x x -=
-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.
43直线的五种方程：
（1）点斜式11()y y k x x -=-(直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．
（2）斜截式y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).
（3）两点式11
2121
y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (1212,x x y y ≠≠)).
两点式的推广：211211()()()()0x x y y y y x x -----=（无任何限制条件！）
(4)截距式1x y
a b
+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，00a b ≠≠、)
（5）一般式0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).
直线0Ax By C ++=的法向量：(,)l A B '= ，方向向量：(,)l B A =-
44夹角公式：
(1)21
21
tan |
|1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)
(2)12
21
1212
tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2
π
.
1+r 2
r 2-r o
451l 到2l 的角公式：
(1)21
21
tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)
(2)1221
1212
tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线
12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2
π
.
46点到直线的距离：d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).
47圆的四种方程：
（1）圆的标准方程222()()x a y b r -+-=.
（2）圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=(2
2
4D E F +-＞0).
（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ
θ=+??=+?
.
（4）圆的直径式方程1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).
48点与圆的位置关系：点00(,)P x y
与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：
若d =d r >?点P 在圆外;
d r =?点P 在圆上;d r
49直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种
(2
2
B
A C
Bb Aa d +++=
):
0相离r d ;0=???=相切r d ;0>???<相交r d .
50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21，则：
条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;
条公切线相交22121??+<<-r r d r r ; 条公切线内切121??-=r r d ; 无公切线内含??-<<210r r d .
51椭圆22221(0)x y a b a b +=>
>的参数方程是cos sin x a y b θθ=??=?. 离心率c e a ==
准线到中心的距离为2a c
，焦点到对应准线的距离(焦准距)2b p c =。
过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：2
2b a
.
52椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:
21()a PF e x a ex c =+=+，22()a PF e x a ex c
=-=-；1221||tan 2F PF P F PF
S c y b ?∠==。
53椭圆的的内外部:
（1）点00(,)P x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b
?+<.
（2）点00(,)P x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b
?+>.
54 椭圆的切线方程:
(1) 椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y
a b +=.
（2）过椭圆22221x y a b
+=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y
a b +=.
（3）椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222
A a
B b c +=.
55 双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率c e a ==准线到中心的距离为2a c ，焦点到对应
准线的距离(焦准距)2b p c =。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：2
2b a .
焦半径公式21|()|||a PF e x a ex c =+=+，2
2|()|||a PF e x a ex c
=-=-，
两焦半径与焦距构成三角形的面积122
1cot 2
F PF F PF S b ?∠=。
56 双曲线的方程与渐近线方程的关系:
(1）若双曲线方程为12222=-b
y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b
y ±=.
(2)若渐近线方程为x a b
y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b
y a x .
(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22
22b
y a x
（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. (4) 焦点到渐近线的距离总是b 。
57双曲线的切线方程:
(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y
a b -=.
(2)过双曲线22221x y a b
-=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y
a b -=.
（3）双曲线22221x y a b
-=与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222
A a
B b c -=.
58抛物线px y 22=的焦半径公式:
抛物线22(0)y px p =>焦半径02
p
CF x =+.
过焦点弦长p x x p
x p x CD ++=+++=21212
2.
59二次函数2
2
24()24b ac b y ax bx c a x a a
-=++=++
(0)a ≠的图象是抛物线： （1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-； （3）准线方程是241
4ac b y a
--=.
60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB =
或1212||||AB x x y y =
=-=-（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程???=+=0
)y ,x (F b kx y 消去y 得到02
=++c bx ax
0?>,α为直线AB 的倾斜角，k
为直线的斜率，12||x x -=61证明直线与平面的平行的思考途径:
（1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.
62证明直线与平面垂直的思考途径:
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。 63证明平面与平面的垂直的思考途径：
（1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直；
(3) 转化为两平面的法向量平行。 64 向量的直角坐标运算：
设a
＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则： (1)a ＋b
＝112233(,,)a b a b a b +++；
(2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa
＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)；
(4)a ·b
＝112233a b a b a b ++；
65夹角公式：
设a
＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b
，则cos ,a b <>=
.
66异面直线间的距离：
||
||
CD n d n ?=
(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离). 67点B 到平面α的距离：
||||
AB n d n ?=
（n
为平面α的法向量，A α∈，AB 是α的一条斜线段）. 68球的半径是R ，则其体积3
43
V R π=,其表面积24S R π=．
69球的组合体：
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方
体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3)球与正四面体的组合体: 棱长为a
(
的14),
(
a 的34).
70 分类计数原理（加法原理）：12n N m m m =+++ . 分步计数原理（乘法原理）：12n N m m m =??? .
71排列数公式 ：m
n A =)1()1(+--m n n n =！
！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．规定1!0=.
72 组合数公式：m n C
=
m n m
m
A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N *
，m N ∈，且m n ≤). 组合数的两个性质:(1)m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C 1+.规定10
=n C .
73 二项式定理n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式r
r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，
=. 2012()()n n n f x ax b a a x a x a x =+=++++ 的展开式的系数关系：
012(1)n a a a a f ++++= ； 012(1)(1)n n a a a a f -+++-=- ；0(0)a f =。
74 互斥事件A ，B 分别发生的概率的和：P(A ＋B)=P(A)＋P(B)．
n 个互斥事件分别发生的概率的和：P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )． 75 独立事件A ，B 同时发生的概率：P(A ·B)= P(A)·P(B).
n 个独立事件同时发生的概率：P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )．
76n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：()(1)
.k k n k
n n P k C P P -=- 77 数学期望：1122n n E x P x P x P ξ=++++
数学期望的性质
（1）()()E a b aE b ξξ+=+. （2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=. (3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===，则1E p
ξ=
. 78方差：()()()2
2
2
1122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-?+-?++-?+
标准差：σξ=ξD . 方差的性质：
(1)()2
D a b a D ξξ+=；
(2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-.
(3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ
-===，则2q D p
ξ=
. 方差与期望的关系：()2
2
D E E ξξξ=-.
79正态分布密度函数：(
)()()2
2
26,,x f x x μ--
=
∈-∞+∞，
式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.
对于2(,)N μσ，取值小于x 的概率：()x F x μσ-??
=Φ
???
. ()()()12201x x P x x P x x x P <-<=<< 80)(x f 在0x 处的导数（或变化率）：
000000()()()lim lim x x x x f x x f x y
f x y x x
=?→?→+?-?''===??.
瞬时速度：00()()()lim lim t t s s t t s t s t t t
υ?→?→?+?-'===??.
瞬时加速度：00()()()lim lim t t v v t t v t a v t t t
?→?→?+?-'===??.
81 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义：
函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.
82 几种常见函数的导数：
(1)0='C （C 为常数）.(2)1()()n n x nx n Q -'=∈.(3)x x cos )(sin ='.
(4)x x sin )(cos -='. (5)x x 1
)(ln ='；1(log )log a a x e x
'=. (6) x x e e =')(;a a a x x ln )(='. 83 导数的运算法则：
（1）'
'
'
()u v u v ±=±.（2）'
'
'
()uv u v uv =+.（3）''
'2
()(0)u u v uv v v v
-=≠. 84 判别)(0x f 是极大（小）值的方法：
当函数)(x f 在点0x 处连续时，
（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值. 85 复数的相等：,a bi c di a c b d +=+?==.（,,,a b c d R ∈）
86 复数z a bi =+的模（或绝对值）||z =||a bi +87 复平面上的两点间的距离公式：
12||d z z =-=（111z x y i =+，222z x y i =+）.
88实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程2
0ax bx c ++=，
①若2
40b ac ?=->,则1,2x =②若2
40b ac ?=-=,则122b x x a
==-;
③若2
40b ac ?=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根
240)x b ac =-<.
高中数学常用公式及结论
高考数学常用公式及结论200条 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
高中数学公式大全(必备版)
高中数学公式大全（必备版） 高中数学公式大全（必备版） 篇一 篇二 篇三 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变; ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot;cot→tan(奇变偶不变)，然后在前面加上把α看成锐
高中数学公式结论大全(相当全)
高中数学公式结论大全 1. ,. 2.. 3. 4.集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式;当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式 (3)零点式；当已知抛物线与轴的交点坐标为 时，设为此式 4切线式：。当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时，设为此式 6.解连不等式常有以下转化形式 . 7.方程在内有且只有一个实根,等价于或 。 8.闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当a>0时，若，则；
，，. (2)当a<0时，若，则， 若，则，. 9.一元二次方程＝0的实根分布 1方程在区间内有根的充要条件为或； 2方程在区间内有根的充要条件为 或或； 3方程在区间内有根的充要条件为或. 10.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间的子区间形如，，不同上含参数的不等式 (为参数)恒成立的充要条件是。 (2)在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。 (3) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)的有解充要条件是。 (4) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)有解的充要条件是。
对于参数及函数.若恒成立，则；若 恒成立，则 ；若有 解，则 ；若 有解，则 ；若 有解，则 .若函数 无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论 12.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有个 至多有个 小于 不小于 至多有个 至少有 个 对所有，成立 存在某，不成立 或 且 对任何，不成立 存在某，成立 且 或 13.四种命题的相互关系(上图): 14.充要条件记 表示条件，表示结论 1充分条件：若，则是充分条件. 2必要条件：若，则是必要条件. 3充要条件：若 ，且 ，则 是充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 15.函数的单调性的等价关系 (1)设 那么 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假
高中数学常用公式及常用结论(203条,必看)
高中数学常用公式及常用结论(203条,必看) 高中数学常用公式及常用结论(203条) 1. 元素与集合的关系 x A x CUA,x CUA x A. 2.德摩根公式 CU(A B)CUA CUB;CU(A B)CUA CUB. 3.包含关系
A B A A B B A B CUB CUA A CU B CUA B R 4.容斥原理 card(A B)cardA cardB card(A B) card(A B C)cardA cardB cardC card(A B) card(A B)card(B C)card(C A)card(A B C). nnn 5．集合{a1,a2,,an}的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2 –1 个；非空的真子集有2–2个. 6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式f(x)ax bx c(a0); (2)顶点式f(x)a(x h)k(a0); (3)零点式f(x)a(x x1)(x x2)(a0). 7.解连不等式N f(x)M常有以下转化形式22n N f(x)M[f(x)M][f(x)N]0 M NM Nf(x)N|0 |f(x)22M f(x) 11. f(x)NM N 8.方程f(x)0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程ax bx c0(a0)有且只有一个实根在2 (k1,k2)内,等价于f(k1)f(k2)0,或f(k1)0且k1
k1k2b k2. 22a 9.闭区间上的二次函数的最值k k2b1,或f(k2)0且2a2 2 二次函数f(x)ax bx c(a0)在闭区间p,q上的最值只能在x b处及区2a ；间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若x bb p,q，()nm f(,x则fxi2a2axmaxma(f,)p()fq b p,q，f(x)max max f(p),f(q)，f(x)min min f(p),f(q). 2a b p,q，则f(xm(2)当a<0时，若x)i m infp()f,，q(若)n2ax 1
高中数学常用公式汇总整理
高中数学常用公式汇总及结论 1 、元素与集合的关 系： 2 、集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有个. 3 、二次函数的解析式的三种形式： (1) 一般式： (2) 顶点式：（当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式） (3)零点式：（当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设为此式） （4）切线式：。（当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时， 设为此式） 4、真值表：同真且真，同假或假 5 、常见结论的否定形式;
6 、四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.） 充要条件： (1) 则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件； （2）且q ≠> p，则P是q的充分不必要条件； (3) p ≠> p ，且，则P是q的必要不充分条件；（4）p ≠> p ，且则P是q的既不充分又不必要条件。 7、函数单调性: 增函数：(1）文字描述是：y随x的增大而增大。 （2）数学符号表述是：设f（x）在上有定义，若对任意的，都有成立， 则就叫在上是增函数。D则就是f（x）的递增区间。 减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。 （2）、数学符号表述是：设f（x）在xD上有定义，若对任意的，都有 成立，则就叫f（x）在上是减函数。D则就是f（x）的递减区间。
单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数； (3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数； 注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。 复合函数的单调性： 等价关系： (1)设，那么 上是增函数； 上是减函数. (2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数. 8、函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称） 奇函数定义：在前提条件下，若有，则f（x）就是奇函数。
高中数学常用结论集锦
1.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 2U U A B A A B B A B C B C A =?=???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 3. 若Ａ={123,,n a a a a },则Ａ的子集有2n 个,真子集有(2n －1)个,非空真子集有(2n －2)个 4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;② 顶点式 2()()(0)f x a x h k a =-+≠;③零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 三次函数的解析式的三种形式①一般式32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠ ②零点式123()()()()(0)f x a x x x x x x a =---≠ 5.设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 6.函数()y f x =的图象的对称性: ①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-= ②函数()y f x =的图象关于直2 a b x +=对称()()f a x f b x ?+=-()()f a b x f x ?+-=. ③函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ?=-- 函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ? =-- 7.两个函数图象的对称性: ①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m += 对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- ⑤函数)(x f y =和)(1 x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 8.分数指数幂 m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >）. 1 m n m n a a - = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 9. log (0,1,0)b a N b a N a a N =?=>≠>. log log log a a a M N MN +=(0.1,0,0)a a M N >≠>> log log log a a a M M N N -=(0.1,0,0)a a M N >≠>>
高中数学公式及常见结论
高中数学公式及常见结论 1、有n 个元素的集合有2n 个子集，有（2n －1）个真子集 2、 常见的奇函数：f(x)=kx f(x)=ax 3 ＋bx f(x)= x k f(x)=ax ＋x b f(x)=1 1 +-x x a a f(x)=21121+-x f(x)=21121-+x f(x)=lg(12+x +x) f(x)=lg x x -+11 f(x)=|x+1|－|x-1| 3、 常见的偶函数：f(x)=c (c 为常数) f(x)=ax 2 ＋c f(x)= ax 4 ＋bx 2 ＋c f(x)=（ 21121+-x ）x f(x)=(2 1 121-+x )x f(x)=12+x 4、指数式与对数式： m n a = 1m n m n a a -=， 01a =， log 10a =， log 1 a a =， lg 2lg51 +=， log ln e x x =， log (0,1,0)b a a N N b a a N =?=>≠>， log a N a N =， log log log c a c b b a = ， log log m n a a n b b m = log ()log log a a a MN M N =+;log log log a a a M M N N =-;log log ()n a a M n M n R =∈ 5、若函数f(x)=kx ＋b 是奇函数，则b ＝０ 6、若f(x)= ax 2 ＋bx ＋c 是偶函数，则b ＝０； 若f(x)= ax 2＋bx ＋c 是奇函数，则a ＝c ＝０ 7、若一个函数是奇函数，且在x=０处有定义，则一定有f(０)=０ 8、 若一个函数是偶函数，则f(－x)＝ f(x)＝ f(｜x ｜) 9、 证明一个函数是奇函数的常用方法：①定义法：只要证明f(－x)＝－ f(x) ②求和法：只要证明f(－x)＋ f(x)＝０ 10、证明一个函数是偶函数的常用方法：①定义法：只要证明f(－x)＝ f(x) ②求差法：只要证明f(－x)－ f(x)＝０ 11、函数y= f(x)与函数y= f(－x)的图象关于y 轴对称 如y ＝log 2x 与y ＝log 2（－x ） y ＝２x 与y ＝２ x -＝（ 2 1）x １2、函数y= f(x)与函数y= －f(x)的图象关于x 轴对称
高中数学公式大全(完整版)
高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 2．集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2 个. 3.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4.函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函 数. 5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数 )(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 6．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 7.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2 b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2 b a x += 对称. 8.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2），)0)(()(1 )(≠=+x f x f a x f ，或1()() f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ； 9.分数指数幂 (1)m n a = （0,,a m n N * >∈，且1n >）.(2)1m n m n a a - = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 10．根式的性质 （1 ）n a =.（2）当n a =；当n ,0 ||,0a a a a a ≥?==? -∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r a b a b a b r Q =>>∈. 12.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. ①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：01log =a ，③.底的对数等于1：1log =a a ， ④.积的对数：N M MN a a a log log )(log +=，商的对数：N M N M a a a log log log -=，
高中数学常用公式及常用结论-掌门1对1
1 高中数学常用公式及常用结论-掌门1对1 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a b x 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下： 12.ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n 个 至多有（1n -）个 小于 不小于 至多有n 个 至少有（1n +）个 对所有x ， 成立 存在某x ， 不成立 p 或q p ?且q ? 对任何x ， 不成立 存在某x ， 成立 p 且q p ?或q ? 14.四种命题的相互关系 原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ 15.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件.
（3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 18．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2 b a x += ; 21. 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. 22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++ 的奇偶性 多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性 (1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=- (2)()f a x f x ?-=. (2)函数()y f x =的图象关于直线2 a b x += 对称()()f a mx f b mx ?+=- ()()f a b mx f mx ?+-=. 24.两个函数图象的对称性 (1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m +=对称. (3)函数)(x f y =和)(1 x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图 象. 26．互为反函数的两个函数的关系 a b f b a f =?=-)()(1. 30.分数指数幂 (1)m n a = （0,,a m n N * >∈，且1n >）.
(完整版)高中数学学考公式大全
高中数学学考常用公式及结论 必修1： 一、集合 1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 （2）集合的分类；有限集，无限集 （3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法 2、集合间的关系： 子集：对任意x A ∈，都有 x B ∈，则称A 是B 的子集。记作A B ? 真子集：若A 是B 的子集，且在B 中至少存在一个元素不属于A ，则A 是B 的真子集，记作A ≠ ?B 集合相等：若：,A B B A ??,则A B = 3. 元素与集合的关系：属于∈ 不属于：? 空集：φ 4、集合的运算：并集：由属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫并集，记为 A B U 交集：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为A B I 补集：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集，记为U C A 5．集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个； 6.常用数集：自然数集：N 正整数集：* N 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 二、函数的奇偶性 1、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ， 偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域） 2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形； （2）偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形； （3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； （4）如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 二、函数的单调性 1、定义：对于定义域为D 的函数f ( x )，若任意的x 1, x 2∈D ，且x 1 < x 2 ① f ( x 1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数 ② f ( x 1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数 2、复合函数的单调性: 同增异减 三、二次函数y = ax 2 +bx + c （0a ≠）的性质 1、顶点坐标公式：??? ? ??--a b ac a b 44,22， 对称轴：a b x 2-=，最大（小）值：a b ac 442- 2.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.
整理高中数学公式结论大全
高 中 数 学 公 式 结 论 大 全 20 年月日A4打印/ 可编辑
高等数学公式导数公式： 基本积分表：
三角函数的有理式积分： sinx= 2u 1+u2，cosx= 1?u2 1+u2，u=tg x 2，dx= 2du 1+u2 一些初等函数：两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： 函数 角A sin cos tg ctg -α-sinαcosα-tgα-ctgα 90°-αcosαsinαctgαtgα 90°+αcosα-sinα-ctgα-tgα 180°-αsinα-cosα-tgα-ctgα
180°+α-sinα-cosαtgαctgα 270°-α-cosα-sinαctgαtgα 270°+α-cosαsinα-ctgα-tgα 360°-α-sinαcosα-tgα-ctgα 360°+αsinαcosαtgαctgα·和差角公式：·和差化积公式：
·倍角公式： ·半角公式： sin α2=±√1?cosα2 cos α2=±√1+cosα2 tg α2=±√1?cosα1+cosα=1?cosαsinα=sinα1+cosα ctg α2=±√1+cosα1?cosα=1+cosαsinα=sinα 1?cosα ·正弦定理：a sinA = b sinB = c sinC =2R ·余弦定理：c 2=a 2+b 2?2abcosC ·反三角函数性质：arcsinx =π2?arccosx arctgx =π 2?arcctgx 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： (uv)(n)=∑C n k u (n?k)v (k) n k=0 u (n)v +nu (n?1)v ′+ n(n ?1)2!u (n?2)v ′′+?+n(n ?1)?(n ?k +1)k! u (n?k)v (k)+?+uv (n) 中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理：f(b)?f(a)=f ′(ξ)(b ?a) 柯西中值定理：f(b)?f(a)F(b)?F(a)= f ′(ξ) F ′(ξ) 当F(x)=x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。 曲率：
高中数学常用公式及知识点总结
高中数学常用公式及知识 点总结 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
高中数学常用公式及知识点总结 一、集合 1、N 表示N+(或N*)表示Z 表示 R 表示Q 表示C 表示 2、含有n 个元素的集合，其子集有个，真子集有个，非空子集 有个，非空真子集有个。 二、基本初等函数 1、指数幂的运算法则 m n a a =m n a a ÷=()m n a =()m a b = n m a =m a -=()m ab = 2、对数运算法则及换底公式（01a a >≠且，M>0,N>0） log log a a M N +=log log a a M N -=log n a M = log a N a =log a b =log a a = log log a a a b =1log a = 3、对数与指数互化：log a M N =? 4、基本初等函数图像
（3）幂函数的图像和性质 三、函数的性质 1、奇偶性 （1）对于定义域内任意的x ，都有()()f x f x -=，则()f x 为函数，图像关于对称； （2）对于定义域内任意的x ，都有()()f x f x -=-，则()f x 为函数，图像关于对称； 2、单调性 设1122,[,],x a b x x x <∈，那么 12()()0()[,]f f f x x a b x --） 12()()0()[,]f f f x x a b x ->?在上是函数。（即 1212 ()() 0f x f x x x -<-） 3、周期性 对于定义域内任意的x ，都有()()f x T f x +=，则()f x 的周期为； 对于定义域内任意的x ，都有1 () ()()()f x f x T f x +=-或 ，则()f x 的周期为； 四、函数的导数及其应用 1、函数()y f x = 在点0x 处的导数的几何意义
高一数学必修四(公式总结)
高一数学公式总结 复习指南 1．注重基础和通性通法 在平时的学习中，应立足教材，学好用好教材，深入地钻研教材，挖掘教材的潜力，注意避免眼高手低，偏重难题，搞题海战术，轻视基础知识和基本方法的不良倾向，当然注重基础和通性通法的同时，应注重一题多解的探索，经常利用变式训练和变式引申来提高自己的分析问题、解决问题的能力。 2.注重思维的严谨性 平时学习过程中应避免只停留在“懂”上，因为听懂了不一定会，会了不一定对，对了不一定美。即数学学习的五种境界：听——懂——会——对——美。 我们今后要在第五种境界上下功夫，每年的高考结束，结果下来都可以发现我们宿迁市的考生与南方的差距较大，这就是其中的一个原因。 另外我们的学生的解题的素养不够，比如仅仅一点“规范答题”问题，我们老师也强调很多遍，但作为学生的你们又有几人能够听进去！ 希望大家还是能够做到我经常所讲的做题的“三观”： 1. 审题观 2. 思想方法观 3. 步骤清晰、层次分明观 3. 注重应用意识的培养 注重培养用数学的眼光观察和分析实际问题，提高数学的兴趣，增强学好数学的信心，达到培养创新精神和实践能力的目的。 4.培养学习与反思的整合 建构主义学习观认为知识并不是简单的由教师或者其他人传授给学生的，而只能由学生依据自身已有的知识、经验，主动地加以建构。学习是一个创造的过程，一个批判、选择、和存疑的过程，一个充满想象、探索和体验的过程。你不想学，老师强行的逼迫是不容易的或者说是作用不大，俗话说“强扭的瓜不甜”嘛！数学学习不但要对概念、结论和技能进行记忆，积累和模仿，而且还要动手实践，自主探索，并且在获得知识的基础上进行反思和修正。（这也就是我们经常将让大家一定要好好预习，养成自学的好习惯。）记得有一位中科院的教授曾经给“科学”下了一个定义：科学就是以怀疑和接纳新知识作为进步的标准的一门学问，仔细想来确实很有道理！ 所以我们在平时学习中要注意反思，只有这样才能使内容得到巩固，知识的得到拓展，能力得到提高，思维得到优化，创新能力得到真正的发展，希望大能够让数学反思成为我们的自然的习惯！ 5.注重平时的听课效率 听课效率高不仅可以让自己深刻的理解知识，而且事半功倍，可以省好多的时间。而有些同学则认为上课时听不到什么，索性就不听，抓紧课堂上的每一点时间做题，多做几道题心里就踏实。这种认识是不科学的，想象如果上课没有用的话，国家还开办学校干嘛？只要印刷课本就足够了，学生买了书就可以自己学习到时候参加考试就行了。 想想好多东西还是在课堂上聆听的，听听老师对问题的分析和解题技巧，老师是如何想到的，与自己预习时的想法比较。课堂上记下比较重要的东西，更重要的是跟着老师的思路，注重老师对题目的分析过程。课后宁愿花时间去整理笔记，因为整理笔记实际上是一种知识的整合和再创造！回忆课堂上老师是怎样讲的，自己在整理时有比较好的想法，就记下来，抓住自己思维的火花，因为较为深刻的思维火花往往是稍纵即逝的。 在这里我再一次强调听课要做到“五得” ◆听得懂 想得通?记得住?说得出?用得上
高一数学必修一常用公式及常用结论
高中数学必修一、二常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.包含关系 A B A A B B =?=I U U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦI U C A B R ?=U 3．集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 4.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 5.闭区间上的二次函数的最值 二次函数)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a b x 2- =处及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当a>0时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p a b x ,2?- =，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p a b x ,2?- =，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 6.一元二次方程的实根分布（画抛物线帮助理解） 依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则 （1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402 p q p m ?-≥? ?->??； （2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()040 2 f m f n p q p m n >??>?? ?-≥? ?<-?或()0()0f n af m =??>? ；
高中数学常用公式(超级实用).
【高中数学常用公式】 说明： 1.本篇所有公式都是用公式编辑器录入。 2.域的概念:本篇的公式都是通过域来实现的，一个{ }就是一个域，在大括号内输入所需的功能代码后按Shift+F9即可得到公式。 3.快捷键 Ctrl+F9添加域 Shift+F9更新域（得到公式） 4.可对所有公式进行复制、粘贴、修改。双击即可在公式编辑器中进行编辑。如不能编辑请安装最新版的公式编辑器。 5.可收藏备用，绝对高效。 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-
()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
高中数学常用公式-精简版
高中数学常用公式及结论 1 元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠?? 2 集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空的真子集有22n -个. 3 二次函数的解析式的三种形式： (1) 一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2) 顶点式2 ()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式） (3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时，设为此式） （4）切线式：02 ()()(()),0x kx d f x a x a =-+≠+。（当已知抛物线与直线y kx d =+相切且切点的 横坐标为0x 时，设为此式） 4 真值表： 同真且真，同假或假 5 6 ） 充要条件： (1)、p q ?，则P 是q 的充分条件，反之，q 是p 的必要条件； （2）、p q ?，且q ≠> p ，则P 是q 的充分不必要条件； (3)、p ≠> p ，且q p ?，则P 是q 的必要不充分条件； 4、p ≠> p ，且q ≠> p ，则P 是q 的既不充分又不必要条件。 7 函数单调性: 增函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而增大。 （2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的 1212 ,,x x D x x ∈<且，都有 12()() f x f x <成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是增函数。D 则就是f （x ）的递增区间。 减函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而减小。