三角恒等变换专题复习(带答案)

三角恒等变换专题复习

教学目标：

1、能利用单位圆中的三角函数线推导出 απαπ

±±,2

的正弦、余弦、正切的诱导公式；

2、理解同角三角函数的基本关系式：

；

3、可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题。 教学重难点：

可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题 【基础知识】

一、同角的三大关系：

① 倒数关系 tan α?cot α=1 ② 商数关系 sin cos αα= tan α ； cos sin α

α

= cot α ③ 平方关系 2

2

sin cos 1αα+=

温馨提示： （1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解。[来源:学+科+网]

（2）利用上述公式求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“±”号。

二、诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限

用诱导公式化简，一般先把角化成

,2

k z α+∈的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是90度的奇数倍，就是 “奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把α看作是锐角，判

断角2

k π

α+在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”，就加在前面）。 用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间0

(0,360)的角，再变到区间

00(0,180)的角，再变到区间00(0,90)的角计算。

三、和角与差角公式 ：

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ;

变 用 tan α±tan β=tan (α±β)(1μtan αtan β)

四、二倍角公式：

sin 2α= 2sin cos αα.

2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.

五、注意这些公式的来弄去脉

这些公式都可以由公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m 推导出来。 六、注意公式的顺用、逆用、变用。

如：逆用sin cos cos sin sin()αβαβαβ±=± 1

sin cos sin 22

ααα=

变用22cos 1cos 2

αα+=

22cos 1sin 2αα-= 2

1cos 4cos 22

αα+= 七、合一变形（辅助角公式）

把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(??形式。

()22sin cos sin ααα?A +B =A +B +，其中tan ?B

=

A

． 八、万能公式

九、用αsin ，αcos 表示2

tan α

十、积化和差与和差化积

积化和差 )]sin()[sin(cos sin βαβαβα-++=； )]sin()[sin(sin cos βαβαβα--+=；

)]cos()[cos(cos cos βαβαβα-++=； )]cos()[cos(sin sin βαβαβα--+=.

和差化积 2

cos

2

sin 2sin sin ?

θ?

θ?θ-+=+

十一、方法总结

1、三角恒等变换方法

观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）

（1） “变角”主要指把未知的角向已知的角转化，是变换的主线，

如α=(α+β)－β=(α－β)+β, 2α=(α+β)+ (α－β), 2α=(β+α)－(β－α),α+β=2·α+β2 , α+β2 = (α－β2)－(α

2 －β)等.

（2）“变名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦sin cos tan ,cot cos sin αα

αααα

=

=

）， （3）“变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、合一变形公式展开和

合并等。

2、恒等式的证明方法灵活多样

①从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法,即由繁到简.

②左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子.

③比较法, 即设法证明: "左边－右边=0" 或"

左

右

=1"; ④分析法,从被证的等式出发,逐步探求使等式成立的充分条件,一直推到已知条件或显然成立的结论成立为止,则可以判断原等式成立.

【例题精讲】

例1 已知α为第四象限角，化简：α

α

ααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++-

解：（1）因为α为第四象限角

所以原式=α

ααααα2

2

22cos 1)cos 1(sin sin 1)sin 1(cos --+-- 例2 已知ο

ο360270<<α，化简

α2cos 2

1

212121++ 解：ο

ο

Θ360270<<α，02

cos

,0cos <>∴α

α

所以原式

=

cos 2α=

==- 例3 tan20°+4sin20°

解：tan20°+4sin20°=0

020cos 40sin 220sin +

=

0sin(6040)2sin 40cos 20-

+00

03

40sin 4022cos 20+=== 例4 （05

天津）已知7sin()24

25π

αα-

=

=，求sin α及tan()3

π

α+． 解：解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得

)cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即5

7

cos sin =-αα ①

由题设条件，应用二倍角余弦公式得 故5

1

sin cos -

=+αα ② 由①和②式得53sin =

α，5

4cos -=α 因此，43tan -=α，由两角和的正切公式11325483

343344

33143

3tan 313tan )3tan(-=+-=+

-

=-+=+ααπα 解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得

αα2sin 212cos 25

7

-==， 解得 259sin 2

=

α，即53sin ±=α 由1027)4sin(=-πα可得5

7

cos sin =-αα

由于0cos 57sin >+=

αα，且05

7sin cos <-=αα，故?在第二象限于是53sin =α，

从而5

4

57sin cos -=-=αα 以下同解法一

小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均

含α）进行转换得到．

2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．

例5 已知,,A B C 为锐角ABC ?的三个内角，两向量(22sin ,cos sin )p A A A =-+r

，

(sin cos ,q A A =-r

1sin )A +，若p r 与q r 是共线向量.

（1）求A 的大小；

（2）求函数232sin cos(

)2

C B

y B -=+取最大值时，B 的大小. 解：（1）22

// 2(1)(1+)- p q sinA sinA sin A cos A ∴-=u r r Q

22220 120cos A cos A cos A ∴+=∴+= 1

cos 2A 2

∴=-0<2A<πQ ，

（2）00A=60 B+C=120∴Q 2

13y=2sin B+cos(602B)1cos 2B+

cos 2B sin 2B 2-=-+ 31 =

sin 2B cos 2B+1=sin(2B )126π

--+ ， 2B B 623

πππ-=当时，即=． 小结：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意

例6 设关于x 的方程sinx ＋3cosx ＋a ＝0在(0, 2π)内有相异二解α、β. (1)求α的取值范围; (2)求tan (α＋β)的值. 解: (1)∵sinx ＋3cosx ＝2(

21sinx ＋23cosx )＝2 sin (x ＋3π), ∴方程化为sin (x ＋3

π)＝－2a

.

∵方程sinx ＋3cosx ＋a ＝0在(0, 2π)内有相异二解, ∴sin (x ＋

3π)≠sin 3

π

＝23 .

又sin (x ＋

3

π)≠±1 (∵当等于23和±1时仅有一解), ∴|－2a |<1 . 且－2a

≠23. 即|a |<2且a ≠－3.

∴ a 的取值范围是(－2, －3)∪(－3, 2).

(2) ∵α、 β是方程的相异解, ∴sin α＋3cos α＋a ＝0 ①. sin β＋3cos β＋a ＝0 ②. ①－②得(sin α－ sin β)＋3( cos α－ cos β)＝0. ∴ 2sin

2

β

α-cos

2

β

α+－23sin

2

β

α+

sin

2

β

α-＝0, 又sin

2

β

α+≠0, ∴tan

2

β

α+＝

3

3

.∴tan (α＋β)＝2

tan

22

tan

22β

αβ

α+-+＝3.

小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0, 2π)这一条件. 例7 已知函数()x x m x f cos sin 2-=

在区间??

?

??2,0π上单调递减，试求实数m 的取值范围．

解：已知条件实际上给出了一个在区间??

?

?

?

2,

0π上恒成立的不等式． 任取∈21,x x ??

?

?

?2,

0π，且21x x <，则不等式()()2

1x f x f >恒成立，即>-11cos sin 2x x m 22cos sin 2x x m -恒成立．化简得()()2112sin 2cos cos x x x x m ->- 由2

021π

<

<

221cos cos sin 2x x x x m --<

上式恒成立的条件为：()上的最小值，在区间???

???

??

?

??--<20cos cos sin 21221πx x x x m . 由于

()2

sin 2cos 22sin 2sin 22cos 2sin

4cos cos sin 221

2

1

212121211

221x x x x x x x x x x x x x x x x +-=-+--=-- 且当2

021π

<

<

x x ，所以 12

tan ,2tan 021<

1212121>??

?

??-??? ??-=??? ??+-??? ??+x x x x x x , 有

22

tan

2tan 2tan 2tan 122121>+?

?? ??

+x x x x , 故 m 的取值范围为]2,(-∞. 【基础精练】

1．已知α是锐角，且sin ????π2＋α＝3

4，则sin ???

?α2＋π的值等于( ) B ．－24 D ．－14

4

2．若－2π＜α＜－3π

2，则 1－cos(α－π)2的值是( )

A ．sin α2

B ．cos α2

C ．－sin α2

D ．－cos α

2

·cos 2αcos(90°＋α)

等于 ( ) A.－sinα B.－cosα α α

4.已知角α在第一象限且cosα＝3

5，则1＋2cos(2α－π

4)

sin(α＋π

2

)

等于 ( )

D.－2

5

5.定义运算????

a b c d ＝ad －bc.若cosα＝17，????sinα sinβcosα cosβ＝3314，0<β<α<π2

，则β等于( )

6.已知tanα和tan(π

4

－α)是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则a 、b 、c 的关系是 ( )

＝a ＋c ＝a ＋c ＝b ＋a ＝ab

7.设a ＝22(sin56°－cos56°)，b ＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°，c ＝1－tan 240°30′1＋tan 240°30′，d ＝1

2(cos80°－2cos 250°＋1)，则a ，b ，c ，d 的大小关系为 ( )

＞b ＞d ＞c ＞a ＞d ＞c ＞a ＞b ＞c ＞a ＞d ＞b 8．函数y ＝1

2

sin2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( )

9.若锐角α、β满足(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，则α＋β＝ . 10.设α是第二象限的角，tanα＝－43，且sin α2

2＝ .

11.已知sin(

-4πx)=135，0

π

，求)

4

cos(2cos x x +π

的值。

12.若),0(,πβα∈，31

tan ,50

7

cos -=-=βα，求α+2β。

【拓展提高】

1、设函数f(x)＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx

8

＋1

(1)求f(x)的最小正周期.

(2)若函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图像关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，4

3]时y ＝g(x)的最大值

2.已知向量a ＝(cosα，sinα)，b ＝(c osβ，sinβ)，|a －b|＝

25

5

(1)求cos(α－β)的值；

(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sinβ＝－5

13

，求sinα.

3、求证：

α

βαsin 2sin ）（+－2cos （α+β）=αβ

sin sin .

【基础精练参考答案】

4．C 【解析】原式＝1＋2(cos2αco s π4＋sin2αsi n π

4

)

cos α

＝1＋cos2α＋sin2αcosα＝2cos 2α＋2sinαcosαcosα＝2×(cosα＋sinα)＝2×(35＋45)＝145.

【解析】依题设得：sinα·cosβ－cosα·sinβ＝sin (α－β)＝

33

14

. ∵0<β<α<π2，∴cos(α－β)＝1314. 又∵cosα＝17，∴sinα＝43

7

.

sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinα·cos(α－β)－cosα·sin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32，∴β＝π

3

.

【解析】tan tan()4,tan tan(),4b a c a πααπαα?+-=-??

??-=??

∴tan π4＝tan[(π4－α)＋α]＝－b a 1－c

a

＝1，

∴－b a ＝1－c

a

，∴－b ＝a －c ，∴c ＝a ＋b.

【解析】a ＝sin(56°－45°)＝sin11°，b ＝－sin40°cos52°＋cos40°sin52°＝sin(52°－40°)＝sin12°，c ＝1－tan 240°30′1＋tan 240°30′

＝cos81°＝sin9°，d ＝1

2(2cos 240°－2sin 240°)＝cos80°＝sin10°

∴b ＞a ＞d ＞c.

【解析】y ＝12sin2x ＋sin 2x ＝12sin2x －12cos2x ＋12＝2

2sin ????2x －π4＋12，故选择C. 9. π

3【解析】由(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，可得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝3，即tan(α＋β)＝ 3. 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.

10. －

55解析：∵α是第二象限的角，∴α2可能在第一或第三象限，又sin α2

为第三象限的角， ∴cos α2<0.∵tanα＝－43，∴cosα＝－35，∴cos α

2

＝－

1＋cosα2＝－5

5. 12.【解析】∵),0(,πβα∈，50

7cos -=α∴),0,33(71tan -∈-

=α),0,3

3

(31tan -∈-=β ∴),6

5(,ππβα∈，α+2β)3,25(ππ

∈,又

tan2β=

43tan 1tan 22

-=-ββ,12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβαβα,[来源:]∴α+2β=4

11π

【拓展提高参考答案】

1、【解析】 (1)f(x)＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos π4x ＝32sin π4x －32cos π

4

x

＝3sin(π4x －π

3)，故f(x)的最小正周期为T ＝2ππ4

＝8

(2)法一：在y ＝g (x)的图象上任取一点 (x ，g(x))，它关于x ＝1的对称点(2－x ，g(x)). 由题设条件，点(2－x ，g(x))在y ＝f(x)的图象上，从而g(x)＝f(2－x)＝3sin[π4(2－x)－π

3]

＝3sin[π2－π4x －π3]＝3cos(π4x ＋π

3

)，

当0≤x≤43时， π3≤π4x ＋π3≤2π3，因此y ＝g(x)在区间[0，43]上的最大值为g(x)max ＝3cos π3＝3

2

.

法二：因区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[2

3，2]，且y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于x ＝1对称，故y

＝g(x)在[0，43]上的最大值为y ＝f(x)在[23，2]上的最大值，由(1)知f(x)＝3sin(π4x －π

3)，

当23≤x ≤2时，－π6≤π4x －π3≤π6，因此y ＝g(x)在[0，43]上的最大值为g(x)max ＝3sin π

6＝32. 2、【解析】(1)∵a ＝(cos α，sinα)，b ＝(cosβ，sinβ)， ∴a －b ＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ). ∵|a －b|＝

255，∴(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝255， 即2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝3

5

. (2)∵0<α<π2，－π2<β<0，∴0<α－β<π，∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45 ∵sin β＝－513，∴cosβ＝12

13，

∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝45·1213＋35·(－513)＝33

65