第七章应力状态

第七章应力状态（训练题）答案

（一）填空与改错题：

1、有一个主应力不为零时称为单向应力状态；当有二个主应力不为零时称为二向应力状态或平面应力状态；当三个主应力都不为零时称为三向应力状态或空间应力状态；

2、构件受力如图所示，图A ）的危险点在固定端（如考虑自重），应力状态为单

向应力状态，应力大小为（2

d σπ=）；图B ）的危险点在 BC 段表面，应力状

态为纯剪切应力状态，应力大小为（max 3

32e

M d

τπ=）；图C ）的危险点在固定端上下边缘，应力状态为二向应力状态，应力大小为（max 332Fl

d σπ=，max 3

16e M d

τπ=）；图D ）的危险点在轴表面，应力状态为二向应力状态，应力大小为

（max 24F

d σπ=，max

16e M d τπ=）。

3、图（1）所示为一单元体的应力状态，已知正应力为σ，切应力为τ=σ/2，则单元体的最大切应力τmax 和沿z 方向的正应变εz 应为 C）。

1(,23),,2)max max μσ

εστσεστ?====E

B E A z z )21(,2),,43)max max μσ

εστσεστ?====E

D E C z z

解：

E z σσσμσεσσστσ

σσ

σσσ=

??=

=?=

∴?==

=)]22([1

1max 321∵

4．图（2）所示为A 、B 两点的应力状态，设σ>τ>0，则A 点处于三向应力状态；B 点处于二向应力状态，其主应力σ2= σ － τ ；若为脆性材料时，按第一理论进行强度计算，两点中 B 点更危险。

5．当某点主应力σ1，σ2，σ3，及μ已知时，材料的EI =常数。若材料为铸铁，一般应选取第一和第二强度理论进行强度计算，相当应力应为（11r σσ=）和（()2123r σσμσσ=?+）；若材料为钢，一般应选取第三和第四强度理论，相当应力为（313r σσσ=?）和（

4r σ=

）。

（二）作图题与计算题：

1、在图示各单元体中，

试用解析法和图解法求斜截面ab 上的应力。应力的单位为MPa 。

A) B)

A) 解：=70MPa x σ，=70MPa y σ?，=0x τ，30α

()()

cos 2sin 222

70707070 cos(230)0sin(230)22

35MPa

x y

x ασσσσσατα

+?=

?+???=+×°?××°= ()sin 2cos 22

7070 sin(230)0cos(230)2

60.62MPa

x y

x ασστατα

+??=×°+××°=

B) 解：=100MPa x σ，=50MPa y σ，=0x τ，60α

cos 2sin 2221005010050 cos(260)0sin(260)22

62.5MPa

x y

x ασσσσσατα

+?=

?+?=+

×°?××°=

sin 2cos 2210050 sin(260)0cos(260)2

21.65MPa

x y

x ασστατα?=

+?=×°+××°=

2、应力状态如图，应力单位MPa 。试用解析法和图解法求：（1）主应力大小，

主平面位置；（2）在单元体上绘出主平面位置及主应力方向；

（3）最大切应力。

A) B)

A) 解：=50MPa x σ，=0y σ，=20MPa x τ

max min 57MPa 7σσ===? 主平面方位：020

tan 20.85002

x y

τασσ=?

=???

所以，019.33α=?

主应力：157MPa σ=，20σ=，37MPa σ=?

max 32MPa 2

σστ?=

B) 解：=50MPa x σ，=0y σ，=20MPa x τ?

max min 57MPa 7σσ===? 主平面方位：()020tan 20.8500

x y

τασσ?=?

=??

所以，019.33α=

主应力：157MPa σ=，20σ=，37MPa σ=?

max 32MPa 2

σστ?

3、锅炉直径D =1m, 壁厚δ=10mm, 内受蒸汽压力p =3 MPa 。试求：（1）壁内主应力 σ1、σ2及最大切应力τmax ；（2）斜截面ab 上的正应力及切应力。

解：（1）沿纵向截开锅炉，由平衡，环向应力1150MPa 2pD

σδ

= 沿横向截开锅炉，由平衡，得轴向应力275MPa 4pD

σδ

= 壁内主应力1

150MPa σ=，275MPa σ=。另30p σ=?≈，故可视为二向应力状态。

max 75MPa 2

σστ?=

（2）斜截面ab 上的正应力及切应力

275MPa x σσ==，1150MPa y σσ==，0x τ=，60α=

()()cos 2sin 2227515075150 cos 1200sin 12022 131MPa x y

x y

x ασσσσσατα+?=

?+?=+°?×°= sin 2cos 22

75150

sin(260)02

32.5MPa

x y

x ασστατα

+?=×°+=?

4．炮筒横截面如图所示。在危险点处，σt =550 MPa, σr =-350 MPa, 第三个主应力垂直于图面是拉应力，且其大小为420 MPa 。试按第三和第四强度理论，计算其相当应力。

解：1t 550MPa σσ==，2z 420MPa σσ==，

3r 350MPa σσ==? r313900MPa σσσ=?=

4 842.56MPa

r σ=

（三）附加题：

1、列车通过钢桥时，在钢桥横梁的A 点用变形仪量得εx =0.0004, εy =-0.00012。试求A 点在x—x 及y—y 方向的正应力。设E =200 GPa, μ=0.3。并问这样能否求出A 点的主应力？

解：因为0

z σ=，根据广义胡克定律

()1

x x y z E εσμσσ??=

?+?

()1

y y z x E

εσμσσ??=?+?? 将测得的x ε、y ε值代入上二式，得

0.00040.3x y E σσ??=

??? （1） 1

0.000120.3y x E

σσ???=??? （2）联立（1）、（2）式，求得80MPa x σ=，0y σ=。因xy τ未知，故不能求出主应力。

2、在一个体积较大的钢块上开一个贯穿的槽，其宽度和深度都是10mm 。在槽

内紧密无隙地嵌入一铝质立方块，它的尺寸是10×10×10 mm 3。当铝块受到压力F =6 kN 的作用时，假设钢块不变形。铝的弹性模量E =70 GPa ，μ=0.33。试求铝块的三个主应力及相应的变形。

解：假想将铝块移出

()3

610Pa 60MPa 101010y F A σ?×=?=?=?××

因为z 面为自由边界，所以0z σ= 又因为x 面受刚性约束，所以0x ε=，应用广义胡克定律()1

0x x y z E εσμσσ??=

?+=?

得0.3360MPa 19.8MPa x y σμσ==?×=?

10σ=，219.8MPa σ=?，360MPa σ=?

z 方向：

()()11236

1 00.3319.860107010

3.7610E εσμσσ?=

?+??????=?×??×??×=× x 方向：()223110E

εσμσσ=

?+=???? y

方向：

()()33126

11 600.33019.8107010

7.6410E εσμσσ?=

?+????=??×?×????×=?× 相应的变形：

z 方向：43111 3.761010mm 3.7610mm l l ε??Δ==××=× x 方向：20l Δ=

y 方向：433337.641010mm 7.6410mm l l ε??Δ==?××=?×

3．从构件内某一点的周围取出一单元体如图示。根据理论计算已经求得σ=30 MPa, τ=15 MPa 。材料的E =200 GPa, μ=0.30。试求对角线AC 的长度改变Δl 。

解：欲求对角线AC 的长度改变l Δ，必须先知道AC 方向上的应变，沿AC 方向取单元体，如图（b）所示。该单元体除正应力外，还有切应力，但它对线应变不产生影响。

()()()

cos 230sin 230223030 cos 6015sin 60MPa

22 35.5MPa

n σ

στ=

×°??×°??

=+°+°????

()()()

cos 2120sin 2120223030 cos 24015sin 240MPa

22 5.49MPa

t σ

στ=

×°??×°??

=+°+°????

对角线AC 方向的应变

[][]696

35.50.33 5.491020010 18710n n t E εσμσ?=

?=+×××=×

所以对角线AC 的伸长量363251018710m 9.3510mm sin 30AC n l l ε?????

×Δ==××=×??°??

4 直径D =40 mm 的铝圆柱，放在厚度为δ=2mm 钢套筒内，且两者之间无间隙。

作用于圆柱上的轴向压力为F =40 kN 。若铝的弹性模量E 1=70 GPa ，μ1=0.35；钢的弹性模量E =210 GPa ，试求筒内的周向应力。解：１）铝柱轴线方向的应力为 MPa A

z 8.3110404

1040623?=×××?=

=?πσ 柱在横截面内受均匀二向应力，故径向和周向应力均为-p 。柱的周向应变为)]8.31([1)]([1

1+??=+?=

p p E E z y x x μσσμσε 筒内的周向应变2

22222101102.02104012E p E p E pD E x

x =××××=×==??δσε MPa pD

MPa p E p

p p E x 2828.210)]8.31([12

1==

=∴=+??

σμ

《材料力学》第7章应力状态和强度理论习题解.

第七章应力状态和强度理论习题解 [习题7-1] 试从图示各构件中A点和B点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。 [习题7-1（a）] 解：A点处于单向压应力状态。 2 2 4 4 1 2 d F d F F A N Aπ π σ- = - = = [习题7-1（b）] 解：A点处于纯剪切应力状态。 3 3 16 16 1d T d T W T P Aπ π τ- = = = MPa mm mm N 618 . 79 80 14 .3 10 8 16 3 3 6 = ? ? ? ? = [习题7-1（b）] 解：A点处于纯剪切应力状态。 = ∑A M 4.0 2 8.0 2.1= ? - - ? B R ) ( 333 .1kN R B = A σ A τ

)(333.1kN R Q B A -=-= MPa mm N A Q A 417.01204013335.15.12-=??-=? =τ B 点处于平面应力状态 MPa mm mm mm N I y M z B B 083.21204012 130103.0333.1436=??????==σMPa mm mm mm N b I QS z z B 312.0401204012 145)3040(13334 33 *-=??????-== τ [习题7-1（d ）] 解：A 点处于平面应力状态 MPa mm mm N W M z A A 064.502014.332 1103.39333=????==σ MPa mm mm N W T P A 064.502014.316 1106.78333 =????== τ [习题7-2] 有一拉伸试样，横截面为mm mm 540?的矩形。在与轴线成0 45=α角的面上切应力MPa 150=τ时，试样上将出现滑移线。试求试样所受的轴向拉力F 。解：A F x =σ；0=y σ；0=x τ 004590cos 90sin 2 0x y x τσστ+-= A F 20 45= τ 出现滑移线，即进入屈服阶段，此时， 15020 45≤= A F τ kN N mm mm N A F 6060000540/3003002 2 ==??== [习题7-3] 一拉杆由两段沿n m -面胶合而成。由于实用的原因，图中的α角限于 060~0范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力][τ为许用拉应力][σ的4/3 ， A τ B τ B σA τA σ

第7章-应力状态和强度理论03.

西南交it 大学应用力*与工程系材#^力学教研i 图示拉伸甄压缩的单向应力状态，材料的破坏有两种形式：塑性屈服；极限应力为0■力=<5；或bpO2 腌性斷裂；极限应力为O ■必= CJ\ 此时，4 O>2和偽可由实验测得.由此可建互如下S 度余件： ^mai 其中n 为安全系数? 2）纯剪应力状态：图示纯剪应力狀态，材料的破坏有两种形式：塑性屈服：极限应力为腌性斯裂：极限应力为5 = 5 %和昭可由实验测得.由此可建立如下 =(^■1 it §7.7强度理论及其相当应力 1、概述 1）单向应力状态: a. ＜亠［6 n 其中, ?度条件:

前述a 度条件对材料破坏的原因并不深究.例如图示低碳钢拉（压）时的强度条件为： r V J - b, b|nw W — — — // n 然而，其屈服是由于 YnurJl 起的,对?示单向应力状态，有：「niu 依照切应力强度条件，有：

4）材料破坏的形式常温、静栽时材料的破坏形式大致可分为: ?腌性斷裂型：例如：铸铁：拉伸、扭转等； "钢：三向拉应力状态. -塑性屈月艮型：例如：低碳钢：拉伸、扭转寻；铸铁：三向压缩应力状态. 可见：材料破坏的形式不仅与材料有关，还与应力状态有关. , 5）强度理论根据一些实验资料，针对上述两种破坏形式，分别针对它们发生破坏的原因提出假说，并认为不论材料处于何种应力状态，某种类型的破坏都是由同一因素引起，此即为强度理论. 常用的破坏判据有：旎性断裂：5,磁可皿 ?性斷裂：V；下面将讨论常用的-基于上述四种破坏判据的?虞理论.

7-第七章应力状态分析强度理论

第七章应力状态分析强度理论 7.1 应力状态概述一、工程实例 1. 压缩破坏 2. 弯曲拉伸破坏 3. 弯曲剪切破坏 4. 铸铁扭转破坏 5. 低碳钢扭转破坏二、应力状态的概念 1. 点的应力状态过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一点所有方位面上的应力集合。2. 一点应力状态的描述以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。 3. 求一点应力状态（1）单元体三对面的应力已知，单元体平衡（2）单元体任意部分平衡（3）截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力，即点在任意方位的应力。三、应力状态的分类 1. 单元体：微小正六面体 2. 主平面和主应力：

主平面：无切应力的平面主应力：作用在主平面上的正应力。 3. 三种应力状态单项应力状态：三个主应力只有一个不等于零，如A 、E 点二向应力状态：三个主应力中有两个不等于零，如B 、D 点三向应力状态：三个主应力都不等于零四、应力状态分析的方法 1. 解析法 2. 图解法 7.2 应力状态分析的解析法一、解析法图示单元体，已知应力分量x σ、y σ 、xy τ和yx τ。 x x x

（一）任意截面上的正应力和切应力：利用截面法，考虑楔体bef 部分的平衡。设ef 面的面积为dA ， ∑=0 F n 0sin )Asin (cos )sin A (cos )cos A (sin )cos A (A =-+-+αασααταασαατσαd d d d d y yx x xy ∑=0F t sin )Asin (cos )sin A (sin )cos A (cos )cos A (A =++--ααταασαασαατταd d d d d yx y x xy 根据切应力互等定理： y x xy ττ= 三角函数关系：22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2 αα-=，?=cos sin 22sin αα 解得： ατασσσσσα2sin 2cos 2 2 x x xy y y --+ += （7-1） ατασστα2cos 2sin 2 x xy y +-= （7-2）（二）主应力即主平面位置将式（8-1）对取一次导数，并令其等于零可确定正应力的极值和所在平面的位置。令0αα=时，0d d =α σα 即： y x xy xy y x σσταατασσασα -- ==?? ????+--=22tan 02cos 2sin 22d d 000 将0α和ο 900+α代入（8-1），求出最大及最小的正应力为： 2 2min max )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-±+=??? （三）最大切应力及其作用平面的位置将式（8-2）对α取一次导数，并令其等于零可确定切应力的极值和它所在平面的位置。

材料力学习题册答案-第7章+应力状态

第七章应力状态强度理论一、判断题 1、平面应力状态即二向应力状态，空间应力状态即三向应力状态。 (√) 2、单元体中正应力为最大值的截面上，剪应力必定为零。 (√) 3、单元体中剪应力为最大值的截面上，正应力必定为零。 (×) 原因：正应力一般不为零。 4、单向应力状态的应力圆和三向均匀拉伸或压缩应力状态的应力圆相同，且均为应力轴上的一个点。 (×) 原因：单向应力状态的应力圆不为一个点，而是一个圆。三向等拉或等压倒是为一个点。 5、纯剪应力状态的单元体，最大正应力和最大剪应力值相等，且作用在同一平面上。(×) 原因：最大正应力和最大剪应力值相等，但不在同一平面上 6、材料在静载作用下的失效形式主要有断裂和屈服两种。 (√) 7、砖,石等脆性材料式样压缩时沿横截面断裂。 (×) 8、塑性材料制成的杆件，其危险点必须用第三或第四强度理论所建立的强度条件来校核强度。 (×) 原因：塑性材料也会表现出脆性，比如三向受拉时，此时，就应用第一强度理论 9、纯剪应力状态的单元体既在体积改变，又有形状改变。(×) 原因：只形状改变，体积不变 10、铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀被胀裂，而管内的冰不会被破坏，只是因为冰的强度比铸铁的强度高。(×) 原因：铸铁的强度显然高于冰，其破坏原因是受到复杂应力状态二、选择题 1、危险截面是（ C ）所在的截面。 A 最大面积 B 最小面积 C 最大应力 D 最大内力 2、关于用单元体表示一点处的应力状态，如下论述中正确的一种是( D )。 A 单元体的形状可以是任意的 B 单元体的形状不是任意的，只能是六面体微元 C 不一定是六面体，五面体也可以，其他形状则不行 D 单元体的形状可以是任意的，但其上已知的应力分量足以确定任意方向面上的硬力 3、受力构件内任意一点，随着所截取截面方位不同，一般来说（ D ） A 正应力相同，剪应力不同 B 正应力不同，剪应力相同 C 正应力和剪应力均相同 D 正应力和剪应力均不同 4、圆轴受扭时，轴表面各点处于（ B ） A 单向应力状态 B 二向应力状态 C 三向应力状态 D 各向等应力状态 5、分析处于平面应力状态的一点，说法正确的是（ B ）。 A a σ=0时，必有a τ=max τ或a τ=min τ B a τ=0时，必有a σ=max σ或a σ=min σ C a σ+90a σ+及|a τ|+|90a τ+|为常量 D 1230σσσ≥≥≥

第7章应力状态和强度理论(答案)

7.1已知应力状态如图所示（单位：MPa ），试求： ⑴指定斜截面上的应力； ⑵主应力； ⑶在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； ⑷最大切应力。解： 100x MPa σ= 200y MPa σ= 100x MPa τ= 0 30α=- （1）cos 2sin 2211.622 x y x y x ασσσσ σατα+-= + -=sin 2cos 293.32 x y x MPa ασστατα-=+= （2）max 261.82 x y MPa σσσ+= = min 38.22x y MPa σσσ+== MPa 8.2611=σ MPa 2.382=σ 03=σ （3）13 max 130.92 MPa σστ-== 7.2扭矩m kN T ?=5.2作用在直径mm D 60=的钢轴上，试求圆轴表面上任一点与母线成ο 30=α方向上的正应变。设E=200GPa, 0.3υ=。解：表面上任一点处切应力为： max 59P T MPa W τ= = 表面上任一点处单元体应力状态如图 30sin 251MPa στα=-=- 120sin 251MPa στα=-= () 00430301201 3.310E εσυσ-= -=? 2 στ τ

7.3用电阻应变仪测得空心钢轴表面某点与母线成ο45方向上的正应变4 100.2-?=ε，已知转速min /120r ，G=80GPa ，试求轴所传递的功率。解：表面任一点处应力为 max 9550P P P T n W W τ== max 9550 P W n P τ∴= 纯剪切应力状态下，0 45斜截面上三个主应力为：1στ= 20σ= 3στ=- 由广义胡克定律 ()11311E E υ εσυστ+= -= 又()21E G υ=+Q V 2G τε∴= 代入max 9550 P W n P τ= ，得109.4P KW = 7.4图示为一钢质圆杆，直径mm D 20=，已知A 点与水平线成ο 60 方向上的正应变4 60101.4-?=ο ε，E=200GPa ，0.3υ=，试求荷载P 。解：0P A σ= 204D P πσ=? 斜截面上 02 060cos 4 σσσα== 2001503cos 4 σσσα== 由广义胡克定律 () 0006015060134E E υεσυσσ-= -= 将060043E εσυ = -代入2 04 D P πσ=? 解得P=36.2KN ο

第7章应力状态和强度理论(答案)

已知应力状态如图所示（单位：MPa ），试求： ⑴指定斜截面上的应力； ⑵主应力； ⑶在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； ⑷最大切应力。解： 100x MPa σ= 200y MPa σ= 100x MPa τ= 0 30α=- （1）cos 2sin 2211.622 x y x y x MPa ασσσσσατα+-= + -= sin 2cos 293.32 x y x MPa ασστατα-=+= （2）2 2max 261.82 2x y x y x MPa σσσσστ+-??= += ??? 2 2 min 38.222x y x y x MPa σσσσστ+-??=+= ??? MPa 8.2611=σ MPa 2.382=σ 03=σ （3）13 max 130.92 MPa σστ-== 扭矩m kN T ?=5.2作用在直径mm D 60=的钢轴上，试求圆轴表面上任一点与母线成 30=α方向上的正应变。设E=200GPa, 0.3υ=。解：表面上任一点处切应力为： max 59P T MPa W τ= = 表面上任一点处单元体应力状态如图 30sin 251MPa στα=-=- 120sin 251MPa στα=-= () 00430301201 3.310E εσυσ-= -=? 100100 200 60T α A 2 σ1 στ τ

用电阻应变仪测得空心钢轴表面某点与母线成 45方向上的正应变 4100.2-?=ε，已知转速min /120r ，G=80GPa ，试求轴所传递的功率。解：表面任一点处应力为 max 9550P P P T n W W τ== max 9550 P W n P τ∴= 纯剪切应力状态下，0 45斜截面上三个主应力为：1στ= 20σ= 3στ=- 由广义胡克定律 ()11311E E υ εσυστ+= -= 又()21E G υ=+V 2G τε∴= 代入max 9550 P W n P τ= ，得109.4P KW = 图示为一钢质圆杆，直径mm D 20=，已知A 点与水平线成 60方向上的正应变460101.4-?= ε，E=200GPa ，0.3υ=，试求荷载P 。解：0P A σ= 204D P πσ=? 斜截面上 02 060cos 4 σσσα== 2001503cos 4 σσσα== 由广义胡克定律 () 0006015060134E E υεσυσσ-= -= 将060043E εσυ = -代入2 04 D P πσ=? 解得P= 45A 80120 60 A P

《材料力学》第7章应力状态和强度理论习题解.

第七章应力状态和强度理论习题解 [习题7-1] 试从图示各构件中A点和B点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。 [习题7-1（a）] 解：A点处于单向压应力状态。 2 2 4 4 1 2 d F d F F A N Aπ π σ- = - = = [习题7-1（b）] 解：A点处于纯剪切应力状态。 3 3 16 16 1d T d T W T P Aπ π τ- = = = A σ A τ

MPa mm mm N 618.798014.3108163 36=????= [习题7-1（b ）] 解：A 点处于纯剪切应力状态。 0=∑A M 04.028.02.1=?--?B R ) (333.1kN R B = ) (333.1kN R Q B A -=-= MPa mm N A Q A 417.01204013335.15.12-=??-=? =τ B 点处于平面应力状态 MPa mm mm mm N I y M z B B 083.21204012 130103.0333.14 36=??????==σMPa mm mm mm N b I QS z z B 312.0401204012 145)3040(1333433 *-=??????-== τ [习题7-1（d ）] 解：A 点处于平面应力状态 MPa mm mm N W M z A A 064.502014.332 1103.393 33=????==σ MPa mm mm N W T P A 064.502014.316 1106.78333 =????== τ A τ B τ B σA τA σ

材料力学习题册答案-第7章应力状态

材料力学7-第七章应力状态分析强度理论

第七章应力状态分析强度理论 §7.1 应力状态概述一、工程实例 1. 压缩破坏 2. 弯曲拉伸破坏 3. 弯曲剪切破坏 4. 铸铁扭转破坏 5. 低碳钢扭转破坏二、应力状态的概念 1. 点的应力状态过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一点所有方位面上的应力集合。 2. 一点应力状态的描述以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。 3. 求一点应力状态（1）单元体三对面的应力已知，单元体平衡（2）单元体任意部分平衡（3）截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力，即点在任意方位的应力。三、应力状态的分类 1. 单元体：微小正六面体 2. 主平面和主应力：主平面：无切应力的平面主应力：作用在主平面上的正应力。 3. 三种应力状态单项应力状态：三个主应力只有一个不等于零，如A 、E 点二向应力状态：三个主应力中有两个不等于零，如B 、D 点三向应力状态：三个主应力都不等于零斜裂缝垂直裂缝斜向主拉应力

四、应力状态分析的方法 1. 解析法 2. 图解法 §7.2 应力状态分析的解析法一、解析法图示单元体，已知应力分量x σ、y σ、xy τ和yx τ。 x y σx x x σ xy τ y n x σn

（一）任意截面上的正应力和切应力：利用截面法，考虑楔体bef 部分的平衡。设ef 面的面积为dA ， ∑=0 F n 0sin )Asin (cos )sin A (cos )cos A (sin )cos A (A =-+-+αασααταασαατσαd d d d d y yx x xy ∑=0F t sin )Asin (cos )sin A (sin )cos A (cos )cos A (A =++--ααταασαασαατταd d d d d yx y x xy 根据切应力互等定理： y x xy ττ= 三角函数关系：22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2 αα-=，?=cos sin 22sin αα 解得： ατασσσσσα2sin 2cos 2 2 x x xy y y --+ += （7-1） ατασστα2cos 2sin 2 x xy y +-= （7-2）（二）主应力即主平面位置将式（8-1）对取一次导数，并令其等于零可确定正应力的极值和所在平面的位置。令0αα=时， 0d d =α σα 即： y x xy xy y x σσταατασσασα -- ==?? ????+--=22tan 02cos 2sin 22d d 000 将0α和ο 900+α代入（8-1），求出最大及最小的正应力为： 2 2 min max )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-±+=??? （三）最大切应力及其作用平面的位置将式（8-2）对α取一次导数，并令其等于零可确定切应力的极值和它所在平面的位置。令1αα=时， 0d d =ατα 即： xy y x τσσα22tan 1-= 2 2min max )2 ( xy y x τσσττ+-±=??? 所以有：2 2201παα+=，4 01π αα+= 即最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角为ο45