电势作业解答要点

10.20电荷q均匀分布在长为2l的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离为a的P点的电势(设无穷远处为电势零点)．

P Array

解题思路：本题主要考察电荷连续分布的

带电体在某点的电势，仍要把连续的带电

体看作是一系列点电荷的聚合。与前面的

连续带电体求某点的电场强度是一样的。

解：设坐标原点位于杆的左端O 点，x 轴沿杆的方向，如图所示．细杆的电荷线密度λ＝q / (2l )，在x 处取电荷元

d q = λd x ＝q d x / (2l )，它在P 点产生的电势为

()()

x a l l x

q x a l q U P -+π=

-+π=28d 24d d 00εεx

P

a

O

2l

x d x

x

P

a

O

2l

x d x

整个杆上电荷在P 点产生的电势

()

?-+π=l P x a l x

l q U 2002d 8ε()l

x a l l

q 2002ln 8-+π-=ε??

? ??+π=a l l q 21ln 80ε

问题：

先求出P 点的电场强度，然后再积分，这是又分不清积分的上下限，结果造成无法完成运算。电势的两种计算方法：1. 电势的定义式

?∞?=p

p l

d E U

2. 利用电势的叠加原理，从点电荷的电势公式出发，进行计算

?=dU U ?

=r

dq 04πεr

dq dU 04πε=

=

U r

q 04

πε

10.22 如图所示，两个同心球面，半径分别为R1和R2，内球面带电－q,外球面带电＋Q，求距球心

（1）r < R

1

; (2) R1< r < R2; (3) r > R2 处一点的电势。

R1

R2

B

A C

解题思路：

思路1：可以从电势的

定义出发，先算出各个

区域的电场强度，然后

进行分段积分，可求出

不同区域的电势。

思路2：利用叠加原理

和点电荷的电势公式

进行计算。

R 1

R 2

B

A

C

解：在所要求不同区域内，任取三点，分别为A 、B 、C 。

运用高斯定理可求出三点处的电场强度的大小为：

0=A E 2

04r

q

E B πε-=204r q Q E C πε-=那么A 点的电势为

???

∞-+-+=22244012

1

R o R r

R R o A dr r

q Q dr r q

dr U πεπε)

1

1(4)11(4221∞--+--=R q Q R R q

o o πεπε1

2

44R q R Q o o πεπε-

=

R 1

R 2

B

A C

同理B 点的电势为

r

q R Q o o πεπε442-=??

∞-+-=222442

R o R r

o B dr r q Q dr r q

U πεπεC 点的电势为

r

q

Q o πε4-=?

∞

-=r

o C dr r q Q U 2

4πε

解2：因为均匀带电球面内各点的电势相等，都等于球面上的电势；球面外任意一点的电势与电荷全部集中在球心时的电势一样。那么对于半径为R1的球面，其内部电势为

1

14R q

U o πε-=

内其外部电势为

r

q U o πε41-=

外R 1

内1U 外

1U

同理对于半径为R 2的球面，其内部电势为

2

24Q R U o πε=

内其外部电势为

r

U o πε4Q 2=

外R 2

内

2U 外

2U

R

1

内

1

U外1U

R

2U

2内

U

2外

R

1

R

2

B

A C

R 1

内1U 外1U R 2

U 2内U 2外

R 1

R 2

B A C

根据叠加原理，r < R 1处的电势为

1

2

124q 4Q R R U U U o o A πεπε-

=

+=内内

R 1

内1U 外1U R 2

U 2内U 2外

R 1

R 2

B A C

根据叠加原理，R 1< r < R 2处的电势为

r

R U U U o o B πεπε4q 4Q 2

12-

=

+=外内

R 1

内1U 外1U R 2

U 2内U 2外

R 1

R 2

B A C

根据叠加原理，r > R 2处的电势为

r

r

U U U o o c πεπε4q 4Q 12-

=

+=外外

10.24 两个很长的共轴圆柱面(R1=3.0×10-2m，

R2=0.10m）带有等量异号的电荷，两者的电势差为450V。求（1）圆柱面单位长度上带有多少电荷？（2）两圆柱面之间的电场强度？

R1R2

解题思路：

本题是考察高斯定理和电势计算的综合运用。高斯定理运用时有三个层次。电势计算有两种方法。

我们都有理解吗？

r

R 1R 2

l 解：由于圆柱面很长，所以其产生的的电场强度E 沿垂直与该圆柱面的径矢方向，而且在距离圆柱面等距离的各点处的电场强度大小相等，即很长圆柱面的电场分布具有柱对称性。以圆柱面的轴线为轴线，r 为半径，作一高为L 的圆柱体的表面为高斯面

由于电场强度E 的方向与上、下底面的法线方向垂直，所以通过圆柱面两个底面的电通量为零，而通过圆柱面侧面的电通量为。

rl E π2?

r

R 1R 2

l

所以通过该高斯面的电通量为

设圆柱面单位长度所带的电

荷量是λ，则高斯面所包围的电荷量是

?

?S

S d E

?

?

?+?=（侧面）

（下底）

S d E S d E

?

?（上底）

＋S d E

rl

E π2?=l

q

?=∑λ内

r

R 1R 2

l

根据高斯定理有

有此可得两圆柱面之间的电场强度为

??S

S d E

rl

E π2?=0

ελl =r

E 02πελ=

那么两柱面的电势差

则

1

20

ln 2R R U πελ?=

1

2

00ln 2221

2

1

R R dr r r d E U R R R R πελπελ==?=?

?

r

R 1R 2

l

R 2

dr

03

.010

.0ln

10924509

???=

)

(1008.21

8

--??=m c

有此可得两圆柱面之间的电场强度为

r

E 02πελ=

r

9

810921008.2????=

-)

(11074.31

2

-??=m v r

r

R 1R 2

l

R 2

dr