中南大学高等工程数学试卷超全整理

中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）1

考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟

注：解答全部写在答题纸上

一、填空题(本题24分，每小题3分)

1. 若函数1()[,]x C a b ?∈,且[,]x a b ?∈有()[,]x a b ?∈和1)('<≤L x ?, 则方程

()x x ?=在[,]a b 上的解存在唯一，对 任意[]b a x ,0∈为初值由迭代公式)(1n n x x ?=+产生的序列{}n x 一定收敛于方程

()x x ?=在[,]a b 上的解*x ，且有误差估计式

*x x k

-≤

L

-1ε

；

2. 建立最优化问题数学模型的三要素是： 确定决策变量 、 建立适当的约束条件 、 建

立目标函数 ；

3．求解无约束非线性最优化问题的最速下降法会产生“锯齿现象”，其原因是： 最速下降法前后两个搜索方向总是垂直的 ；

4．已知函数)(x f y =过点(,),0,1,2,,i i x y i n =L ，[,]i x a b ∈，设函数)(x S 是()f x 的三次样条插值函数，则)(x S 满足的三个条件（1）在每个子区间[]i i x x ,1-（i=1，2，…，n ）上是不高于三次的多项式；（2）S （x ），S ’（x ），S ’’（x ）在[]b a ,上连续；（3）满足插值条件S （x i ）=y i （i=1，2，…，n ）；

5．随机变量1210~(3,4),(,,,)X N X X X L 为样本，X 是样本均值，则~X N （3，0.4）；

6．正交表()p q N L n m ?中各字母代表的含义为 L 表示正交表，N 表示试验次数，n 、m 表示因子水平数，p 、q 表示试验至多可以安排因素的个数 ；

7．线性方程组Ax b =其系数矩阵满足 A=LU ，且分解唯一 时，可对A 进行LU 解，选主元素的Gauss 消元法是为了避免 采用绝对值很小的主元素 导致误差传播大，按列选取主元素时第k 步消元的主元a kk 为

)1,2,......,1(1-=?

??? ??-=∑+=n i a y a b y ii

n i j i ij i i 8．取步长0.01h =，用

Euler

法解'3,[0,1](0)1y x y

x y ?=-∈?

=?

的公式为 。

二、（本题6分）某汽车厂三种汽车：微型轿车、中级轿车和高级轿车。每种轿车需要的资源和销售的利润如下表。为达到经济规模，每种汽车的月产量必须达到一定数量时才可进行生产。工厂规定的经济规模为微型车1500辆，中级车1200辆，高级车1000辆，请建立使该厂的利润最大的生产计划数学模型。

()

1002,1,009.003.01Λ=+=+n y x y

n n

n

解：设微型车生产了x 1辆，中级车生产了x 2辆，高级车生产了x 3辆，而钢材、人工均有限制，所以应满足限制条件：

钢材：1.5x 1+2x 2+2.5x 3≤6000 人工：30x 1+40x 2+50x 3≤55000

生产数量：x 1≥1500 x 2≥1200 x 3≥1000 从而问题的数学模型为： Max c 1x 1+c 2x 2+c 3

???

??≥≥≥≤++≤++1000

1200150055000

50403060005.225.1321

321321x x x x x x x x x 三、（本题10分）已知)(x f 的数据如表：

用Newton 插值法求)(x f 的三次插值多项式，计算(6)f 的近似值，给出误差估

计式。

解：

因此3

2335.155.97.10

5.0)(x x x x N +-+=，而5.12)6()6(3==N f

[]504.27)56()26()16(62292.0)()6(43

210

3-=-?-?-??-==x x x x x x f R ω

四、（本题12分）为了研究小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有没有差异，现试验了在接种三种不同菌型伤寒杆菌（记为123,,A A A 并假设2~(,)i i A N μσ，1,2,3i =，）)

(3x N

(1) 试把上述方差分析表补充完整（请在答卷上画表填上你的答案）

(2) 小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有无显著差异？（取0.05α=，0.05(2,12) 3.89F =）

解：（1）见表中红色部分

（2）设H 0：μ1=μ2=μ3=…=μi 选取统计量

)

1()

1(--=

N SSE I SSA

F ，由于显著性水平未给出，设α=0.05，查表得89.3)12,2(05.0=F ，因为

F=6.286>)12,2(05.0F ，所以拒绝H 0，即小白鼠在接种不同型伤寒杆菌后存活日数有显著差异。

五、（本题12分）用表格形式单纯形法求解

1231231213132max 2086832250250

..43150,0

,Z s t x x x x x x x x x x x x x =++++≤??

+≤???

+≤??≥?? 六、（本题10分）试确定求积公式 1

012 1

()(1)(0)(1)f x dx A f A f A f -≈-++?

中的待定系数，

使其代数精度尽量高。

解：将2

,,1)(x x x f =分别代入式中得

???

??????

+=+-=++=2

0202

103

202A

A A A A A A ，因此得35,31120===A A A

七、（本题12分）（1）在多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。常用的方法有向前回归法、向后回归法、逐步回归法。试解释什么是逐步回归法？

（2）如果要考察因素A 、B 、C 及交互作用A ×B 、A ×C 、B ×C ，如何用正交表78(2)L 安排试验，交互作用见下表，试作表头设计。

表 78(2)L 两列间交互作用表

解：(1)逐步回归法就是对全部因子按其对y 影响程度大小（偏回归平方的大小），从大到小地依次逐个地引入回归方程，并随时对回归方程当时所含的全部变量进行检验，看其是否仍然显著，如不显著就将其剔除，知道回归方程中所含的所有变量对y 的作用都显著是，才考虑引入新的变量。再在剩下的未选因子中，选出对y 作用最大者，检验其显著性，显著着，引入方程，不显著，则不引入。直到最后再没有显著因子可以引入，也没有不显著的变量需要剔除为止。

（2）如果因子A 放在第1列，因子B 放第2列，则A ×B 放在第3列。如C 放在第4列，再查交互作用表，A ×C 和B ×C 应分别放在第5列和第6列。表头设计如下：

八、（本题14分）设方程组为

1230259510430102014x x x ??????

??? ?

= ??? ? ??? ???????

（1）对方程组进行适当调整，使得用Gauss -Seidel 迭代法求解时收敛； （2）取(0)0x =，用Gauss -Seidel 迭代法计算两步迭代值(1)x ，(2)x ； （3）取(0)

0x

=，估计用Jacobi 迭代求解(100)x 与准确解*x 的误差。

解：（1）将原矩阵变换为如下：

????

?

??=????? ??????? ??9301452041050210321x x x ，经变换后的矩阵为严格对角占优阵，因此在用Gauss -Seidel 迭代法求解时收敛。

（2）由G —S 迭代公式得：

???

?

?????-=--=-=+++++)29(51)4530(101)214(10

1)1(2)1(3)

(3)1(1)1(2

)(2)1(1

k k k k k k k x x x x x x x ，又由于(0)0x =，因此经两步迭代后得()88.03.24.1)1(=x ，()9288.0178

.294

.0)2(=x

（3）由Jacobi 迭代公式得：

???

?

?????-=--=-=+++)29(51)4530(101)214(101)(2)1(3)(3

)(1)1(2)(2)1(1k k k k k k k x x x x x x x 因此??

?

??----=)29(51)

4530(101)214(101)99(2)

99(3)99(1)99(2)

100(x x x x x

中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷2

考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟

注：解答全部写在答题纸上

一、填空题(本题24分，每小题3分) 1. 若方程0)(=x f 可表成)(x x

?=，且在[,]a b 内有唯一根*x ，那么)(x ?满足

，则由迭代公式)(1

n n x x ?=+产生的序列{}n x 一

定收敛于*x 。

（)(x ?满足：1()[,]x C a b ?∈,且[,]x a b ?∈有()[,]x a b ?∈, '()1x L ?≤<；）

2. 已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)T

f x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发

的最速下降方向为 （最速下降方向为：()4,2T

p =-）

； 3．已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)T

f x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发

的Newton 方向为 （Newton 方向为： ()2,0T

p =-）

； 4．已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =L ，则其三次样条插值函数

)(x S 是满足

（（1）在每个小区间是次数不超过3次的多项式，（2）在区间[,]a b 上二阶导数连续，（3）满足插值条件(),0,1,2,,i i S x y i n ==L ）；

5．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值12(,,,)n X X X L 落入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为________（0.15） ；

6．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 大 愈好，而置信区间的长度愈 短 愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 变长 ；

7．取步长2.0=h ，解]1,0[,1

)0(2'∈??

?=-=x y y

x y 的Euler 法公式为：

（1(2)0.60.2,0,1,2,,5n n n n n n y y h x y y x n +=+-=+=L ）；

8．对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有： （模型误差，观测误差，方法误差，舍入误差。） 。

二、（本题8分）某钢铁公司生产一种合金，要求的成分是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍介于35%到55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如下表。矿石杂质在冶炼中废弃，并假设矿石在冶炼过程中金属含量没有发生变化。

（1）建立线性优化模型，安排最优矿物冶炼方案，使每吨合金产品成本最低。（不要求计算出结果）；

（2）写出所建立的模型的对偶形式。

（1）设 ,1,2,5)j x j =L （ 是第j 种矿石的数量，目标是使成本最低，得线性规划模型如下：

123451245124513512345123451min 340260*********..0.250.40.20.080.280.10.150.20.050.150.10.050.150.1

0.250.30.20.40.170.550.250.30.20.40.170.350.70Z x x x x x s t

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++≥+++≤++=++++≤++++≥+2345.70.40.80.4510,

1,2,5

j x x x x x j +++=≥=L 4分

（2）上述线性规划模型的对偶形式如下：

1234561234561456234561245612max 0.280.150.10.550.35..0.25-0.10.10.250.250.73400.40.30.30.7260

0.150.050.20.20.41800.20.20.40.40.8230

0.080.050.1f y y y y y y s t

y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y =-+-+++-++≤-++≤-+-++≤--++≤-+345611

12453650.170.17

0.451900,0,0,0,,y y y y y y y y y R y R -++≤≥≥≥≥∈∈ 4分

三、（本题8分）已知)(x f 的数据如表：

试求三次插值多项式P(x)，求(4)f 的近似值，并给出相应的误差估计式。 解：

用Newton 插值法求)(x f 的插值多项式，由所给数据如表可得差商表如下：

由差商表得出)(x f 的三次插值多项式为：

30.25 1.375

()0.5(1)(1)(3)342

N x x x x x x x =+

---- 3分 于是有

30.25 1.375

(4)(4)0.5443431342

2.7518.25

2177

f N ≈=?+

??-???=+-=

2分

相应的误差估计式为：

3()[0,1,3,7,](1)(3)(7)

[0,1,3,7,4]431(0.000075(36)3)0.0027

R x f x x x x x f -?-==---=????-≈ 2分

四、（本题12分）为了考察硝酸钠NaNO 3的可容性温度之间的关系，对一系列不同的温

度（C 0

），观察它在100的水中溶解的NaNO 3的重量（g ），得观察结果如下：

温度x 20 30 33 40 15 13 26 38 35 43 重量y 7 9 8 11 5 4 8 10 9 10

（1） 求Y 对X 的线性回归方程。（结果保留小数点后两位。）

29310

1

=∑=i i

x

,

8110

1

=∑=i i

y

,

∑==10

1

2574i i i

y x

,

957710

1

2

=∑=i i

x

,

70110

1

2=∑=i i

y

（2）对回归方程的显著性进行检验。（取显著水平为0.05，0.01），0.05(1,8)=5.32

F 0.01(1,8)11.26F =，0.050.01(8) 1.8595(8) 2.8965t t ==。

解：

（１）29.3

8.1x y ==

25741029.38.1200.7xY i i L x y nx y =-?=-??=∑

2

2225741029.3992.1xx i L x nx =-=-?=∑ 222701108.144.9

YY i L y ny =-=-?=∑

4分

200.7?0.20230.20992.1

xy xx L b L ==≈≈ ??8.10.202329.3 2.17a y bx =-≈-?≈ 回归

函

数

为

?() 2.170.20x x μ

=+ 4分

（２）211??()(44.90.2023200.7)0.5428

YY xY

L bL n σ

=-=-?=- 222?0.2023200.715.21?0.54

xY

b L F σ?===，

或 3.9T == 2分

0.050.01(1,8)(1,8)F F F F >> 故在显著水平为0.05，0.01下线性回归是显著

的

或0.050.01(8)

(8)T t T t >> 故在显著水平为0.05，0.01下线性回归是显著的。

12分

五、（本题10分）利用单纯形方法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：

12121212max 300400..2401.5300,

Z x x s t

x x x x x x =++≤+≤≥≥

解：第一步： 化为标准型，……………… ……………………..(2分)

第二步： 列出是单纯形表，…………………………… …..(2分) 第三步： 第一次单纯形迭代计算，…………………………..(3分) 第四步： 列出是单纯形表，…………………………… ……..(3分) 第五步： 正确写出结果，最优解*

*

(15,10),8500T

x f ==…(2分)

六、（本题10分）试确定求积公式?--++-≈h h h f A f A h f A dx x f 101)()0()()(中的待定系数，

使其代数精度尽量高。

七、（本题12分）设有4种治疗荨麻疹的药，要比较它们的疗效。假定将24个病人分成4组，每组6人，令同组病人使用一种药，并记录病人从使用药物开始到痊愈所需时间，得到下面的记录：

试检验不同药物对病人的痊愈时间有无差别？（05.0=α，0.05(3,20) 3.10F =） 解：

222161

129124()21124

ij SST x nx =-=-?=∑∑