平面平面的基本性质及应用

平面、平面的基本性质及应用

一、平面的基本性质回顾：包括三个公理、三个推论、其中公理3，推论1，推论2，推论3分别提供了构造平面的四种：

（1）选不共线的三点（2）选一条直线与直线外一点

（3）选两条相交直线（4）选两条平行直线

二、证明共面的两种方法：

1、构造一个平面，证相关元素在这个平面内；

2、构造两个平面，证能确定平面的元素同在这两个平面内（同一法）。

例1．已知a//b, A∈a, B∈b, C∈b.

求证：a,b及直线AB，AC共面。

思路（1）：由a//b可确定平面α，再证ABα，

ACα；

思路（2）：由a//b可确定平面α，由直线AB，AC可确定平面β。因为α，β都经过不共线的三点A、B、C，所以α，β重合。

思路（3）：在思路（2）中的平面β，还可以由不共线的A，B，C三点来构造，或者由点A与直线b来构造。

另外，同学们在书写证明过程的时候，一定要把公理及推论的题设交待清楚，建议同学们书写时注明理由，如下所示：

写法（一）：

证明：∵a//b（已知）∴a,b确定一个平面α（推论3）

∵A∈a, b∈b, c∈b（已知）∴A∈α，B∈α，C∈α∴直线ABα，

直线ACα（公理1）∴a,b,AB,AC共面。

写法（二）：

证明：∵a//b（知）∵a,b确定一个平面α（推3）∴A∈α，B∈b, C∈b（已知）∴a经过A，B，C三点，∵AB∩AC=A ∴直线AB，AC确定一个平面β（推论2）∴β经过A，B，C三点，

∵A∈a,B∈b, C∈b, a//b（已知）∴A，B，C不共线∴α与β重合（公理3）∴a, b，AB，AC共面。

关于同一法证题的思路，请同学们再看一道例题。

例2．如果三条互相平行的直线和同一条直线相交，求证：这四条直线共面。

分析：这是一个文字命题，要求画图，写出已知，求证，然后进行证明。另外，在写已知，求证时，要尽量忠实原文的意思。

已知：a//b//c,a∩d=A，b∩d=B，c∩d=C

求证：a,b,c,d共面。

分析由a//b可确定一个平面α；由b//c可确定一个平面β。因为α，β都经过两条相交的

直线b和d,所以由推论2可知，α与β重合。（注意：α和β都经过的元素，还可有其它的选取办

法，请同学们自己试一试）。

证明：∵a//b（已知）∴a,b确定一个平面α（推论3）

∵b//c（已知）∴b,c确定一个平面β（推论3）

∵A∈a,B∈b, ∴A∈α, B∈α, ∴直线ABα即dα（公理1）

同理可证：dβ, ∴α，β都经过b和d，

∵b∩d=B ∴α与β重合（推论2）。

三、证明三线共点，三点共线的方法

1．三线共点：证其中两条直线的交点在第三条直线上；

2．三点共线：证三点都是两平面的公共点。

例3：已知如图，α∩β=l, aα,

bβ, a∩b=A.

求证：A∈l（或者a,b,l共点）

分析：只需证明A为α，β的公共点。

证明：∵a∩b=A, aα,

bβ, ∴A∈aα,A

∈bβ, 即A为α，β的一个公共点，

∵l是α和β的交线，∴A∈l.

例4：如图，已知延长ΔABC三边，AB∩α=D，BC∩α=E，AC∩α=F。

求证：D，E，F共线。

证明：∵ΔAB C顶点不共线，∴A，B，C可确定平面β,

∵D∈α且D∈ABβ, ∴D是α，β的公共点。

同理可证：E，F也是α，β的公共点，

∴D，E，F都在α，β支线上，即D，E，F共线。

典型例题

一．求证两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

已知:直线AB、BC、CA两两相交,交点分别为A、B、C。

求证:直线AB、BC、CA共面。

证明:∵直线AB和AC相交于点A, ∴直线AB和AC确定一个平面α(推论2).

∵B∈AB,C∈AC, ∴BCα(公理1). 因此直线AB、BC、CA

都在平面α内,即它们共面.

说明:证明几条直线共面,就是要找到一个平面,使得它们都在这个平面内,关键是如何找到这个平面。也就是如何确定这个平面。(由公理3及它的三个推论我们知道确定平面有四种方法).当平面确定以后,再证明都在这个平面内,即完成了这个证明.

二.证明:如果一条直线和三条平行直线都相交,那么这四条直线在同一平面内.

已知:直线a、b、c、l,a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B, l∩c=C.

求证:a、b、c、l共面。

证明:∵a∥b. ∴a与b确定一个平面(推论3).

∵l∩a=A,l∩b=B, ∴A∈α,B∈α, ∴直线AB,即lα.

也就是a、b、l共面于α。同法可证明b、c、l共面于β.

这就是说b、l既在平面α内又在平面β内.

而l∩b=B. 由公理3的推论2可知α,β是同一个平面. ∴a、b、c、l在同一平面内.

说明:当确定一个平面后,说明其余直线也在这个平面内发生困难后,往往可采用“间接法”证明.本题采用了“同一法”,也可采用“反证法”来证明.

三．已知:延长△ABC三边.AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R.

求证:P、Q、R共线。

证明:∵△ABC三顶点为不共线的三点. ∴A、B、C三点可以确定一个平面β.

∵P∈AB,ABβ, ∴P∈β.

又∵AB∩α=P,即P∈α。∴P∈αβ=l.

同理可证Q∈l, R∈l,即P、Q、R共线。

说明:在空间几何中,证明几点共线.往往要用到公理2.

四.证明:三个平面两两相交得到三条直线.

(1)如果其中两条直线交于一点,那么第三条直线也过这点.

(2)如果其中两条直线平行.那么第三条直线也和它们平行.

已知: α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c。

(1)若a∩b=0,求证:0∈c. (2)若a∥b,求证:a∥c, b∥c。

证明:(1)∵α∩β=a,α∩γ=b,a∩b=0。∴0∈β，0∈γ。

而β∩γ=c. ∴0∈c(公理2)。

(2)∵α∩β=a,β∩γ=c，∴

aβ,c

β,即a、c共面于β。∴a或c成平行或相交.

假设a∩c=P,则由(1)的结论可知P∈b.

即a∩b=P,这与a∥b矛盾,∴假设不成立，故a∥c,

同理可知b∥c。

说明:本题的结论是对三个平面两两相交,交线的位置关系的判定,它对今后的画图有着很重要的作用.应给予重视.

[习题]：

1．a,b,c交于同一点O，直线d与a,b,c分别交于A，B，C三点。求证：a,b,c,d共面。

2．已知：平面α，β，γ，α∩β=a, α∩γ=b, β∩γ=c,且a//b=M。求证：a,b,c三线共点。

3.已知:α∩β=l,

aα,bβ,a∩b=A. 求证:A∈l.

4.如图:α∩β=l,A∈α,B∈α,c∈β.试在β内找一点D.使A、B、C、D四点为一梯形的四个顶点,这样的点D共有几个

1（提示：由a与d相交可知，a,d确定一个平面α，再证：b,c在α内）

2 提示：由于a,b的交点已经存在，所以只需证M点在C上即可。要证M在C上，

由于C是β，γ的交线，所以只需证M同在β，γ内

3.证明:∵

a∩b=A,aα,bβ. ∴A ∈α且A∈β, 又∵α∩β=l, ∴A∈l.

4.分析:因为梯形是平面图形,所以D在A、B、C三点确定的平面γ内,但D又在β内,所以D在平面β与γ的交线上,因为α与γ的交线AB与l交于点P,易知β与γ的交线也过P点,连CP, 则D在直线CP上。连BC,在平面γ内过A作AD ∥BC交CP于D.连AC,在平面γ内过B作BD′∥AC交CP于D′,D与D′即为所求.这样的点只有两个。

在线测试

选择题

1．A, B, C为空间三点，经过这三点（）

A．能确定一个平面B．能确定无数个平面

C．能确定一个或无数个平面D．能确定一个平面或不能确定平面

2．空间交于一点的四条直线最多可以确定平面（）

A．4个B．5个C．6个D．7个

3．空间不共线四个点 A, B, C, D, 在同一平面内的射影A', B', C', D'在同一条直线上，那么A, B, C, D可确定平面个数为（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

4．四个平面互不平行，也不重合，则它们交线的数目不能是（）

A．6 B．4 C．2 D．1

5．过直线l外两点作与直线l平行的平面，可以作（）

A．0个B．1个C．无数个D．0个，1个或无数个

6．空间四点可以确定几个平面

A． 1个B． 4个C．无数个D．以上情况都可能

7．三条直线两两相交，最多可以确定几个平面

A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个

8．三条直线两两平行，最多可以确定几个平面

A． 1个B． 2个C． 3个D． 1个或3个

9．下列几种说法中，正确的是：

A．空间的三个点确定一个平面B．四边形一定是平面图形

C．六边形一定是平面图形D．梯形一定是平面图形

答案与解析

解析：

1．如果这三点不在一条直线，则可以确定一个平面；如果这三点在一条直线上，则不能确定平面。故本题应选（D）。

2．确定最多平面的情况应是每两条直线所确定的平面都不重合，这样若把四条直线依次编号，则相邻两号码（1与4也看成相邻）共确定4个平面，而相对两号码共确定2个平面，最多时能确定6个平面。故本题应选（C）。

3．四个点在同一平面内的射影若在一条直线上，则这四个点在同一平面内，故这四个点所确定的平面是一个。故本题应选（A）。

4．若四个平面交于一条直线，则交线有一条，若四个平面中每三个平面共点，则共有交线

C=6条。若四个平面交于一点，但无公共交线，则共有交线四条，所以不可能有2条交线。故本题应选（C）。

5.若两点连线与l相交，则可以作O个；若两点连线与l平行，则可以作无数个；若两点连线与l异面，则可以作1个。故本题应选（D）。

6.四点若在同一直线上，经过这四点可以有无数多个平面；四点若在同一平面内，不论是否有三个点在同一直线上，都只能确定一个平面；不在同一平面内的四个点可以确定四个平面，因此四个点确定平面的个数可能是1个、4个或无数多个,故本题应选（D）。

7.三条直线两两相交，若共点且在同一平面内，只能确定一个平面；若共点不在同一平面内，能确定三个平面。若不共点，两两相交有三个公共点，只能确定一个平面。故最多可以确定三个平面，故本题应选（C）。

8.三条直线两两平行，如果一条直线在其他两平行直线确定的平面内，这三条直线只能确定一个平面；如果三条平等线不在同一平面内，则可以确定三个平面，故最多可以确定三个平面,故本题应选（C）。

9.若三个点在同一直线上，则可以有无数个平面，所以（A）不对。四边形、六边形不一定是平面图形，所以（B）、（C）不对,故本题应选（D）。

事实上，由于梯形的一组对边互相平行，所以确定一个平面，于是得四个顶点在这个平面内，从而推知梯形的两腰也在这个平面内，即梯形是一个平面图形。

评注：从上述的分析和解答中可以看出，由已知条件找出确定平面的个数问题，其依据是确定平面的条件。分析问题时，首先要在空间中考虑问题，并全面考虑所有可能出现的情况。

平面的基本性质

平面的概念：是一个不加定义的基本概念，对于平面概念的理解主要应注意两个基本特征，即很平和可以无限延展。平面通常用一个平行四边形来表示，画两相交平面时，一定要画出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，要把被遮住的部分的线段画成虚线或不画，以增强立体感。

平面的基本性质：

1.如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。

该性质是判定直线在平面内的依据，用集合符号表示为：

l

α。依据直线在平面内，可以判断点在平面内，即A∈l,

lαA∈α.

2．如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

该性质是判定两平面有交线以及确定交线位置的依据，用集合符号表示为：A∈α，A∈

βα∩β=α且A∈α。

由此易知，如果两个平面有两个公共点，那么这两个平面相交于由这两点确定的一条直线，即

α∩β=AB。

依据两平面相交的意义，可以判断点在直线上，即A∈α，A∈β，

α∩β=αA∈α。

3．经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

4．经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

5．经过两条相交直线，有且只有一个平面。

6．经过两条平行直线，有且只有一个平面。

上述四个性质是确定一个平面的依据，确定平面是建立空间图形的基础，确定平面的条件对解题时引入辅助平面及作几何体的截面起着重要作用。

重点问题剖析

如果直线上所有的点都在某一个平面内，那么就称这条直线在这个平面内，其判断的依据是只要直线上有两个点在一个平面内时，这条直线上所有的点就都在这个平面内，从而这条直线就在这个平面内。这是性质1给出的平面的一个基本性质。

利用性质2可以判定两个平面是否相交或证明若干个点共线，其他性质用于确定平面。确定平面是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件。

准确地使用数学中的字母和符号，可以使命题的叙述和证明显得简捷明快，符号语言、文字语言、图形语言间的相互转换是数学能力的组成部分和重要体现。另外还要理解用反证法证明命题的思路，并会用反证法证明简单命题。

典型例题

例题一：不共点的四条直线两两相交，求证这四条直线在同一平面内。

分析不共点的四条直线两两相交，是指这四条直线没有公共点，但其中每两条直线都有一个交点，可分两种情况来考虑。第一种情况，有三条直线共点，第二种情况没有任何三条直线共点，证明这四条直线在同一平面内，应根据已知条件先确定一个平面，然后证明所有四条直线都在这个确定平面内，文字叙述的命题应先写出已知和求证。

已知直线a、b、c、d不共点，且两两相交，求证：a、b、c、d在同一平面内。

证明：第一种情况：

a、b、c、d中有三条共点的情况，设直线a、b、c相交于一点Q, Q不在d上，直线d与直线a、b、c分别相交于M、N、P，如图1.

∵Q d, ∴点Q与直线d确定一个平面a. ∵M∈d, ∴M∈α, 又∵Q∈α, ∴aα.

同理可证bα, cα.

∴a、b、c、d在同一平面内。

第二种情况：a、b、c、d中没有三条直线共点的情况。

设直线c与直线a、b分别交于M、N，如图2

∵a、b是相交直线。∴a、b确定一个平面a.

∵M∈a, N∈b, ∴M∈α, N∈α, ∵M∈c, N∈c, ∴ c α. 同理

可证d∈α,

∴a、b、c、d在同一平面内。

注意证明几条直线在同一平面内，应先由已知的直线或点，根据确定平面的条件确定一个平面，再由公理1证明其余直线都在所确定的平面内。

例题二：已知直线a//b，直线a与平面α相交于点A，求证b与平面α必有一个公共点。

分析利用a//b，巧妙地构造辅助平面b，把有关元素集中使用，不仅创造了新的线面关系，而且将三维降至二维，使得平面几何知识有了用武之地。

证明∵a//b, ∴可设直线a、b确定一个平面β. 又∵a∩α=A且

aβ，

∴A∈β，由公理2知，α∩β＝c, 即有a、b、cβ，在平面β内，∵a//b, a∩c=A, ∴b与c必相交于一点，设为B（平面几何知识的应用），又∵

cα，

∴B∈α, ∴b与α有一个公共点B。

例题三：已知ABCD-A1B1C1D1是平行六面体，G是三角形A1BD的重心，求证：A、G、G1三点共线。

分析：要证三点共线，只要证明G在AC1上，进一步证明平行六面体对角线AC1与三角形一条中线的交点就是重心即可。

证明：连AC交BD于O，则O为BD的中点，重心G必在A1O上，在平行六面体的对角面AA1C1C中，A1O与AC1必相交，设交点为G'，如图1-11，由于对角面AA1C1C是平行四边形，故可证得：△AG'O∽△A1G'G1，且有

，即. ∴G'与G

重合，故A、G、C1三点共线。

注意在证明若干点共线的时候，一般方法有：

①根据平面的基本性质作出辅助平面，并找出辅助平面与已知平面的交线，然后再判定这些点在交线上。

②第三点在前两点所确定的直线上。

例题四：平行六面体AC'中，AC∩BD=M, DB'∩截面AD'C=N.求证：M、N、D'三点在同一条直线上。

分析分别证M、N、D'是截面ACD‘和截面BD'的公共点。

证明∵AC∩BD=M, ∵AC截面ACD'，

BD截面BD'，∴M是截面AD'C=N，

∴N∈截面AD'C，又∵DB'∈截面BD'，∴N∈截面BD'，N

是两截面的公共点，

又∵D'也是截面ACD'和截面BD'的公共点，∴M、N、D'三点在截面ACD'和截面BD'的交线D'M上。

因此，M、N、D'三点在同一条直线上。

例题五：已知在四面体ABCD中，点E、F、G、H、M、N分别为AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点。

求证：EG、FH、MN三线共点。

分析本题先证EFGH是平行四边形，故EG与HF的交点为O，最后证MN也过O点。

连结EF、FG、GH、HE。∴EH BD. 同理

FG BD.∴EH FG.

故EFGH是平行四边形，设EG与FH相交于O。所以EG经过HF的中点O。

连结MF、FN、NH、HM。同理：MN经过FH的中点O。故EG、FH、MN相交于一点O。

课外练习

判断题答案正确的在括号内打“√”，不正确的在括号内打“×”号。

（1）两条直线确定一个平面。（）

（2）经过一点的三条直线可以确定一个平面。（）

（3）点A在平面α内，也在直线α上，则直线α在平面α内。（）

（4）平面α和平面β相交于不同在一条直线上的三个点A、B、C。（）

（5）两两相交的三条直线不共面。

分析与解答：

（1）两条直线能否确定平面，应看这两条直线的位置，不给出位置关系要分情况讨论后，得出结论。两条相交直线可确定一个平面，两条平行直线可确定一个平面，除此之外的任何两条直线,不能确定平面。所以，“两条直线确定一个平面”这个命题是错的，应当画“×”号。