2020高考数学求空间距离
难点28 求空间距离
空间中距离的求法是历年高考考查的重点,其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础,求其他几种距离一般化归为这三种距离.
●难点磁场
(★★★★)如图,已知ABCD 是矩形,AB =a ,AD =b ,P A ⊥平面ABCD ,P A =2c ,Q 是P A 的中点
.
求:(1)Q 到BD 的距离; (2)P 到平面BQD 的距离. ●案例探究
[例1]把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角,点E 、F 分别是AD 、BC 的中点,点O 是原正方形的中心,求:
(1)EF 的长;
(2)折起后∠EOF 的大小.
命题意图:考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题,属★★★★级题目.
知识依托:空间向量的坐标运算及数量积公式.
错解分析:建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直.
技巧与方法:建系方式有多种,其中以O 点为原点,以
OB 、OC 、OD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最
为简单.
解:如图,以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长为a ,则A (0,-
22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0),D (0,0, 22a ),E (0,-42a , a ),F (42a , 4
2a ,0) 21|
|||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420)
0,4
2
,42(),42,42,0()2(23
,43)420()4242()042(||)1(2
2222-=>=<==
-
=?+-+?=?=-==∴=-+++-=OF OE OF OE OF OE a OF a OE a a a a a OF OE a a OF a a OE a EF a a a a a EF
∴∠EOF =120°
[例2]正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1,求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离.
命题意图:本题主要考查异面直线间距离的求法,属★★★★级题目.
知识依托:求异面直线的距离,可求两异面直线的公垂线,或转化为求线面距离,或面面距离,亦可由最值法求得.
错解分析:本题容易错误认为O 1B 是A 1C 与AB 1的距离,这主要是对异面直线定义不熟悉,异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的距离.
技巧与方法:求异面直线的距离,有时较难作出它们的公垂线,故通常采用化归思想,转化为求线面距、面面距、或由最值法求得.
解法一:如图,连结AC 1,在正方体AC 1中,∵A 1C 1∥AC ,∴A 1C 1∥平面AB 1C ,∴A 1C 1
与平面AB 1C 间的距离等于异面直线A 1C 1与AB 1间的距离.
连结B 1D 1、BD ,设B 1D 1∩A 1C 1=O 1,BD ∩AC =O ∵AC ⊥BD ,AC ⊥DD 1,∴AC ⊥平面BB 1D 1D
∴平面AB 1C ⊥平面BB 1D 1D ,连结B 1O ,则平面AB 1C ∩平面BB 1D 1D =B 1O 作O 1G ⊥B 1O 于G ,则O 1G ⊥平面AB 1C
∴O 1G 为直线A 1C 1与平面AB 1C 间的距离,即为异面直线A 1C 1与AB 1间的距离. 在Rt △OO 1B 1中,∵O 1B 1=22,OO 1=1,∴OB 1=2
1121B O OO += 2
6 ∴O 1G =
331111=?OB B O O O ,即异面直线A 1C 1与AB 1间距离为3
3
.
解法二:如图,在A 1C 上任取一点M ,作MN ⊥AB 1于N ,作MR ⊥A 1B 1于R ,连结RN ,
∵平面A 1B 1C 1D 1⊥平面A 1ABB 1,∴MR ⊥平面A 1ABB 1,MR ⊥AB 1
∵AB 1⊥RN ,设A 1R =x ,则RB 1=1-x ∵∠C 1A 1B 1=∠AB 1A 1=45°, ∴MR =x ,RN =NB 1=
)1(2
2
x - 3
1
)31(23)1(2
1
22222+-=
-+=+=x x x RN MR MN Θ(0<x <1) ∴当x =
3
1
时,MN 有最小值33即异面直线A 1C 1与AB 1距离为33.
●锦囊妙记
空间中的距离主要指以下七种: (1)两点之间的距离. (2)点到直线的距离. (3)点到平面的距离. (4)两条平行线间的距离. (5)两条异面直线间的距离.
(6)平面的平行直线与平面之间的距离. (7)两个平行平面之间的距离.
七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系,有些可以相互转化,如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离,平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.
在七种距离中,求点到平面的距离是重点,求两条异面直线间的距离是难点.
求点到平面的距离:(1)直接法,即直接由点作垂线,求垂线段的长.(2)转移法,转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.
求异面直线的距离:(1)定义法,即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)函数极值法,依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.
●歼灭难点训练 一、选择题
1.(★★★★★)正方形ABCD 边长为2,E 、F 分别是AB 和CD 的中点,将正方形沿EF 折成直二面角(如图),M 为矩形AEFD 内一点,如果∠MBE =∠MBC ,MB 和平面BCF 所成角的正切值为
2
1
,那么点M 到直线EF 的距离为( )
21 D. 23C. B.1 22A.
2.(★★★★)三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AA 1=1,AB =4,BC =3,∠ABC =90°,设平面A 1BC 1
与平面ABC 的交线为l ,则A 1C 1与l 的距离为( )
A.10
B.11
C.2.6
D.2.4
二、填空题
3.(★★★★)如左下图,空间四点A 、B 、C 、D 中,每两点所连线段的长都等于a ,动点P 在线段AB 上,动点Q 在线段CD 上,则P 与Q 的最短距离为_________.
4.(★★★★)如右上图,ABCD 与ABEF 均是正方形,如果二面角E —AB —C 的度数为 30°,那么EF 与平面ABCD 的距离为_________.
三、解答题
5.(★★★★★)在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB =4,BC =3,CC 1=2,如图:
(1)求证:平面A 1BC 1∥平面ACD 1; (2)求(1)中两个平行平面间的距离; (3)求点B 1到平面A 1BC 1的距离.
6.(★★★★★)已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1,点E 在棱D 1D 上,截面EAC ∥D 1B 且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°,AB =a ,求:
(1)截面EAC 的面积;
(2)异面直线A 1B 1与AC 之间的距离; (3)三棱锥B 1—EAC 的体积.
7.(★★★★)如图,已知三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的底面是边长为2的正三角形,侧棱A 1A 与AB 、AC 均成45°角,且A 1E ⊥B 1B 于E ,A 1F ⊥CC 1于F .
(1)求点A 到平面B 1BCC 1的距离;
(2)当AA 1多长时,点A 1到平面ABC 与平面B 1BCC 1的距离相等. 8.(★★★★★)如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =2
,AB = 31AD =a ,
∠ADC =arccos
55
2
,P A ⊥面ABCD 且P A =a .
(1)求异面直线AD 与PC 间的距离;
(2)在线段AD 上是否存在一点F ,使点A 到平面PCF 的距离为
3
6. 参考答案
难点磁场
解:(1)在矩形ABCD 中,作AE ⊥BD ,E 为垂足
连结QE ,∵QA ⊥平面ABCD ,由三垂线定理得QE ⊥BE ∴QE 的长为Q 到BD 的距离 在矩形ABCD 中,AB =a ,AD =b , ∴AE =
2
2
b
a a
b +
在Rt △QAE 中,QA =
2
1
P A =c ∴QE =2
22
22
b a b a
c ++
∴Q 到BD 距离为2
22
22
b
a b a c ++. (2)解法一:∵平面BQD 经过线段P A 的中点, ∴P 到平面BQD 的距离等于A 到平面BQD 的距离 在△AQE 中,作AH ⊥QE ,H 为垂足
∵BD ⊥AE ,BD ⊥QE ,∴BD ⊥平面AQE ∴BD ⊥AH ∴AH ⊥平面BQE ,即AH 为A 到平面BQD 的距离. 在Rt △AQE 中,∵AQ =c ,AE =
2
2
b
a a
b +
∴AH =
2
22
2
2
)(b
a c
b a ab
c ++
∴P 到平面BD 的距离为
2
22
2
2
)(b
a c
b a ab
c ++
解法二:设点A 到平面QBD 的距离为h ,由 V A —BQD =V Q —ABD ,得31S △BQD ·h =3
1
S △ABD ·AQ h =
2
22
2
2
)(b
a c
b a ab
c S AQ
S BQD
ABD ++=
=???Λ
歼灭难点训练
一、1.解析:过点M 作MM ′⊥EF ,则MM ′⊥平面BCF ∵∠MBE =∠MBC
∴BM ′为∠EBC 为角平分线, ∴∠EBM ′=45°,BM ′=2,从而MN =
2
2 答案:A
2.解析:交线l 过B 与AC 平行,作CD ⊥l 于D ,连C 1D ,则C 1D 为A 1C 1与l 的距离,而CD 等于AC 上的高,即CD =
5
12,Rt △C 1CD 中易求得C 1D =513
=2.6
答案:C
二、3.解析:以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为空间四边形,且为正四面体,取P 、Q 分别为AB 、CD 的中点,因为AQ =BQ =
2
2
a ,∴PQ ⊥AB ,同理可得PQ ⊥CD ,故线段PQ 的 长为P 、Q 两点间的最短距离,在Rt △APQ 中,PQ =2
2)2()23(
2222=-=-a a AP AQ a 答案:
2
2
a 4.解析:显然∠F AD 是二面角E —AB —C 的平面角,∠F AD =30°,过F 作FG ⊥平面ABCD 于G ,则G 必在AD 上,由EF ∥平面ABCD .
∴FG 为EF 与平面ABCD 的距离,即FG =2
a
.
答案:2
a
三、5.(1)证明:由于BC 1∥AD 1,则BC 1∥平面ACD 1 同理,A 1B ∥平面ACD 1,则平面A 1BC 1∥平面ACD 1
(2)解:设两平行平面A 1BC 1与ACD 1间的距离为d ,则d 等于D 1到平面A 1BC 1的距离.
易求A 1C 1=5,A 1B =25,BC 1=13,则cos A 1BC 1=
65
2,则sin A 1BC 1=
65
61,则S 111C B A ?=61,
由于111111D C A B BC A D V V --=,则31S 11BC A ?·d =)2
1
(31111D C AD ?·BB 1,代入求得d =616112,即两平
行平面间的距离为
61
61
12. (3)解:由于线段B 1D 1被平面A 1BC 1所平分,则B 1、D 1到平面A 1BC 1的距离相等,则由(2)知点B 1到平面A 1BC 1的距离等于
61
61
12. 6.解:(1)连结DB 交AC 于O ,连结EO , ∵底面ABCD 是正方形
∴DO ⊥AC ,又ED ⊥面ABCD ∴EO ⊥AC ,即∠EOD =45°
又DO =
22a ,AC =2a ,EO =?
45cos DO =a ,∴S △EAC =22a (2)∵A 1A ⊥底面ABCD ,∴A 1A ⊥AC ,又A 1A ⊥A 1B 1 ∴A 1A 是异面直线A 1B 1与AC 间的公垂线 又EO ∥BD 1,O 为BD 中点,∴D 1B =2EO =2a
∴D 1D =2a ,∴A 1B 1与AC 距离为2a
(3)连结B 1D 交D 1B 于P ,交EO 于Q ,推证出B 1D ⊥面EAC ∴B 1Q 是三棱锥B 1—EAC 的高,得B 1Q =
2
3a 3
24
22322311a a a V EAC B =??=-
7.解:(1)∵BB 1⊥A 1E ,CC 1⊥A 1F ,BB 1∥CC 1 ∴BB 1⊥平面A 1EF 即面A 1EF ⊥面BB 1C 1C 在Rt △A 1EB 1中,
∵∠A 1B 1E =45°,A 1B 1=a
∴A 1E =
22a ,同理A 1F =22a ,又EF =a ,∴A 1E =22a 同理A 1F =2
2
a ,又EF =a
∴△EA 1F 为等腰直角三角形,∠EA 1F =90°
过A 1作A 1N ⊥EF ,则N 为EF 中点,且A 1N ⊥平面BCC 1B 1 即A 1N 为点A 1到平面BCC 1B 1的距离
∴A 1N =2
21a
=
又∵AA 1∥面BCC 1B ,A 到平面BCC 1B 1的距离为2
a
∴a =2,∴所求距离为2
(2)设BC 、B 1C 1的中点分别为D 、D 1,连结AD 、DD 1和A 1D 1,则DD 1必过点N ,易证ADD 1A 1为平行四边形.
∵B 1C 1⊥D 1D ,B 1C 1⊥A 1N ∴B 1C 1⊥平面ADD 1A 1 ∴BC ⊥平面ADD 1A 1
得平面ABC ⊥平面ADD 1A 1,过A 1作A 1M ⊥平面ABC ,交AD 于M , 若A 1M =A 1N ,又∠A 1AM =∠A 1D 1N ,∠AMA 1=∠A 1ND 1=90°
∴△AMA 1≌△A 1ND 1,∴AA 1=A 1D 1=3,即当AA 1=3时满足条件. 8.解:(1)∵BC ∥AD ,BC ?面PBC ,∴AD ∥面PBC
从而AD 与PC 间的距离就是直线AD 与平面PBC 间的距离. 过A 作AE ⊥PB ,又AE ⊥BC ∴AE ⊥平面PBC ,AE 为所求.
在等腰直角三角形P AB 中,P A =AB =a ∴AE =
2
2a (2)作CM ∥AB ,由已知cos ADC =55
2 ∴tan ADC =
21,即CM =2
1DM ∴ABCM 为正方形,AC =2a ,PC =3a 过A 作AH ⊥PC ,在Rt △P AC 中,得AH =
3
6
下面在AD 上找一点F ,使PC ⊥CF
取MD 中点F ,△ACM 、△FCM 均为等腰直角三角形 ∴∠ACM +∠FCM =45°+45°=90°
∴FC⊥AC,即FC⊥PC∴在AD上存在满足条件的点F.
[学法指导]立体几何中的策略思想及方法
立体几何中的策略思想及方法
近年来,高考对立体几何的考查仍然注重于空间观点的建立和空间想象能力的培养.题目起点低,步步升高,给不同层次的学生有发挥能力的余地.大题综合性强,有几何组合体中深层次考查空间的线面关系.因此,高考复习应在抓好基本概念、定理、表述语言的基础上,以总结空间线面关系在几何体中的确定方法入手,突出数学思想方法在解题中的指导作用,并积极探寻解答各类立体几何问题的有效的策略思想及方法.
一、领悟解题的基本策略思想
高考改革稳中有变.运用基本数学思想如转化,类比,函数观点仍是考查中心,选择好典型例题,在基本数学思想指导下,归纳一套合乎一般思维规律的解题模式是受学生欢迎的,学生通过熟练运用,逐步内化为自己的经验,解决一般基本数学问题就会自然流畅.
二、探寻立体几何图形中的基面
立体几何图形必须借助面的衬托,点、线、面的位置关系才能显露地“立”起来.在具体的问题中,证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面.这个辅助平面的获取正是解题的关键所在,通过对这个平面的截得,延展或构造,纲举目张,问题就迎刃而解了.
三、重视模型在解题中的应用
学生学习立体几何是从认识具体几何模型到抽象出空间点、线、面的关系,从而培养空间想象能力.而数学问题中许多图形和数量关系都与我们熟悉模型存在着某种联系.它引导我们以模型为依据,找出起关键作用的一些关系或数量,对比数学问题中题设条件,突出特性,设法对原图形补形,拼凑、构造、嵌入、转化为熟知的、形象的、直观的模型,利用其特征规律获取优解.
上海2016高考零距离突破数学基础梳理篇答案
1 / 20 第1讲 如何运用数形结合思想提升解题能力 例题精讲 例1 变式题 {}34x x << 例4 变式题 4 例5 变式题 4± 例8 变式题 10 课时作业 1.1,14?? - ??? 2.()(),11+-∞-∞ , 3.( 21?--?, 4. 5.2 6.()(),11+-∞-∞ , 7. ()(),11+-∞-∞ , 8.C 9.A 10.D 11.13a << 12. (){},04-∞ 13.(1)最大值为 3+34,最小值为33 4 -;(2)最大值为 25-+,最小值为25-- 第2讲 如何运用分类讨论思想提升解题能力 例题精讲 例5 变式题 略 课时作业 1. (22?- ? , 2.3 3. 1 12 - , 112 - 4. 323或163 5. 5或 52 6. 32或6 7.C 8.D 9.3a =或13a = 10.25a b =??=-?或21 a b =-??=? 11.3 2m =-, 116 n = 第3讲 如何运用函数与方程思想提升解题能力 例题精讲 例1 变式题 36- 例2 变式题 1314?? ??? , 例6 变式题 1 课时作业 18 2.0 3. 1,24??-???? 4.4006 5.3+1 6.1122?? -+????, 7. 10 8. 6 3 9.D 10.B d ≥2 2 12.3a =-,5b =,()23318f x x x =--+ 13.略 14.(1)()21 312 f x x x = -, ( ) 03 ,(2)当6 2 x = 时, 最大值为 1 8 第4讲 如何运用等价转化思想提升解题能力 例题精讲 例4 变式题 1 3 课时作业 1.4 2. 222m <+ 3. na 4.5 14 k -≤≤ 5.B 6.C 7.A 8.B 9.x ≤-1或0x ≥ 10. {}1m m -≤ 11.2204x y +≤≤ 第5讲 如何运用数学建模思想提升解题能力 例题精讲 例1 变式题 0.9% 课时作业 1. ()0.810.250.2x -≤ 2.()()()()600 2.51502.5 3.515050 3.5 3.5 6.5t t x t t t ?? =? --≤≤≤≤ 3.长 3m ,宽 1.5m 4. 45.6 5. 232100,020,160,20 x x x x y x x * ?-+-<∈=? ->?N ≤ 6.C 7.C 8.A 9.A 10.(1)略(2)乙学科 11.(1) 102?? ???? ,(2)略 12.略 第6讲 如何运用高中数学方法提升解题能力 例题精讲 例 2 变式题 m a x 978 y = 例 3 变式题 22 1927 x y -= 例7 变式题 略 课时作业 2lg 1x - 2.22+11510 y x = 3.132n n ?+ 4.> 5.9-,π4- 6.A 7.B 8.()132n n a n -=- 9.略 10.115? ?--??? ?, 11.(1)略(2)略 第7讲 集合的含义与表示 基础自测
2017年山东省高考数学试卷(理科)
2017年高考数学山东卷(理科) 一、选择题(共10小题,每小题5分,共50分) 1、设函数24x y -=的定义域为A ,函数)1ln(x y -=的定义域为B ,则=B A ( ) A 、(1,2) B 、(1,2] C 、(-2,1) D 、[-2,1) 2、已知R a ∈,i 是虚数单位,若i a z 3+=,4=?z z ,则=a ( ) A 、1或-1 B 、7或7- C 、3- D 、3 3、已知命题p :0>?x ,0)1ln(>+x ;命题q :若b a >,则22b a >,下列命题为真命题的是( ) A 、q p ∧ B 、q p ∧ C 、q p ∧ D 、q p ∧ 4、已知x 、y 满足约束条件?? ???≥+≤++≤+-0305303x y x y x ,则y x z 2+=的最大值是( ) A 、0 B 、2 C 、5 D 、6 5、为了研究某班学生的脚长x (单位:厘米)和身高y (单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系,设其回归直线方程为a x b y +=,已知225101=∑=i i x ,160010 1=∑=i i y ,4=b ,该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为( ) A 、160 B 、163 C 、166 D 、170 6、执行两次如图所示的程序框图,若第一次输入的x 值为7,第二次 输入的x 值为9,则第一次、第二次输出的a 值分别为( ) A 、0,0 B 、1,1 C 、0,1 D 、1,0 7、若0>>b a ,且1=ab ,则下列不等式成立的是( ) A 、)(log 212b a b b a a +<<+ B 、b a b a b a 1)(log 2 2+<+< C 、a b b a b a 2)(log 12<+<+ D 、a b b a b a 21)(log 2<+<+ 8、从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次, 每次抽取1张,则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( ) A 、185 B 、94 C 、95 D 、9 7
高考数学专题之排列组合小题汇总
温馨提示:(每题4分满分100分时间90分钟)姓名________________ 一、单选题 1.某种植基地将编号分别为1,2,3,4,5,6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的 A B C D E F 这六块实验田上进行对比试验,要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯,若种植时要求编号1,3,5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻,且2号品种的马铃薯不能种植在A 、F这两块实验田上,则不同的种植方法有 ( ) A. 360种 B. 432种 C. 456种 D. 480种 2.甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展,她们选择共享电动车出行,每辆电动车只能载两人,其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车,甲的小孩一定要坐戊妈妈的车,则她们坐车不同的搭配方式有() A.种 B.种 C.种 D.种 3.已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡,顾客乙只带了现金,顾客丙、丁用哪种方式结账都可以,这四名顾客购物后,恰好用了其中的三种结账方式,那么他们结账方式的可能情况有()种 A. 19 B. 26 C. 7 D. 12 4.有张卡片分别写有数字,从中任取张,可排出不同的四位数个数为() A . B. C. D. 5.我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教,要求每所中学至少派遣一名教师,则不同的派出方法有() A. 300种 B. 150种 C. 120种 D. 90种 6.一只小青蛙位于数轴上的原点处,小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力,且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后,停在数轴上实数2位于的点处,则小青蛙不同的跳动方式共有( )种. A. 105 B. 95 C. 85 D. 75 7.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”,主要指德育;“乐”,主要指美育;“射”和“御”,就是体育和劳动;“书”,指各种历史文化知识;“数”,数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:“数”必须排在前三节,且“射”和“御”两门课程相邻排课,则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有() A.种 B.种 C.种 D.种 8.郑州绿博园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,其中的小李和小王不在一起,不同的安排方案共有() A. 168种 B. 156种 C. 172种 D. 180种 9.用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色,每个顶点出发的棱的颜色各不相同,不同的染色方案共有多少种() A.14400 B.28800 C.38880 D.43200 10.《红海行动》是一部现代海军题材影片,该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事.撤侨过程中,海军舰长要求队员们依次完成六项任务,并对任务的顺序提出了如下要求:重点任务A 必须排在前三位,且任务E、F必须排在一起,则这六项任务的不同安排方案共有() A. 240种 B. 188种 C. 156种 D. 120种 11.定义“有增有减”数列{}n a如下:* t N ?∈,满足 1 t t a a + <,且* s N ?∈,满足 1 S S a a + >.已知“有增有减”数列{}n a共4项,若{}() ,,1,2,3,4 i a x y z i ∈=,且x y z <<,则数列{}n a共有() 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总
高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值
【新课标-高考零距离】最新2018年高考理综(物理)考前调研检测试题及答案解析
新课标2018年高考理综(物理)模拟试题 一、单选题 13.下列说法正确的是( ) A .牛顿第一定律是通过实验得出的 B .万有引力常量是由牛顿直接给定的 C .元电荷e 的数值最早是由密立根测得 D .用实验可以揭示电场线是客观存在的 【答案】C 【考点】本题考查物理学史 【解析】牛顿第一定律是在实验的基础上合理外推得到的,不是实验定律,A 错,万有引力常量是英国物理学家卡文迪许测得的,B 错;电场线是人们为了形象描述电场假设的线,并不真实存在,D 错,C 符合事实。 【易错警示】万有引力定律是牛顿发现的,往往同学会认为万有引力常量也是牛顿测得的,实际上万有引力常量是在牛顿发现万有引力定律100多年后卡文迪许才通过扭秤实验得到的。 14.如图所示,圆弧形货架摆着四个完全相同的光滑小球,O 为圆心。则对圆弧面的 压力最小的是( ) A .a 球 B .b 球 C .c 球 D .d 球 【答案】A 【考点】本题考查力的正交分解与共点力平衡。 【解析】小球对圆弧面的压力大小等于求的重力沿斜面的分力 sin mg ,显然a 球对圆弧面的压力最小。 【技巧点拨】若看不出小球对弧面的压力的实质是重力沿斜面的分力,在曲面上纠结会导致找不到突破口无法解答。 15.如图所示,理想变压器的原线圈接有交变电压U ,副线圈接有光敏电阻R 1 (光敏电阻随光照强度增大而减小)、定值电阻R 2.则( ) A .仅增强光照时,原线圈的输入功率减小 B .仅向下滑动P 时,R 2两端的电压增大
C .仅向下滑动P 时,R 2消耗的功率减小 D .仅增大U 时,R 2消耗的功率减小 【答案】B 【考点】考查变压器的动态变化。 【解析】仅增强光照时,R 1变小,副线圈的输出功率R U P 2 =变大,所以原线圈的输入功 率变大,A 错;仅向下滑动P 时,原线圈匝数减少,2 1 21n n U U =,副线圈电压变大,R 2两端 的电压增大,R 2消耗的功率变大,B 正确,C 错误;仅增大U 时,副线圈电压变大,R 2消耗的功率变大,D 错。 16.一汽车的额定功率为P ,设在水平公路行驶所受的阻力恒定,最大行驶速度为v m 。则( ) A .若汽车以额定功率启动,则做匀加速直线运动 B .若汽车匀加速启动,则在刚达到额定功率时的速度等于v m C .无论汽车以哪种方式启动,加速度与牵引力成正比 D .汽车以速度v m 匀速行驶,若要减速,则要减少牵引力 【答案】D 【考点】考查汽车的两种启动方式 [解析] 汽车以额定功率启动时,根据Fv P =,ma f F =-,可知汽车做加速度逐渐减小的变加速直线运动,A 错;若汽车匀加速启动,达到额定功率时后,保持功率不变做变加速直线运动,故此时的速度不等于v m ,B 错;汽车加速时ma f F =-,加速度并不与牵引力成正比,C 错;由m fv Fv P ==可知,D 正确。 【导师点睛】求解汽车起动问题,主要应用功率关系式:v F P ?=,在应用该式时,应注意如下几个问题:①如果速度v 是瞬时速度,则对应的是瞬时功率,如果速度v 是平均速度,则对应的是平均功率;②汽车的输出功率对应的牵引力F的功率,只有在匀速运动时,牵引力F才等于阻力f F 。 二、双项选择题 17.如图,竖直放置的平行金属板带等量异种电荷,一不计重力的带电粒子从两板中问以 某一初速度平行于两板射入,打在负极板的中点,以下判断正确的是( ) A .该带电粒子带正电 B .该带电粒子带负电
2020年高考理科数学易错题《排列组合》题型归纳与训练
2020年高考理科数学《排列组合》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 计数原理的基本应用 例1 某校开设A 类选修课2门,B 类选修课3门,一位同学从中选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 A .3种 B .6种 C .9种 D .18种 【答案】 C . 【解析】 可分以下2种情况:①A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有 62312=?C C 种不同的选法;②A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,有31322=?C C 种不同的选法.所以根据分类计数原理知不同的选法共有6+3=9种.故要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有9种.故选:C 【易错点】注意先分类再分步 【思维点拨】两类课程中各至少选一门,包含两种情况:A 类选修课选1门,B 类选修课选2门;A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,写出组合数,根据分类计数原理得到结果. 题型二 特殊元素以及特殊位置 例 1 将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排,且B A ,均在C 的同侧,则不同的排法有( )种.(用数字作答) 【答案】 480 【解析】考虑到C B A ,,要求有顺序地排列,所以将这三个字母当作特殊元素对待。先排F E D ,,三个字母,有12036 =A 种排法;再考虑C B A ,,的情况:C 在最左端有2种排法,最右端也是2种排法,所以答案是4804120=?种. 【易错点】注意特殊元素的考虑 【思维点拨】对于特殊元素与特殊位置的考量,需要瞻前顾后,分析清楚情况,做到“不重复不遗漏”;如果情况过于复杂,可以考虑列举法,虽然形式上更细碎一些,但是情况分的越多越细微,每种情况越简单,准确度就越高. 题型三 捆绑型问题以及不相邻问题 例1 由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )个.
2017年高考数学空间几何高考真题
2017年高考数学空间几何高考真题
2017年高考数学空间几何高考真题 一.选择题(共9小题) 1.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是() A.B.C. D. 2.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为() A.πB.C.D. 3.在正方体ABCD﹣A 1B 1 C 1 D 1 中,E为棱CD的中点,则() A.A 1E⊥DC 1 B.A 1 E⊥BD C.A 1 E⊥BC 1 D.A 1 E⊥AC 4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为() A.60 B.30 C.20 D.10
5.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm2)是() A.+1 B.+3 C.+1 D.+3 6.如图,已知正四面体D﹣ABC(所有棱长均相等的三棱锥),P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点,AP=PB,==2,分别记二面角D﹣PR﹣Q,D﹣PQ﹣R,D ﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ,则() A.γ<α<β B.α<γ<β C.α<β<γ D.β<γ<α 7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为() A.90πB.63πC.42πD.36π
1.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为() A.10 B.12 C.14 D.16 2.已知直三棱柱ABC﹣A 1B 1 C 1 中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC 1 =1,则异面直线 AB 1与BC 1 所成角的余弦值为() A. B.C.D. 二.填空题(共5小题) 8.已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S﹣ABC的体积为9,则球O的表面积为. 9.长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为. 10.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为. 11.由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为.
高考专题突破一
高考专题突破一 高考中的不等式问题 【考点自测】 1.若a ,b ,c ∈R ,且a >b ,则下列不等式一定成立的是( ) A.a +c ≥b -c B.(a -b )c 2≥0 C.ac >bc D.c 2a -b >0 答案 B 解析 A 项,当c <0时,不等式a +c ≥b -c 不一定成立;C 项,当c =0时,ac =bc ;D 项,c =0时,c 2 a - b =0; B 项,由a >b 可得a -b >0, 因为c 2≥0,所以(a -b )c 2≥0. 故选B. 2.若当x >-3时,不等式a ≤x +2 x +3恒成立,则a 的取值范围是________. 答案 (-∞,22-3] 解析 设f (x )=x +2x +3=(x +3)+2 x +3-3, 因为x >-3,所以x +3>0, 故f (x )≥2 (x +3)×2x +3 -3=22-3, 当且仅当x =2-3时等号成立, 所以a 的取值范围是(-∞,22-3]. 3.若实数x ,y 满足???? ? x +y ≥0,x ≤1, x -2y ≥0,则|x |+|y |的取值范围是________. 答案 [0,2] 解析 |x |+|y |表示可行域内一点到x ,y 轴的距离之和,作出不等式组表示的可行域,由可行域可知在点(0,0)处取得最小值0,在点(1,-1)处取得最大值2,所以|x |+|y |∈[0,2]. 4.若关于x 的方程x 2+4x +|a -2|+|a +1|=0有实根,则实数a 的取值范围为________.