五、大数定律与中心极限定理(答案)

概率论与数理统计练习题

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第五章 大数定律与中心极限定理

一、选择题：

1．设n μ是n 次重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则对任意的0ε>均有lim {}n n P p n με→∞-≥ [ A ]

（A ）0= （B ）1= （C ）0> （D ）不存在

2．设随机变量X ，若2() 1.1,()0.1E X D X ==，则一定有 [ B ]

（A ）{11}0.9P X -<<≥ （B ）{02}0.9P X <<≥

（C ）{|1|1}0.9P X +≥≤ （D ）{|}1}0.1P X ≥≤

3．121000,,,X X X 是同分布相互独立的随机变量，~(1,)i X B p ，则下列不正确的是 [ D ]

（A ）1000111000i i X p =≈∑ （B

）10001

{}i i P a X b =<<≈Φ-Φ∑ （C ）10001~(1000,)i i X B p =∑ （D ）1000

1{}()()i i P a X b b a =<<≈Φ-Φ∑

二、填空题：

1．对于随机变量X ，仅知其1()3,()25

E X D X ==，则可知{|3|3}P X -<≥

2．设随机变量X 和Y 的数学期望分别为2-和2，方差分别为1和4，而相关系数为5.0-，则根据契比雪夫不等式{}6P X Y +≥≤

三、计算题：

1．设各零件的重量是同分布相互独立的随机变量，其数学期望为0.5kg ，均方差为0.1kg ，问

5000只零件的总重量超过2510kg 的概率是多少？

解：设第i 件零件的重量为随机变量i X ，根据题意得0.1.i EX ==

5000

5000

11

()50000.52500,()50000.0150.i i

i i E X D X ===?==?=∑∑

5000500012500(2510)110.9207

0.0793.i i i X P X P =->=>≈-Φ≈-=∑∑

2．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差是独立的且在(0.5,0.5)-上服从均匀分布。

（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？

（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90 ？

解：（1）1500

1500111(0.5,0.5),()0,()1500125.12

i i i i X U E X D X ==-==?

=∑∑

1500

1(||15)2[1(2[1(1.3)]0.18.5

i i P X

P =>=>≈-Φ≈-Φ=∑ （2

）1||(||10)0.90n i n i i X P X P =<=<≥∑

∑0.95?Φ≥. 根据Φ

1.645≥，故21012()443.4.1.645n ≤?≈ 所以n 最多为443个数相加.

3．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。

（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？

（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？

解：（1）令1i X =为第i 个病人治愈成功，反之则0.i X =

令100

1,(100,0.8),()80,()16.i

i Y X Y B E Y D Y ====∑ 05(75))()0.8

944.

4P Y >=>≈Φ= （2）令1i X =为第i 个病人治愈成功，反之则0.i X =

令100

1,(100,0.7),()70,()21.i

i Y X Y B E Y D Y ====∑ (75)10.1379.

P Y P >=>≈-Φ= 4．一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5。某天售出300只蛋糕。

（1）求收入至少400元的概率；

（2）求售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率。

解：（1）设X i (i=1,2,3…,300)为蛋糕的价格，其分布律为: 11215030205i

X P .....

10312021505129

123300i E X i =?+?+?==()......(,,,) 2103144

022250512900489123300().....(.).(,,,)i D X i =?+?+?-== 记3001i i X X

==∑

400

()P X P ≥=≥ 1291

0409

P =-< 13394(.)=-Φ

10999700003..=-=

记Y 为售出蛋糕的价格为1.2元的数量，则30002Y B ~(,.)

60160P Y P Y >=-≤()() 1

P =-≤ 1005=-Φ=().