高中数学-数列的综合应用练习

高中数学-数列的综合应用练习

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、填空题

1．(·昆明调研)公比不为1的等比数列{a n}的前n项和为S n，且－3a1，－a2，a

3

成等差数列，若a1＝1，则S4＝________.

解析记等比数列{a n}的公比为q(q≠1)，依题意有－2a2＝－3a1＋a3，－2a1q ＝－3a1＋a1q2，即q2＋2q－3＝0，(q＋3)(q－1)＝0，又q≠1，因此有q＝－

3，则S4＝1×[1－－34]

1＋3

＝－20.

答案－20

2．若－9，a，－1成等差数列，－9，m，b，n，－1成等比数列，则ab＝________.

解析由已知得a＝－9－1

2

＝－5，b2＝(－9)×(－1)＝9且b<0，∴b＝－3，

∴ab＝(－5)×(－3)＝15.

答案15

3．(·德州模拟)数列{a n}满足a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1(n∈N*)，它的前n项和为S n，则满足S n>1 025的最小n值是________．

解析因为a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1(n∈N*)，所以a n＋1＝2a n，a n＝2n－1，S n ＝2n－1，则满足S n>1 025的最小n值是11.

答案11

4．已知{a n}为等比数列，S n是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差

中项为5

4

，则S5＝________.

解析设数列{a n}的公比为q，则由等比数列的性质知，a

2

·a3＝a1·a4＝2a1，即a4＝2.

由a4与2a7的等差中项为5

4

知，a4＋2a7＝2×

5

4

，

∴a7＝1

2?

?

?

?

?

2×

5

4

－a4＝

1

4

.∴q3＝

a

7

a

4

＝

1

8

，即q＝

1

2

.

∴a4＝a1q3＝a1×1

8

＝2，∴a1＝16，

∴S5＝16

?

?

?

?

?

1－

1

25

1－

1

2

＝31.

答案31

5．(·兰州模拟)设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于________．

解析由题意可设f(x)＝kx＋1(k≠0)，则(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)，解得k＝2，f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n＋

1)＝2n2＋3n.

答案2n2＋3n

6．(2014·绍兴调研)已知实数a1，a2，a3，a4构成公差不为零的等差数列，且a

1

，a3，a4构成等比数列，则此等比数列的公比等于________．

解析设公差为d，公比为q.

则a23＝a1·a4，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，

解得a1＝－4d，所以q＝a

3

a

1

＝

a

1

＋2d

a

1

＝

1

2

.

答案1 2

7．(·江西卷)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．解析每天植树棵数构成等比数列{a n}，

其中a1＝2，q＝2.则S n＝a

1

1－q n

1－q

＝2(2n－1)≥100，即2n＋1≥102.

∴n≥6，∴最少天数n＝6.

答案 6

8．(·山东省实验中学诊断)数列{a n}满足a1＝3，a n－a n a n＋1＝1，A n表示{a n}前n 项之积，则A2 013＝________.

解析 由a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1，得a n ＋1＝

a n －1a n ，所以a 2＝3－13＝23，a 3＝－1

2

，a 4＝3，所以{a n }是以3为周期的数列，且a 1a 2a 3＝－1，又2 013＝3×671，所以A 2 013＝(－1)671＝－1. 答案 －1 二、解答题

9．(·杭州模拟)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式．

(2)令b n ＝na n ，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .

解

(1)由已知，得?

??

a 1

＋a 2

＋a 3

＝7，

a 1

＋3＋a 3

＋4

2＝3a 2，

解得a 2＝2.

设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2

q

，a 3＝2q .

又S 3＝7，可知2

q

＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0，

解得q ＝2或1

2.由题意得q ＞1，所以q ＝2.则a 1＝1.

故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1. (2)由于b n ＝n ·2n －1，n ＝1,2，…， 则T n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1，

所以2T n ＝2＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ，

两式相减得－T n ＝1＋2＋22＋23＋…＋2n －1－n ×2n ＝2n －n ×2n －1， 即T n ＝(n －1)2n ＋1.

10．(·湛江二模)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋4，数列{a n }是公差为d 的等差数列，若a 1＝f (d －1)，a 3＝f (d ＋1)， (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)S n 为{a n }的前n 项和，求证：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ≥1

3.

(1)解 a 1＝f (d －1)＝d 2－4d ＋7，a 3＝f (d ＋1)＝d 2＋3，

又由a 3＝a 1＋2d ，可得d ＝2，所以a 1＝3，a n ＝2n ＋1. (2)证明 S n ＝n 3＋2n ＋1

2

＝n (n ＋2)，

1S n ＝

1n

n ＋2

＝12? ??

??1

n －

1n ＋2， 所以，1S 1＋1S 2＋…＋1

S n

＝12? ?

???1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －

1n ＋2 ＝12? ????3

2－

1n ＋1－1n ＋2≥12? ????32－11＋1－11＋2＝13

. 能力提升题组 (建议用时：25分钟)

一、填空题

1．(·福州模拟)在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和，若S n 取得最大值，则n ＝________. 解析 设公差为d ，由题设3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )， 所以d ＝－

4

33

a 1<0. 解不等式a n >0，即a 1＋(n －1)? ????

－433a 1>0，

所以n <37

4

，则n ≤9，

当n ≤9时，a n >0，同理可得n ≥10时，a n <0. 故当n ＝9时，S n 取得最大值． 答案 9

2．已知f (x )＝bx ＋1是关于x 的一次函数，b 为不等于1的常数，且g (n )＝??

?

1，n ＝0，f [g n －1

]，n ≥1，

设a n ＝g (n )－g (n －1)(n ∈N *)，则数列{a n }为

________数列．(填“等差”、“等比”、“递增”或“递减”)

解析 a 1＝g (1)－g (0)＝f [g (0)]－g (0)＝b ＋1－1＝b ，当n ≥2时，a n ＝g (n )

－g (n －1)＝f [g (n －1)]－f [g (n －2)]＝b [g (n －1)－g (n －2)]＝ba n －1，所以{a n }是等比数列． 答案 等比

3．(·浙江五校联考)设x 为实数，[x ]为不超过实数x 的最大整数，记{x }＝x －[x ]，则{x }的取值范围是[0,1)，现定义无穷数列{a n }如下：a 1＝{a }，当

a n ≠0

时，a n ＋1＝??????

???

?1a n ；当

a n ＝0时，a n ＋1＝0.如果a ＝3，则a 2 013＝________.

解析 由题意可得a 1＝3－1，a 2＝??????13－1＝3－1

2，a 3＝??

????23－1＝3－1，a 4＝??????13－1＝3－1

2，…，所以数列{a n }是周期为2的数列，所以a 2 013＝a 1

＝3－1. 答案

3－1

二、解答题

4．(·盐城调研)已知数列{a n }满足a 1＝2，前n 项和为S n ，a n ＋1＝??

?

pa n ＋n －1，n 为奇数，

－a n －2n ，n 为偶数.

(1)若数列{b n }满足b n ＝a 2n ＋a 2n ＋1(n ≥1)，试求数列{b n }前n 项和T n ； (2)若数列{c n }满足c n ＝a 2n ，试判断{c n }是否为等比数列，并说明理由； (3)当p ＝1

2时，问是否存在n ∈N *，使得(S 2n ＋1－10)c 2n ＝1？若存在，求出所有

的n 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)根据题意得b n ＝a 2n ＋a 2n ＋1＝－4n ， ∴{b n }成等差数列，故T n ＝－2n 2－2n .

(2)当p ＝12时，数列{c n }成等比数列；当p ≠1

2时，数列{c n }不为等比数列．

理由如下：∵c n ＋1＝a 2n ＋2＝pa 2n ＋1＋2n ＝p (－a 2n －4n )＋2n ＝－pc n －4pn ＋2n ， ∴

c n ＋1c n ＝－p ＋2n 1－2p c n ，故当p ＝12时，数列{c n }是首项为1，公比为－12

等比数列；

当p ≠1

2时，数列{c n }不成等比数列．

(3)当p ＝12时，由(2)知c n ＝? ????

－12n －1，

∴c 2n ＝? ????－122n －1＝－? ??

??122n －1. 又S 2n ＋1＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2n ＋a 2n ＋1)＝a 1＋b 1＋b 2＋…＋b n ＝－2n 2－2n ＋2.

则由(S 2n ＋1－10)c 2n ＝1，得4n 2＋4n ＋16＝4n ， 记f (x )＝4x －4x 2－4x －16(x ≥2)， 则g (x )＝f ′(x )＝4x ln 4－8x －4， ∴g ′(x )＝(ln 4)24x －8>0(x ≥2)， ∴g (x )在[2，＋∞)上单调递增，

∴g (x )≥g (2)＝f ′(2)>0，即f ′(x )>0，且f (1)≠0， ∴仅存在唯一的n ＝3，使得(S 2n ＋1－10)c 2n ＝1成立．