程序设计实训题4

基础实训21

5. 分解质因数

整数分解质因数是最基本的分解。例如，90=2*3*3*5, 1960=2^3*5*7^2，前者为质因数乘积形式，后者为质因数的指数形式。

把指定区间上的所有整数分解质因数,?每一整数表示为质因数从小到大顺序的乘积形式。如果被分解的数本身是素数，则注明为素数。

例如, 92=2*2*23, 91(素数!)。

分解：

1671861＝

5845271＝

（1）设计要点

对每一个被分解的整数i，赋值给b(以保持判别运算过程中i不变)，用k(从2开始递增取值)试商:

若不能整除，说明该数k不是b的因数，k增1后继续试商。

若能整除，说明该数k是b的因数，打印输出"k*"；b除以k的商赋给b(b=b/k)?后继续用k试商(注意，可能有多个k因数)，直至不能整除，k增1后继续试商。

按上述从小至大试商确定的因数显然为质因数。

循环取值k的终值如何确定，一定程度上决定了程序的效率。终值定为i-1或i/2，无效循环太多。循环终值定为i的平方根sqrt(i)可大大精简试商次数，此时如果有大于sqrt(i)的因数(至多一个!)?,在试商循环结束后要注意补上，不要遗失。

如果整个试商后b的值没有任何缩减，仍为原待分解数i，说明i是素数，作素数说明标记。

（2）质因数分解乘积形式程序设计

// 质因数分解乘积形式

#include"math.h"

#include

void main()

{long int b,i,k,m,n,w=0;

printf("[m,n]中整数分解质因数（乘积形式）.\n");

printf("请输入m,n:");

scanf("%ld,%ld",&m,&n);

for(i=m;i<=n;i++) // i为待分解的整数

{ printf("%ld=",i);

b=i;k=2;

while(k<=sqrt(i)) // k为试商因数

{if(b%k==0)

{b=b/k;

if(b>1)

{printf("%ld*",k);

continue; // k为质因数,返回再试

}

if(b==1) printf("%ld\n",k);

}

k++;

}

if(b>1 && b

printf("%ld\n",b); // 输出大于i平方根的因数

if(b==i)

{printf("(素数!)\n");w++;} // b=i,表示i无质因数

}

printf("其中共%d个素数.\n",w);

}

1671861=3*31*17977

5845271=233*25087

6. 构建横竖折对称方阵

试观察图所示的横竖折对称方阵的构造特点，总结归纳其构造规律，设计并输出n（奇数）阶对称方阵。

图 7阶横竖对称方阵

输出15阶、19阶横竖折对称方阵。

解: 这是一道培养与锻炼观察能力、归纳能力与设计能力的有趣案例。

设置2维数组a[n][n]存储n阶方阵的元素，数组a[n][n]就是数据结构。本案例求解算法主要是给a数组赋值与输出。一个一个元素赋值显然行不通，必须根据方阵的构造特点，归纳其构建规律，分区域给各元素赋值。

（1）构造规律与赋值要点

观察横竖折对称方阵的构造特点，方阵横向与纵向正中有一对称轴。两对称轴所分4个小矩形区域表现为同数字横竖折递减，至4顶角元素为1。

设阶数n（奇数）从键盘输入，对称轴为m=(n+1)/2。

设置2维a数组存储方阵中元素，行号为i，列号为j，a[i][j]为第i行第j列元素。

可知主对角线（从左上至右下）有：i=j；

次对角线（从右上至左下）有：i+j=n+1。

按两条对角线把方阵分成上部、左部、右部与下部4个区,如图所示。

图对角线分成的4个区

对角线上元素可归纳到上、下部，即上、下部区域带等号即可。

上、下部按列号j的函数abs(m-j)赋值：

if(i+j<=n+1 && i<=j || i+j>=n+1 && i>=j)

a[i][j]=abs(m-j);

左、右部按行号i的函数abs(m-i)赋值：

if(i+jj || i+j>n+1 && i

a[i][j]=abs(m-i);

输出时,按a[i][j]打印。

（2）程序设计

// 横竖折对称方阵

#include

#include

void main()

{int i,j,m,n,a[30][30]; // 定义数据结构

printf(" 请确定方阵阶数(奇数)n: "); scanf("%d",&n);

if(n%2==0) {printf(" 请输入奇数！");return;}

m=(n+1)/2;

for(i=1;i<=n;i++)

for(j=1;j<=n;j++)

{ if(i+j<=n+1 && i<=j || i+j>=n+1 && i>=j)

a[i][j]=abs(m-j); // 方阵上、下部元素赋值 if(i+jj || i+j>n+1 && i

a[i][j]=abs(m-i); // 方阵左、右部元素赋值 }

printf(" %d阶对称方阵为:\n",n);

for(i=1;i<=n;i++)

{ for(j=1;j<=n;j++) // 输出对称方阵

printf("%3d",a[i][j]);

printf("\n");

}

}

7. n个1 整除

一个整数为n个1，它能被指定正整数p(约定为个位数字非5的奇数)整除，问n至少为多大？

输入p，输出n。

p=57, n=

p=2011, n=

设计1：模拟竖式除法

// n个1 被p 整除

#include

void main()

{ int a,b,c,n,p;

printf(" 请输入整数p: "); scanf("%d",&p);

n=4; c=1111; // 确定初始值

while(c!=0)

{ a=c*10+1; b=a/p; printf("%d",b);

c=a%p; n++; // 实施除乘竖式计算模拟

}

printf("\n 至少%d个1才能初被%d整除.\n",n,p);

}

设计2：余数统计法

// n个1 被2011 整除

#include

void main()

{ int c,n,s,p;

printf(" 请输入整数p: "); scanf("%d",&p);

n=1; c=1; s=1; // 确定初始值

while(s!=0)

{ n++; c=c*10%p; // c为第n位除以p的余数

s=(s+c)%p; // 统计n个1险乎以p的余数

}

printf(" 至少%d个1才能初被%d整除.\n",n,p);

}

请输入整数p: 57

至少18个1才能初被57整除.

请输入整数p: 2011

至少670个1才能初被2011整除.

8. 基于素数的代数和

定义s(n)=1*3-3*5-5*7+7*9+9*11±…-25*27±…±(2n-1)*(2n+1)

(一般项(2k-1)*(2k+1)的符号识别：当(2k-1)与(2k+1)中有且只有一个素数，取“+”；其余取“-”。)

1) 求s(1000)。

2) 设1<=n<=1000，当n为多大时，s(n)最大。

3) 设1<=n<=1000，当n为多大时，s(n)最小。

（1） C程序设计

// 基于素数的整数和

#include

#include

void main()

{ int t,j,n,k,k1,k2,a[3000]; long s,smax,smin;

printf(" 请输入整数n: ");

scanf("%d",&n);

for(k=1;k<=n+1;k++) a[k]=0;

for(k=2;k<=n+1;k++)

{for(t=0,j=3;j<=sqrt(2*k-1);j+=2)

if((2*k-1)%j==0)

{t=1;break;}

if(t==0) a[k]=1; // 标记第k个奇数2k-1为素数

}

s=0;smax=0;smin=10000;

for(k=1;k<=n;k++)

{if(a[k]+a[k+1]==1)

s+=(2*k-1)*(2*k+1); // 实施代数和

else

s-=(2*k-1)*(2*k+1);

if(s>smax){smax=s;k1=k;} // 比较求最大值smax

if(s

}

printf("s(%d)=%ld \n",n,s);

printf("当k=%d时s有最大值: %ld\n",k1,smax);

printf("当k=%d时s有最小值: %ld\n",k2,smin);

}

（2）运行结果

请输入整数n: 300

s(300)=1142382

当k=255时s有最大值: 2986031

当k=174时s有最小值: -174700

请输入整数n: 1000

s(1000)=-161348876

当k=387时s有最大值: 7076531

当k=985时s有最小值: -181070411

9. 三组平方

把1，2，...，9这9个数字分成三个组，每组至少一个数字，使得这三个组中的所有数字分别能排列成平方数a，b，c（a

设计程序，求出满足要求的所有分法（若某一分法中某组的数字能排列成不同的平方数，例如1369=37^2，1936=44^2，这只算一种分法）。

（1）设计要点。

a=a1*a1，a1在1～sqrt(798)中循环取值。

b=b1*b1，因a

c=c1*c1，而c>b，则c1在b1+1～sqrt(9876543)中循环取值，因c可能达7位数。

这样设置三重循环，确保a，b，c都是平方数。

设置d数组，d(1)=a，d(2)=b，d(3)=c。

分离三平方数的各个数字分别存储到f数组：f(k)为数字k的个数，k=1,2, (9)

检验f(k)是否都为1：

只要有一个不为1，说明有重复数字可缺少某数字，不满足题意，标记m=1；

若f(k)都为1，说明没有重复数字，保持原有m=0。

对m=0且f(0)=0（即没有数字0）时，排除重复打印，输出三组平方解。

所谓重复打印，存在有3个或3个以上不同数字可组成不同的平方数，如256=16^2，625=25^2等。为了避免重复打印，在打印输出的条件中增加了条件：

（x!=d[1] || y!=d[2]) && (x!=d[1] || z!=d[3])

即前两个平方至少有一个不同，且第一个与第三个平方数中也至少有一个不同。

（2）一般的三组数字平方程序设计。

// 一般的三组数字平方

#include

#include

void main()

{

int k,m,n,f[10];

long a1,b1,c1,x,y,z,w,d[4];

printf(" 三组平方的所有分法为:\n");

n=0;

x=0;y=0;z=0;

for(a1=1;a1<=sqrt(798);a1++)

for(b1=a1+1;b1<=sqrt(8976);b1++)

for(c1=b1+1;c1<=sqrt(9876543);c1++)

{d[1]=a1*a1; // 确保均为平方数

d[2]=b1*b1; d[3]=c1*c1;

for(k=0;k<=9;k++) f[k]=0;

for(k=1;k<=3;k++)

{ w=d[k];

while(w>0)

{ m=w%10; f[m]++; w=w/10; }

}

for(m=0,k=1;k<=9;k++)

if(f[k]!=1) m=1; // 测试三个平方数是否有重复数字

if(m==0 && f[0]==0 && (x!=d[1]||y!=d[2])&&(x!=d[1]||z!=d[3])) {

n++;

printf(" %2d: ",n);

printf(" %ld=(%ld^2)",d[1],a1);

printf(" %ld=(%ld^2)",d[2],b1);

printf(" %ld=(%ld^2) \n ",d[3],c1);

x=d[1];y=d[2];z=d[3];

}

}

printf(" \n 共 %d 种分法.",n);

}

（3）程序运行结果与讨论。

三组平方的所有分法为：

1 : 1 ( 1 ^2) 4 (

2 ^2) 3297856 (1816 ^2)

2 : 1 ( 1 ^2) 49 ( 7 ^2) 872356 ( 934 ^2)

3 : 1 ( 1 ^2) 6

4 ( 8 ^2) 537289 ( 733 ^2)

4 : 1 ( 1 ^2) 256 (16 ^2) 73984 ( 272 ^2)

5 : 4 ( 2 ^2) 1

6 ( 4 ^2) 537289 ( 733 ^2)

6 : 4 ( 2 ^2) 25 ( 5 ^2) 139876 ( 374 ^2)

7 : 4 ( 2 ^2) 289 (17 ^2) 15376 ( 124 ^2)

8 : 9 ( 3 ^2) 324 (18 ^2) 15876 ( 126 ^2)

9 : 16 ( 4 ^2) 25 ( 5 ^2) 73984 ( 272 ^2)

10 : 16 ( 4 ^2) 784 (28 ^2) 5329 ( 73 ^2)

11 : 25 ( 5 ^2) 784 (28 ^2) 1369 ( 37 ^2)

12 : 25 ( 5 ^2) 841 (29 ^2) 7396 ( 86 ^2)

13 : 36 ( 6 ^2) 81 ( 9 ^2) 74529 ( 273 ^2)

14 : 36 ( 6 ^2) 729 (27 ^2) 5184 ( 72 ^2)

15 : 81 ( 9 ^2) 324 (18 ^2) 7569 ( 87 ^2)

16 : 81 ( 9 ^2) 576 (24 ^2) 3249 ( 57 ^2)

17 : 81 ( 9 ^2) 729 (27 ^2) 4356 ( 66 ^2)

18 : 361 (19 ^2) 529 (23 ^2) 784 ( 28 ^2)

共18种分法.

显然，最后一组解即为三组三位平方的解。

10. 统计

试统计含有数字7且不能被7整除的m位整数的个数s1，并指出这s1个数中不含有数字4的整数的个数s2。

输入m, 输出s1,s2。

m=5, 输出：

m=6, 输出：

11. 构建斜折对称方阵

试观察图所示的斜折对称方阵的构造特点，总结归纳其构造规律，设计并输出n（奇数）阶斜折对称方阵。

图 7阶斜折对称方阵

输出15阶、19阶斜折对称方阵。

12. 台球碰撞

在平面直角坐标系下，台球桌是一个左下角在(0,0)，右上角在(L,W)的矩形。有一个球心在(x,y)，半径为R的圆形母球放在台球桌上（整个球都在台球桌内）。受撞击后，球沿极角为b的射线（即：x正半轴逆时针旋转到此射线的角度为b）以初速度v飞出。因球与桌面的磨擦，球作的加速度为a的匀减速率运动，每次碰到球桌边框时均发生完全弹性碰撞（反射角等于入射角）。

试求球停止时球心所在位置。

输入： l=180,w=120,x=35,y=40,r=5,b=30,v=27,a=6