时频域分析

时频域分析有关知识

问题

1 现在咱们做的这个数字舵机需要得到的阶跃响应的参数有：超调量（%），时间常数，上升时间，调节时间，稳态误差（°），你给我详细说说那几个量怎么算，

2 数字舵机还要求有频域特性测试功能，跟用户沟通时，客户的意思是做一个扫频功能，发出频率1HZ~60HZ，每个频率求一个最大值，画出频率/幅值曲线，我不知道这个究竟有什么用。

另外幅值裕度，相位裕度如何进行测量？

控制系统性能的评价分为动态性能指标和稳态性能指标。上述两个问题是分析控制系统的动态性能和稳态性能的两类方法，一是时域分析法，二是频域分析法。

1 时域分析法

时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法。为了求解系统的时间响应，必须了解输入信号的解析表达式。在一般情况下，控制系统的外加信号具有随机性而无法预先确定，需要选择典型信号输入。

工程中常见信号有：单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加速度函数、单位脉冲函数和正弦函数。在实际应用中一般选取最不利的信号作为系统的典型信号。

1.1 动态性能性能指标

通常在阶跃函数作

用下，测定获计算系统

的动态性能。一般认为

阶跃输入对系统来说是

最严峻的工作状态，如

果系统在阶跃函数作用

下的动态性能满足要求，

那么系统在其他形式的

函数作用下，其动态性

能也是令人满意的。

图1单位阶跃响应曲线

以下是稳定系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间变化状况的动态性能指标，图1是单位阶跃响应曲线。

其动态性能指标通常为：

峰值时间tp，指响应超过其终值到达第一个峰值所需要的时间；

延迟时间td，指响应曲线第一次达到其终值一半所需要的时间；

上升时间tr，指响应从终值10％上升到90％所需要的时间；对于有振荡的系统，亦可定义为响应从0第一次上升到终值所需要的时间。上升时间是系统响应速度的一种度量。上升时间越短，系统响应速度越快。

调节时间ts，指响应到达并保持在终值±5％内所需要的最短时间。有时也用终值的±2％误差范围定义调节时间。

超调量σ％，指响应的最大偏离量与终值之差的百分比，即

σ%＝h t p?h(∞)

h(∞)

×100%

若h(t)＜h(∞)，则响应无超调。超调量亦称为最大超调量，或百分比超调量。在实际应用中，常用的动态性能指标为上升时间、调节时间和超调量。

1.2 稳态误差

稳态误差是描述系统稳态性能的一种指标，在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下进行测量或计算。若时间趋于无穷时，系统的输出量不等于输入量的确定函数，则系统存在稳态误差，稳态误差是系统控制精度或扰动能力的一种度量。

稳态误差的计算部分参考《自动控制原理》部分。

1.3 时域动态指标的测量

一般是控制系统发出阶跃信号（一般用脉冲信号代替），同时记录被测产品的输出信号，用波形测量中的“Transition measurement .VI”其帮助如图2所示。

上升时间可以由VI直接测量出来，调节时间和超调量要根据定义进行数据出来，在带入公式计算。

2 频域分析法

频域分析法是应用频率特性研究线性控制系统的另外一种方法，频域分析法的

典型输入信号是扫频信号。扫频信号是指在一定时间内，一规则信号（正弦、锯齿等信号）的频率从低到高地连续变化，其幅值一般保持不变。实际上，就是被测产品的频率响应。

图2 Transition Measurement. VI Help

2.1 频率特性的基本概念

以RC网络为例（如图3）说明频率特性的概念。网络的微分方程为

R

图3 RC网络

T de c

dt

+e c=e r

式中 T=RC。网络的传递函数

E c(s) r ＝

1

s

1?1

若网络输入为正弦电压为正弦电压，即

e r=Asinωt 则由式1－1得

E c s＝1

E r s＝

1

?

Aω

22

经拉氏变换，得电容两端的输出电压

e c=

AωT

1+ω2T2

e?

1

T+

A

1+ω2T2

?(ωt?arctgωT)

式中，第一项为输出电压的瞬态分量；第二项为稳态分量。随着时间趋于无穷，第一项趋于0，于是

lim t→∞e c=

A

1+ω2T2

?(ωt?arctgωT)

由上式可见，网络的稳定输出仍然是正弦电压，其频率和输入电压的频率相同，幅值是输入的1/2T2倍，相角比输入迟后arctgωT。显然，1/1+ω2T2和－arctgωT皆为输入电压频率ω的函数。前者称为RC网络的频率特性，后者称为RC网络的相频特性。表1是两个特性的计算数据，以ω为横坐标就可画出幅频和相频特性曲线。

1/1+ωT

－arctgωT(°) 0 －26.6 －45 －63.5 －71.5 －76 －78。7 －90

2.2 稳定裕度

奈奎斯特稳定判据是根据开环幅相曲线判断闭环系统稳定性的一种准则，根据奈氏判据知，系统开环幅相曲线临界点附近的形状，对闭环稳定性影响大，曲线越接近临界点，系统的稳定程度就越差。若幅相曲线通过临界点，则稳态后系统的输出端会出现等幅振荡信号。用相角裕度（相位裕度）γ和幅值裕度h表征开环幅相曲线接近临界点的程度，其定义分别如下。

2.2.1 幅值裕度

幅值裕度h定义为幅相曲线上，相角为－180°时对应幅值的倒数，即

h=

1

|G(jωg)H(jωg)|

式中，ω

g

为相角交界频率。

幅值裕度h的含义：如果系统的开环传递函数系统增大到原来的h倍，则系统就处于临界稳定状态。但是，仅仅用幅值裕度不足以表示所有系统的稳定程度，

还要引入相角裕度。

图4 信号传递

2.2.2 相角裕度

相角裕度定义为180°加开环幅相曲线幅值1时的相角，即

γ＝180°＋∠G jωc H(jωc)

称为系统的截至频率。

式中ω

c

相角裕度的含义：如果系统对频率ω

延迟γ度，则系统将处于临界稳定状

c

态。

2.2.3 带宽频率和带宽

称为闭环幅频特性下降到频率为0时的分贝值以下3dB时，对应的频率ω

b

带宽频率，即

）

20lg|Φ(jω)|＜20lg|Φ(j0)|－3 （ω＞ω

b

带宽：系统幅频特性不低于－3dB对应的频率范围

0≤ω≤ω

b

称为系统的带宽。

2.2.4 实际应用

用扫频信号给被测产品一个激励，同时记录被测产品的输出量，一般是输出量随着频率增加而下降。计算出不同频率时输出量相对于某起始频率的输出量之比A，以20lgA为纵坐标，频率为横坐标，绘制幅频特线曲线，其幅值比为0.707时的频率为幅频宽；不同频率相位相对于输入信号的相位差称为相频特性，也绘制在幅频特线曲线上（双坐标）就可以得到相频特性曲线。

信号的相位和频率可以用波形测量.VI测量，不过测量误差比较大。

比较理想的是激励源用信号发生器，波形测量数字化信号仪，这样信号生成和测量比较准确。