旋转体与简单组合体的结构特征 说课稿 教案 教学设计

旋转体与简单组合体的结构特征

●三维目标

1．知识与技能

(1)会用语言概述圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征．

(2)理解由柱、锥、台、球组成的简单组合体的结构特征．

(3)能运用简单组合体的结构特征描述现实生活中的实际模型．

2．过程与方法

(1)让学生通过直观感知空间物体，从实物中概括出圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征．

(2)让学生通过直观感知空间物体，认识简单的组合体的结构特征，归纳简单组合体的基本构成形式．

3．情感、态度与价值观

(1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力．

(2)培养学生的空间想象能力，培养学习教学应用意识．

●重点难点

重点与难点：圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征和简单组合体的结构特征．

重难点突破：以丰富的实物模型为切入点，通过让学生观察、分析实物体，并结合旋转体的概念，抽象概括出圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征和简单组合体的结构特征，进而在观察思考中形成概念，突出圆锥与圆台间的内在联系，突破重点的同时化解难点．

●教学建议

本节内容是上节知识延续与提高，通过本节内容的学习可帮助学生进一步了解空间几何体中圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征．由于本节知识具有概念多、感知性强等特点，教学时，建议采用启导法和多媒体辅助教学法，引导学生从熟悉的物体入手，利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，通过整体观察、直观感知，引导学生多角度、多层次地揭示圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征．在此基础上，再通过让学生说一说、举一举等方式，明确简单组合体的结构特征，最终达到通过空间图形培养和发展学生的空间想象能力的目的．

●教学流程

创设问题情境，引出问题：圆柱、圆锥、圆台及球是如何定义的？?错误!?错误!?错误!

?

错误!?错误!?错误!

课标解读

1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义．

2．了解柱体、锥体、台体之间的关系．

3．知道这四种几何体的结构特征，能识别和区分这些几何体.

圆柱

【问题导思】

观察下面的旋转体，你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的吗？

【提示】以矩形的一边所在的直线为轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体．圆柱的结构特征

圆柱图形及表示

定义：以矩形一边所在直线为旋转轴，其余

三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱

图中圆柱表示为：

圆柱O′O

相关概念：

轴：旋转轴叫做圆柱的轴

底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面

侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面

母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的

边都叫做圆柱侧面的母线

圆锥

【问题导思】

仿照圆柱的定义，你能定义什么是圆锥吗？

【提示】以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成

的旋转体．

圆锥的结构特征

圆锥图形及表示

定义：以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体

相关概念：

轴：旋转轴叫做圆锥的轴

底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面

侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面

母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线

图中圆锥表示为：

圆锥SO

圆台

【问题导思】

下图中的物体叫做圆台，也是旋转体．它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢？除了旋转得到以外，对比棱台，圆台还可以怎样得到呢？

【提示】(1)圆台可以是直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其他三边旋转一周形成的面所围成的几何体．

(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中垂线为轴，各边旋转180°形成的面所围成

的几何体．

(3)类比棱台的定义圆台还可以如下得到：

用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．

圆台的结构特征

圆台图形及表示

定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，

底面和截面之间的部分叫做圆台

旋转法定义：以直角梯形中垂直于底边的腰

所在直线为旋转轴，将直角梯形经旋转轴旋

转一周而形成的旋转体叫做圆台

相关概念：

轴：旋转轴叫做圆台的轴

底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面

叫圆台底面

图中圆台表示为：圆台O′O

侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲

面叫圆台的侧面

母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的

边叫做圆台的母线

球

【问题导思】

球也是旋转体，它是由什么图形旋转得到的？

【提示】以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体即为球．球的结构特征

球图形及表示

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半

圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称

球

相关概念：

球心：半圆的圆心叫做球的球心

半径：半圆的半径叫做球的半径

直径：半圆的直径叫做球的直径

图中的球表示为：球O

简单组合体

下图中的两个空间几何体是柱、锥、台、球体中的一种吗？它们是如何构成的？

(1)(2)

【提示】这两个几何体都不是单纯的柱、锥、台、球体，而是由柱、锥、台、球体中的两种或三种组合而成的几何体．

简单组合体

(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的．

(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．

旋转体结构特征

①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；

③一个圆绕其直径所在的直线旋转半周所形成的曲面围成的几何体是球；

④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．

A．0B．1C．2D．3

【思路探究】紧扣旋转体的定义逐一判断．

【自主解答】①错误．应以直角三角形的一条直角边为轴；②错误．应以直角梯形的垂直于底边的腰为轴；③错误．应把“圆”改成“圆面”；④错误，应是平面与圆锥底面平行时．

【答案】 A

1．圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求．

2．只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误．

如图1－1－11，第一排中的图形绕虚线旋转一周，能形成第二排中的某个几何体，请把一、二排中相应的图形用线连起来．

图1－1－11

【答案】(1)—C(2)—B(3)—D(4)—A

简单组合体的结构特征

描述下列几何体的结构特征．

图1－1－12

【思路探究】结合简单组合体的两种基本构成形式入手分析．

【自主解答】图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图(2)所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图(3)所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．

组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分而成的，因此，要仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的几何结构特征，对原组合体进行分割．

如图1－1－13为某竞赛中，获得第一名的代表队被授予的奖杯，试分析这个奖杯是由哪些简单几何体组成的？

图1－1－13

【解】奖杯由一个球，一个四棱柱和一个四棱台组成．

有关几何体的计算问题

如图1－1－14所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．

图1－1－14

【思路探究】过圆锥的轴作截面，利用三角形相似来解决．

【自主解答】设圆台的母线长为l，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.

过轴SO作截面，如图所示．

则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.

∴SA′

SA＝

O′A′

OA.

∴

3

3＋l

＝

r

4r＝

1

4.

解得l＝9(cm)，

即圆台的母线长为9 cm.

用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．

本例中若圆台的上底半径为1 cm，其他条件不变，试求圆台的高．

【解】∵圆台的上底半径为1，故下底半径为4.

如图所示，在Rt△A′HA中

A′H＝AA′2－AH2

＝92－32

＝6 2.

即圆台的高为6 2 cm.

旋转体的生成过程

图1－1－15

(12分)已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的一腰，如图1－1－15所示．分别以AB，BC，CD，DA所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．【思路点拨】以直角梯形的不同边所在直线为轴旋转，所得到的几何体是不同的．【规范解答】(1)以AB边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台．

如图①所示.3分

(2)以BC边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图②所示.6分

(3)以CD边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如图③所示.9分

(4)以AD边所在的直线为轴旋转得到一个组合体：

一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图④所示.12分

①②③④

1．根据几何体的结构特征判断几何体的类型，首先要熟练掌握各类几何体的概念，把握好各类几何体的主要特征，其次要有一定的空间想象能力．

2．对于不规则的平面图形绕轴旋转问题，要先对原平面图形作适当的分割，再根据柱、锥、台的结构特征进行判断．

小结

1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．

2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．

3．处理组合体问题常采用分割思想．

4．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想．