专题01 集合逻辑、复数-2021年高考数学尖子生培优题典(新高考专版)(解析版)

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2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）

专题01 基本初等函数

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________

一、选择题

1．已知集合{}22A x

x =-≤≤∣，{}

lg(1)B x y x ==-∣.则A B =（ ）

A ．{}

2x

x ≥-∣ B ．{}

12x

x <<∣ C ．{}

12x

x <≤∣ D ．{}

2x

x ≥∣ 【答案】C

【解析】由题意得，

{}{}lg(1)1B x y x x x ==-=>∣∣， 因为{}

22A x

x =-≤≤∣， 所以{}12A

B x x =<≤∣，

故选：C.

2．已知集合{}

40log 1A x x =<<，{

}

2

1x B x e -=≤，则A B =（ ）

A ．(),4-∞

B ．()1,4

C ．()1,2

D ．(]

1,2

【答案】A

【解析】{}{}

40log 1=14A x x x x =<<<<

{}

{}21=2x B x e x x -=≤≤，则A B =(),4-∞

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故选：A

3．已知集合{

}

1381x

M x =≤≤，(

){

}

2

3log 421N x x x =-->，则(

)N M ?=R

（ ）

A ．[]0,3

B ．()0,3

C ．()1,5-

D ．[]1,5-

【答案】D

【解析】由题意，集合{}

{}1381|04x

M x x x =≤≤=≤≤，

又由(

)

2

3log 421x x -->，即2450x x -->，解得1x <-或5x >，

即集合{|1N x x =<-或5}x >，则

{|15}N x x =-≤≤R

所以

(

)[]{|15}1,5N M x x ?=-≤≤=-R

.

4．某班有学告50人，解甲、乙两道数学题.已知解对甲题者有34人，解对乙题者有28人，两题均对者有20人.则至少解对一题者的人数是（ ） A ．8 B ．22

C ．30

D ．42

【答案】D

【解析】如下图所示：

至少解对一题的人数为：342020282042-++-=人，故选：D.

5．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“⊕”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m n m n ⊕=+；

当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n mn ⊕=

，则在此定义下，集合

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{}(,)|12,*,*M a b a b a b =⊕=∈∈N N 中的元素个数是（ ）．

A ．10个

B ．15个

C ．16个

D ．18个

【答案】B

【解析】根据定义知12a b ⊕=分两类进行考虑，,a b 一奇一偶，则12ab =，,a b N *

∈，所以可能的取值为(1,12),(12,1),(3,4),(4,3), 共4个，,a b 同奇偶，则12a b +=，由,a b N *

∈，所以可能的取值为

(2,10),(10,2),(1,11),(11,1),3,9（），(9,3),(4,8),(8,4),(5,7),(7,5),(6,6),共11个，所以符合要求的共15

个，故选B.

6．高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（ ） A ．16 B ．17 C ．18 D ．19

【答案】C

【解析】把学生50人看出一个集合U ，选择物理科的人数组成为集合A ， 选择化学科的人数组成集合B ，选择生物颗的人数组成集合C ， 要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，

除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人， 则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人， 单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人， 单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人， 以上人数最少42人，可作出如下图所示的韦恩图，

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所以单选物理、化学的人数至多8人，

所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多10818+=人. 故选：C.

7．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ）

A ．

163

i B ．6i C ．

203

i D ．20

【答案】C

【解析】()()()32326z i a i a a i =-+=++- ∵()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数， ∴320a +=且60a -≠ 得23a =-

，此时20

3

z i =

故选：C.

8．设复数z 满足()3

32z i i +=，则复数z =（ ）

A ．

2313

i -+ B ．

2313

i

+ C ．

3213

i

+ D ．

3213

i

- 【答案】

A

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【解析】由题意得：()()()3232i 322332i 32321313

i i i i i z i i ---+--====++-， 所以2313

i

z -+=

. 9．若复数z 满足()2

1213z i i -+=+(i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【答案】C

【解析】因为2|13|10(12)10(12)

2412(12)(12)5

i i i z i i i i +--+=

==-=---+-+--，所以该复数在复平面内对于的点位于第三象限，应选答案C ．

10．若341i

z iz i

+=

+-（i 是虚数单位），则||z =（ ） A ．

32 B ．2

C ．

52

D ．3

【答案】C

【解析】()3411i i z i +-=

-,化简,得到322z i =-+,

因此52z ==,故选C. 11．复数z 满足170z z z z ?++-=，则32z i +-的最大值为（ ）

A

B

．C

．D

．【答案】D

【解析】设复数z 在复平面上的对应点为(),Z x y ，

由17z z z z ?++=可得2

2

217x y x ++=即()2

2118x y ++=，

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所以点Z 的轨迹是以()1,0-

为圆心， 圆心到点()3,2-的距离为

d =

=，

所以32z

i +-的最大值为r d +=12．已知复数(,)z x yi x y R

=+∈，且|2|z -=，则

1

y x

+的最大值为（

） A

B

C ．2

D ．2

【答案】C

【解析】解：∵复数(,)z x yi x y R =+

∈，且2z

-=

= ∴()2

223x y -+=．

设圆的切线:1l y kx

=-

=

化为2420k k

--=，解得2k =±

∴

1

y x

+的最大值为2 13．“0,0a b

>>”是“a b +≥”成立的（ ）

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由0,0

a b >>一定能推出a b

+≥，但是由a b +≥不一定能推出0,0a b >>，例如

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当0a

b

时，显然a b +≥成立，但0,0a b >>不成立，故“0,0a b >>”是

“a b +≥”成立

的充分非必要条件.

14．命题:P x R ?∈，211x +≥，则P ?是（ ） A ．x R ?∈，211x +<

B ．x R ?∈，211x +≥

C ．0x R ?∈，2

011x +<

D ．0x R ?∈，2

011x +≥

【答案】C

【解析】命题的否定是：0x R ?∈，2

011x +<，故选：C ．

15．设函数2()log f x x x m =+-，则“函数()f x 在1,42??

???

上存在零点”是(1,6)m ∈的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】解：函数2()log f x x x m =+-在区间()0,∞+上单调递增，

由函数()f x 在1,42??

???上存在零点，则11022f m ??

=--< ???

，(4)60f m =->，

解得162m -<<，故“函数()f x 在1,42??

???

上存在零点”是“(1,6)m ∈”的必要不分条件.

16．下列有关命题的说法正确的是（ ）

A ．若命题p ：0x R ?∈，01x e <，则命题p ?：x R ?∈，1x e ≥

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B ．

“sin 2

x =

”的一个必要不充分条件是“3x π=”

C ．若+=-a b a b ，则a b ⊥

D ．α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，如果m n ⊥，m α⊥，βn//，那么αβ⊥ 【答案】A

【解析】对于A ，命题p ：0x R ?∈，01x e <，则命题p ?：x R ?∈，1x e ≥，A 正确；

对于B

，当3

x π

=

时， sin 2

x =

成立， 所以“3

x

π

=

”是“sin 2

x =

”的充分条件，所以B 错误； 对于C ，a b >且两向量反向时 +=-a b a b 成立， a b ⊥不成立C 错误； 对于D ，若m n ⊥，m α⊥，βn//，则α，β的位置关系无法确定，故D 错误. 17．（多选题）下列命题中正确的是（ ） A ．()0,x ?∈+∞，23x x >

B ．()0,1x ?∈，23log log x x <

C ．()0,x ?∈+∞，13

1log 2x

x ??

> ???

D ．10,3x ???∈ ???，13

1log 2x

x ??

< ???

【答案】BD

【解析】对于A ，当0x >时，22133x

x x ??

=< ???

，23x x <恒成立，A 错误；

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对于B ，23log lg lg 3lg 3

1log lg 2lg lg 2

x x x x =?=>，当01x <<时，2log 0x <，3log 0x <，23log log x x <，B 正

确；

对于C ，当12x =

时，122x ??= ???，12log 1x =，则12

1log 2x

x ??> ???，C 错误；

对于D ，由对数函数与指数函数的单调性可知，当10,3x ??∈ ???时，13

11log 2x

x ??<< ???恒成立，D 正确.

故选：BD.

18．（多选题）对x ?∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ） A ．,[]1x x x ?∈+R

B ．,,[][][]x y x y x y ?∈++R

C ．函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[0,1)

D ．若t ?∈R ，使得345

1,2,3,,2n

t t t t n ????????====-????????同时成立，则正整数n 的最大值是5

【答案】BCD

【解析】[]x 是整数， 若[]1x x ≥+，[]1x +是整数，∴[][]1x x ≥+，矛盾，∴A 错误；

,x y ?∈R ，[],[]x x y y ≤≤，∴[][]x y x y +≤+，∴[][][]x y x y +≤+，B 正确；

由定义[]1x x x -<≤，∴0[]1x x ≤-<，∴函数()[]f x x x =-的值域是[0,1)，C 正确；

若t ?∈R ，使得345

1,2,3,,2n t t t t n ????????====-????????

同时成立，则1t ≤<

t ≤<

t ≤<

t ≤<

，t <

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=

若6n ≥，则不存在t

同时满足1t ≤<

t ≤<只有5n ≤时，

存在t ∈满足题意，故选：BCD ．

二、填空题

19．今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其他肉类.某天在市场中随机抽取100名市民调查其购买肉类的情况，其中不买猪肉的有30位，买了肉的有90位，买了猪肉且买了其他肉的人共25位，以这100个样本估计这一天该市只买了猪肉且没买其他肉的人数与全市人数的比值为_______ 【答案】0.45

【解析】由题意，随机抽取的100位市民中，只买了猪肉且没买其他肉的有100302545--=，

由此估计该市只买了猪肉且没买其他肉的人数与全市人数的比值为

45

0.45100

=. 20．已知复数1z =，i 为虚数单位，则34z i -+的最小值为_________. 【答案】4

【解析】解:复数z 满足1z =，i 为虚数单位， 复数z 表示：复平面上的点到(0，0)的距离为1的圆.

34z i -+的几何意义是圆上的点与()34-，的距离，

14= . 故答案为：4.

三、解答题

21．已知函数(

)()lg 3f x x =

-的定义域为集合A ，又集合{}

2

16B x x =≤，

{}30C x x m =+<. （1）求A B ，

()R

A B ?；

（2）若x C ∈是x A ∈的必要条件，求m 的取值范围.

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【解析】解：（1）由60

30

x x +≥??

-

{}43A B x x ?=-≤<，{}64A B x x ?=-≤≤，

(){ 6R

A B x x ?=<-或}4x >.

（2）由30x m +<得，3

m

x <-

∴3m C x x ??=<-

????

. ∵x C ∈是x A ∈的必要条件，∴A C ? ∴33

m

-

≥ 得9m ≤-.

22．已知虚数z 满足4z z

+

是实数，且4

2z z ≤+≤

（1）试求z 的模；

（2）若22z i --取最小值m 时对应的复数z 记为0z ，试求 ①m 的值； ②求20

0z 的值．

【解析】（1）设,,,0z a bi a b R b =+∈≠， 则224444a bi

z a bi a bi z a bi a b

-+

=++=++++， 整理得到2222444a b z a b i z a b a b ?

?+

=++- ?++??

， 因为4z z

+

是实数，故2

2

40b

b a b -=+，

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但0b ≠，故224a b +=，即z 的模为2.

（2）由（1）可得4

2z a z

+

=

，故22a ≤≤

1a ≤≤又

22z i --=

它表示圆224a b +=上的点到点()2,2

Q 的距离，

其最小值为2，

当且仅当(),,,O P a b

Q 共线时取最小值.

由2241a b

a b a ?=?+=?

?≤≤?

可得a b ?=??=??

故22

z i --取最小值时0)z i

=+，

所以20

2020102102010200(1)2[(1)]22z i i i =?+=?+=

?=-.

故202002,2m z ==-.