4.1 一次函数的应用
4.1 一次函数的应用（第1课时） 姓名
基础训练：
1．一次函数y=kx+b 的图象如图所示，看图填空：
（1）当x=0时，y=____________，当x=____________时，y=0；（2）k=__________，b=____________；
（3）当x=5时，y=__________，当y=30时，x=___________.
2．油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0．2升／分钟，则油箱中剩余油量 Q （升）与流出时间t(分钟）的函数关系是（ ）．
A ．t Q 2.0=
B ．t Q 2.020-=
C ．Q t 2.0=
D ．Q t 2.020-= 提高训练：
3．某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y 元是行李质量x (千克)的一次函数，其图象如下图所示．
(1)写出y 与x 之间的函数关系式； (2)旅客最多可免费携带多少千克行李？
知识拓展：
４．已知直线b kx y +=经过点（0,25）且与坐标轴围成的三角形的面积为4
25，求该直线的
表达式．
５．如图，某气象中心观测一场沙尘暴从开始到结束的全过程．开始时风速平均每小时增加2km/h ，4h 后，沙尘暴经过开阔的荒漠地，风速变为平均每小时增加4km/h ．一段时间，风速保持不变．当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减少1km/h ，最终停止．结合图象，回答下列问题： （
1）
在y 轴括号内填入相应的数值；
（2） 沙尘暴从发生到结束，共经过多少小时？ （3） 求出当h x 25≥，风速y(km/h)与时间x （小时）之
间的函数关系式．
4.2 一次函数的应用（第2课时）姓名
1．某同学将父母给的零用钱按每月相等的数额存放在储蓄盒内，准备捐给希望工程．
盒内钱数y (元)与存钱月数x 之间的函数关系如图所示．观察图象回答下列问题： （1）盒内原来有多少元？2个月后盒内有多少元？ （2）该同学经过几个月能存够200元？
（3）该同学至少存几个月存款才能超过140元？
2．当得知周边地区的干旱情况后，育才学校的小明意识到节
约用水的重要性，当天在班上倡议节约用水，得到全班同学乃至全校师生的积极响应．从宣传活动开始，假设每天参加该活动的家庭数增加数量相同，最后都参加了活动，并且参加该活动的家庭数S （户）与宣传时间t （天）的函数关系如
图所示．
根据图象回答下列问题：
若每户每天节约用水0.1吨，写出活动开展到第5天时，全校师生共节约多少吨水？
3.抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗震功能的A ,B 两仓库。已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A 库的容量为70吨，B 库的容量为110吨。从甲、乙两库到A ，B 两库的路程和运费如下表（表中“元/吨·千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）
（1）若甲库运往A 库粮食x 吨，请写出将粮食运往A 、B 两库的总运费y （元）与x （吨）的函数关系式
（2）当甲、乙两库各运往A 、B 两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？
4.3 一次函数的应用（第3课时）姓名 基础训练
1．某医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人
按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y （微克）随时间x （时）的变化情况如图所示，当成人按规定剂量服药后， （1）服药后 时，血液中含药量最高，达每毫升
微克，接着逐步衰减；
（2）服药5时，血液中含药量为每毫升 微克；
（3）当x ≤2时，y 与
x 之间的函数关系式是
； （4）当x ≥2时，y 与x 之间的函数关系式是 ；
（5）如果每毫升血液中含药量3微克或3微克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间范围是 ．
2．如图，AB OB ,分别表示甲、乙两人的运动图象，请根据图象回答
下列问题：
（1）如果用t 表示时间，s 表示路程，那么甲、乙两人各自的路程与时间的函数关系式是 甲： ，乙： ；
（2）甲的运动速度是 千米/时；
（3）两人同时出发，相遇时，甲比乙多走 千米．
提高训练
1、生态公园计划在园内的坡地上造一片有A B ，两种树的混合林，需要购买这两种树苗2000
棵．种植A B ，两种树苗的相关信息如下表：设购买A 种树苗x 棵，造这片林的总费用为y 元．解答下列问题：（1）写出y （元）与x （棵）之间的函数关系式； （2）假设这批树苗种植后成活1960棵，则造这片林的总费用需多少元？
一次函数的应用测试 姓名
） A ．y=2x+1 B.y=2x+2 C.y=2x D. y=2x-2
3.在平面直角坐标系中，对于函数①y=-x-1，②y=x+1，③y=-x+1，④y=-2（x+1）的图象，下列说法正确的是（ ）
A ．通过点（-1，0）的是①③
B ．交点在y 轴上的是②④
C ．相互平行的是①③
D ．关于x 轴对称的是②④ 4.若函数222-+-=+n x y m 是正比例函数，则m 的值是 ，n 的值为
5.一次函数y=kx+b 中，y 随x 的增大而减小，且kb>0，则这个函数的图象一定不经过 第 象限．
6.如图，一次函数y=kx+b 的图象与正比例函数y=2x 的图象平行且经过点A （1，﹣2），则k= b=
7.一辆汽车在行驶过程中，路程 y （千米）与时间 x （小时）之间的函数关系如图所示 当时 0≤x ≤1，y 关于x 的函数解析式为 ，那么当 1≤x ≤2时，y 关于x 的函数解析式为 _ .
8.如图,在平面直角坐标系中,A 、B 均在边长为1的正方形网格格点上.求线段AB 所在直线的函数解析式 ,并写出当0＜y ≤1时,自变量x 的取值范围是 。 9．在一条直线上依次有A 、B 、C 三个港口，甲、乙两船同时分别从A 、B 港口出发，沿直线匀速驶向C 港，最终达到C 港．
设甲、乙两船行驶x （h ）后，与．B ．港的距离．．．．
分别为1y 、2y （km ），1y
、2y
与x 的函数关系如图所示．
（1）填空：A 、C 两港口间的距离为
km ，=a ；
（2）求图中点P 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
一次函数的应用中考数学分类汇编
二、填空题 1. （2012浙江丽水）甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动，图中甲l 、乙l 分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程S （千米）随时间t （分）变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶______千米。 【答案】 5 3 三、解答题 1. （2012上海市）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y (万元/吨) 与生产数量x (吨)的函数关系式如图5所示： （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量. (注：总成本=每吨的成本×生产数量 ) 【答案】（1）直接将(10，10)、(50，6)代入y =kx +b 得y =1 10 x -+11(10≤x ≤50) （2）(1 10 x - +11)x =280 解得x 1=40或x 2=70 由于10≤x ≤50，所以x =40 答：该产品的生产数量是40吨. 2. （2012四川成都） “城市发展 交通先行”，成都市今年在中心城区启动了缓堵保畅的二环路高架桥快速通道建设工程，建成后将大大提升二环路的通行能力．研究表明，某种情况下，高架桥上的车流速度V(单位：千米／时)是车流密度x (单位：辆／千米)的函数，且当0 初中八年级数学下册第十九章一次函数单元检测试卷习题 十一（含答案） 阅读理解应用 待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式 为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值． 待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解31x -． 因为31x -为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和 一个二次多项式的乘积． 故我们可以猜想31x -可以分解成2(1)()x x ax b -++，展开等式右边得： 32(1)()x a x b a x b +-+--，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的 对应系数相等：10a -=，0b a -=，1b -=-可以求出1a =，1b =． 所以321(1)(1)x x x x -=-++． （1）若x 取任意值，等式2223(3)x x x a x s ++=+-+恒成立，则a =________； （2）已知多项式323x x ++有因式1x +，请用待定系数法求出该多项式的另 一因式； （3）请判断多项式421x x ++是否能分解成的两个均为整系数二次多项式的 乘积，并说明理由． 【答案】（1）1；（2）23x x -+；（3）多项式421x x ++能分解成两个均为整 系数二次多项式的乘积，理由详见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据题目中的待定系数法原理即可求得结果； （2）根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据恒等原理即可求得结论；（3）根据待定系数原理和多项式乘以多项式即可求得结论． 【详解】 （1）根据待定系数法原理，得3-a=2，a=1． 故答案为1． （2）设另一个因式为（x2+ax+b）， （x+1）（x2+ax+b）=x3+ax2+bx+x2+ax+b =x3+（a+1）x2+（a+b）x+b ∴a+1=0a=-1b=3 ∴多项式的另一因式为x2-x+3． 答：多项式的另一因式x2-x+3． （3）多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次多项式的乘积．理由如下： 设多项式x4+x2+1能分解成①（x2+1）（x2+ax+b）或②（x+1）（x3+ax2+bx+c）或③（x2+x+1）（x2+ax+1）， ①（x2+1）（x2+ax+b） =x4+ax3+bx2+ax+b =x4+ax3+（b+1）x2+ax+b ∴a=0，b+1=1，b=1 由b+1=1得b=0≠1，故此种情况不存在. ②（x+1）（x3+ax2+bx+c）， =x4+ax3+bx2+cx+x3+ax2+bx+c =x4+（a+1）x3+（b+a）x2+（b+c）x+c 一次函数应用题 初一（ ）班 姓名： 学号： . 1、一次时装表演会预算中票价定位每张100元，容纳观众人数不超过2000人，毛利润y （百元）关于观众人数x （百人）之间的函数图象如图所示，当观众人数超过1000人时，表演会组织者需向保险公司交纳定额平安保险费5000元（不列入成本费用）请解答下列问题：⑴求当观众人数不超过1000人时，毛利润y （百元）关于观众人数x （百人）的函数解析式和成本费用s （百元）关于观众人数x （百人）的函数解析式； ⑵若要使这次表演会获得36000元的毛利润，那么要售出多少张门票？需支付成本费用多少元？ （注：当观众人数不超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用；当观众人数超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用—平安保险费） 2、转炉炼钢产生的棕红色烟尘会污染大气，某装置可通过回收棕红色烟尘中的氧化铁从而降低污染，该装置的氧化铁回收率与其通过的电流有关，现经过试验得到下列数据： 通过电流强度（单位：A ） 1 1.7 1.9 2.1 2.4 氧化铁回收率（%） 75 79 88 87 78 如图建立直角坐标系，用横坐标表示通过的电流强度，纵坐标表示氧化铁的回收率. (1) 将试验所得数据在如图所示的直角坐标系中用点表示；（注：该 图中坐标轴的交点代 表点（1，70）） (2) 用线段将题（1）中所画的点从左到右顺次连接，若用此图象来模拟氧化铁回收率y 关 于通过电流x 的函数关系，试写出该函数在1.7≤x ≤2.4时的表达式； (3) 利用（2）所得函数关系，求氧化铁回收率大于 85%时，该装置通过的电流应该控制的范围（精确到0.1A ）. O x （A ） y （%） （2，70） （1，70） 75 80 85 实际问题中构建“一次函数”模型的常见方法 一、确定解析式的几种方法： 1. 根据实际意义直接写出一次函数表达式，然后解决相应问题；（直表法） 2. 已经明确函数类型，利用待定系数法构建函数表达式；（待定系数法） 3. 利用问题中各个量之间的关系，变形推导所求两个变量之间的函数关系式；（等是变形法） 二、重点题型 1. 根据各类信息猜测函数类型为一次函数，并验证猜想； 2. 运用函数思想，构建函数模型解决（最值、决策）问题 （一）、根据实际意义直接写出一次函数表达式，然后解决相应问题 特点：当所给问题中的两个变戢间的关系非常明了时，可以根据二者之间的关系直接写出关系式，然后解决问题， 1. 某办公用品销伟商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔-?律按9折优惠.书包每个定价20 元，水性笔每支定价5元.小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）. （1）分别写出两种优惠方法购买费用y （元）与所买水性笔支数兀（支）之间的函数关系式： （2）对兀的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜； （3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济. 2, 某实验中学组织学生到距学校6千米的光明科技馆去参观，学生王琳因事没能乘上学校的校车，于是准备在学校门口改乘出租车去光明科技馆，出租车的收费标准为：3千米以下（含3千米）收费8元，3千米以上，每增加1千米，收费1.8元。 （1）写出出租车行驶的里程数x与费用y之间的解析式。 （2）王彬身上仅有14元，乘出租车到科技馆的车费够不够？请你说明理由。 3、某市电话的月租费是20元，可打60次免费屯话（每次3分钟），超过60次后，超过部分每次0. 13元。 （1）写出每月电话费（元）与通话次数间的函数关系式；（分段函数） （2）分别求出月通话50次、100次的电话费； （3）如果某月的电话费是27. 8元，求该月通话的次数。 4、我市某地一家农工商公司收获的一种绿色蔬菜，共14（）吨，若在市场上直接销售，每吨利润为1（）0（）元，经粗加工后，每吨利润可达4500元，经细加工后，每吨利润为6500元。该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每夭可加工16吨；如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨；但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内（含15天）将这批蔬菜全部销售或加工完毕。为此公司研制了两种可行方案：方案一：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没有來得及进行加工的蔬菜，在市场上直接出售。方案二：将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工。 （1）写出方案一所获利润W|； ⑵求出方案二所获利润W,（元）与精加工蔬菜数x （吨）之间的函数关系式； ⑶你认为任何安排加工（或直接销竹）使公司获利最多？最人利润是多少？ 11、一次函数 要点一：函数的概念及自变量取值范围的确定 一、选择题 １、（2009·包头中考）函数 y =中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x >- B ．2x -≥ C ．2x ≠- D ．2x -≤ 【解析】选B. a 的范围是0a ≥；∴y =中x 的范围由20x +≥得2x ≥-。 ２、(2009·成都中考)在函数1 31 y x =-中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．13x < B ． 13x ≠- C ． 13x ≠ D ． 13 x > 【解析】选C.分式的分母不为0.即3x －1≠0,解得13 x ≠. 3、（2009·广州中考）下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥3的是（ ） A ．3 1 -= x y B ．3 1-=x y C ．3-=x y D ．3-=x y 答案：选D. 4、（2010·兰州中考）函数3 1 2-+-=x x y 中,自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≤2 B ．x ＝3 C ．x ＜2且x ≠3 D ．x ≤2且x ≠3 【解析】选A.若使函数3 1 2++ -=x x y 有意义，应满足02≥-x 且03≠-x ，解得.2≤x 5、（2008·孝感中考）下列曲线中，表示y 不是x 的函数是（ ） 【解析】选B.根据自变量x 固定，y 的值唯一得结论. 6、（2008·潍坊中考）某蓄水池的横断面示意图如下图，分深水区和浅水区，如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出．下面的图象能大致表示水的深度h 和放水时间t 之间的关系的是（ ） 答案：选A 二、填空题 7、（2010·威海中考）在函数x y -=3中，自变量x 的取值范围 是 ． 【解析】由二次根式的意义易得，3－x≥0，所以x≤3 答案： x≤3 h t O A ． h t O B ． h t O h t O D ． h 一次函数复习 大有中学程顺发 教学目标 1、理解一次函数的意义，会用待定系数法求一次函数的表达式。 2、会画一次函数图象，理解函数性质。 3、能根据图象求二元一次方程组的近似值，掌握求两函数图象交点坐标的方法。 4、会用一次函数解决简单的实际问题。 教学重点 1、一次函数的图象和性质 2、一次函数的应用 教学难点 一次函数和二元一次方程(组)、一元一次不等式（组）的关系。 教材分析 1、近几年来，一次函数的中考分值呈上升趋势，命题多为填空、选择（2—3分）和解答题（6—8分）且为中考命题热点。 2、本节主要内容有一次函数的图象和性质、利用一次函数的图象解决二元一次方程（组）和一元一次不等式（组）的问题、一次函数的应用、一次函数与几何的综合题等。 3、结合实际的应用问题涉及面广，也是近几年来各省市中考的热点问题，有行程、温度、利润、电话费等问题，特别是与经济相关的问题在近几年中考中比较常见。 教学过程 一、考点整合 1、一次函数定义：一般地，若两个变量x,y间的关系，可以表示成（k、b 常数且k≠0)的形式，则称y是x的一次函数，当b=0时，一次函数也叫正比例函数。 2、一次函数图象的画法：正比例函数的图象是过和两点的，一次函数图象是过和两点的。 3、一次函数性质：y=kx+b(k≠0)当K>0时，y随x增大而，当K<0时，y随x增大而 4、一次函数图象与k、b的符号关系如下： 5、一次函数与一元一次方程的关系： 直线y=kx+b(k≠0)与x 轴的交点 就是一元一次方程kx+b=0的解， 6、一次函数与一元一次不等式的关系： 一次函数y=kx+b 的函数值 的自变量x 的所有值，就是一元一次不等式kx+b>0的解集；一次函数y=kx+b 的函数值 的自变量x 的所有值，就是一元一次不等式kx+b<0的解集。 7、一次函数与二元一次方程（组）的关系： 一次函数表达式y=kx+b 就是一个 ，反过来任何一个二元一次方程都可转化为一次函数表达式。二元一次方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标。 二、典型例题 例1：已知一次函数y=kx-k,若y 随x 增大而减小，则函数图象不经过（ ） A 第四象限 B 第三象限 C 第二象限 D 第一象限 例2：直线l 1:y=k 1x+b 与直线l 2:y=k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x+b>k 2x 的解为（ ） A 、x>-1 B 、x<-1 C 、x<-2 D 、无法确定 解析：根据一次函数的性质分析图象，由图可知l 1上，y 随x 的增大而减小，l 2上，y 随x 的增大而增大，当x<-1时，l 1上的值均大于l 2上的值，当x>-1时，l 2上的值均大于l 1上的值，故可得答案。 例3：如图：一次函数图象经过点A ，且与正比例函数y=-x 的图象交于点B ，则该一次函数的表达式为（ ） A 、y=-x+2 B 、y=x+2 C 、y=x-2 D 、y=-x-2 解析：本题主要考察对一次函数图象的认识，由正比例函数的图象和一次函数图象的交点的横坐标可求出一次函数图象上的一点，再根据一次函数与y 轴的交点，已知两点即可求出一次函数的解析式。 例4：某饮料厂开发了A 、B 两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲和乙的含量如下表所示，现用甲原 料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A 、B 两种饮料共100瓶，设生产A 种饮料X 瓶，解答下列问题： （1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程； (2）如果A 种饮料每瓶的成本为2.60元，B 种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料的成本总额为Y 元，请写出Y 与X 的之间的关系式，并说明X 取值会使成本总额最低？ 甲 乙 A 20克 40克 B 30克 20克 分析：本题主要考察一次函数与一次不等式的应用，根据提议可得出一个不等式组，再由题意可得出一次函数的表达式，根据一次函数的性质和实际生活的意义可得答案。 解：（1）设生产A 种饮料X 瓶，根据题意得 20X+30（100-X ）≤2800 40X+20（100-X ）≤2800 y x o -1 -2 y=k 1x+b y=k 2x y x o -1 2 A B y=--x 饮料名称 原料名称 1、某食品加工厂，准备研制加工两种口味的核桃巧克力，即原味核桃巧克力和益智核桃巧克力．现有主要原料可可粉410克，核桃粉520克．计划利用这两种主要原料，研制加工上述两种口味的巧克力共50块．加工一块原味核桃巧克力需可可粉13克，需核桃粉4克；加工一块益智核桃巧克力需可可粉5克，需核桃粉14克．加工一块原味核桃巧克力的成本是1.2元，加工一块益智核桃巧克力的成本是2元．设这次研制加工的原味核桃巧克力x块．（1）求该工厂加工这两种口味的巧克力有哪几种方案？ （2）设加工两种巧克力的总成本为y元，求y与x的函数关系式，并说明哪种加工方案使总成本最低？总成本最低是多少元？ 2、某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元． （1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式． （2）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据； 式组，求出它的解集，并由此分析如 何配制这两种饮料， 3、园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆． （1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来． （2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？ 4、某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A、B两种型号的冰箱100台．经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于 4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰 （1）冰箱厂有哪几种生产方案？ （2）该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家电（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民 多少元？ （3）若按（2）中的方案生产，冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品：体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学．其中体育器材至多买4套，体育器材每套 6000元，实验设备每套3000元，办公用品每套1800元，把钱全部用尽且三种物 品都购买的情况下，请你直接写出实验设备的买法共有多少种． 一、明确函数类型，利用待定系数法构建函数表达式; 特点:所给问题中已经明确告知为一次函数 ．．．．关系或者给出函数的图像为直线或直线的一部分时，就等于告诉我们此函数为“一次函数”，此时可以利用待定系数法，设关系式为:y=kｘ+ｂ,然后寻找满足关系式的两个x与y的值或两个图像上的点，代入求解即可。 常见题型：销售问题中售价与销量之间常以表格形式给出的有规律的变化,蕴含着一次函数关系；行程问题中的路程与时间的关系常给出函数的图像（多是直线或折线)； 【典型例题赏析】 1.（2010 江苏连云港)（本题满分１0分）我市某工艺品厂生产一款工艺品．已知这款工艺品的生产成本为每件6０元.经市场调研发现：该款工艺品每天的销售量ｙ(件)与售价x(元)之间存在着如下表所示的一次函数关系. 售价 ｘ(元） …７0 90 … 销售量y（件) … ３０0 ０ 1000 … (１)求销售量y（件)与售价x(元)之间的函数关系式； （2)你认为如何定价才能使工艺品厂每天获得的利润为40 ０00 元？ 2.已知A、B两城相距60０千米，甲、乙两车同时从Ａ城出发驶向Ｂ城, 甲车到达B城后立即沿原路返回.图２是它们离A城的距离y（千米） 与行驶时间x(小时)之间的函数图像。 (1）求甲车在行驶过程中y与x之间的函数关系式； （2）当它们行驶了7小时时，两车相遇．求乙车的速度. ３．（201０浙江湖州)一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发，匀速行驶.设行驶的时间为ｘ(时）,两车之间的距离为y(千米),图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系. （1)根据图中信息,求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离; 一次函数 要点一：函数的概念及自变量取值围的确定 一、选择题 １、（2009·中考）函数2y x = +中，自变量x 的取值围是（ ） A ．2x >- B ．2x -≥ C ．2x ≠- D ．2x -≤ ２、(2009·中考)在函数1 31 y x =-中，自变量x 的取值围是（ ） A ．13x < B ． 1 3 x ≠- C ． 13x ≠ D ． 13x > 3、（2009·中考）下列函数中，自变量x 的取值围是x ≥3的是（ ） A ．3 1 -= x y B ．3 1-=x y C ．3-=x y D ．3-=x y 4、（2010·中考）函数3 1 2-+ -=x x y 中,自变量x 的取值围是（ ） A ．x ≤2 B ．x ＝3 C ．x ＜2且x ≠3 D ．x ≤2且x ≠3 5、（2008·中考）下列曲线中，表示y 不是x 的函数是（ ） 6、（2008·潍坊中考）某蓄水池的横断面示意图如下图，分深水区和浅水区，如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出．下面的图象能大致表示水的深度h 和放水时间 t 之间的关系的是（ ） 二、填空题 7、（2010·威海中考）在函数x y -=3中，自变量x 的取值围是 ． h t O A ． h t O B ． h t O h t O D ． h 8．（2009·中考）函数y＝ 2 2 x x - + 的自变量x的取值围是 . 9、（2009·中考）在函数21 y x =-中，自变量x的取值围是． 10、（2009·中考）函数 2 y x = - 中，自变量x的取值围是． 11、（2009·大兴安岭中考）函数 1 - = x x y中，自变量x的取值围是． 12、(2009·中考)已知函数 1 () 1 f x x = - ，那么(3) f=． 13、（2008·中考）如图，当输入5 x=时，输出的y=． 三、解答题 14、（2008·中考）如图，水以恒速（即单位时间注入水的体积相同）注入下面四种底面积相 同的容器中。 （1）请分别找出与各容器对应的水的高度h和时间t的函数关系图象，用直线段连接起来；（2）当容器中的水恰好达到一半高度时，请在各函数关系图的t轴上标出此时t值对应点T 的位置． h t O h t O h t O h t O A．B．C．D． （1）（2）（3）（4） 〖教学目标〗 ◆1、理解和掌握一次函数的图像及其性质 ◆2、学会运用函数这种数学模型来解决生活和生产中的实际问题，增强数学应用意识 〖教学重点和难点〗 教学重点：一次函数图像及其性质 教学难点：体会函数、方程、不等式在解决实际问题时的密切联系，并在一定条件下互相转化的各种情形，感受贴近生活的数学，培养解题能力。 〖教学过程〗 一．做一做 由图象可判断 y 是 x 的什么函数？你能求出它的解析式吗？ 解：由图象可判断 y 是 x 的一次函数 设函数关系式为 把点A （0，6），B （4，8）代入得 ∴y=0.5x+6 二．问 题 如右图,线段a 表示弹簧(设弹簧的最大可挂6kg 的物体)的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的关系的图象,请结合图象回答下列问题: (1)问题中的两个变量y 与x 之间是不是一次函数关系? (2)y 与x 之间的函数关系是________________; (3)由图知弹簧的原长是____cm. 当x=3时,弹簧的长度y=___cm;实际意义是什么？ ?? ?+==b k b 486x b kx y +=?? ?==5 .06 k b x 变式:弹簧秤上挂上物体后会伸长(弹簧的最大可挂6kg 的物体),测得一弹簧的长度y(cm) 与所挂物体的质量x(kg)有如下关系: 问:(1)能否用一次函数刻画这两个变量y 与x 的关系？如果能,请求出这个函数的解析式。 请大家把表格中的点在坐标系中描出来. (2)当x=8时,y=10.实际意义是什么？ 解： （1）建立直角坐标系，画出以表中的x 值为横坐标，y 的值为纵坐标的7个点。 7个点在同一线段上，则所求的函数可以看成是一次函数！ 设函数关系式为 把点A （0，6），B （4 ，8）代入得 ∴y=0.5x+6 (2)当x=8时,y=10.实际意义：弹簧秤上挂上8kg 物体时已经超过弹簧的最大可挂6kg 了，弹簧变形了，没有意义。 问:除了用前面的方法来解决问题外，还有其它方法吗？ 三．实践 蓝鲸是现存动物中体形最大的一种，体长的最高记录是３２００cm.根据生物学家对成熟的雄性鲸的研究，发现全长和吻尖到喷水孔的长度存在函数关系。 用待定系数法求出函数解析式 ?? ?+==b k b 486寻找数据间的规律 b kx y +=?? ?==5 .06 k b x 得出函数的解析式 利用函数解决实际问题 一次函数应用题练习 姓名 1、A市和B各有机床12台和6台，现运往C市10台，D市8台，若从A市运一台到C 市，D市各需要4万元和8万元，从B市运一台到C市，D市各需3万元和5万元。（1）设B市运往C市X台，求总费用Y关于X的函数关系式； （2）若总费用不超过95万元，问共有多少种调运方法？ （3）求总费用最低的调运方法，最低费用是多少万元？ 2、某蔬菜生产基地计划由25个劳动力承包60亩地，种植甲乙丙三种不同的蔬菜，规定每个劳动力只种一种蔬菜，且甲种蔬菜必种，经测算这些不同品种的蔬菜每亩所需的劳动力和预计产值如下表： ,且预计产值达最高,最高产值是多少? 3．为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费1.0元并加收0.2元的城市污水处理费;超过7立方米的部分每立方米收费1.5元并加收0.4元的城市污水处理费,设某户每月用水量为X(立方米),应交水费为Y(元)。 （1）分别写出用水未超过7立方米和多于7立方米时，y与x间的函数关系式； （2）如果某单位共有用户50户，某月共交水费541.6元，且每户的用水量均未超过10立方米，求这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有多少户？ 4、某日通过某公路收费站的汽车中，共有3000辆次缴了通行费，其中大车每辆次缴通行费10元，小车每辆次缴通行费5元。（1）设这一天小车缴通行费的辆次为X，总的通行费收入为Y元，试写出Y关于X的函数关系式。 （2）若估计缴费的3000辆次汽车中，大车不少于20%且不大于40%，试求该收费站这一天费总数的范围。 5、某人有一批货物的成本为X元，如果他将这批货物5月1出售，可获利200元，然后将本利都存入银行，已知银行存款的月息为2%，6月1日他从银行中全部取出本利，设他共获利Y元。 （1）写出Y（元）与X（元）之间的函数关系式。 （2）如果这批货物6月1日出售，可获利220元，但要付保管费5元，试问这批货物成本多少元时，5月1日出售比6月1日出售获利多。 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 实际问题中构建“一次函数”模型的常见方法 一、确定解析式的几种方法： 1.根据实际意义直接写出一次函数表达式，然后解决相应问题；（直表法） 2. 已经明确函数类型，利用待定系数法构建函数表达式；（待定系数法） 3. 利用问题中各个量之间的关系，变形推导所求两个变量之间的函数关系式；（等是变形法） 二、重点题型 1. 根据各类信息猜测函数类型为一次函数，并验证猜想； 2.运用函数思想，构建函数模型解决（最值、决策）问题 （一）、根据实际意义直接写出一次函数表达式，然后解决相应问题 特点：当所给问题中的两个变量间的关系非常明了时，可以根据二者之间的关系直接写出关系式，然后解决问题， 1.某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9 折优惠．书包每个定价20元，水性笔每支定价5元．小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）． （1）分别写出两种优惠方法购买费用y（元）与所买水性笔支数x（支）之间的函数关系式； （2）对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜； （3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济． 2，某实验中学组织学生到距学校6千米的光明科技馆去参观，学生王琳因事没能乘上学校的校车，于是准备在学校门口改乘出租车去光明科技馆，出租车的收费标准为：3千米以下（含3千米）收费8元，3千米以上，每增加1千米，收费1.8元。 （1）写出出租车行驶的里程数x与费用y之间的解析式。 （2）王彬身上仅有14元，乘出租车到科技馆的车费够不够？请你说明理由。 3、某市电话的月租费是20元，可打60次免费电话（每次3分钟），超过60次后，超过部分每次0.13元。 （1）写出每月电话费y（元）与通话次数x之间的函数关系式；（分段函数） （2）分别求出月通话50次、100次的电话费； （3）如果某月的电话费是27.8元，求该月通话的次数。 4、我市某地一家农工商公司收获的一种绿色蔬菜，共140吨，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后，每吨利润可达4500元，经细加工后，每吨利润为6500元。该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨；但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内（含15天）将这批蔬菜全部销售或加工完毕。为此公司研制了两种可行方案：方案一：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没有来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接出售。方案二：将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工。 ⑴写出方案一所获利润W 1； ⑵求出方案二所获利润W 2（元）与精加工蔬菜数x（吨）之间的函数关系式； 一次函数在生活中的应用 + 孙岩 即墨市第二职业中专 一次函数在生活中的应用 一问题背景: 一元一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛。当人们在社会生活中从事买卖特别是消费活动时，若其中涉及到变量的线性依存关系，则可利用一元一次函数解决问题。例如，当我们购物、租用车辆、入住旅馆时，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。这时我们应三思而后行，深入发掘自己头脑中的数学知识，做出明智的选择。俗话说：“从南京到北京，买的没有卖的精。”我们切不可盲从，以免上了商家设下的小圈套，吃了眼前亏。 二问题再现: 冬季快到了,大润发商场的保暖内衣开始搞促销活动了.每套保暖内衣原价是60元,优惠方式1:每套内衣打九折。优惠方式2:当购买套数多于10套,购买总价减去两套的价钱.采用哪种优惠方式可以达到省钱的目的? 三解决方案: 在教学过程中,根据学生在前面已经学习了函数的定义,函数的表示方法,及函数的性质等知识后,学生可以根据以上知识,解决一次函数的应用问题.我采用”自组织教学法”提出以下几个问题: 1分别写出付款总额的函数的表达式 2比较两种付款总额的大小 3通过分析数据得出结论 4归纳本题的函数模型 5进一步探讨,有没有更简洁明了的分析方法. 6能否再举一个类似的生活实际应用例子.. 四解决过程: 学生1:写出优惠方式一的付款总额的函数表达式:设顾客买的套数为X（X为正整数）,则付款总额为Y1=60*0.9*X=54X 学生2:写出优惠方式二的付款总额的函数表达式Y2=(X-2)*60. 共同比较：(1)当两种方式付款总额相等时:54X=(X-2)*60,得出X=20 (2)Y1>Y2,X<20,学生答第二种方法省钱. (3) Y1 一次函数的应用 用一次函数解决实际生活问题： 常见类型： （1）求一次函数的解析式； （2）利用一次函数的图象与性质解决某些问题，如最大（小）值问题等. 一次函数解决实际问题的步骤： (1)认真分析实际问题中变量之间的关系； (2)若具有一次函数关系，则建立一次函数的关系式； (3)利用一次函数的有关知识解题 探究类型之一利用一个一次函数的方案选择 例1：某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，购进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元.甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元，该商店决定用不少于6 710元且不超过6 810元购进这两种商品共100件. (1)求这两种商品的进价； (2)该商店有几种进货方案？哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？ 类似性问题 1.某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套．经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元． （1）求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？ （2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元， 并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳的23，求该校本次购买A型和B 型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？ 2.建设环境优美、文明和谐的新农村，某村村委会决定在村道两旁种植A，B两种树木，需要购买这两种树苗1000棵．A，B两种树苗的相关信息如下表： 设购买A种树苗x棵，绿化村道的总费用为y元．解答下列问题： （1）写出y（元）与x（棵）之间的函数关系式； （2）若这批树苗种植后成活了925棵，则绿化村道的总费用需要多少元？（3）若绿化村道的总费用不超过31000元，则最多可购买B种树苗多少棵？ 探究类型之二利用两个一次函数的方案选择 例3 川省第十二届运动会将于2014年8月18日在我市隆重开幕，根据大会 第30、31、32课时： 备课人：鞠清永 P例3、例4） 教学内容：§3.2.2函数模型的实际应用（ 102 教学目的：①通过实例“汽车的行驶规律”理解一次函数、分段函数的应用，提高学生的阅读能力； ②在实际问题中，发展学生数学地提出、解决问题的能力，体 会数学与物理、人类社会的关系。 教学重点：分段函数、指数型函数的应用； 教学难点：函数模型的建立； P例3 教学流程：①组织学生学习 102 ②归纳解应用题的一般方法 ③小结、课外作业 教学过程： 一、组织学生学习例3 例3. 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图3.2-7所示。（1）求图3.2-7中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图像。 ①阅读题目（注重阅读能力训练） ②分析解答本例 ③反思 二、课堂小结与课外作业 小结：① 解答应用题的难点在建模，而建模的关键是审题； ② 解答应用题的答语是解题目的之一。 课外作业：教科书104P 课后练习 第 1、2 题 第31课 教学内容：§3.2.2函数模型的实际应用（102P 例4） 教学目的：① 通过马尔萨斯的人口增长模型使学生学会指数型函数的应 用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用； ② 在实际问题中，发展学生数学地提出、解决问题的能力，体 会数学与物理、人类社会的关系。 教学重点：指数型函数的应用； 教学难点：函数模型的建立； 教学流程：① 组织学生学习102P 例4 ② 归纳解应用题的一般方法 ③ 小结、课外作业 教学过程： 一、组织学生学习例4 例4. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：0rt y y e = 其中t 表示经过时间，0y 表示0t =时的人口，r 表示人口的年平均增长率 （1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率 一次函数应用 一、确定解析式的几种方法： 1. 根据实际意义直接写出一次函数表达式，然后解决相应问题；（直表法） 2. 已经明确函数类型，利用待定系数法构建函数表达式；（待定系数法） 3. 利用问题中各个量之间的关系，变形推导所求两个变量之间的函数关系式；（等是变形法） 二、重点题型 1. 根据各类信息猜测函数类型为一次函数，并验证猜想； 2.运用函数思想，构建函数模型解决（最值、决策）问题 （一）、根据实际意义直接写出一次函数表达式，然后解决相应问题 特点：当所给问题中的两个变量间的关系非常明了时，可以根据二者之间的关系直接写出关系式，然后解决问题， 1.某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠．书包每个定价 20元，水性笔每支定价5元．小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）． （1）分别写出两种优惠方法购买费用y （元）与所买水性笔支数x （支）之间的函数关系式； （2）对x 的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜； （3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济． 2，某实验中学组织学生到距学校6千米的光明科技馆去参观，学生王琳因事没能乘上学校的校车，于是准备在学校门口改乘出租 车去光明科技馆，出租车的收费标准为：3千米以下（含3千米）收费8元，3千米以上，每增加1千米，收费1.8元。 （1）写出出租车行驶的里程数x 与费用y 之间的解析式。 （2）王彬身上仅有14元，乘出租车到科技馆的车费够不够？请你说明理由。 3、 某市电话的月租费是20元，可打60次免费电话（每次3分钟），超过60次后，超过部分每次0.13元。 （1）写出每月电话费y （元）与通话次数x 之间的函数关系式；（分段函数） （2）分别求出月通话50次、100次的电话费； （3）如果某月的电话费是27.8元，求该月通话的次数。 4、我市某地一家农工商公司收获的一种绿色蔬菜，共140吨，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后，每吨利润可达4500元，经细加工后，每吨利润为6500元。该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨；但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内（含15天）将这批蔬菜全部销售或加工完毕。为此公司研制了两种可行方案：方案一：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没有来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接出售。方案二：将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工。 ⑴ 写出方案一所获利润W 1； ⑵ 求出方案二所获利润W 2（元）与精加工蔬菜数x （吨）之间的函数关系式； ⑶ 你认为任何安排加工（或直接销售）使公司获利最多？最大利润是多少？ 一次函数的实际应用 基础扫描：在同一坐标系中作一次函数y 1=2x－2 与y2=0.5x+1的图象. ①求出它们的交点坐标是②则方程组 22 0.51 y x y x =- ? ? =+ ? 的解是 . ③当x时, y1＞y2④当x时, y1=y2⑤当x时, y1＜y2 举一反三：（2010 云南玉溪）某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价477元／克，按标价出售，不优惠．乙店标价530元／克，但若买的铂金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售． ⑴分别写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用y（元）和重量x（克）之间的函数关系式； ⑵李阿姨要买一条重量不少于4克且不超过10克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？ 模仿操练：1.（2010山东泰安）某电视机厂要印制产品宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收1元印刷费，另收1000元制版费；乙厂提出：每份材料收2元印制费，不收制版费. （1）分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x（份）之间的函数关系式； （2）电视机厂拟拿出3000元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂印制的宣传材料能多一些？ （3）印刷数量在什么范围时，在甲厂的印制合算？ 2．(2009年潍坊)某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择： 方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元； 方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元． y（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸（1）若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用 1 y（元）关于x（个）的函数关系式； 箱的费用 2 （2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由． 3．（2010辽宁丹东市）某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠．书包每个定价20元，水性笔每支定价5元．小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）． （1）分别写出两种优惠方法购买费用y（元）与所买水性笔支数x（支）之间的函数关系式； （2）对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜； （3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济． 15.小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是 图中折线O －A －B －C 和线段OD 分别表示两人离学校的路程s （千米）与所经过的时间t （分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： （1）小聪在天一阁查阅资料的时间为__________分钟，小聪返回学校的速度为_______千米/ 分钟。 （2）请你求出小明离开学校的路程s （千米）与所经过的时间t （分钟）之间的函数关系; （3）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？ 解：（1）15， 15 4 （千米）（分钟） （2）由图像可知，s 是t 的正比例函数 设所求函数的解析式为kt s =（0≠k ） 代入（45，4）得：k 454= 解得：45 4= k ∴s 与t 的函数关系式t s 45 4 = （450≤≤t ） （3）由图像可知，小聪在4530≤≤t 的时段内 s 是t 的一次函数，设函数解析式为n mt s +=（0≠m ） 代入（30，4），（45，0）得：?? ?=+=+0 454 30n m n m 解得：????? =- =12 154n m ∴12154 +- =t s （4530≤≤t ） 令t t 45412154=+-，解得4135 = t 当4135=t 时，34 135 454=?=S 答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米。 16.为响应环保组织提出的“低碳生活”的号召，李明决定不开汽车而改骑自行车上班．有一天，李明骑自行车从家里到工厂上班，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间，车修好后继续骑行，直至到达工厂（假设在骑自行车过程中匀速行驶）．李明离家的距离y （米）与离家时间x （分钟）的关系表示如下图： （1）李明从家出发到出现故障时的速度为米／分钟； （2）李明修车用时分钟； （3）求线段BC 所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．初中八年级数学下册第十九章一次函数单元检测试卷习题十一(含答案) (33)
一次函数应用题(含答案)
一次函数的应用题分类总结整理.docx
一次函数中考试题分类汇编含答案
一次函数图像的性质
一元一次不等式与一次函数的应用
一次函数的应用题分类总结整理
“一次函数”中考试题分类汇编(含答案)
5.5一次函数简单的简单应用(1).5一次函数的简单应用(1)
一元一次函数应用题练习
一次函数的应用题分类总结整理(优选.)
一次函数在生活中的应用
(完整版)一次函数的实际应用(经典)
函数模型的应用实例
一次函数的应用题分类总结整理剖析
一次函数的实际应用(分类题型)
一次函数应用大题及问题详解