高三数学上学期期末考试试题 理

西藏拉萨市第三高级中学2016届高三数学上学期期末考试试题 理

(考试时间：120分钟，满分：150分) 第I 卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．若集合

=

=+-==B A x x x B A 则},065{},3,2{2（ ）

A ．}3,2{==x x

B ．)}3,2{(

C ．{2，3}

D ．2，3 2．已知复数33i

i

z +-=

，则z 的虚部为（ ） A ．3- B ．3 C ．i 3 D ．i 3- 3．已知倾斜角为α的直线l 与直线x －2y+2=0平行，则

tan 2α的值为（ ）

A ．

45 B ．34 C ．23 D ．43

4．设a ，b R ∈，那么“1a

b

>”是“0a b >>”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 5．如图所示，程序框图的输出值S =（ ）

A ．21

B ．15

C ．28

D ．21-

6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

正视侧视

6

4 2

A ．12

B ． 24

C ．40

D ．72

7．如图所示，点)0,1(A ，B 是曲线132+=x y 上一点，向矩形OABC 内随机投一点，则该点落在图中阴影内的概率为（ ） A ．

21 B ．31

C ．41

D ．5

2

8．已知矩形ABCD ，F E 、分别是BC 、AD 的中点，且22BC AB ==，现

沿EF 将平面ABEF 折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC ，则三棱锥A FEC -的外接球的体积为（ ） A ．

33π B ．3

2

π C ．3π D ．23π 9．已知点()

,P x y 在不等式组??

??

?≥-+≤-≤-022010

2y x y x 表示的平面区域上运动，则z x y =-的取值范围是（ ）

A ．[]1,2

B ．[]2,1-

C ．[]2,1--

D ．[]1,2-

10．函数()()sin 0,2f x x πω?ω???=+>< ?

??的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于点)0,6(π对称 B ．关于6

π=x 对称

C ．关于点,012π?? ???

对称 D ．关于12x π=对称 11．已知双曲线c ：

，以右焦点F 为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M 、N （异于原点O ），若|MN|=

，则双曲线C 的离心率 是（ ）

A ．2

B ．3

C ．2

D ．31+

12．已知函数2

f x x bx c =++（），（b ，c ∈R ），集合()()()00{}{|}A x f x B x f

f x ====丨，，

若存在00x B x A ∈?，则实数b 的取值范围是（ ） A ． 04b ≤≤ B ． 0b ≤或4b ≥ C ．04b ≤< D ．0b <或4b ≥

第II 卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．6

1(2)2x x

-

的展开式中常数项为 ． 14．过抛物线2

4y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．若AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则线段AB 的长为_____．

15．已知向量)2,1(n a =→

，),(m n m b +=→

)0,0(>>n m ，若1a b ?=，则n m +的最小值为_____ 16．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b c a 222=-且C A tan 3tan =，则b =_____．

三、解答题

17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a ，满足135151712.a a a a a a ++=，且，，成等比数列．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设121111...n n n n b a a a +-=

+++，证明：1

2

1n b ≤<． 18．18．（本小题满分12分）C ?AB 中内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，B 为锐角，向量()

2sin ,3m =B -，2

cos 2,2cos

12n B ?

?

=B - ??

?

，且//m n ． （1）求B 的大小； （2）若2b =，求C S ?AB 的最大值．

19．（本小题满分12分）某商家对他所经销的一种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下表： 日销售量 1 1．5 2 天数 10

25

15

频率

0.2

a

b

若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立． （1）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1．5吨的概率； （2）已知每顿该商品的销售利润为2千元，X 表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求X 的分布列和数学期望．

20．（本小题满分12分）如图，椭圆的右焦点2F 与抛物线2

4y x =的焦点重合，过2F 且于x 轴垂直的直线与椭圆交于S ，T ，与抛物线交于C ，D 两点，且22.CD ST =

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设P 为椭圆上一点，若过点M （2，0）的直线l 与椭圆相交于不同两点A 和B ， 且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），求实数t 的取值范围． 21．（本小题满分12分）设()()

21x f x xlnx ax a a e =++--，2a ≥-． （1)若0a =，求()f x 的单调区间；

（2)讨论()f x 在区间1,e ??+∞ ???

上的极值点个数； 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B 、C ，∠APC 的平分线分别 交AB 、AC 于点D 、E

（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED ；

D

E

B

A O

C

P x

y

O

C

T S D 2

F ?

（Ⅱ）若AC =AP ，求

PC

PA

的值。 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是：

2

222

x m t y t ?=+

???

?=??（t 是参数）． （Ⅰ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且||14AB =，试求实数m 值． （Ⅱ）设()y x M ,为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数()a a x x f +-=2．（Ⅰ）若不等式()6≤x f 的解集为{}32|≤≤-x x ，求实数a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数n 使()()n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．

D

E

B

A O

C

P

参考答案

1．C 2．B 3．D 4．B 5．D 6．C 7．A 8．B 9．D 10．A 11．C 12．D 13．20- 14．12 15．13- 16．4 17．解：（Ⅰ）

135312,312a a a a ++=∴=，43=∴a ． 1751,,a a a 成等比数列，

1712

5a a a =∴，0),144)(24()24(2≠+-=+∴d d d d ，

解得1=d 1)3(4)3(3+=-+=-+=∴n n d n a a n ； 所以数列}{n a 的通项公式为：*,1N n n a n ∈+= （Ⅱ）由（Ⅰ）可知

1111111

..., (1222322)

n n b b n n n n n n +=

+++=+++

+++++， 因为111111

021*******

n n b b n n n n n -=+-=->+++++＋，

所以数列{}n b 单调递增．11

2

n b b ≥=．

又111111......11221111n n

b n n n n n n n =+++≤+++=<++++++，

因此1

21n b ≤<．

18． 解：（1）

//m n ，∴2

2sin 2cos 13cos 2

2B ?

?

B -=-B ???

，∴sin 23cos 2B =-B ， 即tan 23B =又

B 为锐角，则()20,πB∈，∴223πB =

，即3

πB = （2）

3

π

B =，2b =，由余弦定理222

cos 2a c b ac +-B =

，得2240a c ac +--= 又

222a c ac +≥，代入上式得，4ac ≤（当且仅当2a c ==时等号成立）

C 13

sin 32S ac ?AB =

B =≤（当且仅当2a c ==时等号成立） ∴

C S ?AB 319．

解：（1）250.550a =

=，15

0.350

b ==， 依题意，随机选取一天，销售量为1．5吨的概率0.5p =， 设5天中该种商品有Y 天的销售量为1．5吨，而~(5,0.5)Y B ，

所以2

2355

(2)0.5(10.5)0.312516

P Y C ==??-=

=． （2）X 的可能取值为4，5，6，7，8，

2(4)0.20.04P X ===，(5)20.20.50.2P X ==??=，

2(6)0.520.20.30.37P X ==+??=，(7)20.30.50.3P X ==??=， 2(8)0.30.09P X ===，

所以X 的分布列为：

X 的数学期望()40.0450.260.3770.38.09 6.2E X =?+?+?

+?+?=（千元）

． 20

2,0)(0,2)． 解：（Ⅰ）设椭圆标准方程 )0(,122

22>>=+b a b

y a x 由题意，抛物线

x y 42=的焦点为)0,1(2F

，

4

=CD ．

因为CD =，所以ST = 又S ),1(2a b ，T ),1(2

a b -，22b ST a == 又222

1,c a b ==- 1.a b ∴== 所以椭圆的标准方程1222

=+y x ．

（Ⅱ）由题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(2).y k x =-

由???-==+)2(2

222x k y y x 消去y ，得

0288)21(2222=-+-+k x k x k 设

)

,(),,(),,(002211y x P y x B y x A ，则21,x x 是方程)(*的两根，所以

0)28)(21(4)8(2222>-+-=?k k k 即122

且

2221218k k x x +=+，由OP t OB OA =+，得??

?=+=+0210

21ty y y tx x x 若t=0，则P 点与原点重合，与题意不符，故t≠0

[]???

???

?+-?=-+?=+=+?=+=2212102221021414)(1)(12181)(1k k t k x x k t y y t y k k t x x t x 因为点

)

,(00y x P 在椭圆上，所以 222

2

2002222183222()12(12)k k x y t k k ??

=+=?+??++??

4222221421

18(12)12k k t k k +==-++ 再由①得211082

t ≤<又t≠0， (2,0)(0,2)t ∴∈-? 21．

解：（1）当0=a 时：x

e x x x

f )1ln ()(-=，（0>x ） 故x

e x x x x

f )1ln 1(ln )('

-++=x

e x x )1(ln +=

当1=x 时：0)('

=x f ，当1>x 时：0)('

>x f ，当1

e a ax x x x x

f )ln (ln )(2

'

+++= 令=)(x g 2ln ln a ax x x x +++，故a x x x g +++=

1ln 1)(',x x

x g 1

1)(2''+-=, 显然0)1('

'=g ，又当1

'x 时：0)('

'>x g ． 故=min '

)(x g a g +=2)1('

， 2-≥a ，02)()(min '

'

≥+=≥∴a x g x g ． 故)(x g 在区间),1

(+∞e

上单调递增

注意到：当+∞→x 时，)(x g +∞→，故)(x g 在),1(+∞e 上的零点个数由)11)(1()1(e

a a e g ++-=的符号决定．

①当0)1(≥e g ，即：e a 112--≤≤-或1≥a 时：)(x g 在区间),1

(+∞e

上无零点，即)(x f 无极值点． ②当综

当111<<--a e 时：)(x f 在),1

(+∞e

上有唯一极值点． 22．

解：（Ⅰ）∵PA 是切线，AB 是弦，∴∠BAP=∠C 又∵∠APD=∠CPE ，∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE ． ∵∠ADE=∠BAP+∠APD ， ∠AED=∠C+∠CPE ．∴∠ADE=∠AED 5分 （Ⅱ）由（1）知∠BAP=∠C ，又∠APC=∠BPA ，∴APC ∽BPA ，

AC PC

AB PB

=

， ∵AC=AP ， ∠BAP=∠C=∠APC ，由三角形的内角和定理知：∠C+∠APC+∠PAC=180o， ∵BC 是圆O 的直径，∴∠BAC=90o，∴∠C+∠APC+∠BAP=90o， ∴∠C=∠APC=∠BAP=30o，在Rt ABC 中，

3,3AC PC

AB PB

=∴= 10分 23．

解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为：

0422=-+x y x 直线l 的直角坐标方程为：m x y -=

∴圆心到直线l 的距离（弦心距）,2

2)214(

222=-=d 圆心(2,0)到直线m x y -=的距离为 ：

1|2|2

2

2

|

02|=-?=--m m ∴1=m 或3=m 5分

（Ⅱ）曲线C 的方程可化为

2

2

2)4x y -+=（，其参数方程为 22cos 2sin x y θ

θ

=+??

=?(θ为参数） (),M x y 为曲线C 上任意一点，222sin()4x y π

θ+=++

x y ∴+的取值范围是[222,222]-+ 10分

24．解：（Ⅰ）由62≤+-a a x 得a a x -≤-62，∴a a x a -≤-≤-626，即33≤≤-x a ， ∴23-=-a ，∴1=a ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知()112+-=x x f ，令()()()n f n f n -+=?，

则，()???

?

?

????

>+≤<--≤-=+++-=21,422121,421,4221212n n n n n n n n ?

∴()n ?的最小值为4，故实数m 的取值范围是[)+∞,4．