高中物理之圆周运动的临界问题

圆周运动的临界问题

教学目标：

1．掌握描述圆周运动的物理量及相关计算公式；

2．学会应用牛顿第二定律解决圆周运动问题

3．掌握分析、解决圆周运动动力学问题的基本方法和基本技能

教学重点：匀速圆周运动

教学难点：应用牛顿第二定律解决圆周运动的动力学问题

教学方法：讲练结合，计算机辅助教学

教学过程：

自主预习：

1．火车转弯问题

由于火车的质量比较大，火车拐弯时所需的向心力就很大．如果铁轨内外侧一样高，则外侧轮缘所受的压力很大，容易损坏；实用中使外轨略高于内轨，从而重力和弹力的合力提供火车拐弯时所需的向心力．

铁轨拐弯处半径为R，内外轨高度差为H，两轨间距为L，火车总质量为M，则：

(1)火车在拐弯处运动的“规定速度”即内外轨均不受压的速度v P＝．

(2)若火车实际速度大于v P，则外轨将受到侧向压力．

(3)若火车实际速度小于v P，则内轨将受到侧向压力．

2．“水流星”问题

绳系装满水的杯子在竖直平面内做圆周运动，即使到了最高点杯子中的水也不会流出，这是因为水的重力提供水做圆周运动的向心力。

(1)杯子在最高点的最小速度v min＝(gL)1/2

(2)当杯子在最高点速度为v1>v min时，杯子内的水对杯底有压力，若计算中求得杯子在最高点速度v2

议一议：若“水流星”问题中杯子中水的质量为m，当在最高点速度为v2>v min时，水对杯底的压力为多大?

3．变速圆周运动特点：

（1）速度大小变化——有切向加速度、速度方向改变——有向心加速度．故合加速度不一定指向圆心．

（2）合外力不全部提供作为向心力，合外力不指向圆心．

4．处理圆周运动动力学问题般步骤

（1）确定研究对象，进行受力分析，画出运动草图

（2）标出已知量和需求的物理量

（3）建立坐标系，通常选取质点所在位置为坐标原点，其中一条轴与半径重合

（4）用牛顿第二定律和平衡条件建立方程求解．

重点、难点释疑：

斜面、悬绳弹力的水平分力提供加速度a ＝gtan α的问题

1．斜面体和光滑小球一起向右加速的共同加速度a ＝gtan α

因为F 2＝F N cos α＝mg

F 1＝F N sin α＝ma

所以a ＝gtan α

2．火车、汽车拐弯处把路面筑成外高内低的斜坡，

向心加速度和α的关系仍为a ＝gtan α，再用tan α＝h/L,a

＝v 2/R 解决问题．

3．加速小车中悬挂的小球、圆锥摆的向心加速度、

光滑锥内不同位置的小球，都有a ＝gtan α的关系．

典型的非匀速圆周运动是竖直面内的圆周运动

这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。

1．如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直面内作圆周运动通过最高点，弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有mg R mv mg F ≥=+2即gR v ≥，否则不能通过最高点。

①临界条件是绳子或轨道对小球没有力的作用，在最高点v =Rg ．②小球能通过最高点的条件是在最高点v >Rg ．③小球不能通过最高点的条件是在最高点v

2．弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有：gR v mg R mv F mg ≤∴≤=-,2

，否则车将离开桥面，做平抛运动。 3．弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下，

速度大小v 可以取任意值。但可以进一步讨论：①当gR v >时物体受到的弹力必然是向下的；当gR v <时物体受到的弹力必然是向上的；当gR v =时物体受到的弹力恰好为零。②当弹力大小F mg 时，向心力只有一解：F +mg ；当弹力F =mg 时，向心力等于零。

物理最高点与几何最高点

如图所示，小球在竖直平面内做圆周运动时，C 为最高点，D 为最低点，C

点速度最小，D 点速度最大。但是若加水平向右的电场E ，小球带电量为十Q ，

则在A 点速度最小，在B 点速度最大，小球在A 点时重力与电场力的合力指向

圆心，小球在B 点时，重力与电场力的合力沿半径向外，这与只有重力时C 、

D 两点的特性相似．我们把A 、B 两点称为物理最高点和物理最低点，而把C 、

D 两点称为几何最高点和几何最低点。

解题方法探究：

题型一：有关摩擦力的临界问题

【例1】如图所示，用细绳一端系着的质量为M =0.6kg 的物体A 静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O 吊着质量为m =0.3kg 的小球B ，A 的重心到O 点的距离为0.2m ．若A 与转盘间的最大静摩擦力为f =2N ，为使小球B 保持静止，求转盘绕中心O 旋转的角速度ω的取值范围．（取g =10m/s 2）

解析：要使B 静止，A 必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度．A 需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成．角速度取最大值时，A 有离心趋势，静摩擦力指向圆心O ；角速度取最小值时，A 有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O ．

对于B ，T =mg

对于A ，2

1ωMr f T =+

22ωMr f T =-

5.61=ωrad/s 9.22=ωrad/s

所以 2.9 rad/s 5.6≤≤ωrad/s

题型二：水平面内圆周运动的临界问题

【例2】如图所示，质量为m =0.1kg 的小球和A 、B 两根细绳相连，两绳固定在细杆的A 、B 两点，其中A 绳长L A =2m ，当两绳都拉直时，A 、B 两绳和细杆的夹角θ1=30°，θ2=45°，g =10m/s 2．求：

（1）当细杆转动的角速度ω在什么范围内，A 、B 两绳始终张紧？

（2）当ω=3rad/s 时，A 、B 两绳的拉力分别为多大？

[解析]（1）当B 绳恰好拉直，但T B =0时，细杆的转动角速度为ω1，

有： T A cos30°=mg

21030sin 30sin A A L m T ω=

解得：ω1=2．4 rad/s

当A 绳恰好拉直，但T A =0时，细杆的转动角速度为ω2，

有：mg T B =045cos

022030sin 45sin A B L m T ω= 解得：ω2=3.15（rad/s ）

要使两绳都拉紧2.4 rad/s ≤ω≤3.15 rad/s

（2）当ω=3 rad/s 时，两绳都紧．

?=?+?30sin 45sin 30sin 2A B A L m T T ω

mg T T B A =?+?45cos 30cos T A =0.27 N ， T B =1.09 N

[点评]分析两个极限（临界）状态来确定变化范围，是求解“范围”题目的基本思路和方法． 题型三：等效场问题

【例3】如图所示，O 点系一细线，线的另一端系一带电量为+Q ，质量为

m 的带电小球，空间存在电场强度为 E 的匀强电场，小球绕O 点在竖直平面内

恰好做圆周运动，则小球的最小速率为多大?

反馈练习（A类）班级姓名

1．如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动现给

小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最

高点，则杆对球的作用力可能是（AB）

A．a处为拉力，b处为拉力

B．a处为拉力，b处为推力

C．a处为推力，b处为拉力

D．a处为推力，b处为推力

O L 2．一小球质量为m，用长为L的悬绳（不可伸长，质量不计）固定于O

点，在O点正下方L/2处钉有一颗钉子，如图所示，将悬线沿水平方向拉直无

初速释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间

A．小球线速度没有变化

B．小球的角速度突然增大到原来的2倍

C．小球的向心加速度突然增大到原来的2倍

D．悬线对小球的拉力突然增大到原来的2倍

[解析]在小球通过最低点的瞬间，水平方向上不受外力作用，沿切线方向小球的加速度等于零，

因而小球的线速度不会发生变化，故A正确；在线速度不变的情况下，小球的半径突然减小到原来的一半，由v=ωr可知角速度增大为原来的2倍，故B正确；由a=v2/r，可知向心加速度突然增大到原来的2倍，故C正确；在最低点，F-mg=ma，可以看出D不正确．

[点评]本题中要分析出悬线碰到钉子前后的瞬间物理量的变化情况，问题就很好解了，因而，

要根据题目的条件分析物理过程后再选用公式，不能随意照套公式．

3．一质量为m的金属小球用L长的细线拴起，固定在O点，然后将线拉至水平，在悬点O的正下方某处P钉一光滑的钉子，如图所示，为使悬线碰钉后小球仍做

圆周运动．则OP的最小距离是多少?(g＝10 m／s2)

4．飞行员驾机在竖直平面内作圆环特技飞行，若圆环半径为1000m，飞行速度为100m/s，

求飞行在最高点和最低点时飞行员对座椅的压力是自身重量的多少倍．（g=10m/s2）

[解析]如图所示，飞至最低点时飞行员受向下的重力mg和向上的支持力T1，合力是向心力即F n1=T1-mg；在最高点时，飞行员受向下的重力mg和向下的压力T2，合力产生向心力即F n2=T2+mg．两个向心力大小相等且F n= F n1=F n2=mv2/r则此题有解：