2018年高考数学总复习 几何证明选讲
第十六章选讲内容本章知识结构图
几何证明选讲平行线等分
线段定理
推论引理
推论1
推论2
平行线分线段
成比例定理
相似三角形预备定理判定定理2
判定定理1
判定定理3
直角三角形
相似判定定理
射影定理
坐标系与参数方程
切割线定理
相交弦定理
割线定理
切线定义
圆的切线的判定定理
与性质定理
坐标系
圆周角定理
参数方程
柱坐标系
球坐标系
平面直角坐标系
直角坐标系
极坐标系
直线和圆的参数方程
圆锥曲线的参数方程
平面上的
坐标系
弦切角的性质定理
切线长定理
圆内接四边形性质定四点共圆判定定理推
论
1
推
论
2
空间中的
坐标系
直
线
和
圆
常
见
曲
线
摆线和圆的渐开线
椭圆的参数方程
双曲线的参数方程
抛物线的参数方程
曲线的极坐标方程
不等式
第一节 几何证明选讲
考纲解读
1.了解平行线截截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理.
2.会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.
3.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.
4.了解平行投影的含义、通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证明平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）.
命题趋势探究
主要考查圆周角定理、圆的切线的判定定理与性质定理以及圆内接四边形的性质.
知识点精讲
一、平行截割定理
1.平行线等分线段定理及其推论
（1）定理：如果一组平行线在一条线段上截得的线段相等，那么在任意一条（与这组平行线相交的）直线上截得的相等也相等.
(2) 推论：经过梯形一腰的中点而平行与底边的直线平分另一腰. 2. 平行截割定理及其推论
（1）定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．
不等式
证明不等式的基本方法 柯西不等式、排序不等式
不等式和绝对值不等式
不等式
不等式的基本性质 基本不等式 绝对值不等式的解法
三个正数的算数 -几何平均不等式
绝对不等式
绝对值三角不等式 比较法
综合法与分析反证法与放缩法
数学归纳法
（2）推论：平行于三角形一边的直线截其它两边，截得的三角形与原三角形的对应线段成比例．
二、相似三角形
1.相似三角形的判定
（1）判定定理：
①两角对应相等的两个三角形相似.
②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
③三边对应成比例，两三角形相似.
（2）推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
(3)直角三角形相似的特殊判定：斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
2.相似三角形的性质
相似三角形对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
3.直角三角形射影定理
直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上的射影的乘积.
三、圆的切线
1.切线的性质及判定
（1）切线的性质定理：原的切线垂直于经过切点的半径.
（2）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线长相等.
四、相交弦定理
圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.
五、切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
六、圆内接四边形
1. 圆内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补.
2. 圆内接四边形的判定定理:
(1) 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于圆.
(2)若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别
地，对定线段张角为直角的点共圆.
题型归纳及思路提示
题型192 相似三角形
思路提示
运用相似三角形的判定定理与性质，注意表示线段字母的对应，常考题型是“A”型或“8”型相似.
例16.1如图16-1所示，已知,,DE AB EF BC ∥∥求证：DEF ABC ??∽ 解析：证法一：因为,,DE AB EF BC ∥∥所以,ODE OAB OEF OBC ????∽∽. 所以
,.DE OE EF OE AB OB BC OB ==所以DE EF
AB BC
=①. 又DEF ∠与ABC ∠同向，由等角定理知DEF ABC ∠=∠②
由①②得DEF ABC ??∽.
图16-1
O
F
E
D
C
B
A
证法二：因为,,DE AB EF BC ∥∥所以
,,OD OE OF OE OD OF
DA EB FC EB DA FC
==∴=， 所以DF AC ∥.即,,DE AB EF BC DF AC ∥∥∥. 所以,,ODE OAB OEF OBC ODF OAC ??????∽∽∽. 故
DE OE EF OF DF AB OB BC OC AC ====，即DE EF DF
AB BC AC
==. 所以DEF ABC ??∽.
变式1如图16-2所示，在ABC ?中，作平行于BC 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，若BE 和CD 相交于O ，AO 和DE 相交于F ，AO 的延长线交BC 与G.
证明：（1）
BG DF
GC FE
=；（2）BG GC =
变式2如图16-3所示，已知AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P.若,22A C PD DA ∠=∠==，则PE=__________________
P
图16-3
E
D
C
B
A
变式3 如图16-4所示，已知PA ，PB 是O 的两条切线，PCD 是O 的一条割
线， E 是AB 与PD 的交点. 证明：（1）
AC PA AD PD
=；（2）AC AD CB DB =；（3）AC AD
CB DB =.
P
图16-4
O
E
D
C
B
A
例16.2如图16-5所示,四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和CD 交于点P ，若
11,23
PB PC PA PD ==，则BC
AD 的值为__________________.
图16-2O
F
E
D
G
C
B
A
解析：因为四边形ABCD 是圆O 的内接四边形.所以PBC PDA ∠=∠.又BPC DPA ∠=∠，所以PBC PDC ??∽，所以
.BC PC PB
AD PA PD
== 2111(
)236BC PC PB AD PA PD =?=?=.故6.6
BC AD = 变式1.如图16-6所示，O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A ，若,4,BD AE AB ⊥=
2,3BC AD ==，则DE =____________ CE =____________.
变式2 如图16-7所示，过O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A 、B 两点，且
7,PB C =是圆上一点使得5,,BC BAC APB =∠=∠则AB =________________。
图16-7
P
C
B A
O
题型193 相交弦定理、切割线定理及其应用
思路提示
理解相交弦定理、切割线定理，掌握相交弦定理、切割线定理与四点共圆的等价性.
例16.3 （1）（2012年陕西理15）如图16-8所示，在
O 中，直径AB 与弦CD
图16-6
E
D
C
B
A
O
垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为F ，若AB ＝6，AE=1，则DF DB ?=___________.
（2）（2012年北京理5）如图16-9所示，90ACB ?∠=，CD AB ⊥于点D,以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则（ ）
A. CE CB AD DB ?=?
B. CE CB AD AB ?=? C ．2AD AB CD ?= D. 2CE EB CD ?=
图16-9
图16-8
E
B
C
D
A
O
F D
E C
B A
解析 （1）在Rt EDB ?中，由射影定理得2DF BD DE ?=，由相交弦定理得
21(61)5DE AE EB =?=?-=，故5DF BD ?=.
（2）在Rt ACB ?中，由射影定理得2CD AD DB =?.由切割线定理得2CD CE CB =?，
所以CE CB AD DB ?=?，故选A.
变式1（2012年广东理15）如图16-10所示，AB 是O 的直径，点C 在O 上，延长BC 到D 使BC=CD ，过C 作O 的切线交AD 于E.若AB=6，ED=2，则BC=___________. 变式2（2012年湖北理15）如图16-11所示，点D 在O 的弦AB 上移动，AB=4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线，交O 于点C ，则CD 的最大值为___________.
O
图16-11
图16-10
B
C
D
A
O
D
E
C
B
A
变式3如图16-12所示，PT 为O 的切线，T 为切点，PA 交O 于A ，B 两点，TPA ∠的
角平分线交TA ，TB 于D ，E ，PT=2，PB=
3，_______,
_________.TE
PA AD
== 例16.4 如图16-13所示，O 外一点P ，PA 切O 于A ，M 为AP 的中点，MBC 为O
的割线.求证：.MCP MPB ∠=∠
解析 若,MCP MPB ∠=∠又,BMP PMC ∠=∠则MPB MCP ??∽
证明：由切割线定理，得22
MA MB MC MP MB MC MA MP ?=??=??=?
MP MC
MPB MCP MPB MCP MB MP PMB CMP
?=?
?????∠=∠??∠=∠?∽. O 图16-13
图16-12
B C
P
A
P
O
E
T
B
A
M
D
变式1如图16-14所示，已知PA 与O 相切，A 为切点PBC 为割线，弦CD AP ∥，,AD BC
相交于E 点，F 为CE 上一点，且2
.DE EF EC =?
（1）求证：;P EDF ∠=∠ （2）求证：;CE EB EF EP ?=?
（3）若:3:2,6,4CE EB DE EF ===，求P A 的长.
C
图16-14
P
O E
F B
A
D
变式2如图16-15所示，过O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 点作直线AP 垂直于直线OM ，垂足为P. （1）证明：2OM ON OA ?=；
（2）N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直于直线ON ，且交O B 点，过B 点的切线交直线ON 于K.证明：90OKM ?∠=.
K
图16-15
P
O
N
B
A M
题型194 四点共圆
思路提示
掌握四点共圆的常用等价条件（对角互补，外角等于内对角，同弧所对圆周角相等，相交弦定理、切割线定理等）.
例16.5 如图16-16所示，D,E 分别为ABC ?的边AB 和AC 上的点，且不与ABC ?的顶
点重合，已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2
140
x x mn -+=的两个根，证明：C B D E 、、、四点共圆.
解析 连接DE ，根据题意在ADE ?和ACB ?中，AD AB mn AE AC ?==?，
即
AD AE
AC AB
=.又DAE CAB ∠=∠，从而ADE ACB ??∽，因此ADE ACB ∠=∠.所以C B D E 、、、四点共圆.
图16-16
C A
B
E
D
变式1 如图16-17所示，,,,A B C D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于
E 点，且EF=ED.
（1）证明：CD AB ∥.
（2）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF=EG ，证明：,,,A B G F 四点共圆.
图16-17
C D
E F
G
A
B
变式2 如图16-18所示，已知AP 是O 的切线，P 为切点，AC 是O 的割线，与O 交
于B ，C 两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点. （1）证明：A ，P ，O ，M 四点共圆； （2）求OAM APM ∠+∠大小.
M
P
O
C
B A
图16-18
题型195 空间图形问题转化为平面问题
例16.6 如图16-16所示，从球外一点引球的切线，则（ ）
A ．可以引无数条切线，所有切点组成球的一个大圆
B ．可以引无数条切线，所有切点组成球的一个小圆
C ．只可以引两条切线，两切点连线过球心
D ．只可以引两条切线，两切点连线不过球心
解析 如图16-19所示，O 为球的大圆，12,PT PT 为O 的两条切线，把O 以PO 为
旋转轴，旋转得球O ，因为111OT OT >，所以切点1T 随之旋转为球O 的一个小圆.故选B.
T 2
T 1
P
O
图16-19
变式1 若平面α与球O 相切，切点为M ，则（ ） A ．经过点M 的直线都与球O 相切 B ．不经过点M 的直线都与球相离
C ．平面α内不经过点M 的直线有可能与球O 相切
D ．平面α内经过点M 的直线都与球O 相切
变式2已知球的半径R=6，过球外一点P 作球的切线长为8，则点P 到球面上任
一点Q 的最短距离为（ ）
A.3
B.4
C.5
D.6
变式3 将一个圆柱形水杯（内有半杯水）倾斜成母线与桌面成60?时，杯内的水
平面（水不溢出）呈椭圆形，则该椭圆的离心率为（ ）
A. 12
B. 22
C. 33
D. 32
最有效训练题59(限时45分钟)
1．如图16-20所示Rt △ABC 中，∠C =90°，CD 是斜边上的高，5AC =, 8BC =,则:CDA CDB S S ??等于( )
A . 5:8
B . 25:64
C . 25:39
D . 25:89
2．如图16-21所示, ,D E 分别是△ABC 的边AB ,AC 上的点，DE //BC 旦2AD
BD
=,那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是( ) A ．
23 B ．25 C ．45 D ．49
3．,,D E F 是△ABC 的三边中点，设△DEF 的面积为4,△ABC 的周长为9，则△
DEF 的周长与△ABC 的面积分别是( )
A ．9,162
B ．9,4
C ．9,82
D ．9,164
4．如图16-22所示，在梯形ABCD 中，AD //BC , ∠BAD = 135?，以A 为圆心，AB
为半径，作⊙A 交AD , BC 于,E F 两点，并交BA 延长线于G ，则GF 的度数是( ) A . 45? B . 60? C . 90? D . 135?
5．如图16-23所示，自⊙O 外一点P 引圆的切线，切点为A ,M 为PA 的中点，过M 引圆的割线交圆于,B C 两点，且∠BMP 100=?, ∠BPC 40=?，则∠MBP 的大小为( )
A . 10?
B . 20?
C . 30?
D . 40?
D
C
B
A
图 16-20
C
D
B
A
图 16-21
E
6．如图16-24所示，⊙O 与⊙O '相交于A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O '于Q 和M ，交AB 的延长线于N , 3MN =,15NQ =，则PN =( ) A . 3 B .
15 C . 32 D . 35
7．如图16-25所示，已知AB 是⊙O 的直径, P 在AB 的延长线上，PC 切⊙O 于点C ，CD ⊥OP 于D .若6CD =,10CP =，则⊙O 的半径为 ；BP = .
8．如图l6-26所示，已知PA 是⊙O 的切线，切点为A ,PO 交⊙O 于,B C 两点，
3PA =,1PB =，则⊙O 的半径为 , ∠C = .
9．如图16-27所示，⊙O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =,过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ,垂足为D ，则线段CD 的长为 .
P
O
D C
B A
图 16-25
M N Q
P
B
A
图 16-24
O
O '
图 16-22
C
G
D
E F
B
A
P
C
A
图 16-23
B
M
O
10．如图16-28所示，已知△ABC 的两条角平分线AD 和CE 相交于H ,∠B 60=?, F 在AC 上，且AE =AF .
证明:(1) ,,,B D H E 四点共圆； (2) CE 平分∠DEF .
11．如图16-29所示，⊙O 和⊙O '相交于,A B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于
,C D 两点，连接DB 并廷长交⊙O 于点E .
证明:(1) AC ·BD = AD ·AB ； (2) AC =AE .
12．如图16-30所示，AB 是⊙O 的直径, AD 是∠BAC 的平分线, AD 交⊙O 于点D , DE ⊥AC ,且DE 交AC 的延长线于点E ,OE 交AD 于点F . (1)求证: DE 是⊙O 的切线 ；
O
E
D
C
B
A
O '
图 16-29
H F E
D
C
B A 图 16-28
O
A
B
C
P
图 16-26 O
A
D
B
C
l
图 16-27
(2)若
3
5
AC
AB
，求
AF
DF
的值.
F
O
E
D
C
B
A
图16-30
高中数学选修 几何证明选讲相关知识点
高中数学选修4-4，几何证明选讲相关 知识点 相似三角形的判定及有关性质 知识点1：比例线段的有关定理 平行线等分线段定理： 推论1： 推论2： 平行线等分线段成比例定理： 推论：(1) (2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边． 知识点2：相似图形 1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 叫做相似比（或相似系数） 2、相似三角形的判定方法 预备定理：平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 定理的基本图形语言：
数学符号语言表述是：BC DE // ∴ADE ∽ABC ． 判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似. 判定定理2：如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 判定定理3：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两个三角形相似. 判定定理4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似． 三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下： 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法. 3、相似三角形的性质定理： （1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于 ； （2）相似三角形的周长比等于 ； （3）相似三角形的面积比等于 ； （4）相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 4、直角三角形的射影定理 从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段. 点和线段的正射影简称为射影 直角三角形的射影定理：
(完整word版)2018年高考数学总复习概率及其计算
第十三章概率与统计本章知识结构图
第一节 概率及其计算 考纲解读 1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。 2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。 3.掌握古典概型及其概率计算公式。 4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。 5.了解几何概型的意义。 命题趋势探究 1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。 2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。 知识点精讲 一、必然事件、不可能事件、随机事件 在一定条件下： ①必然要发生的事件叫必然事件； ②一定不发生的事件叫不可能事件； ③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。 二、概率 在相同条件下，做次重复实验，事件A 发生次，测得A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。对于必然事件A ，；对于不可能事件A ，=0. 三、基本事件和基本事件空间 在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。 四、两个基本概型的概率公式 1、古典概型 条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同 ()(A) = ()A card P A card = Ω包含基本事件数基本事件总数 2、几何概型 条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为 A μ.
()P A = A μμΩ 。 五、互斥事件的概率 1、互斥事件 在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。事件A 与事件B 互斥，则 ()()() P A B P A P B =+U 。 2、对立事件 事件A,B 互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B 对立，记作B A =或A B =。 ()() 1P A p A =- 。 3、互斥事件与对立事件的联系 对立事件必是互斥事件，即“事件A ，B 对立”是”事件A ，B 互斥“的充分不必要条件。 题型归纳及思路提示 题型176 古典概型 思路提示 首先确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：有限个不同的基本事件及各基本事件发生的可能性是均等的；其次计算出基本事件的总数及事件A 所包含的基本事件数；最后计算 ()A P A = 包含基本事件数 基本事件总数。 例13.1 设平面向量(),1m a m =，()2,n b n = ，其中{}, 1.2,3,4m n ∈ （1）请列出有序数组(),m n 的所有可能结果； （2） 若“使得()m m n a a b ⊥-成立的(),m n 为事件A ，求事件A 发生的概率。 分析：两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，从而可得m 与n 的关系，再从以上 (),m n 的16个有序数组中筛选出符合条件的，即得事件A 包含的基本事件个数。 解析：（1）由{}, 1.2,3,4m n ∈，有序数组(),m n 的所有可能结果为()1,1 ， ()()() 1,2,1,3,1,4， ()()()() 2,1,2,2,2,3,2,4， ()()()() 3,1,3,2,3,3,3,4， ()()()()4,1,4,2,4,3,4,4 共16个。 （2）因为(),1m a m =，()2,n b n =，所以()2,1m n a b m n -=-- .又()m m n a a b ⊥-，得 ()(),12,10m m n ?--= ，即22m 10m n -+-= ，所以()21n m =- 。故事件A 包含的
初中几何证明题五大经典(含答案)
经典题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB ∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG ∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴ FG EO =HG GO ∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD ∴ CD CO HG GO = ∴CD CO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15° ∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP ∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15° ∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD ∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD ∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75° ∴∠BPC=360°-75°×4=60° ∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形
3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 证明:连接AC ，取AC 的中点G ,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN= 2 1AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM= 2 1BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM ∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F 经典题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB ⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB 又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD ∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF ∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC ∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC ∴∠BOM= 2 1 ∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM 由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO
高考数学专题几何证明选讲
编写说明：考虑到复习实际，本书将选修4－5不等式选讲与前面第六章不等式、推理与证明整合编写。 选修4－1几何证明选讲 第一节相似三角形的判定及有关性质 1．平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． 2．平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质 (1)判定定理： (2)
1．在使用平行线截割定理时易出现对应线段、对应边对应顺序混乱，导致错误． 2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角对应失误． [试一试] 1．如图，F 为?ABCD 的边AD 延长线上的一点，DF ＝AD ，BF 分别交DC ，AC 于G ，E 两点，EF ＝16，GF ＝12，则BE 的长为________． 解析：由DF ＝AD ，AB ∥CD 知BG ＝GF ＝12，又EF ＝16知EG ＝4，故BE ＝8. 答案：8 2．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC ＝∠ADC ，AC ＝8，BC ＝16，则CD ＝________. 解析：∵∠BAC ＝∠ADC ，∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△DAC ，∴BC AC ＝AC CD ，∴CD ＝AC 2BC ＝ 8216＝4. 答案：4 1．判定两个三角形相似的常规思路 (1)先找两对对应角相等； (2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例； (3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”． 2．借助图形判断三角形相似的方法 (1)有平行线的可围绕平行线找相似； (2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例； (3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边． [练一练] 1.如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且AD DB ＝2， 那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________． 解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，
高中数学-几何证明选讲知识点汇总与练习(内含答案)
高中数学-《几何证明选讲》知识点归纳与练习（含答案） 一、相似三角形的判定及有关性质 平行线等分线段定理 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。 推理1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推理2 :经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。 平分线分线段成比例定理 平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定： 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似 系数）。 由于从定义岀发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给岀过如下几个判定两个三角形相似的简单方法： （1 ）两角对应相等，两三角形相似； （2 ）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3 ）三边对应成比例，两三角形相似。 预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。 判定定理1 :对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三 角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。 判定定理2 :对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等， 那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 判定定理3 :对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个 三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。 引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；
2017-2018年高考数学总复习：极坐标
2017-2018年高考数学总复习:极坐标 x cos sin y ρθ ρθ =?? =? 222x y ρ+= 考点一。直角坐标化极坐标 (1)点M 的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为______. 解：点M 极坐标为：2(2,2),()3 k k Z π π+ ∈. （2）求直线3x-2y+1=0的极坐标方程。 解：极坐标方程为01sin 2cos 3=+-θρθρ。 (3)在极坐标系中，圆心在π）且过极点的圆的极坐标方程为______. 解：圆心:)02(，-,22(2x y +=。圆的极坐标方 程为ρθ。 考点二。极坐标化直角坐标 （1）求普通方程)3 R ∈=ρπ θ（。 解：y=kx,且k=33 tan =π ,则x 3y =的直线。 （2）将曲线的极坐标方程ρ=４sin θ化 成直角坐标方程。 解：将ρ=2 2y x +，sin θ= 2 2y x y +代入ρ=4sin θ，得x 2+y 2=4y ，即x 2+(y-2)2 =4. (3)求过圆4cos =ρθ的圆心，且垂直于极轴的直线极坐标方程． 解：由θρcos 4=得θρρcos 42=．所以x y x 42 2=+，22(2)4x y -+=圆心坐标(2,0) 直线方程为2=x ．直线的极坐标方程为2cos =θρ。 (4)将极坐标方程4sin 2 θ=3化为普通方程。 解：由4sin 2 θ=3,得4·2 22y x y +＝3,即y 2=3 x 2 ，y=±x 3. （5）化极坐标方程2 4sin 52 θ ρ?=为普通方程。
解：2 1c o s 4s i n 4 22c o s 52 2 θ θρρρρθ-?=?=-=， 即25x =，化简225 54 y x =+ .表示抛物线. (6)求点 (,)π 23 到圆2cos ρθ= 的圆心的距离。 解：)3 , 2(π化为)3,1(，圆θρcos 2=化为0222=-+x y x ，圆心的坐标是)0,1(，故距 离为3。 （7）求点M （4， ）到直线l ：ρ（2cos θ+sin θ）=4的距离． （8）已知21,C C 极坐标方程分别为θρθρcos 4,3cos ==（2 0,0θρ<≤≥），求曲线1 C 与2C 交点极坐标. 解:21,C C 分别为4)2(,32 2=+-=y x x ,且0≥y ，两曲线交点为（3，3）. 所以，交 点的极坐标为?? ? ? ?6, 32π。 考点三。极坐标应用 命题点1.求面积（12121 A B S =sin -2 ραρβρραβ?∴（，），（，） （）） （1）在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为? ????3，π3，? ????4，π6，求△AOB 的面积． 解： 由题意得S △AOB ＝12×3×4×sin ? ????π3－π6＝1 2 ×3×4×sin π6＝3. （2）在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为 ），）和（，（6 5-53 4π π ，求△AOB 的面积． 解： 由题意得5))6 5(3sin(5421S =--???= ?π π. ）化成为（）
初三数学几何证明题(经典)
如图;已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O 交AB于点D，过点D作⊙O 的切线DE交BC于点E． 求证：BE=CE 证明：连接CD ∵AC是直径 ∴∠ADC=90° ∵∠ACB=90°，ED是切线 ∴CE=DE ∴∠ECD=∠EDC ∵∠ECD+∠B=90°，∠EDC+∠BDE=90° ∴∠B=∠BDE ∴BE=DE ∴BE=CE 如图，半圆O的直径DE=10cm，△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=30°，BC=10cm，半圆O 以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，D、E始终在直线BC上，设运动时间为t(s)，当t=0(s)时，半圆O在△ABC的左侧且OB=9cm。（1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切； （2）当△ABC一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直径DE围成的区域与△ABC的三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。 （1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切； 相切分两种情况，如图， ①左图：当t=0时，原图中OB=9，此时圆移动了OB-OE=9-5=4cm 则：t=4/2=2s； --------------- ②右图：设圆O与边AC的切点为F，此问不用三角函数是无法求出的==>∵∠C=30==>∴OC=OF/sinC=5/sin30=10=BC ==>O与B重合，此时圆移动的长即为OB的长，即9cm ==>t=9/2; =========
（2）如右图：由②得：∠AOE=90 ==>S阴=（90*π*5^2)/360=6.25π 不明之处请指出~~
北京市各区2012年高考数学一模试题分类解析(17) 几何证明选讲 理
十七、几何证明选讲 13.（2012年海淀一模理13）如图，以ABC ?的边AB 为直径的半圆交AC 于点D ，交BC 于点E ，EF AB ^于点F ，3AF BF =，22BE EC ==，那么CDE D= ， CD = . 答案：60° 11.（2012年西城一模理11） 如图，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC 于点M ．若OC =，1OM =，则MN =_____． 答案：1。 12．（2012年东城一模理12）如图，AB 是⊙O 的直径，直线DE 切⊙O 于点D ， 且与AB 延长线交于点C ，若CD =1CB =，则ADE ∠= ． 答案：60 。 F E D C B A A B C O M N
12．（2012年丰台一模理12）如图所示，Rt △ABC 内接于圆，60ABC ∠= ，PA 是圆的切线，A 为切点， PB 交AC 于E ，交圆于D ．若PA=AE ， BD=AP= ，AC= ． 答案： 10.（2012年东城11校联考理10）如图，已知PA 是⊙O 的切线，A 是切点，直线PO 交⊙O 于,B C 两点，D 是OC 的中点，连结AD 并延长交⊙O 于点E ， 若 ,30P A A P B =∠=? ，则AE = . 答案：7710。 11.（2012年石景山一模理11）如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，CE 与圆相切交AB 延长线上于点E ， 若DF CF ==，::4:2:1AF FB BE =，则线段CE 的长为 ． 答案：7。 E D P C B A
3．（2012年房山一模理3）如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于,B C 两点， 1PA PB ==，则ABC ∠=( B ) A.70? B.60? C.45? D.30? 12．（2012年密云一模理12）如图3所示，AB 与CD 是O 的直径，AB ⊥CD ，P 是AB 延长线上一点，连PC 交O 于点E ，连DE 交AB 于点F ，若42==BP AB ，则 =PF ． 答案：3。 12．（2012年门头沟一模理12）如右图：点P 是O 直径AB 延长线上一点， PC 是O 的切线，C 是切点，4AC =，3BC =，则PC = ． 答案：60 7 。 C
精编2018年高考数学总复习全书汇编
专题一集合、常用逻辑用语、平面向量、复数、算法、合情推理[高考领航]————————————摸清规律预测考情
考点一 集合、常用逻辑用语 1．设有限集合A ，card(A )＝n (n ∈N *)，则
(1)A 的子集个数是2n ； (2)A 的真子集个数是2n －1； (3)A 的非空子集个数是2n －1； (4)A 的非空真子集个数是2n －2； (5)card(A ∪B )＝card A ＋card B －card(A ∩B )． 2．(1)(?R A )∩B ＝B ?B ??R A ； (2)A ∪B ＝B ?A ?B ?A ∩B ＝A ； (3)?U (A ∪B )＝(?U A )∩(?U B )； (4)?U (A ∩B )＝(?U A )∪(?U B )． 3．若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则关于充分条件、必要条件又可叙述为： (1)若A ?B ，则p 是q 的充分条件； (2)若A ?B ，则p 是q 的必要条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件． 类型一 集合的概念及运算 [典例1] (2016·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2x －3＞0}，则A ∩B ＝( ) A.? ????－3，－32 B.? ? ? ??－3，32 C.? ????1，32 D.? ?? ??32，3 解析：通解：(直接法)解x 2－4x ＋3＜0，即(x －1)(x －3)＜0，得1＜x ＜3，故A ＝{x |1＜x ＜3}；
高考数学几何证明选讲
几何证明选讲 沙市五中高三数学组 一、填空题(每小题6分，共48分) 1．如图所示，l1∥l2∥l3，下列比例式正确的有________(填序号)． (1)AD DF ＝ CE BC ；(2) AD BE ＝ BC AF ；(3) CE DF ＝ AD BC ；(4) AF DF ＝ BE CE . 2．如图所示，D是△ABC的边AB上的一点，过D点作DE∥BC交AC于E.已 知AD DB ＝ 2 3 ，则 S △ADE S 四边形BCED ＝ __________________________________________________________________. 3．如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则EF BC ＋ FG AD ＝________.
4．在直角三角形中，斜边上的高为6，斜边上的高把斜边分成两部分，这两部分的比为3∶2，则斜边上的中线的长为________． 5．(2010·苏州模拟)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，过点O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，则EF＝________. 6．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于G，EC 的长为4，则EG＝________. 7．(2010·天津武清一模)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF ∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE＝________. 8．如图所示，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ BC ＝ ________. 二、解答题(共42分) 9．(14分)如图所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC 的平分线，交AD于F，求证：DF AF ＝ AE EC .
2018年高考数学总复习专题1.1集合试题
专题1.1 集合 【三年高考】 1．【2017高考江苏1】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】1 【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1． 【考点】集合的运算、元素的互异性 【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件． （2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误． （3）防范空集．在解决有关,A B A B =??等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一 定要先考虑?时是否成立，以防漏解． 2．【2016高考江苏1】已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B . 【答案】{}1,2- 【解析】 试题分析：{} {}{}1,2,3,6231,2A B x x =--<<=-．故答案应填：{}1,2- 【考点】集合运算 【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难度不大.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心而出错，二是明确江苏高考对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解. 2．【2015高考江苏1】已知集合{ }3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______. 【答案】5 【解析】{123}{245}{12345}A B ==，，，，，，，，，,，则集合B A 中元素的个数为5个. 【考点定位】集合运算
高中数学高考总复习几何证明选讲习题及详解
高中数学高考总复习几何证明选讲习题 (附参考答案) 一、选择题 1．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( ) A ．y 是x 的增函数 B ．y 是x 的减函数 C ．y 随x 的增大先增大再减小 D ．无论x 怎样变化，y 为常数 [答案] D [解析] ∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△P AR 的中位线，∴EF ＝12 AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数． 2．(2010·湖南考试院)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连结BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 [答案] C [解析] 由条件知AF ＝2，BF ＝BE ＝1， ∴S △ADE ＝12AE ×DF ＝12 ×4×3＝6， ∵CE ∥DB ，∴S △DBC ＝S △DBE ，∴S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝6. 3．(2010·广东中山)如图，⊙O 与⊙O ′相交于A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q
和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3，NQ ＝15，则PN ＝( ) A ．3 B.15 C ．3 2 D ．3 5 [答案] D [解析] 由切割线定理知： PN 2＝NB ·NA ＝MN ·NQ ＝3×15＝45， ∴PN ＝3 5. 4．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD BD ＝32，则斜边AB 上的中线CE 的长为( ) A ．5 6 B.56 C.15 D.3102 [答案] B [解析] 设AD ＝3x ，则DB ＝2x ，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，∴36＝6x 2，∴x ＝6，∴AB ＝56， ∴CE ＝12AB ＝562 . 5．已知f (x )＝(x －2010)(x ＋2009)的图象与x 轴、y 轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( ) A ．(0,1) B ．(0,2)
初三经典几何证明练习题(含答案)
初三几何证明题 经典题（一） 1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF． 2、已知：如图，P是正方形ABCD内部的一点，∠PAD＝∠PDA＝ 15°。 求证：△PBC是正三角形．（初二）
3、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN 于E、F． 求证：∠DEN＝∠F． 经典题（二） 1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M． （1）求证：AH＝2OM； （2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．
2、设MN是圆O外一条直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E，连接CD并延长交MN于Q，连接EB并延长交MN于P. 求证：AP＝AQ． 3、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点O是DF 的中点，OP⊥BC 求证：BC=2OP 证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、N ∵OF=OD，DN∥OP∥FL ∴PN=PL ∴OP是梯形DFLN的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG是正方形 ∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL 又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL≌△ABM ∴FL=BM 同理△AMC≌△CND ∴CM=DN ∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP 经典题（三） 1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．
高考数学试题汇编几何证明选讲
第十四章 选修4系列选讲 第一节 几何证明选讲 高考试题 考点一 相似三角形的判定与性质 1. (2013年陕西卷,理15B)(几何证明选做题)如图,弦AB 与CD 相交于☉O 内一点E,过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P.已知PD=2DA=2,则PE= . 解析:由PD=2DA=2,得PA=PD+DA=2+1=3, 又PE ∥BC,得∠PED=∠C, 又∠C=∠A,得∠PED=∠A, 在△PED 和△PAE 中,∠EPD=∠APE,∠PED=∠A, 所以△PED ∽△PAE, 得 PE PA =PD PE , 因此PE 2 =PA ·PD=3× 答案2.(2011年陕西卷,理15B)如图所示,∠B=∠D,AE ⊥BC,∠ACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,则BE= . 解析:由∠B=∠D,∠AEB=∠ACD=90°, 得△ACD ∽△AEB, 所以 AC AE =AD AB ,即4AE =12 6 ,所以AE=2, 所以在直角三角形ABE 中, 答案3.(2011年湖南卷,理11)如图所示,A,E 是半圆周上的两个三等分点,直径BC=4,AD ⊥BC,垂足为D,BE 与AD 相交于点F,则AF 的长为 .
解析:如图所示,设圆心为O,连接OA,OE,AE,因为A,E 是半圆周上的两个三等分点,所以AE ∥BC,AE=1 2 BC=2,所以△AFE ∽△DFB,所以 AF DF =AE DB .在△AOD 中, ∠AOD=60°,AO=2,AD ⊥BC,故OD=AOcos ∠AOD=1,AD=AOsin ∠所以BD=1.故 AF= AE BD ·DF=2(AD-AF).解得 答案考点二 直线和圆的位置关系 1.(2013年重庆卷,理14)如图所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=60°,AB=20,过C 作△ABC 的外接圆的切线CD,BD ⊥CD,BD 与外接圆交于点E,则DE 的长为 . 解析:在△ABC 中, BC=AB ·sin 60°, 由弦切角定理知∠BCD=∠A=60°, 所以 由切割线定理知,CD 2 =DE ·BD, 解得DE=5. 答案:5 2.(2012年湖北卷,理15)如图所示,点D 在☉O 的弦AB 上移动,AB=4,连接OD,过点D 作OD 的垂线交☉O 于点C,则CD 的最大值为 . 解析:连接OC.因为CD ⊥OD,所以又OC 为☉O 的半径,是定值,所以当OD 取最小值时,CD 取最大值.显然当OD ⊥AB 时,OD 取最小值,此时CD=1 2 AB=2,即CD 的最大值为2. 答案:2 3.(2013年广东卷,理15)(几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC=CD,过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB=6, ED=2,则BC= .
高二数学选修4-1《几何证明选讲》综合复习题
第1题图 第6题图 高二数学选修4-1《几何证明选讲》综合复习题 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.如图4所示,圆O 的直径AB =6,C 为圆周上一点,BC =3过C 作 圆的切线l ,过A 作l 的垂线AD ,垂足为D ,则∠DAC =( ) A .15? B .30? C .45? D .60? 【解析】由弦切角定理得60DCA B ∠=∠=?,又AD l ⊥,故30DAC ∠=?, 故选B . 2.在Rt ABC ?中,CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线,是该图中共有x 个三角形与ABC ?相似,则x =( ) A .0 B .1 C .2 D .3 【解析】2个:ACD ?和CBD ?,故选C . 3.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm 和18cm 两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的长为( ) D .99cm 【(0)k k >,由相交弦定理得 33k =cm .故选B . 4.ABC ?与 cm D . 5.P C D 经过圆心,已知 C .6 )(12)r r -+,解得8r =.故选6.如图,AB 是半圆O 的直径,点C 在半圆上,CD AB ⊥于点D , 且DB AD 3=,设COD θ∠=,则2 tan 2θ＝( ) A .13 B .14 C .4- D .3 A B C D E 第4题图
第11题图 第10题图 第9题图 【解析】设半径为r ,则31,22AD r BD r ==,由2CD AD BD =?得2 CD r =,从而3π θ=, 故21tan 23 θ=,选A . 7.在ABC ?中,,D E 分别为,AB AC 上的点,且//DE BC ,ADE ?的面积是22cm ,梯形DBCE 的面积为26cm ,则:DE BC 的值为( ) A . B .1:2 C .1:3 D .1:4 【解析】ADE ABC ?? ,利用面积比等于相似比的平方可得答案B . 8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个. A .2 B .3 C .4 D .5 1个,一外切一内切的2个,9..由4个这样的 , ( ) D .4 mm , AC ,AQ ＝23AB ＋14AC , A . 15 B . 45 C . 14 D . 13 【解析】如图,设25AM AB = ,15AN AC = ,则AP AM AN =+ .
2018年高考数学总复习 统计与统计案例
第三节 统计与统计案例 考纲解读 1. 理解随机抽样的必要性和重要性。 2. 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法。 3. 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画出频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点。 4. 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差。 5. 能从样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字牲估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想。 6. 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题。 7. 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系。 8. 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。 9. 了解常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题。 (1)独立性检验 了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用。 (2)回归分析 了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用。 命题趋势探究 1. 本节内容是高考必考内容，以选择题、填空题为主。 2. 命题内容为：(1)三种抽样(以分层抽样为主)；(2)频率分布表和频率分布直方图的制作、识图及运用。(1)(2)有结合趋势，考题难度中下。 3. 统计案例为新课标教材新增内容，考查考生解决实际问题的能力。 知识点精讲 一、抽样方法 三种抽样方式的对比，如表13-7所示。 类型 共同点 各自特点 相互关系 使用范围 简单随机抽样 抽样过程都是不放回抽样，每个个体被抽到的机会均等，总体容量N ，样本容量n ，每个个体被抽到的概率n P N = 从总体中随机逐个抽取 总体容量较小 系统抽样 总体均分几段，每段T 个， 第一段取a 1， 第二段取a 1+T ， 第三段取a 1+2T ， …… 第一段简单随机抽样 总体中的个体个数较多 分层抽样 将总体分成n 层，每层按比例抽取 每层按简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成 二、样本分析 (1)样本平均值：1 1n i i x x n ==∑。 (2)样本众数：样本数据中出现次数最多的那个数据。 (3)样本中位数：将数据按大小排列，位于最中间的数据或中间两个数据的平均数。
高考理科数学考点解析 几何证明选讲
几何证明选讲 一、填空题 1.(2016·天津高考文科·T13)同(2016·天津高考理科·T12)如图,AB 是圆的直径,弦CD 与AB 相交于点E ,BE=2AE=2,BD=ED ,则线段CE 的长为 . 【解题指南】设圆心为O ,连接OD ,构造三角形,利用相似三角形对应边成比例求解. 【解析】设圆心为O ,连接OD ,AC ,可得△BOD ∽△BDE ,所以BD 2=BO ·BE=3,所以BD=DE= 因为△AEC ∽△DEB , AE CE DE BE = ,即EC 2=,所以 答案二、解答题 2.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T22)同(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T22)选修4-1:几何证明选讲 如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以O 为圆心, 1 2 OA 为半径作圆. (1)证明:直线AB 与☉O 相切. (2)点C ,D 在☉O 上,且A ,B ,C ,D 四点共圆,证明:AB ∥CD. 【解析】(1)设圆的半径为r ,作OK ⊥AB 于K , 因为OA=OB ,∠AOB=120°,
所以OK⊥AB,∠A=30°,OK=OA·sin 30°=OA =r, 2 所以AB与☉O相切. (2)方法一:假设CD与AB不平行, CD与AB交于F,FK2=FC·FD.① 因为A,B,C,D四点共圆, 所以FC·FD=FA·FB=(FK-AK)(FK+BK). 因为AK=BK, 所以FC·FD=(FK-AK)(FK+AK)=FK2-AK2.② 由①②可知矛盾, 所以AB∥CD. 方法二: 因为A,B,C,D四点共圆,不妨设圆心为T, 因为OA=OB,TA=TB,所以OT为AB的中垂线, 又OC=OD,TC=TD, 所以OT为CD的中垂线, 所以AB∥CD. 3.(2016·全国卷Ⅱ文科·T22)同(2016·全国卷Ⅱ理科·T22)选修4-1:几何证明选讲 如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.
2017-2018学年高中数学 考点52 几何证明选讲(含2013年高考试题)新人教A版
考点52 几何证明选讲 一、填空题 1.(2013·天津高考理科·T13)如图,△ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦,且BD ∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E,AD 与BC 交于点F.若AB=AC,AE=6,BD=5,则线段CF 的长为 . 【解题指南】利用圆以及平行线的性质计算. 【解析】因为AE 与圆相切于点A,所以AE 2=EB ·(EB+BD),即62 =EB ·(EB+5),所以BE=4,根据切线的性质有∠BAE=∠ACB,又因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB,所以∠ABC=∠BAE,所以AE ∥BC,因为BD ∥AC,所以四边形ACBE 为平行四边形,所以AC=BE=4,BC=AE=6.设CF=x,由BD ∥AC 得 = AC CF BD BF ,即456=-x x ,解得x=83,即CF=83 . 【答案】 8 3 . 2. （2013·湖南高考理科·Ｔ11）的⊙0中,弦 ,,2,AB CD P PA PB ==相交于点1PD O =，则圆心到弦CD 的距离为 . 【解题指南】本题要利用相交弦定理:PA ·PB=PD ·PC 和解弦心三角形22)2 1 (CD r d -= 【解析】由相交弦定理PC PD PB PA ?=?得4=PC ，所以弦长5=CD ，故圆心O 到弦CD 的距离为234257)21(22=-=-CD OC . 【答案】 2 3. 3. （2013·陕西高考文科·Ｔ15）如图, AB 与CD 相交于点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知A C ∠=∠, PD = 2DA = 2, 则PE = .
(完整word)2018年高考数学总复习三角恒等变换
第三节 三角恒等变换 考纲解读 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦，正切公式. 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦，余弦，正切公式，导出二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系. 能利用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差，和差化积，半角公式，但对这三种公式不要求记忆）. 命题趋势探究 高考必考，在选择题，填空题和解答题中都有渗透，是三角函数的重要变形工具.分值与题型稳定，属中下档难度. 考题以考查三角函数式化简，求值和变形为主. 化简求值的核心是：探索已知角与未知角的联系，恒等变换（化同角同函）. 知识点精讲 常用三角恒等变形公式 和角公式 sin()sin cos sin cos αβαβαβ+=+ cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ++= - 差角公式 sin()sin cos sin cos αβαβαβ-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ --= + 倍角公式 sin 22sin cos ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 22tan tan 21tan α αα =- 降次（幂）公式 2211cos 21cos 2sin cos sin 2;sin ;cos ;222 αα ααααα-+=== 半角公式 sin 2 2α α==
sin 1cos tan .21cos sin a α αα α-= =+ 辅助角公式 sin cos ),tan (0),b a b ab a ααα??+=+=≠角?的终边过点(,)a b ，特殊 地，若sin cos a b αα+=，则tan .b a α= 常用的几个公式 sin cos );4π ααα±=± sin 2sin();3 π ααα=± cos 2sin();6 π ααα±=± 题型65 两角和与差公式的证明 题型归纳及思路提示 思路提示 推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路. 例4.33 证明 (1):cos()cos cos sin sin ;C αβαβαβαβ++=- (2)用C αβ+证明:sin()sin cos sin S cos αβαβαβαβ++=+ (3)用(1)(2)证明tan tan :tan().1tan tan T αβαβ αβαβ +++= - 解析(1)证法一：如图4－32（a ）所示，设角,αβ-的终边交单位圆于 12(cos .sin ),(cos(),sin()),P P ααββ--,由余弦定理得 2 221212122()PP OP OP OP OP cos αβ=+-?+ 22[cos cos()][sin sin()]22cos()αβαβαβ?--+--=-+ 22(cos cos sin sin )22cos()αβαβαβ?--=-+ :cos()cos cos sin sin .C αβαβαβαβ+?+=- 证法二：利用两点间的距离公式. 如图4－32（b ）所示12(1,0),(cos ,sin ),(cos(),sin(),A P P αααβαβ++ 3(cos(),sin()),P ββ--由231;OAP OP P ???得，213.AP PP =故