锥体体积

凌锥、圆锥的体积

教学目的

1．使学生理解棱锥、圆锥的有关概念掌握它们的部分性质．

2．使学生能根据祖暅原理推导出锥体的体积计算公式．

3．通过锥体体积公式的教学，使学生能运用这些知识解决有关的实际问题，进一步培养学生逻辑思维能力、空间想象能力．从而提高分析问题和解决问题的能力．

4．通过这一节的学习，使学生进一步认识到所学知识是解决实际问题的有力工具，有着广泛的应用，从而提高学生学习的积极性．并通过柱体、锥体的体积公式之间的内在联系的教学培养学生的辨证唯物主义观点．

教学重点与难点

1．锥体体积公式的证明．主要让学生明白为何要把一个三棱锥补成一个三棱柱，怎么补，以及一个三棱柱可以分割成三个两两等底等高的三棱锥．教学过程

一．复习

V．（1）底面积为S，高为h的柱体体积

柱体

答：Sh

（2）祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，，那么这两个几何体的体积相等．

答：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．

（3）已知某锥体的底面积为S ，高为 h ，顶点P ，与底面平行且距离为

1h 的截面面积=0S ．

答：S h

h S 2

210=

二．导入本课课题：凌锥、圆锥的体积

1．引入：小学常识课获知，一个与圆柱等底等高的圆锥的体积与圆柱的体积之间有这样的关系：圆锥圆柱V V 3=．那么，这个结论是否适用一般的柱体及与其等底等高的锥体呢？

2．切入本课要学习的主要内容：证明上面提到的结论．

3．设有等底等高的一个三棱锥和一个圆锥，用平行于底面的同一个平面去截三棱锥与圆锥，设截面面积是1S ，2S ，演示并证明：21S S =

证明：设锥体底面积为S ，高为h ，顶点P 到截面的距离是 1h ，则

???

??=h h S S ，2

12??

? ??=h h S S ， ∴

S S

S 21=

，∴21S S =．

4．对照祖暅原理导入结论：这两个锥体的体积相等．由此我们得到下面的定理：

等底面积等高的两个锥体的体积相等．

5．推证：三棱锥的体积公式．

已知：三棱锥ABC A -1的底面积是S ，高是h ，求证：Sh V 31=三棱锥．

分析与归纳：

（1）几何体1与2：AB A 1与11BB A 共面，C 到面AB A 1、面B B A 11的距离相等，且B B A B AA S S 111??=，故有：C BB A ABC A V V 1

11--=，即21V V =．

（2）几何体2与3：面BC B 1与面C C B 11共面且 1A 到这两个面距离相等．而C C B BC B S S 111??=，∴C C B A BC B A V V 1

1111--=．即32V V =．

∴Sh V V V V C B A ABC 3

1311

11321=

===-三棱锥

．

由此我们得到定理：

如果三棱锥的底面积是S ，高是h ，则它的体积是Sh

V 3

三棱锥

．

有前两个定理进而导入锥体的体积公式．

定理：如果一个锥体（棱锥，圆锥）的底面积是S ，高是h ，则它的体积是：

V 31=

锥体．

推论：如果圆锥的底面半径是r ，高是h ，则它的体积是

h r V ??=

1π圆锥．

小结：三棱锥体积公式的推导过程中运用了计算体积的一个常用基本技能：“割补”．希同学予以重视并加以掌握．三．思考与举例：

例1．已知棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -，

（1）能否在正方体的八个顶点中找到四个点，使它们成为一个正四面体的顶点？若能，试举一例说明．

（2）在（1）中找到的四面体的体积是多少？

解：（1）先由学生分析寻找，提问并求出一个答案：四面体D ACB 1．（2）分析如何求D

ACB

V 1．

演示（颜色比较）导入解法割补．

例2．已知三棱锥ABC P -中，BC PA ⊥，l BC PA ==，PA 、BC 的公垂线h ED =，求此三棱锥的体积．

分析：（1）已知条件比较分散，难以集中到底面ABC 及其高上．

（2）条件中DE 是PA 与BC 的公垂线及BC PA ⊥可得PA BC ⊥与DE 确定的平面，连AD 、PD 即⊥BC 平面PAD ，于是平面PAD 将三棱锥ABC P -分割成两个三棱锥PAD B -及PAD C -，且BD 及CD 分别是它们的高，h l S PAD ?=

1，

PAD PAD PAD C PAD B ABC P S BC S CD BD V V V ??---?=?+=

+=3

1)(3

1．

例3．正四棱柱1111D C B A ABCD -中，E 是棱1DD 上的点，且||1B D 截面

EAC ，且面EAC 与底面ABCD 成

45角，a AB =，试求EAC

V -1．

分析：连11D B ，得

ACD E CED C B AED A B ABC B D C B A ABCD EAC B V V V V V V ----------=111111111111，

由已知可求得正四棱柱的侧棱长及E D 1的长，于是便可求上式中的每个几何体的体积．

解：连接11D B ，（演示可知上面的式子）

设BD 交AC 与O ，则由||1B D 截面EAC 得EO BD ||1，而O 是BD 的中点，∴E 是1DD 的中点，∵AC DO ⊥，∴AC EO ⊥（三垂线定理） ∴EOD ∠是截面EEAC 与底面所成的二面角的平面角，∴

45=∠EOD ，∴a AB DO ED 2

222=

=，∴a ED D D 221=

=，

∴2

21111a V D C B A ABCD =

-，3

222

311a a a V ABC

??=-，……．

小结

1．本课要点及知识体系公理6 锥体的截面性质

定理：等底等高的锥体体积相等

柱体体积公式锥体体积公式 2．本课涉及的数学思想方法（1）化归；（2）几何体的割补．

思考题

如图：在多面体ABCDEF 中，ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，

EF ，EF 与面AC 的距离为2，则该几何体的体积为．

【公开课教案】1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积一、教学目标 1、知识与技能（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。（3）培养学生空间想象能力和思维能力。 2、过程与方法（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。 3、情感与价值通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。二、教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算难点：台体体积公式的推导三、学法与教学用具 1、学法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：实物几何体，投影仪四、教学设想 1、创设情境（1）教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？引导学生回忆，互相交流，教师归类。（2）教师设疑：几何体的表面积等于它的展开圈的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？引入本节内容。 2、探究新知（1）利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图（2）组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？（3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评。 3、质疑答辩、排难解惑、发展思维（1）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式: )''22rl l r r r S +++=（圆台表面积π r 1为上底半径 r 为下底半径 l 为母线长

《柱体锥体台体的表面积与体积》教学设计

《柱体、锥体、台体的表面积》教学设计一、教材的理解与处理空间几何体的表面积问题是生产、生活中的实际问题，研究这类问题有助于培养学生的数学应用意识；立体几何中的核心思想“立体问题平面化”的思想在本节也得到体现，把空间几何体展开成平面图形。棱柱、棱锥可以看成棱台的两种特殊情况，我们还可以体会圆柱、圆锥、圆台与棱柱、棱锥、棱台侧面积公式之间的一致性，体现了数学的统一美。二、教学目标确定说明学生在初中虽然已经接触过平面几何体的概念，但学生尚缺乏空间想象能力，还缺乏知识的迁移与类比能力，这些都需要教师在课堂教学过程中有意识地、创造性地培养学生逐步形成. 数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数学学习变成一种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯。根据本节课的教学内容和我所教学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面： 1.知识与技能：使学生通过柱体、锥体、台体的表面积的探索，学会将空间问题转化为平面问题进行解决的数学思想方法. 2.过程与方法：使学生在表面积公式的推导过程中充分感受数学的转化思想、类比思想，提高学生分析问题与解决问题的能力.

3.情感态度与价值观：通过和谐对称规范的图形，给予学生以数学美的享受；同时发展学生求知、求实、勇于探索的情感与态度. 三、教学重点、难点确定说明本节课如果只把几组公式告诉学生，并让他们进行一些训练就能达到要求。这样做就失去渗透相关重要数学思想的机会，就失去让学生体会数学美的机会。数学教学中应强调对基本概念和基本思想方法的理解和掌握，并能灵活应用所学知识解决实际问题，根据本节课的教学内容和学生认知结构特征，重点确定为：理解和掌握柱体、锥体、台体的表面积的构成形式，以便从度量的角度认识空间几何体.难点为：用联系、类比、运动变化的思想推导柱体、锥体、台体的表面积四、教学策略的选择说明丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是数学教学追求的。学生的数学学习不应只限于概念，结论和方法的记忆，模仿和接受。本节课主要是多面体和旋转体的表面积，学习过程中，要使学生理解知识点，并会灵活应用，要鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与，既要有教师的讲授和指导，也要有学生的自主探究与合作交流。因此，本设计主要采用的教学方法是引导发现法，结合本课的教学内容与学生实际，整体思路是：创设情境→自主探究→合作交流→得出结论→理解应用→提高能力。在教具使用上做到以下三点： 1、学生课前自己制作几何体模型，激发学生思维的兴趣。 2、运用ppt制作课件，做到图文并茂。 3、运用几何画板制作课件，创设探求空间，展现思维过程。

六年级下册数学：圆锥体积的计算练习(含答案)

圆锥体积的计算练习一、填空。(每空2分，共22分) 1．一个圆锥的底面积是6平方厘米，高是1分米，体积是()立方厘米。 2．一个圆柱和一个圆锥的体积和底面积分别相等，圆锥的高是9厘米，圆柱的高是()厘米。 3．一个圆锥的底面半径是3厘米，体积是18.84立方厘米，这个圆锥的高是()厘米。 4．如果一个圆锥和一个圆柱的底面直径相等，那么当圆锥的高是圆柱高的()倍时，圆柱和圆锥的体积相等。 5．把一个体积是18立方厘米的圆柱形木块削成一个最大的圆锥，削成的圆锥体积是()立方厘米。 6．圆锥的底面周长是12.56厘米，高是6厘米，圆锥的体积是()立方厘米。 7．等底等高的圆柱和圆锥的体积相差16立方分米，圆锥的体积是()立方分米。 8．一个棱长是4分米的正方体容器装满水后，倒入一个底面积是12平方分米的圆锥形容器正好装满，这个圆锥形容器的高是()分米。(容器壁厚度不计) 9．一个圆锥的高不变，如果它的底面半径扩大到原来的3倍，那么它的体积扩大到原来的()倍。 10．一个圆锥的底面积是3.14平方分米，高是3分米，体积是()

立方分米，与这个圆锥等底等高的圆柱的体积是( )立方分米。二、判断。(对的在括号里打“√”，错的打“×”。每题3分，共15分) 1．圆锥的体积等于圆柱体积的13。 ( ) 2．当一个圆柱和一个圆锥等体积等底面积时，圆锥的高一定是圆柱高的3倍。 ( ) 3．把一个圆柱形木块削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆锥体积的2倍。 ( ) 4．一个圆锥形物体，底面积是a 平方米，高是b 米，它的体积是ab 立方米。 ( ) 5．圆柱的体积一定比圆锥的体积大。 ( ) 三、选择。(将正确答案的字母填在括号里。每题3分，共15分) 1．一个圆柱的体积比一个与它等底等高的圆锥的体积大( )。 A ．2倍 B ．1倍 C.23 2．24个完全相同的实心圆锥形铁块可以熔铸成( )个与它等底等高的实心圆柱形铁块。 A ．12 B ．8 C ．72 3．把一个底面直径是27厘米、高是9厘米的圆锥形木块切成形状、

圆锥体体积公式的证明

圆锥体体积公式的证明证明需要几个步骤来解决： 1)圆柱体的微分单元是三棱柱, 而圆锥体的微分单元是三棱锥。所以, 只要证明三棱锥的体积，是等底等高的三棱柱的体积的1/3，即可知题目所求正确。 2）如图，一个三棱柱可以切分成三个三棱锥：

(上图中,第二个“等底等高”的“高”是横着的，而“底”是竖着的。) 现在需要证明，这三个三棱锥，体积都是相等的，也就是各自的体积都是图中三棱柱的体积的1/3. 证明需要的命题是：底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。 3）如图，底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。这个命题的证明，需要基本的一个原理：祖暅原理。注释：祖暅原理祖暅原理也就是“等积原理”。它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之(429-500)的儿子祖暅(gèng)首先提出来的。祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。

在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri.B,1589-1647)发现。于1635年出版的《连续不可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为“卡瓦列里原理”。其实，他的发现要比我国的祖暅晚1100多年。祖暅原理的思想我们都知道“点动成线，线动成面，面动成体”这句话，直线由点构成，点的多少表示直线的长短；面由线构成，也就是由点构成，点的多少表示面积的大小；几何体由面构成，就是由线构成，最终也就是由点构成，点的多少也表示了体积的大小，要想让两个几何体的体积相等，也就是让构成这两个几何体的点的数量相同，祖暅原理就运用到了它。两个几何体夹在两平行平面中间，可以理解为这两个几何体平行面间的的高度相等。两平行面之间的距离一定，若视距离为一条线段，那么这个距离上就有无数个点，过一个点，可以画出一个平行于两平行面的截面，若两几何体在被过每一点的平行截面截出的截面面积两两相等，则说明两几何体在同一高度下的每两个截面上的点的数量相同。有无数个截面，同一高度每两个几何体的截面上的点的数量相同，则说明，这两个几何体所拥有的点数量相同，那么也就是说，它们的体积相同。所以我们可以用这种思想来理解祖暅原理。这个原理说：如果两个高度相等的立体，在任何同样高度下的截面面积都相等，那么，这两个立体的体积就相等。所以，下图可证明：若两三棱锥的底面（三角形）全等，高度相等，那么它们在任何高度上的截面（三角形）也必然全等。于是可以根据祖暅原理断言：等底等高的三棱锥，体积都相等：

圆锥体积计算

圆锥的体积是圆柱的体积的1/3 棱台体体积计算公式： V=（1/3）H（S上＋S下＋√[S上×S下]） H是高，S上和S下分别是上下底面的面积。棱台体积：V=〔S1＋S2＋开根号（S1*S2）〕／3*h 注：V：体积；S1：上表面积；S2：下表面积；h：高。关于不等边长的四梭台的与手工计算偏差的原因鲁班算量2006在计算独立基础时，发现所有的正四棱台计算正确，而计算有长边与短边的四棱台时，就不对了，量都偏大的原因：独立基础体积正确的计算公式为：四棱台计算公式为(s1+s2+sqr(s1*s2))*h/3,sqr(x)对x求根或 A*B*H+h/6*(AB+ab+(A+a)(B+b))其中A、B、H分别为独立基础下部长方体的长、宽、高；a、b、h分别为四棱台的长、宽、高，当然， A与a、B与b相对应。用A*B*H+h/6*(AB+ab+(A+a)(B+b))是偏小实际工作中，这两种公式都有人用，结果有时是不一样. 而使用鲁班算量计算结果偏大，计算不等边长的四梭台与计算公式算出结果不一样是因为我们预算中的四梭台计算公式是近似的计算方法，而鲁班用的是微积分算法，结果相差很小

另外鲁班的带马牙槎的构造柱计算结果也与实际算法有差别，其实我们算构造柱时是按如果有两边有马牙槎的为边长上加6cm计算，鲁班算量考虑了层高的不同与马牙槎的高度位也考虑了（马牙槎在板底时正好为退时鲁班的计算结果就会小，但其实鲁班算的是实际的量）。圆台体积计算圆台体积计算公式是：设上底的半径为r ,下底的半径为R ,高为h 则V＝(1/3)*π*h*(R^2 + Rr +r^2) V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3 r－上底半径 R－下底半径 h－高圆台吧……V=1/3（s+√ss' +s'）h 其中s'为台体的上底面面积，s为台体的下面面积，h为台体的高。（P S.√是根号啦，不过我不懂得打。）三棱锥体积计算公式：底面积×高/2 各种台体，都有它自己的体积计算公式。我给你一个通式：台身体积＝（上底面积+下底面积+4×中位面积）×高度÷6

六年级数学圆锥的体积计算公式

圆锥的体积计算公式白泉一小郝永辉一、教学目标：知道圆锥体积的推导过程，理想解并掌握体积公式，能运用公式求圆锥的体积，并会解决简单的实际问题，对学生进行辨证唯物主义启蒙教育。二、教学重点：圆锥体积的公式三、教学难点：圆锥体积公式的推导四、教具准备：沙、圆锥教具、圆柱教具若干个，其中有等底、等到高圆柱，圆锥多个五、教学过程：（一）复习 1、口答圆锥体积计算公式。 2、计算下面各圆柱的体积。 (1)底面积是6。28平方分米，高是5公米。 (2)底下面半径是3公米，高与半径相等。 3、小结（二）新授 1、点明课题，圆锥体积的计算

2、体积公式的推导（1）要研究圆锥的体积，你想提出什么问题？ ·圆锥的体积与什么有关？有怎样的关系？ ·为什么时候有这样的关系？（2）出示教具让学生观察圆锥体积与底面积、高的关系？（3）圆锥的体积需转化成已学过的物体的体积来计算。转化成哪一种形体最合适？（4）实验 ·出示等底、等高的圆柱和圆锥容器教具观察特征：等底等高 ·教师示范用空间圆柱里倒，让学生观察看看倒几次倒满圆柱。·得出结论：圆锥体积等于这个圆柱体积的1/3。 ·教师再次实验。 ·学生动手实验：先做等底等高的实验，再做不等底不等高的实验，然后提问，圆锥体积都是圆柱体积的1/3吗？为什么？ 3、学生讨论实验情况，汇报实验结果。 4、推导出公式指名口答，师板书：圆锥体积等于等底等高圆柱体积的1/3 圆锥体积=底面积×高×1/3 V=1/3Sh S表示什么？ H表示什么？ SH表示什么？ 1/3SH表示什么？ 5、练习（口答） 6、运用公式

（1）出示例1、一个圆锥形零件，底面积是19平方厘米，高是12厘米。这个零件的体积是多少？学生尝试练习，教师讲评。（2）出示例2、在打谷场上，有一个近似于圆锥形的小麦堆，测得底面直径是4米，。高是12米。每立言米小麦约重735千克，这堆小麦大约重多少克？（得数保留整千克）学生读题思考后尝试练习。三、巩固练习课本第43页“做一做”第1、2题。四、小结今天这节课，你学到了什么知识？要求圆锥的体积需要知道哪些条件？板书设计：圆锥的体积计算 V=1/3Sh 例1、1/3×19×12=76（立方厘米）答：这个零件的体积是76立方厘米。例2、（！）麦堆底面积：(略) （2）麦堆体积：（略）（3）小麦重量：（略）

参考公式锥体的体积公式其中是锥体的底面积是锥体的

参考公式：锥体的体积公式Sh V 3 1 = ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+．用最小二乘法求线性回归方程系数公式，∑∑==-?-= n i i n i i i x n x y x n y x b 1 2 2 1) ，x b y a )) -=．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． i 是虚数单位， =+2 ) 1 (1 i （） A ． 2i B ．2 i - C ．21 D ．i 2 2．函数)(x f 的定义域为实数集R ，“)(x f 是奇函数”是“|)(|x f 是偶函数”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．非充分非必要条件 D ．充要条件 3．{}n a 是等差数列，1a 与2a 的等差中项为1，2a 与3a 的等差中项为2，则公差=d （） A ．2 B ． 23 C ．1 D ．2 1 4．函数)sin()(?+=x x f 在区间3 2 , 3 (π π 上单调递增，常数?的值可能是（） A ．0 B ． 2π C ．π D ．2 3π 5．双曲线C ：14 22 =-y x 的两条渐近线夹角（锐角）为θ，则=θtan （） A ． 158 B ．815 C ．43 D ．3 4 6．一个四面体如图1，若该四面体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图都是直角边长为1 的等腰直角三角形，则它的体积=V （） A ． 21 B ．31 C ．61 D ．12 1

探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积

探究与发现祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积［教学内容、地位］在学生已经初步学习了柱体、锥体、球体的体积公式的基础之上对体积公式的由来的进一步探究，主要内容为用祖暅原理推导柱体、锥体、球体的体积公式；通过模型演示，利用祖暅原理，推广到柱、锥、球体的体积计算.通过学习，使学生感受几何体体积的求解过程，初步了解解决空间几何体问题的思想方法,逐步提高解决空间几何体问题的能力。［教学编排依据］主要是从学生获取知识遵循“从特殊到一般，由浅入深，由易到难，循序渐进”的原则出发，符合学生的认知水平和接受能力. 教学目标的确定（1）理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的方法；（2）在发现祖暅原理的过程中，体会从“平面”到“空间”的类比、猜想、论证的数学思想方法；体会祖暅原理中由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法的思想；（3）在推导棱柱体积公式的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法；掌握棱柱、棱锥、球体的体积公式；（4）通过介绍我国古代数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣.拓展爱国主义情感教育， 3、教学的重点、难点（1）柱体、锥体、球体的体积公式的探究（2）学生探究能力的培养二、说教法和几何画板和PPT课件导入与学法，探索实际案例。教法： 1、为了培养学生自主学习的能力以及使得不同层次的学生都能获得相应的满足.因此本节课采用探究性教学. 2、根据本节课的特点也为了给学生的数学探究与数学思维提供支持. 学法：为了发挥学生的主观能动性，提高学生的综合能力，确定了探究性学习

圆锥体积公式的推导

第十课时教学目标：知识与能力：使学生理解求圆锥体积的计算公式．过程与方法：会运用公式计算圆锥的体积．情感态度和价值观：：培养学生初步的空间观念和思维能力；让学生认识“转化”的思考方法。教学重点圆锥体体积计算公式的推导过程．教学难点正确理解圆锥体积计算公式．教学过程：一、铺垫孕伏 1、提问：（1）圆柱的体积公式是什么？（2）投影出示圆锥体的图形，学生指图说出圆锥的底面、侧面和高． 2、导入：同学们，前面我们已经认识了圆锥，掌握了它的特征，那么圆锥的体积怎样计算呢？这节课我们就来研究这个问题．（板书：圆锥的体积）二、探究新知（一）指导探究圆锥体积的计算公式． 1、教师谈话：下面我们利用实验的方法来探究圆锥体积的计算方法．老师给每组同学都准备了两个圆锥体容器，两个圆柱体容器和一些沙土．实验时，先往圆柱体（或圆锥体）容器里装满沙土（用直尺将多余的沙土刮掉），倒人圆锥体（或圆柱体）容器里．倒的时候要注意，把两个容器比一比、量一量，看它们之间有什么关系，并想一想，通过实验你发现了什么？ 2、学生分组实验学生汇报实验结果 ①圆柱和圆锥的底面积相等，高不相等，圆锥体容器装满沙土往圆柱体容器里倒，倒了一次，又倒了一些，才装满．

②圆柱和圆锥的底面积不相等，高相等，圆锥体容器装满沙土往圆柱体容器里倒，倒了两次，又倒了一些，才装满． ③圆柱和圆锥的底面积相等，高相等，圆锥体容器装满沙土往圆柱体容器里倒，倒了三次，正好装满． 4、引导学生发现：圆柱体的体积等于和它等底等高的圆锥体体积的3倍或圆锥的体积是和它等底等高圆柱体积的．板书： 5、推导圆锥的体积公式：用字母表示圆锥的体积公式．板书： 6、思考：要求圆锥的体积，必须知道哪两个条件？ 7、反馈练习圆锥的底面积是5，高是3，体积是（）圆锥的底面积是10，高是9，体积是（）（二）算一算学生独立计算，集体订正．说说解题方法三、全课小结通过本节的学习，你学到了什么知识？（从两个方面谈：圆锥体体积公式的推导方法和公式的应用）四、板书设计课后反思:

圆柱和圆锥体积计算练习题

圆柱和圆锥体积计算练习题 1、把圆柱切开、再拼起来，能得到一个（）。长方体的底面积等于圆柱的（），长方体的高等于圆柱的（），因为长方体的体积＝底面积×高，所以圆柱的体积＝（），用字母表示是（）。 2、⑴已知圆柱的底面半径和高，求体积。先用公式（）求（）；再用公式（）求（）。 ⑵已知底面直径和高，求体积。先用公式（）求（）；再用公式（）求（）；最后用公式（）求（）。 ⑶已知底面周长和高，求体积。先用公式（）求（）；再用公式（）求（）；最后用公式（）求（）。 3.已知圆柱的体积和底面积，求高，用公式（）；已知圆柱的体积和高，求底面积，用公式（）。 4．当圆柱和圆锥（）时，圆锥的体积是圆柱体积的1/3 。等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积比圆锥体积大（）倍，圆锥体积比圆柱体积小（）/（）。 5．圆锥的体积计算公式用字母表示是（）。

已知圆锥的体积和底面积，求高，用公式（）。 6．长方体的表面积＝（），长方体的体积＝（）；正方体的表面积＝（），正方体的体积＝（）。 7．求一个圆柱形水池的占地面积，是求这个水池的（）；求一个圆柱形水池能装多少水，是求这个水池的（）。 8．把一段圆柱形钢材加工成一个最大圆锥，削去的钢材的体积是24立方厘米，这段圆柱形钢材的体积是（）立方厘米，加工成的圆锥的体积是（）立方厘米。 9．将一段棱长是20厘米的正方体木材，加工成一个最大的圆柱，削去的木材的体积是（）立方厘米。二、解决问题。 1、一个圆柱的底面直径是6厘米，高是10厘米，体积是多少？ 2、一个圆柱的底面周长是25.12分米，高是2分米，体积是多少？ 3、一个圆锥的底面半径是5米，高是6米，体积是多少？ 4、一个圆锥的底面周长是18.84分米，高是12分米，

柱体、锥体、台体的表面积和体积教学设计

范例：以新课标教材人民教育出版社A版(2004年)必修2《1．3．1 柱体、锥体、台体的表面积与体积》一、教学目标 1．知识与技能 (1)通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。 (2)能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。 (3)培养学生空间想象能力和思维能力。 2．过程与方法 (1)让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状。 (2)让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体三者间的面积和体积的关系。 (3)在解决问题的过程中渗透化归的数学思想，培养学生通过化归解决问题的能力和意识，体验合情推理的方法和作用。(在解决后面的问题时能主动用化归思想。) 3．情感、态度与价值观 (1)通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程对自己空间思维能力的影响，从而增强学习的积极性。 (2)培养学生质疑的意识，以促进学生思维严谨性的形成。(学生并不习惯于质疑，可以通过教师的质疑逐步引导，培养理性的精神。) 二、学情分析学生已具备一些直观的对简单几何体的认识，理性思维还不很成熟，所以在实际教学时，要使学生对已有知识经验的认识上升到新的高度，从而激发学生进一步学习的欲望。三、教材分析 1．本节的作用和地位本节内容是高中的一个重要内容，它能使学生的认识在理性方面有所提高，通过本节内容的学习可使学生掌握一种重要的数学思想方法——化归，因此本节内容十分重要。 2．本节主要内容该部分内容中有一些是学生熟悉的，比如正方体、长方体、圆柱、圆锥的表面积和体积。其他空间几何体——一般棱柱、棱锥、棱台和圆台的表面积、体积问题是本课时要解决的。在解决这些问题的过程中，首先要对学生已有的知识进行再认识，提炼出解决问题的一般思想——化归的思想，总结出一般的求解方法，在此基础上通过类比获得解决新问题的思路，通过化归解决问题，深化对化归、类比等思想方法的应用，这也是学习下一章内容时要用的基本方法。 3．重点、难点分析在解决具体问题时，要用相似三角形求得线段的长，这是本课时的难点。特别是对于基础比较好的学生，如果要完成教材旁白中所说的证明棱台的体积公式，其难度也是比较大的。

圆锥体体积公式的证明

圆锥体体积公式的证明 ? 证明需要几个步骤来解决： 1)圆柱体的微分单元是三棱柱, 而圆锥体的微分单元是三棱锥。所以, 只要证明三棱锥的体积，是等底等高的三棱柱的体积的1/3，即可知题目所求正确。 2）如图，一个三棱柱可以切分成三个三棱锥：

(上图中,第二个“等底等高”的“高”是横着的，而“底”是竖着的。?) 现在需要证明，这三个三棱锥，体积都是相等的，也就是各自的体积都是图中三棱柱的体积的1/3. 证明需要的命题是：底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。 3）如图，底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。这个命题的证明，需要基本的一个原理：祖暅原理。注释：祖暅原理

祖暅原理也就是“等积原理”。它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之(429-500)的儿子祖暅(gèng)首先提出来的。祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里（,1589-1647)发现。于1635年出版的《连续不可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为“卡瓦列里原理”。其实，他的发现要比我国的祖暅晚1100多年。祖暅原理的思想我们都知道“点动成线，线动成面，面动成体”这句话，直线由点构成，点的多少表示直线的长短；面由线构成，也就是由点构成，点的多少表示面积的大小；几何体由面构成，就是由线构成，最终也就是由点构成，点的多少也表示了体积的大小，要想让两个几何体的体积相等，也就是让构成这两个几何体的点的数量相同，祖暅原理就运用到了它。两个几何体夹在两平行平面中间，可以理解为这两个几何体平行面间的的高度相等。两平行面之间的距离一定，若视距离为一条线段，那么这个距离上就有无数个点，过一个点，可以画出一个平行于两平行面的截面，若两几何体在被过每一点的平行截面截出的截面面积两两相等，则说明两几何体在同一高度下的每两个截面上的点的数量相同。有无数个截面，同一高度每两个几何体的截面上的点的数量相同，则说明，这两个几何体所拥有的点数量相同，那么也就是说，它们的体积相同。所以我们可以用这种思想来理解祖暅原理。这个原理说：如果两个高度相等的立体，在任何同样高度下的截面面积都相等，那么，这两个立体的体积就相等。所以，下图可证明：若两三棱锥的底面（三角形）全等，高度相等，那么它们在任何高度上的截面（三角形）也必然全等。于是可以根据祖暅原理断言：等底等高的三棱锥，体积都相等：

锥体体积

凌锥、圆锥的体积教学目的 1．使学生理解棱锥、圆锥的有关概念掌握它们的部分性质． 2．使学生能根据祖暅原理推导出锥体的体积计算公式． 3．通过锥体体积公式的教学，使学生能运用这些知识解决有关的实际问题，进一步培养学生逻辑思维能力、空间想象能力．从而提高分析问题和解决问题的能力． 4．通过这一节的学习，使学生进一步认识到所学知识是解决实际问题的有力工具，有着广泛的应用，从而提高学生学习的积极性．并通过柱体、锥体的体积公式之间的内在联系的教学培养学生的辨证唯物主义观点．教学重点与难点 1．锥体体积公式的证明．主要让学生明白为何要把一个三棱锥补成一个三棱柱，怎么补，以及一个三棱柱可以分割成三个两两等底等高的三棱锥．教学过程一．复习 V．（1）底面积为S，高为h的柱体体积柱体答：Sh （2）祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，，那么这两个几何体的体积相等．答：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．

（3）已知某锥体的底面积为S ，高为 h ，顶点P ，与底面平行且距离为 1h 的截面面积=0S ．答：S h h S 2 210= 二．导入本课课题：凌锥、圆锥的体积 1．引入：小学常识课获知，一个与圆柱等底等高的圆锥的体积与圆柱的体积之间有这样的关系：圆锥圆柱V V 3=．那么，这个结论是否适用一般的柱体及与其等底等高的锥体呢？ 2．切入本课要学习的主要内容：证明上面提到的结论． 3．设有等底等高的一个三棱锥和一个圆锥，用平行于底面的同一个平面去截三棱锥与圆锥，设截面面积是1S ，2S ，演示并证明：21S S = 证明：设锥体底面积为S ，高为h ，顶点P 到截面的距离是 1h ，则 2 11 ??? ??=h h S S ，2 12?? ? ??=h h S S ， ∴ S S S S 21= ，∴21S S =． 4．对照祖暅原理导入结论：这两个锥体的体积相等．由此我们得到下面的定理：等底面积等高的两个锥体的体积相等． 5．推证：三棱锥的体积公式．已知：三棱锥ABC A -1的底面积是S ，高是h ，求证：Sh V 31=三棱锥．分析与归纳：

圆锥的体积计算公式

圆锥的体积计算教案教学内容：圆锥的体积计算公式（人教版第十二册课本第42至43页的内容。）教学目标： 1、使学生理解和掌握圆锥体积的计算公式，会计算圆锥的体积，并能应用所学的知识解决有关的生活实际问题。 2、培养学生的观察、发现、猜想、实践能力及合作探究意识。教学重点：圆锥的体积计算。教学难点：圆锥的体积公式推导。教具准备：多媒体课件教学过程：一、复习引入 1．口答圆柱体积的计算公式。 2．求下面各圆柱的体积。 ①底面积是5平方厘米，高6厘米，体积 =? ②底面半径是2分米，高10分米，体积 =? ③底面直径是6分米，高10分米，体积 =? 3．谈话引入课题,并出示课题。 ①我们已知道了哪些立体图形体积的求法？ ②我们是用怎样的方法推断出圆柱的体积的计算公式？二、探究新知 1、指导探究圆锥体积的计算公式．师：大家觉得我们今天研究的圆锥的体积可能转化为什么来研究呢？（圆柱）下面我们就来看一下下面的圆柱和圆锥，判断一下这一对圆锥和圆柱有什么关系

师：等底等高的圆柱体和圆锥体，底面积和高都相等，它们的体积之间存在怎样的关系呢？谁能猜猜看！（生：圆柱体的体积是圆柱体积的二分之一、三分之一、三分之二。）师：同学们估计的都不错，但其中只有一种是对的，是那一种呢？现在我们来看一下老师课件的展示（老师展示并述说展示的过程）师：谁能根据老师的演示把自己发现给大家介绍一下？（生：圆柱体积是与它等底等高的圆锥体积的3倍。或者说：圆锥体积是与它等底等高的圆柱体积的三分之一。）师：同学们说的真好，先让我们想想这个圆柱的体积公式！如果用V表示体积，S表示底面积，H表示高，它的体积怎么表示？我们展示的这个圆锥体的底面积是S，高是h,它的体积是多少？（学生思考、讨论。）师：谁能把自己的想法说给大家听？让学生说说自己的想法。师：同学们发现的算法可多了，也让老师大开眼界。谁能将这些算法，总结出一个计算圆锥体的体积公式呢？师生共同总结圆锥体体积的计算公式：圆锥体积=底面积×高×用字母表示： V = SH 师：在这个公式里，三分之一表示什么意思？V表示什么意思？H表示什么意思？S表示什么意思？SH表示什么意思？（圆锥体积是与它等底等高的圆柱体积的三分之一）师：同学需要注意的是我们研究的圆锥与圆柱是什么样的关系！（等底等高）师：现在我们再想一想要求圆锥的体积必须知道什么？（底面积和高）师：下面请同学口答两题 (1)一个圆柱体积是27立方分米,与它等底等高的圆锥体积是多少立方分米?

圆锥体积公式

圆锥体积公式篇一：圆锥体体积公式的证明圆锥体体积公式的证明证明需要几个步骤来解决： 1)圆柱体的微分单元是三棱柱,而圆锥体的微分单元是三棱锥。所以,只要证明三棱锥的体积，是等底等高的三棱柱的体积的1/3，即可知题目所求正确。 2）如图，一个三棱柱可以切分成三个三棱锥： (上图中,第二个“等底等高”的“高”是横着的，而“底”是竖着的。) 现在需要证明，这三个三棱锥，体积都是相等的，也就是各自的体积都是图中三棱柱的体积的1/3. 证明需要的命题是：底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。3）如图，底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。这个命题的证明，需要基本的一个原理：祖暅原理。注释：祖暅原理祖暅原理也就是“等积原理”。它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之(429-500)的儿子祖暅(gèng)首先提出来的。祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。

在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里（cavalieri.b,1589-1647)发现。于1635年出版的《连续不可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为“卡瓦列里原理”。其实，他的发现要比我国的祖暅晚1100多年。祖暅原理的思想我们都知道“点动成线，线动成面，面动成体”这句话，直线由点构成，点的多少表示直线的长短；面由线构成，也就是由点构成，点的多少表示面积的大小；几何体由面构成，就是由线构成，最终也就是由点构成，点的多少也表示了体积的大小，要想让两个几何体的体积相等，也就是让构成这两个几何体的点的数量相同，祖暅原理就运用到了它。两个几何体夹在两平行平面中间，可以理解为这两个几何体平行面间的的高度相等。两平行面之间的距离一定，若视距离为一条线段，那么这个距离上就有无数个点，过一个点，可以画出一个平行于两平行面的截面，若两几何体在被过每一点的平行截面截出的截面面积两两相等，则说明两几何体在同一高度下的每两个截面上的点的数量相同。有无数个截面，同一高度每两个几何体的截面上的点的数量相同，则说明，这两个几何体所拥有的点数量相同，那么也就是说，它们的体积相同。所以我们可以用这种思想来理解祖暅原理。这个原理说：如果两个高度相等的立体，在任何同样高度下的截面面积都相等，那么，这两个立体的体积就相等。所以，下图可证明：若两三棱锥的底面（三角形）全等，高度相等，