吉林大学2007级本科《离散数学II》期末考试试题答案(A卷)

一、

1错；2对；3对；4错；5对；6错；7错；8错；9错；10错。

二、

1.（1 2），

2.H的左陪集是H,{{(12),(132)},{(13),(123)}，

3.(1)不是; (2)是

4.(1)a2=b，(2)b的周期是3，(3)是交换群；

5.(1)不是，3和6是零因子；（2）R或{0}

6.C是分配格；

7.GF(4) ;

8.{10

,8,6,4,2,0}和{9,6,3,0}；

9.6；

10.σ的核是{0，4，8，12，16}，σ-1(σ(H))=G。

三、

1、取p=2,则由Eisenstein定则知道f(x)不可约

2、若f(x)在R0上可约，则f(x)在R2上可约。因此，只需证明f(x)在R2上不可约，则可知在R0上不可约。而在R2上，f(x)=x5+x2+1。

f(0)=1,f(1)=1,故无一次因子。

注意R2上二次质式只有x2+x+1,而x5+x2+1=(x2+x+1)(x3-x2)=1，故无二次因子。所以x5+3x2-1在R2上不可约，从而在R0上必不可约

四、

证明：若H1和H2有一个包含另一个，则结论成立。假设H1，H2互不包含，则存在x，y，使得x∈H1，且x?H2，y∈H2，且y?H1。则断言x〃y?H1，且x〃y?H2，否则，若x〃y∈H1，则x∈H1及由H1是G的子群知，x-1∈H1，故，x-1〃（x〃y）∈H1，即y∈H1，与y?H1矛盾。同理可证x〃y?H2。因此，x〃y?H1∪H2。而x〃y∈G，所以，H1∪H2≠G，矛盾，即假设不成立。故必有H1和H2有一个包含另一个，结论成立。

五、

解：由于8=23，所以，p=2,m=3，

（1）首先求Φp m-1（х），即Φ

7

（х）。

由x7-1=Φ

7Φ

1

，x-1=Φ

1

，得

Φ

7（х）=1

1

1

2

3

4

5

6

7

+

+

+

+

+

+

=

-

-

x

x

x

x

x

x

x

x

，

（2）求Φ

7（х）在R

2

[х]中的3次质因式ψ（х）。

由于0，1都不是Φ

7（х）的根，故Φ

7

（х）无一次因式。

由例7.2.11知，R

2上二次质式只有x2+x+1，用它去除Φ

7

（х）余数为1，因为：

Φ

7

（х）=x4（x2+x+1）+x（x2+x+1）+1。

可见，Φ7（х）无二次质因式，只可能分解为两个三次质因式的乘积。

用待定系数法可设：Φ7（х）=（x 3+ax 2+bx+1）（x 3+cx 2+dx+1），进而求出 Φ7（х）=（x 3+x 2+1）（x 3+x+1），

（也可由例7.2.11，由R 2上三次质式只有：x 3+x+1，x 3+x 2+1，而（x 3+x 2+1）2≠Φ7（х），（x 3+x+1）2≠Φ7（х），（x 3+x 2+1）（x 3+x+1）=Φ7（х）。）

无论取ψ（х）=x 3+x 2+1还是取ψ（х）=x 3+x+1，则R 3[x]/(ψ（х）)=

]

[)(]

[22x R x x R ψ都是元数是8的有限域，且是同构的。所以，我们不妨取ψ（х）=x 3+x+1，

则

R 3[x]/(ψ（х）)=

]

[)(]

[22x R x x R ψ

=},,|{22102210R a a a x a x a a ∈++ =}1,,1,,1,,1,0{2222+++++x x x x x x x x ，

其中0={0，x 3+x+1，x （x 3+x+1），x 2（x 3+x 2+1），…}，其余元素类推。

（3） 若取ξ=x ，则ψ（ξ）=01133

=++=++x x x x ，即ξ是ψ（х）在

]

[)(]

[22x R x x R ψ中的一个根。因此，

GF(8)={a 0 +a 1ξ+a 2ξ2|a 0，a 1，a 2∈R 2}

={0，1，ξ，ξ+1，ξ2，ξ2+1，ξ2+ξ，ξ2+ξ+1}，。

该域的加法和乘法运算如下

六、

证明：

（1）①首先证明（R，⊕）是交换群。

由 + 在R上运算封闭知，对于任意的a，b∈R，a+b+1∈R，而a⊕b=a+b+1，故a⊕b∈R。因此，⊕在R上运算也封闭。

由 + 在R上满足交换律知，⊕在R上也满足交换律。

对于任意的a，b，c∈R，由 + 在R上满足交换律和结合律得：

（a⊕b）⊕c=（a⊕b）+c+1

=（a+b+1）+c+1

=a+(b+1+c)+1 由+满足结合律

=a+(b+c+1)+1 由+满足交换律

=a+（b⊕c）+1

=a⊕(b⊕c),

可见，⊕在R上也满足结合律。

因为对R中任意元素a，有

a⊕-1=a+（-1）+1

=a+(（-1）+1)

=a+0

=a,

-1⊕a=a⊕-1=a，

所以（R，⊕）的单位元为-1。

因为对R中任意元素a，有

a⊕（-a-1-1）= a+（-a-1-1）+1

=(a+(-a))-1+(-1+1)

=0+(-1)+0

=-1，

（-a-1-1）⊕a= a⊕（-a-1-1）=-1

所以，（R，⊕）中任意元素a的逆元为-a-1-1。

综上，（R，⊕）是交换群。

②证明（R，⊙）是含壹半群。

由+和〃在R上运算封闭知，对于任意的a，b∈R，a〃b+a+b∈R，而a⊙b=a〃b+a+b，故a⊙b∈R。因此，⊙在R上运算也封闭。

对于任意的a，b，c∈R，有

（a⊙b）⊙c =（a⊙b）〃c+（a⊙b）+c

=（a〃b+a+b）〃c+（a〃b+a+b）+c

=a〃(b〃c+b+c)+a+(b〃c+b+c)

= a〃(b⊙c)+a+(b⊙c)

=a⊙(b⊙c)，

可见，⊙满足结合律。

因为对R中任意元素a，有

a⊙0= a〃0+a+0

=0+a+0

=a，

0⊙a=a⊙0=a,

所以，（R，⊙）的单位元为0。

③证明⊙对⊕有左右分配律。

对于任意的a，b，c∈R，有

a⊙(b⊕c)= a〃(b⊕c)+a+(b⊕c)

= a〃（b+c+1）+a+（b+c+1）

= a〃b+（a〃c）+a+a+b+c+1

= (a〃b+ a+b)+(a〃c+a+c)+1，

(a⊙b)⊕(a⊙c)= (a⊙b)+(a⊙c)+1

= ( a〃b+ a+b) + ( a〃c+ a+c) +1

因此，a⊙(b⊕c)= (a⊙b)⊕(a⊙c)。

(b⊕c)⊙a=(b⊕c)〃a+(b⊕c)+a

=（b+c+1）〃a+（b+c+1）+a

= b〃a+（c〃a）+a+b+c+1+a

=(b〃a+b+a)+(c〃a+c+a)+1，

(b⊙a)⊕（c⊙a）= (b⊙a)+ （c⊙a）+1

= (b〃a+b+a)+ (c〃a+c+a)+1，

因此，(b⊕c)⊙a=(b⊙a)⊕（c⊙a）。

综上①、②、③知，（R，⊕，⊙）是含壹环。