统计与统计案例

第九章统计与统计案例

第一节随机抽样

考纲要求：1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.3.了解分层抽样和系统抽样方法．

[基础真题体验]

考查角度[抽样方法]

1．(2013·课标全国卷Ⅰ)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )

A．简单随机抽样B．按性别分层抽样

C．按学段分层抽样D．系统抽样

【解析】由于三个学段学生的视力情况差别较大，故需按学段分层抽样．

【答案】C

2．(2014·四川高考)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中

抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是( ) A．总体B．个体

C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本

【解析】调查的目的是“了解某地5 000名居民某天的阅读时间”，所以“5 000名居民的阅读时间的全体”是调查的总体．

【答案】A

3．(2014·天津高考)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．

【解析】根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为

4

4＋5＋5＋6

×300＝60.

【答案】60

[命题规律预测]

考向一简单随机抽样

[典例剖析]

【例1】(2013·江西高考)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )

【思路点拨】读数→比较与20的大小→选数→成样

【解析】由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01.

【答案】D

抽签法与随机数表法的适用情况：

(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数表法适用于总体中个体数较多的情况．

(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：

一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．

[对点练习]

下列抽样方法是简单随机抽样的是( )

A．从50个零件中一次性抽取5个做质量检验

B．从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验

C．从实数集中逐个抽取10个正整数分析奇偶性

D．运动员从8个跑道中随机抽取一个跑道

【解析】简单随机抽样是不放回、逐个、等可能的抽样，故D正确．

【答案】D

考向二系统抽样及其应用

[典例剖析]

【例2】 (1)(2013·陕西高考)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )

A ．11

B ．12

C ．13

D ．14

(2)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )

A ．7

B ．9

C ．10

D ．15

【思路点拨】 (1)结合系统抽样的方法及不等式解法求解． (2)结合系统抽样及等差数列知识求解．

【解析】 (1)抽样间隔为840

42＝20.设在1,2，…，20中抽取号码x 0(x 0∈[1,20])，在[481,720]之

间抽取的号码记为20k ＋x 0，则481≤20k ＋x 0≤720，k ∈N *.

∴24120≤k ＋x 0

20

≤36.

∵x 0

20∈????

??

120，1，∴k ＝24,25,26，…，35， ∴k 值共有35－24＋1＝12(个)，即所求人数为12.

(2)由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为960

32＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…939.落入区

间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n 项，显然有729＝459＋(n －1)×30，解得n ＝10.所以做问卷B 的有10人．

【答案】 (1)B (2)C

系统抽样的特点：

(1)适用于元素个数很多且均衡的总体． (2)各个个体被抽到的机会均等．

(3)总体分组后，在起始部分抽样时采用的是简单随机抽样．

(4)如果总体容量N 能被样本容量n 整除，则抽样间隔为k ＝N

n

.

提醒：如果总体容量N 不能被样本容量n 整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样．

[对点练习]

高三(1)班共有56人，学号依次为1,2,3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知学号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为

( )

A．30 B．25 C．20 D．15

【解析】由题意可知，可将学号依次为1,2,3，…，56的56名同学分成4组，每组14人，抽取的样本中，若将他们的学号按从小到大的顺序排列，彼此之间会相差14，故还有一个同学的学号应为14＋6＝20.

【答案】C

考向三分层抽样及其应用

[典例剖析]

【例3】(2013·湖南高考)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝( )

A．9 B．10 C．12 D．13

(2)(2014·湖北高考)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数

为________件．

【思路点拨】 利用“抽样比＝样本容量总体容量＝各层样本容量

各层个体数量”求解(1)(2)．

【解析】 (1)依题意得360＝n

120＋80＋60

，故n ＝13.

(2)设乙设备生产的产品总数为x 件，则甲设备生产的产品总数为(4 800－x )件．由分层抽样特点，结合题意可得5080＝4 800－x

4 800

，解得x ＝1 800.

【答案】 (1)D (2)1 800

与分层抽样有关问题的常见类型及解题策略：

(1)确定抽样比．可依据各层总数与样本数之比，确定抽样比．

(2)求某一层的样本数或总体个数．可依据题意求出抽样比，再由某层总体个数(或样本数)确定该层的样本(或总体)数．

(3)求各层的样本数．可依据题意，求出各层的抽样比，再求出各层样本数．

[对点练习]

某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( )

B．

【解析】根据题意可知二年级女生的人数应为2 000×＝380(人)，故一年级共有人数750人，二

年级共有750人，这两个年级均应抽取64×

750

2 000

＝24(人)，则应在三年级抽取的学生人数为64－24×2

＝16(人)．【答案】C

误区分析17 忽视“抽样比”相等导致分层抽样失误

[典例剖析]

【典例】(2015·洛阳模拟)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员

的总人数N 为( )

A ．101

B ．808

C ．1 212

D ．2 012 【解析】 四个社区共抽取了12＋21＋25＋43＝101人． 又由题意可知抽样比为12

96，

故1296＝101N

， 此处在求解时，因不理解“样本容量

总体容量＝抽样比”致误

解得N ＝808. 【答案】 B

【防范措施】 1.对于分层抽样问题，其解决的关键是抓住“样本容量

总体容量＝抽样比”建立等量关系．

2．等可能性入样是所有简单随机抽样的大前提．

[对点练习]

某工厂的一、二、三车间在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 构成等差数列，则二车间生产的产品数为( )

A ．800

B ．1 000

C ．1 200

D ．1 500

【解析】设该厂的一、二、三车间生产的产品数分别为x，y，z，由题意可知x∶y∶z＝a∶b∶c，又a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，

即2y＝x＋z.

又x＋y＋z＝3 600，∴3y＝3 600，y＝1 200.

【答案】C

课堂达标训练

1．(2013·湖南高考)某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( ) A．抽签法B．随机数法

C．系统抽样法D．分层抽样法

【解析】由于是调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在差异，因此用分层抽样方法．【答案】D

2．从30个个体中抽取10个样本，现给出某随机数表的第11行到第15行(见下表)，如果某人选取第12行的第6列和第7列中的数作为第一个数并且由此数向右读，则选取的前4个的号码分别为( )

9264 4607 2021 3920 7766 3817 3256 1640

5858 7766 3170 0500 2593 0545 5370 7814

2889 6628 6757 8231 1589 0062 0047 3815

5131 8186 3709 4521 6665 5325 5383 2702 9055 7196 2172 3207 1114 1384 4359 4488 A ．76,63,17,00 B ．16,00,02,30 C ．17,00,02,25

D ．17,00,02,07

【解析】 在随机数表中，将处于00～29的号码选出，第一个数76不合要求，第2个63不合要求，满足要求的前4个号码为17,00,02,07.

【答案】 D

3．从2 014名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样法从2 014名学生中剔除14名学生，再用系统抽样法从剩下的2 000名学生中选取50名学生．则每人入选的概率( )

A ．不全相等

B ．均不相等

C ．都相等，且为251 007

D ．都相等，且为140

【解析】 抽样过程中每个个体被抽取的机会均等，概率相等，故每人入选的概率为502 014＝25

1 007.

故选C.

【答案】 C

4．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．

【解析】 由分层抽样的特征可知，应从高二年级抽取3×50

10＝15.

【答案】 15

课时提升练(五十二) 随机抽样

一、选择题

1．(2014·广东高考)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )

A ．50

B ．40

C ．25

D ．20

【解析】 根据系统抽样的特点可知分段间隔为1 000

40＝25，故选C.

【答案】 C

2．(2014·重庆高考)某中学有高中生3 500人，初中生1 500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( )

A ．100

B ．150

C ．200

D ．250

【解析】 法一：由题意可得70n －70＝3 500

1 500

，解得n ＝100，故选A.

法二：由题意，抽样比为703 500＝150，总体容量为3 500＋1 500＝5 000，故n ＝5 000×1

50＝100.

【答案】 A

3．(2014·石家庄模拟)某学校在高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6

名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1,2，…，60.选取的这6名学生的编号可能是( ) A．1,2,3,4,5,6 B．6,16,26,36,46,56

C．1,2,4,8,16,32 D．3,9,13,27,36,54

【解析】系统抽样是等间隔抽样．

【答案】B

4．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为( )

A．9 B．18 C．27 D．36

【解析】设该单位老年职工有x人，从中抽取y人．

则160＋3x＝430?x＝90，即老年职工有90人，

即90

160

＝

y

32

?y＝18.

【答案】B

5．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，则三个营区被抽中的人数依次为( ) A．26,16,8 B．25,17,8

C．25,16,9 D．24,17,9

【解析】 由题意知，间隔k ＝600

50＝12，故抽到的个体编号为12k ＋3(其中k ＝0,1,2,3，…，49)．令

12k ＋3≤300，解得k ≤24.

∴k ＝0,1,2，…，24，共25个编号． 所以从Ⅰ营区抽取25人；

令300＜12k ＋3≤495，解得25≤k ≤41 ∴k ＝25,26,27，…，41，共17个编号． 所以从Ⅱ营区抽取17人；

因此从第Ⅲ营区抽取50－25－17＝8(人)． 【答案】 B

6．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270，使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：

①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250 ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265 ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254 ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270 关于上述样本的下列结论中，正确的是( )

A ．②、③都不能为系统抽样

B ．②、④都不能为分层抽样

C ．①、④都可能为系统抽样

D ．①、③都可能为分层抽样

【解析】 因为③为系统抽样，所以选项A 不对；因为②为分层抽样，所以选项B 不对；因为④不为系统抽样，所以选项C 不对，故选D.

【答案】 D 二、填空题

7．(2014·汉中模拟)用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是________．

【解析】 设第1组抽取的号码为b ，则第n 组抽取的号码为8(n －1)＋b ， ∴8×(16－1)＋b ＝126，∴b ＝6，故第1组抽取的号码为6. 【答案】 6

8．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检验．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种类之和是________．

【解析】 ∵四类食品的每一种被抽到的概率为20100＝1

5

，∴植物油类和果蔬类食品被抽到的种数之

和为(10＋20)×1

5

＝6.

【答案】6

9．某单位200名职工的年龄分布情况如图9-1-1所示，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．

图9-1-1

【解析】由分组可知，抽号的间隔为5，

又因为第5组抽出的号码为22，

所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.

40岁以下的年龄段的职工数为200×＝100，

则应抽取的人数为40

200

×100＝20(人)．

【答案】37 20

三、解答题

10．中央电视台为了解观众对《中国好歌曲》的意见，准备从502名现场观众中抽取10%进行座谈，请用系统抽样的方法完成这一抽样．

【解】 把502名观众平均分成50组，由于502除以50的商是10，余数是2，所以每组有10名观众，还剩2名观众 ，采用系统抽样的方法抽样的步骤如下：

第一步，先用简单随机抽样的方法从502名观众中抽取2名观众，这2名观众不参加座谈； 第二步，将剩下的500名观众编号为1,2,3，…，500，并均匀分成50段，每段含500

50＝10个个体；

第三步，从第1段即1,2，…，10这10个编号中，用简单随机抽样的方法抽取一个编号(比如l )作为起始编号；

第四步，从l 开始，再将编号为l ＋10，l ＋20，l ＋30，…，l ＋490的个体抽出，得到一个容量为50的样本．

11．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：

(1)5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为研究生的概率；

(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取1人，此人的年龄为50岁以上的概率为5

39

，求x ，y 的值．

【解】 (1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m ，∴3050＝m

5

，解得m ＝3.

抽取的样本中有研究生2人，本科生3人，分别记作S 1，S 2；B 1，B 2，B 3.

从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，

其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，

B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)．

∴从中任取2人，至少有1人学历为研究生的概率为7

10.

(2)由题意，得10N ＝5

39

，解得N ＝78.

∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20， ∴4880＋x ＝2050＝1020＋y ，解得x ＝40，y ＝5. 即x ，y 的值分别为40,5.

12．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占%，中年人占%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的1

4，且该

组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满

意程度，现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定：

(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．

【解】 (1)设登山组人数为x ，游泳组中青年人、中年人、老年人各占比例分别为a 、b 、c ，则有

x ·40%＋3xb 4x ＝%，x ·10%＋3xc

4x

＝10%，

解得b ＝50%，c ＝10%，则a ＝40%，

即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%. (2)游泳组中

抽取的青年人数为200×3

4×40%＝60(人)；

抽取的中年人数为200×3

4×50%＝75(人)；

抽取的老年人数为200×3

4×10%＝15(人)．

第二节 用样本估计总体

考纲要求：1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释.4.会用样本的频率分布估计总体分