高一数学 函数的单调性与最值
单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性
学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性.
知识点一 函数的单调性
思考 画出函数f (x )＝x 、f (x )＝x 2的图象，并指出f (x )＝x 、f (x )＝x 2的图象的升降情况如何？ 答案 两函数的图象如下：
函数f (x )＝x 的图象由左到右是上升的；函数f (x )＝x 2的图象在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的. 梳理 一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数，该区间称为增区间.反之则为减函数，相应区间称为减区间.因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙.所以有以下定义： 设函数f (x )的定义域为I ：
(1)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1 (2)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1 思考 我们已经知道f (x )＝x 2的减区间为(－∞，0]，f (x )＝1 x 的减区间为(－∞，0)，这两个减区间能不能交 换？ 答案 f (x )＝x 2的减区间可以写成(－∞，0)，而f (x )＝1 x 的减区间(－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属 于f (x )＝1 x 的定义域. 梳理 一般地，有下列常识： (1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开. (2)单调区间D ?定义域I . (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大. 类型一 求单调区间并判断单调性 例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 解 y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2]，[1,3]上是减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是增函数. 反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D 上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有. 跟踪训练1 写出函数y ＝|x 2－2x －3|的单调区间，并指出单调性. 解 先画出f (x )＝? ???? x 2－2x －3，x <－1或x >3，－(x 2－2x －3)，－1≤x ≤3的图象，如图. 所以y ＝|x 2－2x －3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间是[－1,1]，[3，＋∞). 类型二 证明单调性 命题角度1 证明具体函数的单调性 例2 证明f (x )＝x 在其定义域上是增函数. 证明 f (x )＝x 的定义域为[0，＋∞). 设x 1，x 2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1 (x 1－x 2)(x 1＋x 2)x 1＋x 2＝x 1－x 2 x 1＋x 2 . ∵0≤x 1 ∴f (x )＝x 在它的定义域[0，＋∞)上是增函数. 反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x 1，x 2且x 1 x 在[1，＋∞)上是增函数. 证明 设x 1，x 2是实数集R 上的任意实数，且1≤x 1 x 2) ＝(x 1－x 2)＋(1x 1－1 x 2)＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2 ＝(x 1－x 2)(1－ 1 x 1x 2)＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2 ). ∵1≤x 1 x 1x 2－1x 1x 2>0，故(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2 )<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1) ∴f (x )＝x ＋1 x 在区间[1，＋∞)上是增函数. 命题角度2 证明抽象函数的单调性 例3 已知函数f (x )对任意的实数x 、y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且当x >0时，f (x )>1.求证：函数f (x )在R 上是增函数. 证明 方法一 设x 1，x 2是实数集上的任意两个实数，且x 1>x 2.令x ＋y ＝x 1，y ＝x 2，则x ＝x 1－x 2>0. f (x 1)－f (x 2)＝f (x ＋y )－f (y )＝f (x )＋f (y )－1－f (y )＝f (x )－1.∵x >0，∴f (x )>1，f (x )－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2). ∴函数f (x )在R 上是增函数. 方法二 设x 1>x 2，则x 1－x 2>0， 从而f (x 1－x 2)>1，即f (x 1－x 2)－1>0. f (x 1)＝f [x 2＋(x 1－x 2)]＝f (x 2)＋f (x 1－x 2)－1>f (x 2)，故f (x )在R 上是增函数. 反思与感悟 因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f (x 1)－f (x 2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f (x 1)－f (x 2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值. 跟踪训练3 已知函数f (x )的定义域是R ，对于任意实数m ，n ，恒有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，且当x >0时，0 证明 ∵对于任意实数m ，n ，恒有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，令m ＝1，n ＝0，可得f (1)＝f (1)·f (0)， ∵当x ＞0时，0＜f (x )＜1，∴f (1)≠0，∴f (0)＝1. 令m ＝x ＜0，n ＝－x ＞0，则f (m ＋n )＝f (0)＝f (－x )·f (x )＝1，∴f (x )f (－x )＝1， 又∵－x ＞0时，0＜f (－x )＜1， ∴f (x )＝1 f (－x ) ＞1. ∴对任意实数x ，f (x )恒大于0. 设任意x 1 ∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)f (x 1)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]<0， ∴f (x )在R 上是减函数. 类型三 单调性的应用 命题角度1 利用单调性求参数范围 例4 若函数f (x )＝? ??? ? (3a －1)x ＋4a ，x <1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为( ) A.[18，1 3) B.(0，13) C.[1 8 ，＋∞) D.(－∞，18]∪[1 3，＋∞) 答案 A 解析 要使f (x )在R 上是减函数，需满足： ???? ? 3a －1<0，－a <0，(3a －1)·1＋4a ≥－a ·1. 解得18≤a ＜13 . 反思与感悟 分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超.另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的. 跟踪训练4 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上单调，则实数a 的取值范围为________________. 答案 a ≤1或a ≥2 解析 由于二次函数开口向上，故其增区间为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]，而f (x )在区间[1,2]上单调，所以[1,2]?[a ，＋∞)或[1,2]?(－∞，a ]，即a ≤1或a ≥2. 命题角度2 用单调性解不等式 例5 已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a ) ? －1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1， 解得0 3 ， 即所求a 的取值范围是0 3 . 反思与感悟 若已知函数f (x )的单调性，则由x 1，x 2的大小，可得f (x 1)，f (x 2)的大小；由f (x 1)，f (x 2)的大小，可得x 1，x 2的大小. 跟踪训练5 在例5中若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a ) 解 ∵y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数， f (1－a ) 3， ∴所求a 的取值范围是(2 3 ，＋∞). 1.函数y ＝f (x )在区间[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的增区间是( ) A.[－2,0] B.[0,1] C.[－2,1] D.[－1,1] 答案 C 2.函数y ＝6 x 的减区间是( ) A.[0，＋∞) B.(－∞，0] C.(－∞，0)，(0，＋∞) D.(－∞，0)∪(0，＋∞) 答案 C 3.在下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1 x C.f (x )＝|x | D.f (x )＝2x ＋1 答案 B 4.已知函数y ＝f (x )满足：f (－2)>f (－1)，f (－1) 5.若函数f (x )在R 上是减函数，且f (|x |)>f (1)，则x 的取值范围是( ) A.x <1 B.x >－1 C.－1 D.x <－1或x >1 答案 C 1.若f (x )的定义域为D ，A ?D ，B ?D ，f (x )在A 和B 上都单调递减，未必有f (x )在A ∪B 上单调递减. 2.对增函数的判断，对任意x 1 (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0或f (x 1)－f (x 2) x 1－x 2>0.对减函数的判断，对任意x 1 不等式来替代：(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0或f (x 1)－f (x 2) x 1－x 2 <0. 3.熟悉常见的一些函数的单调性，包括一次函数，二次函数，反比例函数等. 4.若f (x )，g (x )都是增函数，h (x )是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f (x )＋g (x )单调递增，f (x )－h (x )单调递增，②－f (x )单调递减，③1 f (x ) 单调递减(f (x )≠0). 5.对于函数值恒正(或恒负)的函数f (x )，证明单调性时，也可以作商f (x 1) f (x 2) 与1比较. 课时作业 一、选择题 1.函数y ＝1 x －1的单调减区间是( ) A.(－∞，1)，(1，＋∞) B.(－∞，1)∪(1，＋∞) C.{x ∈R |x ≠1} D.R 答案 A 解析 单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C ，D 不对，B 表达不当.故选A. 2.如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，那么对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，下列结论中不正确的是( ) A.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2 >0 B.(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0 C.若x 1 D.x 1－x 2f (x 1)－f (x 2)>0 答案 C 解析 因为f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)的符号相同，故A ，B ，D 都正确，而C 中应为若x 1 3.已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－1)，B (3,1)是其图象上的两点，那么－1 C.(－∞，－1]∪[3，＋∞) D.(－∞，0]∪[1，＋∞) 答案 B 解析 由已知f (0)＝－1，f (3)＝1， ∴－1 4.已知函数f (x )在R 上是增函数，则下列说法正确的是( ) A.y ＝－f (x )在R 上是减函数 B.y ＝1 f (x )在R 上是减函数 C.y ＝[f (x )]2在R 上是增函数 D.y ＝af (x )(a 为实数)在R 上是增函数 答案 A 解析 设x 1 其余三项不一定成立，如当f (x )＝x 时，B 、C 不成立，当a <0时，D 不成立. 5.已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，若a ，b ∈R 且a ＋b >0，则有( ) A.f (a )＋f (b )>－f (a )－f (b ) B.f (a )＋f (b )<－f (a )－f (b ) C.f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b ) D.f (a )＋f (b ) 解析 ∵a ＋b >0，∴a >－b ，b >－a ， ∵f (x )在R 上是增函数， ∴f (a )>f (－b )，f (b )>f (－a )， ∴f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b ). 6.已知函数f (x )＝? ???? x 2＋4x ，x ≥0， 4x －x 2，x <0，若f (4－a )>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2) B.(2，＋∞) C.(－∞，－2) D.(－2，＋∞) 答案 A 解析 画出f (x )的图象(图略)可判断f (x )在R 上递增， 故f (4－a )>f (a )?4－a >a ，解得a <2. 二、填空题 7.已知函数f (x )＝? ???? －x ＋3a ，x ≥0， x 2－ax ＋1，x <0是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是________. 答案 [0，1 3 ] 解析 当x <0时，函数f (x )＝x 2－ax ＋1是减函数，解得a ≥0，当x ≥0时，函数f (x )＝－x ＋3a 是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a ，解得a ≤13，∴0≤a ≤1 3 . 8.已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2) 2 ) 解析 由题意，得???? ? －1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1， x －2<1－x ， 解得1≤x <3 2 ， 故满足条件的x 的取值范围是1≤x <3 2 . 9.函数f (x ＋1)＝x 2－2x ＋1的定义域是[－2,0]，则f (x )的单调减区间是________. 答案 [－1,1] 解析 f (x ＋1)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2＝(x ＋1－2)2， ∴f (x )＝(x －2)2，x ∈[－1,1]， ∴f (x )在定义域[－1,1]上单调递减. 10.已知一次函数y ＝(k ＋1)x ＋k 在R 上是增函数，且其图象与x 轴的正半轴相交，则k 的取值范围是________. 答案 (－1,0) 解析 依题意???? ? k ＋1>0，－k k ＋1>0，解得－1 三、解答题 11.求函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间. 解 ∵y ＝－x 2＋2|x |＋3＝? ???? －x 2＋2x ＋3，x ≥0， －x 2－2x ＋3，x <0. 函数图象如图所示： ∴函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]. 12.已知函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (x )<0(x >0)，试判断F (x )＝1 f (x ) 在(0，＋∞)上的单调性并给出 证明过程. 解 F (x )在(0，＋∞)上为减函数. 证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1 f (x 1)＝f (x 1)－f (x 2)f (x 2)f (x 1). ∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且x 1 x －a (x ≠a ). (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围. (1)证明 任设x 1 x 1x 1＋2－x 2 x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2) . ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1) x 1x 1－a －x 2 x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ) . ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0， 只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述0 14.若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是____________. 答案 (0,1] 解析 由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得a ≤1，由g (x )＝a x ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0. ∴0 15.设函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，且对任意正实数x ，y 都有f (xy )＝f (x )＋f (y )恒成立，已知f (2)＝1，且x >1时，f (x )>0. (1)求f (1 2 )的值； (2)判断y ＝f (x )在(0，＋∞)上的单调性并给出证明； (3)解不等式f (2x )>f (8x －6)－1. 解 (1)对于任意x ，y ∈R 都有f (xy )＝f (x )＋f (y )， ∴当x ＝y ＝1时，有f (1)＝f (1)＋f (1)，∴f (1)＝0. 当x ＝2，y ＝12时，有f (2×12)＝f (2)＋f (1 2)， 即f (2)＋f (1 2)＝0， 又f (2)＝1，∴f (1 2 )＝－1. (2)y ＝f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数，证明如下： 设0 x 1)＝f (x 2)， 即f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2 x 1). 因为x 2x 1>1，故f (x 2 x 1 )>0， 即f (x 2)>f (x 1)，故f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数. (3)由(1)知，f (1 2)＝－1， ∴f (8x －6)－1＝f (8x －6)＋f (1 2) ＝f (1 2(8x －6))＝f (4x －3)， ∴f (2x )>f (4x －3)， ∵f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数， ∴? ???? 2x >4x －3，4x －3>0. 解得解集为{x |34 第2课时 函数的最大(小)值 学习目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值. 知识点一 函数的最大(小)值 思考 在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1为什么不是最小值？ 答案最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值. 梳理一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值. 如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y ＝f(x)的最小值. 知识点二函数的最大(小)值的几何意义 思考函数y＝x2，x∈[－1,1]的图象如下： 试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值. 答案x＝±1时，y有最大值1，对应的点是图象中的最高点，x＝0时，y有最小值0，对应的点为图象中的最低点. 梳理一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个. 类型一借助单调性求最值 例1已知函数f(x)＝x x2＋1 (x>0)，求函数的最大值和最小值. 解设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1 x21＋1－ x2 x22＋1 ＝x1(x22＋1)－x2(x21＋1) (x21＋1)(x22＋1) ＝ (x2－x1)(x2x1－1) (x21＋1)(x22＋1) . 当x1 当1≤x1 f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减. ∴f(x)max＝f(1)＝1 2，无最小值. 反思与感悟(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a). (2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b). (3)若函数y ＝f (x )有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小).函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的. (4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势. 跟踪训练1 已知函数f (x )＝ 2 x －1 (x ∈[2,6])，求函数的最大值和最小值. 解 设x 1，x 2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x 1 ＝2[(x 2－1)－(x 1－1)] (x 1－1)(x 2－1) ＝ 2(x 2－x 1) (x 1－1)(x 2－1) . 由2≤x 1 得x 2－x 1>0，(x 1－1)(x 2－1)>0， 于是f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2). 所以，函数y ＝2 x －1 在区间[2,6]上是减函数. 因此，函数y ＝2 x －1在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值， 即在x ＝2时取得最大值，最大值是2， 在x ＝6时取得最小值，最小值是2 5. 类型二 求二次函数的最值 例2 (1)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，若x ∈[0,2]，求函数f (x )的最值； (2)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，若x ∈[t ，t ＋2]，求函数f (x )的最值； (3)已知函数f (x )＝x －2x －3，求函数f (x )的最值； (4)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m 与时间t s 之间的关系为h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1 m) 解 (1)∵函数f (x )＝x 2－2x －3开口向上，对称轴x ＝1， ∴f (x )在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f (0)＝f (2). ∴f (x )max ＝f (0)＝f (2)＝－3，f (x )min ＝f (1)＝－4. (2)∵对称轴x ＝1， ①当1≥t ＋2即t ≤－1时， f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3， f (x )min ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3. ②当t ＋t ＋22≤1 f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3， f (x )min ＝f (1)＝－4. ③当t ≤1 2，即0 f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3， f (x )min ＝f (1)＝－4. ④当1 设函数最大值为g (t )，最小值为φ(t )，则有 g (t )＝? ???? t 2－2t －3(t ≤0)， t 2＋2t －3(t >0)， φ(t )＝???? ? t 2＋2t －3(t ≤－1)，－4(－1 t 2－2t －3(t >1). (3)设x ＝t (t ≥0)，则x －2x －3＝t 2－2t －3. 由(1)知y ＝t 2－2t －3(t ≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增. ∴当t ＝1即x ＝1时，f (x )min ＝－4，无最大值. (4)作出函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度. 由二次函数的知识，对于函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，我们有：当t ＝－14.72×(－4.9)＝1.5时，函数有最大 值h ＝4×(－4.9)×18－14.72 4×(－4.9) ≈29. 于是，烟花冲出后1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m. 反思与感悟 (1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素. (2)图象直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题. 跟踪训练2 (1)已知函数f (x )＝x 4－2x 2－3，求函数f (x )的最值； (2)求二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2,4]上的最小值； (3)如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x 轴、竖直方向为y 轴建立平面直角坐标系.那么水流喷出的高度h (单位：m)与水平距 离x (单位：m)之间的函数关系式为h ＝－x 2＋2x ＋54，x ∈[0，5 2 ].求水流喷出的高度h 的最大值是多少？ 解 (1)设x 2＝t (t ≥0)，则x 4－2x 2－3＝t 2－2t －3. y ＝t 2－2t －3(t ≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增. ∴当t ＝1即x ＝±1时，f (x )min ＝－4，无最大值. (2)∵函数图象的对称轴是x ＝a ， ∴当a <2时，f (x )在[2,4]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a . 当a >4时，f (x )在[2,4]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a . 当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2. ∴f (x )min ＝???? ? 6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4， 18－8a ，a >4. (3)由函数h ＝－x 2＋2x ＋54，x ∈[0，5 2]的图象可知，函数图象的顶点就是水流喷出的最高点.此时函数取得 最大值. 对于函数h ＝－x 2＋2x ＋54，x ∈[0，5 2 ]， 当x ＝1时，函数有最大值h max ＝－12＋2×1＋54＝9 4. 于是水流喷出的最高高度是9 4 m. 类型三 函数最值的应用 例3 已知x 2－x ＋a >0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围. 解 方法一 令y ＝x 2－x ＋a ， 要使x 2－x ＋a >0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立， 只需y min ＝ 4a －14>0，解得a >1 4 . ∴实数a 的取值范围是(1 4，＋∞). 方法二 x 2－x ＋a >0可化为a >－x 2＋x . 要使a >－x 2＋x 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立， 只需a >(－x 2＋x )max ， 又(－x 2＋x )max ＝14，∴a >1 4. ∴实数a 的取值范围是(1 4， ＋∞). 引申探究 把例3中“x ∈(0，＋∞)”改为“x ∈(1 2，＋∞)”，再求a 的取值范围. 解 f (x )＝－x 2＋x 在(1 2，＋∞)上为减函数， ∴f (x )的值域为(－∞，1 4 )， 要使a >－x 2＋x 对任意x ∈(1 2，＋∞)恒成立， 只需a ≥14，∴a 的取值范围是[1 4 ，＋∞).